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Theorem cantnfp1lem3 9721
Description: Lemma for cantnfp1 9722. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g (𝜑𝐺𝑆)
cantnfp1.x (𝜑𝑋𝐵)
cantnfp1.y (𝜑𝑌𝐴)
cantnfp1.s (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
cantnfp1.e (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfp1.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝑂𝑘)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
cantnfp1.k 𝐾 = OrdIso( E , (𝐺 supp ∅))
cantnfp1.m 𝑀 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐾𝑘)) ·o (𝐺‘(𝐾𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem3 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (((𝐴o 𝑋) ·o 𝑌) +o ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑘,𝑧,𝐵   𝐴,𝑘,𝑡,𝑧   𝑘,𝐹,𝑧   𝑆,𝑘,𝑡,𝑧   𝑘,𝐺,𝑡,𝑧   𝑘,𝐾,𝑡,𝑧   𝑘,𝑂,𝑧   𝜑,𝑘,𝑡,𝑧   𝑘,𝑌,𝑡,𝑧   𝑘,𝑋,𝑡,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑡,𝑘)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnfs.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 cantnfp1.o . . 3 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
5 cantnfp1.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑆)
6 cantnfp1.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
7 cantnfp1.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐴)
8 cantnfp1.s . . . 4 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
9 cantnfp1.f . . . 4 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
101, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9cantnfp1lem1 9719 . . 3 (𝜑𝐹𝑆)
11 cantnfp1.h . . 3 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝑂𝑘)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
121, 2, 3, 4, 10, 11cantnfval 9709 . 2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝑂))
13 cantnfp1.e . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
141, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 4cantnfp1lem2 9720 . . 3 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
1514fveq2d 6909 . 2 (𝜑 → (𝐻‘dom 𝑂) = (𝐻‘suc dom 𝑂))
161, 2, 3, 4, 10cantnfcl 9708 . . . . . . 7 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
1716simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
1814, 17eqeltrrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → suc dom 𝑂 ∈ ω)
19 peano2b 7905 . . . . 5 ( dom 𝑂 ∈ ω ↔ suc dom 𝑂 ∈ ω)
2018, 19sylibr 234 . . . 4 (𝜑 dom 𝑂 ∈ ω)
211, 2, 3, 4, 10, 11cantnfsuc 9711 . . . 4 ((𝜑 dom 𝑂 ∈ ω) → (𝐻‘suc dom 𝑂) = (((𝐴o (𝑂 dom 𝑂)) ·o (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂))) +o (𝐻 dom 𝑂)))
2220, 21mpdan 687 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘suc dom 𝑂) = (((𝐴o (𝑂 dom 𝑂)) ·o (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂))) +o (𝐻 dom 𝑂)))
23 ovexd 7467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
2416simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
254oiiso 9578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)))
2623, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)))
27 isof1o 7344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)) → 𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
29 f1ocnv 6859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝑂:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝑂)
30 f1of 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝑂𝑂:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝑂)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑂:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝑂)
32 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = 𝑌)
339, 32, 6, 7fvmptd3 7038 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
3413ne0d 4341 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
3533, 34eqnetrd 3007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
367adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑌𝐴)
371, 2, 3cantnfs 9707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
385, 37mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
3938simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
4039ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐺𝑡) ∈ 𝐴)
4136, 40ifcld 4571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) ∈ 𝐴)
4241, 9fmptd 7133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
4342ffnd 6736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
44 0ex 5306 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∅ ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∅ ∈ V)
46 elsuppfn 8196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
4743, 3, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
486, 35, 47mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
4931, 48ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ dom 𝑂)
50 elssuni 4936 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝑋) ∈ dom 𝑂 → (𝑂𝑋) ⊆ dom 𝑂)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝑋) ⊆ dom 𝑂)
524oicl 9570 . . . . . . . . . . . 12 Ord dom 𝑂
53 ordelon 6407 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord dom 𝑂 ∧ (𝑂𝑋) ∈ dom 𝑂) → (𝑂𝑋) ∈ On)
5452, 49, 53sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ On)
55 nnon 7894 . . . . . . . . . . . 12 ( dom 𝑂 ∈ ω → dom 𝑂 ∈ On)
5620, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 dom 𝑂 ∈ On)
57 ontri1 6417 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂𝑋) ∈ On ∧ dom 𝑂 ∈ On) → ((𝑂𝑋) ⊆ dom 𝑂 ↔ ¬ dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋)))
5854, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝑋) ⊆ dom 𝑂 ↔ ¬ dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋)))
