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Theorem cantnfp1lem3 9616
Description: Lemma for cantnfp1 9617. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g (𝜑𝐺𝑆)
cantnfp1.x (𝜑𝑋𝐵)
cantnfp1.y (𝜑𝑌𝐴)
cantnfp1.s (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
cantnfp1.e (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfp1.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝑂𝑘)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
cantnfp1.k 𝐾 = OrdIso( E , (𝐺 supp ∅))
cantnfp1.m 𝑀 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐾𝑘)) ·o (𝐺‘(𝐾𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem3 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (((𝐴o 𝑋) ·o 𝑌) +o ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑘,𝑧,𝐵   𝐴,𝑘,𝑡,𝑧   𝑘,𝐹,𝑧   𝑆,𝑘,𝑡,𝑧   𝑘,𝐺,𝑡,𝑧   𝑘,𝐾,𝑡,𝑧   𝑘,𝑂,𝑧   𝜑,𝑘,𝑡,𝑧   𝑘,𝑌,𝑡,𝑧   𝑘,𝑋,𝑡,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑡,𝑘)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnfs.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 cantnfp1.o . . 3 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
5 cantnfp1.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑆)
6 cantnfp1.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
7 cantnfp1.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐴)
8 cantnfp1.s . . . 4 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
9 cantnfp1.f . . . 4 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
101, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9cantnfp1lem1 9614 . . 3 (𝜑𝐹𝑆)
11 cantnfp1.h . . 3 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝑂𝑘)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
121, 2, 3, 4, 10, 11cantnfval 9604 . 2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝑂))
13 cantnfp1.e . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
141, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 4cantnfp1lem2 9615 . . 3 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
1514fveq2d 6846 . 2 (𝜑 → (𝐻‘dom 𝑂) = (𝐻‘suc dom 𝑂))
161, 2, 3, 4, 10cantnfcl 9603 . . . . . . 7 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
1716simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
1814, 17eqeltrrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → suc dom 𝑂 ∈ ω)
19 peano2b 7819 . . . . 5 ( dom 𝑂 ∈ ω ↔ suc dom 𝑂 ∈ ω)
2018, 19sylibr 233 . . . 4 (𝜑 dom 𝑂 ∈ ω)
211, 2, 3, 4, 10, 11cantnfsuc 9606 . . . 4 ((𝜑 dom 𝑂 ∈ ω) → (𝐻‘suc dom 𝑂) = (((𝐴o (𝑂 dom 𝑂)) ·o (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂))) +o (𝐻 dom 𝑂)))
2220, 21mpdan 685 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘suc dom 𝑂) = (((𝐴o (𝑂 dom 𝑂)) ·o (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂))) +o (𝐻 dom 𝑂)))
23 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
2416simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
254oiiso 9473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)))
2623, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)))
27 isof1o 7268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)) → 𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
29 f1ocnv 6796 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝑂:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝑂)
30 f1of 6784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝑂𝑂:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝑂)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑂:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝑂)
32 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = 𝑌)
339, 32, 6, 7fvmptd3 6971 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
3413ne0d 4295 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
3533, 34eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
367adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑌𝐴)
371, 2, 3cantnfs 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
385, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
3938simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
4039ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐺𝑡) ∈ 𝐴)
4136, 40ifcld 4532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) ∈ 𝐴)
4241, 9fmptd 7062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
4342ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
44 0ex 5264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∅ ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∅ ∈ V)
46 elsuppfn 8102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
4743, 3, 45, 46syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
486, 35, 47mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
4931, 48ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ dom 𝑂)
50 elssuni 4898 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝑋) ∈ dom 𝑂 → (𝑂𝑋) ⊆ dom 𝑂)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝑋) ⊆ dom 𝑂)
524oicl 9465 . . . . . . . . . . . 12 Ord dom 𝑂
53 ordelon 6341 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord dom 𝑂 ∧ (𝑂𝑋) ∈ dom 𝑂) → (𝑂𝑋) ∈ On)
5452, 49, 53sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ On)
55 nnon 7808 . . . . . . . . . . . 12 ( dom 𝑂 ∈ ω → dom 𝑂 ∈ On)
5620, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 dom 𝑂 ∈ On)
57 ontri1 6351 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂𝑋) ∈ On ∧ dom 𝑂 ∈ On) → ((𝑂𝑋) ⊆ dom 𝑂 ↔ ¬ dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋)))
5854, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝑋) ⊆ dom 𝑂 ↔ ¬ dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋)))
5951, 58mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋))
60 sucidg 6398 . . . . . . . . . . . . . 14 ( dom 𝑂 ∈ ω → dom 𝑂 ∈ suc dom 𝑂)
6120, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 dom 𝑂 ∈ suc dom 𝑂)
6261, 14eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 dom 𝑂 ∈ dom 𝑂)
63 isorel 7271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)) ∧ ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 ∧ (𝑂𝑋) ∈ dom 𝑂)) → ( dom 𝑂 E (𝑂𝑋) ↔ (𝑂 dom 𝑂) E (𝑂‘(𝑂𝑋))))