5951, 58mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋))
60 sucidg 6464 . . . . . . . . . . . . . 14 ( dom 𝑂 ∈ ω → dom 𝑂 ∈ suc dom 𝑂)
6120, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 dom 𝑂 ∈ suc dom 𝑂)
6261, 14eleqtrrd 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 dom 𝑂 ∈ dom 𝑂)
63 isorel 7347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)) ∧ ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 ∧ (𝑂𝑋) ∈ dom 𝑂)) → ( dom 𝑂 E (𝑂𝑋) ↔ (𝑂 dom 𝑂) E (𝑂‘(𝑂𝑋))))
6426, 62, 49, 63syl12anc 836 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( dom 𝑂 E (𝑂𝑋) ↔ (𝑂 dom 𝑂) E (𝑂‘(𝑂𝑋))))
65 fvex 6918 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂𝑋) ∈ V
6665epeli 5585 . . . . . . . . . . 11 ( dom 𝑂 E (𝑂𝑋) ↔ dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋))
67 fvex 6918 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂‘(𝑂𝑋)) ∈ V
6867epeli 5585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂 dom 𝑂) E (𝑂‘(𝑂𝑋)) ↔ (𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝑂‘(𝑂𝑋)))
6964, 66, 683bitr3g 313 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋) ↔ (𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝑂‘(𝑂𝑋))))
70 f1ocnvfv2 7298 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝑂‘(𝑂𝑋)) = 𝑋)
7128, 48, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘(𝑂𝑋)) = 𝑋)
7271eleq2d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝑂‘(𝑂𝑋)) ↔ (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋))
7369, 72bitrd 279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋) ↔ (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋))
7459, 73mtbid 324 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋)
758sseld 3981 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐺 supp ∅) → (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋))
76 suppssdm 8203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
7776, 42fssdm 6754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
78 onss 7806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
793, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ⊆ On)
8077, 79sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
814oif 9571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂:dom 𝑂⟶(𝐹 supp ∅)
8281ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐹 supp ∅))
8362, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐹 supp ∅))
8480, 83sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) ∈ On)
85 eloni 6393 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ On → Ord (𝑂 dom 𝑂))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Ord (𝑂 dom 𝑂))
87 ordn2lp 6403 . . . . . . . . . . . 12 (Ord (𝑂 dom 𝑂) → ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
89 imnan 399 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)) ↔ ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
9088, 89sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
9175, 90syld 47 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐺 supp ∅) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
92 onelon 6408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ On)
933, 6, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ On)
94 eloni 6393 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ On → Ord 𝑋)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Ord 𝑋)
96 ordirr 6401 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝑋 → ¬ 𝑋𝑋)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑋)
98 elsni 4642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋} → (𝑂 dom 𝑂) = 𝑋)
9998eleq2d 2826 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋} → (𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂) ↔ 𝑋𝑋))
10099notbid 318 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋} → (¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂) ↔ ¬ 𝑋𝑋))
10197, 100syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋} → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
102 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 = 𝑋𝑘 = 𝑋))
103 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑘 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑘))
104102, 103ifbieq2d 4551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑘 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
105 eldifi 4130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘𝐵)
106105adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑘𝐵)
1077adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑌𝐴)
108 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺𝑘) ∈ V
109 ifexg 4574 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌𝐴 ∧ (𝐺𝑘) ∈ V) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V)
110107, 108, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V)
1119, 104, 106, 110fvmptd3 7038 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
112 eldifn 4131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
113112adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
114 velsn 4641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ {𝑋} ↔ 𝑘 = 𝑋)
115 elun2 4182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
116114, 115sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑋𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
117113, 116nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 = 𝑋)
118117iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
119 ssun1 4177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})
120 sscon 4142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) → (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
121119, 120ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))
122121sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
123 ssidd 4006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐺 supp ∅))
12439, 123, 3, 13suppssr 8221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))) → (𝐺𝑘) = ∅)
125122, 124sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐺𝑘) = ∅)
126111, 118, 1253eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹𝑘) = ∅)
12742, 126suppss 8220 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
128127, 83sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
129 elun 4152 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ↔ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐺 supp ∅) ∨ (𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋}))
130128, 129sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐺 supp ∅) ∨ (𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋}))
13191, 101, 130mpjaod 860 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂))
132 ioran 985 . . . . . . . 8 (¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)) ↔ (¬ (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
13374, 131, 132sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
134 ordtri3 6419 . . . . . . . 8 ((Ord (𝑂 dom 𝑂) ∧ Ord 𝑋) → ((𝑂 dom 𝑂) = 𝑋 ↔ ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂))))
13586, 95, 134syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) = 𝑋 ↔ ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂))))
136133, 135mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) = 𝑋)
137136oveq2d 7448 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴o (𝑂 dom 𝑂)) = (𝐴o 𝑋))
138136fveq2d 6909 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂)) = (𝐹𝑋))
139138, 33eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂)) = 𝑌)
140137, 139oveq12d 7450 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴o (𝑂 dom 𝑂)) ·o (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂))) = ((𝐴o 𝑋) ·o 𝑌))
141 nnord 7896 . . . . . . . . 9 ( dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
14220, 141syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Ord dom 𝑂)
143 sssucid 6463 . . . . . . . . . 10 dom 𝑂 ⊆ suc dom 𝑂
144143, 14sseqtrrid 4026 . . . . . . . . 9 (𝜑 dom 𝑂 ⊆ dom 𝑂)
145 f1ofo 6854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝑂:dom 𝑂onto→(𝐹 supp ∅))
14628, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑂:dom 𝑂onto→(𝐹 supp ∅))
147 foima 6824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂:dom 𝑂onto→(𝐹 supp ∅) → (𝑂 “ dom 𝑂) = (𝐹 supp ∅))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂 “ dom 𝑂) = (𝐹 supp ∅))
149 ffn 6735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂:dom 𝑂⟶(𝐹 supp ∅) → 𝑂 Fn dom 𝑂)
15081, 149ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 Fn dom 𝑂
151 fnsnfv 6987 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑂 Fn dom 𝑂 dom 𝑂 ∈ dom 𝑂) → {(𝑂 dom 𝑂)} = (𝑂 “ { dom 𝑂}))
152150, 62, 151sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {(𝑂 dom 𝑂)} = (𝑂 “ { dom 𝑂}))
153136sneqd 4637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {(𝑂 dom 𝑂)} = {𝑋})
154152, 153eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂 “ { dom 𝑂}) = {𝑋})
155148, 154difeq12d 4126 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂 “ dom 𝑂) ∖ (𝑂 “ { dom 𝑂})) = ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}))
156 ordirr 6401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ord dom 𝑂 → ¬ dom 𝑂 dom 𝑂)
157142, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 dom 𝑂)
158 disjsn 4710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( dom 𝑂 ∩ { dom 𝑂}) = ∅ ↔ ¬ dom 𝑂 dom 𝑂)
159157, 158sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ( dom 𝑂 ∩ { dom 𝑂}) = ∅)
160 disj3 4453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( dom 𝑂 ∩ { dom 𝑂}) = ∅ ↔ dom 𝑂 = ( dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂}))
161159, 160sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 dom 𝑂 = ( dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂}))
162 difun2 4480 . . . . . . . . . . . . . 14 (( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂}) ∖ { dom 𝑂}) = ( dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂})
163161, 162eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 dom 𝑂 = (( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂}) ∖ { dom 𝑂}))
164 df-suc 6389 . . . . . . . . . . . . . . 15 suc dom 𝑂 = ( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂})
16514, 164eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑂 = ( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂}))
166165difeq1d 4124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂}) = (( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂}) ∖ { dom 𝑂}))
167163, 166eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 dom 𝑂 = (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂}))
168167imaeq2d 6077 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) = (𝑂 “ (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂})))
169 dff1o3 6853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ↔ (𝑂:dom 𝑂onto→(𝐹 supp ∅) ∧ Fun 𝑂))
170169simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → Fun 𝑂)
171 imadif 6649 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑂 → (𝑂 “ (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂})) = ((𝑂 “ dom 𝑂) ∖ (𝑂 “ { dom 𝑂})))