6426, 62, 49, 63syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( dom 𝑂 E (𝑂𝑋) ↔ (𝑂 dom 𝑂) E (𝑂‘(𝑂𝑋))))
65 fvex 6855 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂𝑋) ∈ V
6665epeli 5539 . . . . . . . . . . 11 ( dom 𝑂 E (𝑂𝑋) ↔ dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋))
67 fvex 6855 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂‘(𝑂𝑋)) ∈ V
6867epeli 5539 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂 dom 𝑂) E (𝑂‘(𝑂𝑋)) ↔ (𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝑂‘(𝑂𝑋)))
6964, 66, 683bitr3g 312 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋) ↔ (𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝑂‘(𝑂𝑋))))
70 f1ocnvfv2 7223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝑂‘(𝑂𝑋)) = 𝑋)
7128, 48, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘(𝑂𝑋)) = 𝑋)
7271eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝑂‘(𝑂𝑋)) ↔ (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋))
7369, 72bitrd 278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋) ↔ (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋))
7459, 73mtbid 323 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋)
758sseld 3943 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐺 supp ∅) → (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋))
76 suppssdm 8108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
7776, 42fssdm 6688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
78 onss 7719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
793, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ⊆ On)
8077, 79sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
814oif 9466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂:dom 𝑂⟶(𝐹 supp ∅)
8281ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐹 supp ∅))
8362, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐹 supp ∅))
8480, 83sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) ∈ On)
85 eloni 6327 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ On → Ord (𝑂 dom 𝑂))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Ord (𝑂 dom 𝑂))
87 ordn2lp 6337 . . . . . . . . . . . 12 (Ord (𝑂 dom 𝑂) → ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
89 imnan 400 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)) ↔ ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
9088, 89sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
9175, 90syld 47 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐺 supp ∅) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
92 onelon 6342 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ On)
933, 6, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ On)
94 eloni 6327 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ On → Ord 𝑋)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Ord 𝑋)
96 ordirr 6335 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝑋 → ¬ 𝑋𝑋)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑋)
98 elsni 4603 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋} → (𝑂 dom 𝑂) = 𝑋)
9998eleq2d 2823 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋} → (𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂) ↔ 𝑋𝑋))
10099notbid 317 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋} → (¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂) ↔ ¬ 𝑋𝑋))
10197, 100syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋} → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
102 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 = 𝑋𝑘 = 𝑋))
103 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑘 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑘))
104102, 103ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑘 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
105 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘𝐵)
106105adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑘𝐵)
1077adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑌𝐴)
108 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺𝑘) ∈ V
109 ifexg 4535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌𝐴 ∧ (𝐺𝑘) ∈ V) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V)
110107, 108, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V)
1119, 104, 106, 110fvmptd3 6971 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
112 eldifn 4087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
114 velsn 4602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ {𝑋} ↔ 𝑘 = 𝑋)
115 elun2 4137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
116114, 115sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑋𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
117113, 116nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 = 𝑋)
118117iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
119 ssun1 4132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})
120 sscon 4098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) → (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
121119, 120ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))
122121sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
123 ssidd 3967 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐺 supp ∅))
12439, 123, 3, 13suppssr 8127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))) → (𝐺𝑘) = ∅)
125122, 124sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐺𝑘) = ∅)
126111, 118, 1253eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹𝑘) = ∅)
12742, 126suppss 8125 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
128127, 83sseldd 3945 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
129 elun 4108 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ↔ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐺 supp ∅) ∨ (𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋}))
130128, 129sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐺 supp ∅) ∨ (𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋}))