17228, 170, 1713syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂 “ (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂})) = ((𝑂 “ dom 𝑂) ∖ (𝑂 “ { dom 𝑂})))
173168, 172eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) = ((𝑂 “ dom 𝑂) ∖ (𝑂 “ { dom 𝑂})))
1748, 97ssneldd 3985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
175 disjsn 4710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 supp ∅) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
176174, 175sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐺 supp ∅) ∩ {𝑋}) = ∅)
177 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺𝑋) ∈ V
178 dif1o 8539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o) ↔ ((𝐺𝑋) ∈ V ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅))
179177, 178mpbiran 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o) ↔ (𝐺𝑋) ≠ ∅)
18039ffnd 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
181 elsuppfn 8196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅)))
182180, 3, 45, 181syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅)))
183179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o) ↔ (𝐺𝑋) ≠ ∅))
184183bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ≠ ∅ ↔ (𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o)))
185184anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o))))
186182, 185bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o))))
1878sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) → 𝑋𝑋))
188186, 187sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o)) → 𝑋𝑋))
1896, 188mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o) → 𝑋𝑋))
190179, 189biimtrrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ≠ ∅ → 𝑋𝑋))
191190necon1bd 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (¬ 𝑋𝑋 → (𝐺𝑋) = ∅))
19297, 191mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ∅)
193192adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝐺𝑋) = ∅)
194 fveqeq2 6914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑋 → ((𝐺𝑘) = ∅ ↔ (𝐺𝑋) = ∅))
195193, 194syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝑘 = 𝑋 → (𝐺𝑘) = ∅))
196 eldifi 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅)) → 𝑘𝐵)
197196adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → 𝑘𝐵)
1987adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → 𝑌𝐴)
199198, 108, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V)
2009, 104, 197, 199fvmptd3 7038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
201 ssidd 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ (𝐹 supp ∅))
20242, 201, 3, 13suppssr 8221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝐹𝑘) = ∅)
203200, 202eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = ∅)
204 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 = 𝑋 → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
205204eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 = 𝑋 → (if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = ∅ ↔ (𝐺𝑘) = ∅))
206203, 205syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (¬ 𝑘 = 𝑋 → (𝐺𝑘) = ∅))
207195, 206pm2.61d 179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝐺𝑘) = ∅)
20839, 207suppss 8220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐹 supp ∅))
209 reldisj 4452 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐹 supp ∅) → (((𝐺 supp ∅) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋})))
210208, 209syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐺 supp ∅) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋})))
211176, 210mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}))
212 uncom 4157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ (𝐺 supp ∅))
213127, 212sseqtrdi 4023 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ ({𝑋} ∪ (𝐺 supp ∅)))
214 ssundif 4487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 supp ∅) ⊆ ({𝑋} ∪ (𝐺 supp ∅)) ↔ ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}) ⊆ (𝐺 supp ∅))
215213, 214sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}) ⊆ (𝐺 supp ∅))
216211, 215eqssd 4000 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) = ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}))
217155, 173, 2163eqtr4rd 2787 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) = (𝑂 dom 𝑂))
218 isores3 7356 . . . . . . . . 9 ((𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)) ∧ dom 𝑂 ⊆ dom 𝑂 ∧ (𝐺 supp ∅) = (𝑂 dom 𝑂)) → (𝑂 dom 𝑂) Isom E , E ( dom 𝑂, (𝐺 supp ∅)))
21926, 144, 217, 218syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) Isom E , E ( dom 𝑂, (𝐺 supp ∅)))
220 cantnfp1.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = OrdIso( E , (𝐺 supp ∅))
2211, 2, 3, 220, 5cantnfcl 9708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( E We (𝐺 supp ∅) ∧ dom 𝐾 ∈ ω))
222221simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → E We (𝐺 supp ∅))
223 epse 5666 . . . . . . . . 9 E Se (𝐺 supp ∅)
224220oieu 9580 . . . . . . . . 9 (( E We (𝐺 supp ∅) ∧ E Se (𝐺 supp ∅)) → ((Ord dom 𝑂 ∧ (𝑂 dom 𝑂) Isom E , E ( dom 𝑂, (𝐺 supp ∅))) ↔ ( dom 𝑂 = dom 𝐾 ∧ (𝑂 dom 𝑂) = 𝐾)))
225222, 223, 224sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Ord dom 𝑂 ∧ (𝑂 dom 𝑂) Isom E , E ( dom 𝑂, (𝐺 supp ∅))) ↔ ( dom 𝑂 = dom 𝐾 ∧ (𝑂 dom 𝑂) = 𝐾)))
226142, 219, 225mpbi2and 712 . . . . . . 7 (𝜑 → ( dom 𝑂 = dom 𝐾 ∧ (𝑂 dom 𝑂) = 𝐾))
227226simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 dom 𝑂 = dom 𝐾)
228227fveq2d 6909 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 dom 𝑂) = (𝑀‘dom 𝐾))