13191, 101, 130mpjaod 858 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂))
132 ioran 982 . . . . . . . 8 (¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)) ↔ (¬ (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
13374, 131, 132sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
134 ordtri3 6353 . . . . . . . 8 ((Ord (𝑂 dom 𝑂) ∧ Ord 𝑋) → ((𝑂 dom 𝑂) = 𝑋 ↔ ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂))))
13586, 95, 134syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) = 𝑋 ↔ ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂))))
136133, 135mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) = 𝑋)
137136oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴o (𝑂 dom 𝑂)) = (𝐴o 𝑋))
138136fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂)) = (𝐹𝑋))
139138, 33eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂)) = 𝑌)
140137, 139oveq12d 7375 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴o (𝑂 dom 𝑂)) ·o (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂))) = ((𝐴o 𝑋) ·o 𝑌))
141 nnord 7810 . . . . . . . . 9 ( dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
14220, 141syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Ord dom 𝑂)
143 sssucid 6397 . . . . . . . . . 10 dom 𝑂 ⊆ suc dom 𝑂
144143, 14sseqtrrid 3997 . . . . . . . . 9 (𝜑 dom 𝑂 ⊆ dom 𝑂)
145 f1ofo 6791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝑂:dom 𝑂onto→(𝐹 supp ∅))
14628, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑂:dom 𝑂onto→(𝐹 supp ∅))
147 foima 6761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂:dom 𝑂onto→(𝐹 supp ∅) → (𝑂 “ dom 𝑂) = (𝐹 supp ∅))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂 “ dom 𝑂) = (𝐹 supp ∅))
149 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂:dom 𝑂⟶(𝐹 supp ∅) → 𝑂 Fn dom 𝑂)
15081, 149ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 Fn dom 𝑂
151 fnsnfv 6920 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑂 Fn dom 𝑂 dom 𝑂 ∈ dom 𝑂) → {(𝑂 dom 𝑂)} = (𝑂 “ { dom 𝑂}))
152150, 62, 151sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {(𝑂 dom 𝑂)} = (𝑂 “ { dom 𝑂}))
153136sneqd 4598 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {(𝑂 dom 𝑂)} = {𝑋})
154152, 153eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂 “ { dom 𝑂}) = {𝑋})
155148, 154difeq12d 4083 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂 “ dom 𝑂) ∖ (𝑂 “ { dom 𝑂})) = ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}))
156 ordirr 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ord dom 𝑂 → ¬ dom 𝑂 dom 𝑂)
157142, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 dom 𝑂)
158 disjsn 4672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( dom 𝑂 ∩ { dom 𝑂}) = ∅ ↔ ¬ dom 𝑂 dom 𝑂)
159157, 158sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ( dom 𝑂 ∩ { dom 𝑂}) = ∅)
160 disj3 4413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( dom 𝑂 ∩ { dom 𝑂}) = ∅ ↔ dom 𝑂 = ( dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂}))
161159, 160sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 dom 𝑂 = ( dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂}))
162 difun2 4440 . . . . . . . . . . . . . 14 (( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂}) ∖ { dom 𝑂}) = ( dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂})
163161, 162eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 dom 𝑂 = (( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂}) ∖ { dom 𝑂}))
164 df-suc 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15 suc dom 𝑂 = ( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂})
16514, 164eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑂 = ( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂}))
166165difeq1d 4081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂}) = (( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂}) ∖ { dom 𝑂}))
167163, 166eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 dom 𝑂 = (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂}))
168167imaeq2d 6013 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) = (𝑂 “ (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂})))
169 dff1o3 6790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ↔ (𝑂:dom 𝑂onto→(𝐹 supp ∅) ∧ Fun 𝑂))
170169simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → Fun 𝑂)
171 imadif 6585 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑂 → (𝑂 “ (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂})) = ((𝑂 “ dom 𝑂) ∖ (𝑂 “ { dom 𝑂})))
17228, 170, 1713syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂 “ (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂})) = ((𝑂 “ dom 𝑂) ∖ (𝑂 “ { dom 𝑂})))
173168, 172eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) = ((𝑂 “ dom 𝑂) ∖ (𝑂 “ { dom 𝑂})))
1748, 97ssneldd 3947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
175 disjsn 4672 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 supp ∅) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
176174, 175sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐺 supp ∅) ∩ {𝑋}) = ∅)
177 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺𝑋) ∈ V
178 dif1o 8446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o) ↔ ((𝐺𝑋) ∈ V ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅))
179177, 178mpbiran 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o) ↔ (𝐺𝑋) ≠ ∅)
18039ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
181 elsuppfn 8102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅)))
182180, 3, 45, 181syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅)))
183179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o) ↔ (𝐺𝑋) ≠ ∅))
184183bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ≠ ∅ ↔ (𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o)))
185184anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o))))
186182, 185bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o))))
1878sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) → 𝑋𝑋))
188186, 187sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o)) → 𝑋𝑋))
1896, 188mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1o) → 𝑋𝑋))
190179, 189biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ≠ ∅ → 𝑋𝑋))
191190necon1bd 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (¬ 𝑋𝑋 → (𝐺𝑋) = ∅))
19297, 191mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ∅)
193192adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝐺𝑋) = ∅)
194 fveqeq2 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑋 → ((𝐺𝑘) = ∅ ↔ (𝐺𝑋) = ∅))
195193, 194syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝑘 = 𝑋 → (𝐺𝑘) = ∅))
196 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅)) → 𝑘𝐵)
197196adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → 𝑘𝐵)
1987adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → 𝑌𝐴)
199198, 108, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V)
2009, 104, 197, 199fvmptd3 6971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
201 ssidd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ (𝐹 supp ∅))
20242, 201, 3, 13suppssr 8127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝐹𝑘) = ∅)
203200, 202eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = ∅)
204 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 = 𝑋 → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
205204eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 = 𝑋 → (if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = ∅ ↔ (𝐺𝑘) = ∅))
206203, 205syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (¬ 𝑘 = 𝑋 → (𝐺𝑘) = ∅))
207195, 206pm2.61d 179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝐺𝑘) = ∅)
20839, 207suppss 8125 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐹 supp ∅))
209 reldisj 4411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐹 supp ∅) → (((𝐺 supp ∅) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋})))
210208, 209syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐺 supp ∅) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋})))
211176, 210mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}))
212 uncom 4113 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ (𝐺 supp ∅))
213127, 212sseqtrdi 3994 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ ({𝑋} ∪ (𝐺 supp ∅)))
214 ssundif 4445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 supp ∅) ⊆ ({𝑋} ∪ (𝐺 supp ∅)) ↔ ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}) ⊆ (𝐺 supp ∅))
215213, 214sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}) ⊆ (𝐺 supp ∅))
216211, 215eqssd 3961 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) = ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}))
217155, 173, 2163eqtr4rd 2787 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) = (𝑂 dom 𝑂))
218 isores3 7280 . . . . . . . . 9 ((𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)) ∧ dom 𝑂 ⊆ dom 𝑂 ∧ (𝐺 supp ∅) = (𝑂 dom 𝑂)) → (𝑂 dom 𝑂) Isom E , E ( dom 𝑂, (𝐺 supp ∅)))
21926, 144, 217, 218syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) Isom E , E ( dom 𝑂, (𝐺 supp ∅)))
220 cantnfp1.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = OrdIso( E , (𝐺 supp ∅))
2211, 2, 3, 220, 5cantnfcl 9603 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( E We (𝐺 supp ∅) ∧ dom 𝐾 ∈ ω))
222221simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → E We (𝐺 supp ∅))
223 epse 5616 . . . . . . . . 9 E Se (𝐺 supp ∅)
224220oieu 9475 . . . . . . . . 9 (( E We (𝐺 supp ∅) ∧ E Se (𝐺 supp ∅)) → ((Ord dom 𝑂 ∧ (𝑂 dom 𝑂) Isom E , E ( dom 𝑂, (𝐺 supp ∅))) ↔ ( dom 𝑂 = dom 𝐾 ∧ (𝑂 dom 𝑂) = 𝐾)))
225222, 223, 224sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Ord dom 𝑂 ∧ (𝑂 dom 𝑂) Isom E , E ( dom 𝑂, (𝐺 supp ∅))) ↔ ( dom 𝑂 = dom 𝐾 ∧ (𝑂 dom 𝑂) = 𝐾)))
226142, 219, 225mpbi2and 710 . . . . . . 7 (𝜑 → ( dom 𝑂 = dom 𝐾 ∧ (𝑂 dom 𝑂) = 𝐾))
227226simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 dom 𝑂 = dom 𝐾)
228227fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 dom 𝑂) = (𝑀‘dom 𝐾))
229 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝑂 ↔ ∅ ∈ dom 𝑂))
230 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝐻𝑥) = (𝐻‘∅))
231 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = (𝑀‘∅))
232 cantnfp1.m . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐾𝑘)) ·o (𝐺‘(𝐾𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
233232seqom0g 8402 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ V → (𝑀‘∅) = ∅)
23444, 233ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀‘∅) = ∅
235231, 234eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = ∅)
236230, 235eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝐻𝑥) = (𝑀𝑥) ↔ (𝐻‘∅) = ∅))
237229, 236imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥)) ↔ (∅ ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘∅) = ∅)))
238237imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘∅) = ∅))))
239 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑂𝑦 ∈ dom 𝑂))
240 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
241 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑦))
242240, 241eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) = (𝑀𝑥) ↔ (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)))
243239, 242imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦))))
244243imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)))))
245 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂))
246 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘suc 𝑦))
247 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑀𝑥) = (𝑀‘suc 𝑦))
248246, 247eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐻𝑥) = (𝑀𝑥) ↔ (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦)))
249245, 248imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥)) ↔ (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