229 eleq1 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝑂 ↔ ∅ ∈ dom 𝑂))
230 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝐻𝑥) = (𝐻‘∅))
231 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = (𝑀‘∅))
232 cantnfp1.m . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐾𝑘)) ·o (𝐺‘(𝐾𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
233232seqom0g 8497 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ V → (𝑀‘∅) = ∅)
23444, 233ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀‘∅) = ∅
235231, 234eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = ∅)
236230, 235eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝐻𝑥) = (𝑀𝑥) ↔ (𝐻‘∅) = ∅))
237229, 236imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥)) ↔ (∅ ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘∅) = ∅)))
238237imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘∅) = ∅))))
239 eleq1 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑂𝑦 ∈ dom 𝑂))
240 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
241 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑦))
242240, 241eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) = (𝑀𝑥) ↔ (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)))
243239, 242imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦))))
244243imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)))))
245 eleq1 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂))
246 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘suc 𝑦))
247 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑀𝑥) = (𝑀‘suc 𝑦))
248246, 247eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐻𝑥) = (𝑀𝑥) ↔ (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦)))
249245, 248imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥)) ↔ (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
250249imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥))) ↔ (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦)))))
251 eleq1 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = dom 𝑂 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 dom 𝑂 ∈ dom 𝑂))
252 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝐻 dom 𝑂))
253 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = dom 𝑂 → (𝑀𝑥) = (𝑀 dom 𝑂))
254252, 253eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = dom 𝑂 → ((𝐻𝑥) = (𝑀𝑥) ↔ (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂)))
255251, 254imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝑂 → ((𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥)) ↔ ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂))))
256255imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝑂 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥))) ↔ (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂)))))
25711seqom0g 8497 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘∅) = ∅)
258257a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∅ ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘∅) = ∅))
259 nnord 7896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
26017, 259syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Ord dom 𝑂)
261 ordtr 6397 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ord dom 𝑂 → Tr dom 𝑂)
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Tr dom 𝑂)
263 trsuc 6470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Tr dom 𝑂 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ dom 𝑂)
264262, 263sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ dom 𝑂)
265264ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂𝑦 ∈ dom 𝑂))
266265imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦))))
267 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻𝑦) = (𝑀𝑦) → (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝐻𝑦)) = (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝑀𝑦)))
268 elnn 7899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ dom 𝑂 ∧ dom 𝑂 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
269268ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom 𝑂 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ ω)
27017, 264, 269syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ ω)
2711, 2, 3, 4, 10, 11cantnfsuc 9711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
272270, 271syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
2731, 2, 3, 220, 5, 232cantnfsuc 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝑀‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐾𝑦)) ·o (𝐺‘(𝐾𝑦))) +o (𝑀𝑦)))
274270, 273syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝑀‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐾𝑦)) ·o (𝐺‘(𝐾𝑦))) +o (𝑀𝑦)))
275226simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) = 𝐾)
276275fveq1d 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂)‘𝑦) = (𝐾𝑦))
277276adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝑂 dom 𝑂)‘𝑦) = (𝐾𝑦))
27814eleq2d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 ↔ suc 𝑦 ∈ suc dom 𝑂))
279278biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → suc 𝑦 ∈ suc dom 𝑂)
280142adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → Ord dom 𝑂)
281 ordsucelsuc 7843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Ord dom 𝑂 → (𝑦 dom 𝑂 ↔ suc 𝑦 ∈ suc dom 𝑂))
282280, 281syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝑦 dom 𝑂 ↔ suc 𝑦 ∈ suc dom 𝑂))
283279, 282mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 dom 𝑂)
284283fvresd 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝑂 dom 𝑂)‘𝑦) = (𝑂𝑦))
285277, 284eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐾𝑦) = (𝑂𝑦))
286285oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐴o (𝐾𝑦)) = (𝐴o (𝑂𝑦)))
287 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 = (𝐾𝑦) → (𝑡 = 𝑋 ↔ (𝐾𝑦) = 𝑋))
288 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 = (𝐾𝑦) → (𝐺𝑡) = (𝐺‘(𝐾𝑦)))
289287, 288ifbieq2d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 = (𝐾𝑦) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))))
290 suppssdm 8203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺 supp ∅) ⊆ dom 𝐺
291290, 39fssdm 6754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝐵)
292291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝐵)
293227adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → dom 𝑂 = dom 𝐾)
294283, 293eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ dom 𝐾)
295220oif 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐾:dom 𝐾⟶(𝐺 supp ∅)
296295ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ dom 𝐾 → (𝐾𝑦) ∈ (𝐺 supp ∅))
297294, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐾𝑦) ∈ (𝐺 supp ∅))
298292, 297sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐾𝑦) ∈ 𝐵)
2997adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑌𝐴)
300 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺‘(𝐾𝑦)) ∈ V
301 ifexg 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑌𝐴 ∧ (𝐺‘(𝐾𝑦)) ∈ V) → if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))) ∈ V)
302299, 300, 301sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))) ∈ V)
3039, 289, 298, 302fvmptd3 7038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐹‘(𝐾𝑦)) = if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))))
304285fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐹‘(𝐾𝑦)) = (𝐹‘(𝑂𝑦)))
305174adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
306 nelneq 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾𝑦) ∈ (𝐺 supp ∅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅)) → ¬ (𝐾𝑦) = 𝑋)
307297, 305, 306syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ¬ (𝐾𝑦) = 𝑋)
308307iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))) = (𝐺‘(𝐾𝑦)))
309303, 304, 3083eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐺‘(𝐾𝑦)) = (𝐹‘(𝑂𝑦)))
310286, 309oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝐴o (𝐾𝑦)) ·o (𝐺‘(𝐾𝑦))) = ((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))))
311310oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (((𝐴o (𝐾𝑦)) ·o (𝐺‘(𝐾𝑦))) +o (𝑀𝑦)) = (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝑀𝑦)))
312274, 311eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝑀‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝑀𝑦)))
313272, 312eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦) ↔ (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝐻𝑦)) = (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝑀𝑦))))
314267, 313imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝐻𝑦) = (𝑀𝑦) → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦)))
315314ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → ((𝐻𝑦) = (𝑀𝑦) → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
316315a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
317266, 316syld 47 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
318317a2i 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑 → (𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦))) → (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
319318a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 → (𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦))) → (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦)))))
320238, 244, 250, 256, 258, 319finds 7919 . . . . . . 7 ( dom 𝑂 ∈ ω → (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂))))
32120, 320mpcom 38 . . . . . 6 (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂)))
32262, 321mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂))
3231, 2, 3, 220, 5, 232cantnfval 9709 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺) = (𝑀‘dom 𝐾))
324228, 322, 3233eqtr4d 2786 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 dom 𝑂) = ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺))
325140, 324oveq12d 7450 . . 3 (𝜑 → (((𝐴o (𝑂 dom 𝑂)) ·o (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂))) +o (𝐻 dom 𝑂)) = (((𝐴o 𝑋) ·o 𝑌) +o ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺)))
32622, 325eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (𝐻‘suc dom 𝑂) = (((𝐴o 𝑋) ·o 𝑌) +o ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺)))
32712, 15, 3263eqtrd 2780 1 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (((𝐴o 𝑋) ·o 𝑌) +o ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524  {csn 4625   cuni 4906   class class class wbr 5142  cmpt 5224  Tr wtr 5258   E cep 5582   Se wse 5634   We wwe 5635  ccnv 5683  dom cdm 5684  cres 5686  cima 5687  Ord word 6382  Oncon0 6383  suc csuc 6385  Fun wfun 6554   Fn wfn 6555  wf 6556  ontowfo 6558  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560   Isom wiso 6561  (class class class)co 7432  cmpo 7434  ωcom 7888   supp csupp 8186  seqωcseqom 8488  1oc1o 8500   +o coa 8504   ·o comu 8505  o coe 8506   finSupp cfsupp 9402  OrdIsocoi 9550   CNF ccnf 9702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-seqom 8489  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-cnf 9703
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