250249imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥))) ↔ (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦)))))
251 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = dom 𝑂 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 dom 𝑂 ∈ dom 𝑂))
252 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝐻 dom 𝑂))
253 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = dom 𝑂 → (𝑀𝑥) = (𝑀 dom 𝑂))
254252, 253eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = dom 𝑂 → ((𝐻𝑥) = (𝑀𝑥) ↔ (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂)))
255251, 254imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝑂 → ((𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥)) ↔ ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂))))
256255imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝑂 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥))) ↔ (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂)))))
25711seqom0g 8402 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘∅) = ∅)
258257a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∅ ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘∅) = ∅))
259 nnord 7810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
26017, 259syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Ord dom 𝑂)
261 ordtr 6331 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ord dom 𝑂 → Tr dom 𝑂)
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Tr dom 𝑂)
263 trsuc 6404 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Tr dom 𝑂 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ dom 𝑂)
264262, 263sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ dom 𝑂)
265264ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂𝑦 ∈ dom 𝑂))
266265imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦))))
267 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻𝑦) = (𝑀𝑦) → (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝐻𝑦)) = (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝑀𝑦)))
268 elnn 7813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ dom 𝑂 ∧ dom 𝑂 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
269268ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom 𝑂 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ ω)
27017, 264, 269syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ ω)
2711, 2, 3, 4, 10, 11cantnfsuc 9606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
272270, 271syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
2731, 2, 3, 220, 5, 232cantnfsuc 9606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝑀‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐾𝑦)) ·o (𝐺‘(𝐾𝑦))) +o (𝑀𝑦)))
274270, 273syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝑀‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐾𝑦)) ·o (𝐺‘(𝐾𝑦))) +o (𝑀𝑦)))
275226simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) = 𝐾)
276275fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂)‘𝑦) = (𝐾𝑦))
277276adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝑂 dom 𝑂)‘𝑦) = (𝐾𝑦))
27814eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 ↔ suc 𝑦 ∈ suc dom 𝑂))
279278biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → suc 𝑦 ∈ suc dom 𝑂)
280142adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → Ord dom 𝑂)
281 ordsucelsuc 7757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Ord dom 𝑂 → (𝑦 dom 𝑂 ↔ suc 𝑦 ∈ suc dom 𝑂))
282280, 281syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝑦 dom 𝑂 ↔ suc 𝑦 ∈ suc dom 𝑂))
283279, 282mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 dom 𝑂)
284283fvresd 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝑂 dom 𝑂)‘𝑦) = (𝑂𝑦))
285277, 284eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐾𝑦) = (𝑂𝑦))
286285oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐴o (𝐾𝑦)) = (𝐴o (𝑂𝑦)))
287 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 = (𝐾𝑦) → (𝑡 = 𝑋 ↔ (𝐾𝑦) = 𝑋))
288 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 = (𝐾𝑦) → (𝐺𝑡) = (𝐺‘(𝐾𝑦)))
289287, 288ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 = (𝐾𝑦) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))))
290 suppssdm 8108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺 supp ∅) ⊆ dom 𝐺
291290, 39fssdm 6688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝐵)
292291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝐵)
293227adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → dom 𝑂 = dom 𝐾)
294283, 293eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ dom 𝐾)
295220oif 9466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐾:dom 𝐾⟶(𝐺 supp ∅)
296295ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ dom 𝐾 → (𝐾𝑦) ∈ (𝐺 supp ∅))
297294, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐾𝑦) ∈ (𝐺 supp ∅))
298292, 297sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐾𝑦) ∈ 𝐵)
2997adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑌𝐴)
300 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺‘(𝐾𝑦)) ∈ V
301 ifexg 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑌𝐴 ∧ (𝐺‘(𝐾𝑦)) ∈ V) → if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))) ∈ V)
302299, 300, 301sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))) ∈ V)
3039, 289, 298, 302fvmptd3 6971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐹‘(𝐾𝑦)) = if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))))
304285fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐹‘(𝐾𝑦)) = (𝐹‘(𝑂𝑦)))
305174adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
306 nelneq 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾𝑦) ∈ (𝐺 supp ∅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅)) → ¬ (𝐾𝑦) = 𝑋)
307297, 305, 306syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ¬ (𝐾𝑦) = 𝑋)
308307iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))) = (𝐺‘(𝐾𝑦)))
309303, 304, 3083eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐺‘(𝐾𝑦)) = (𝐹‘(𝑂𝑦)))
310286, 309oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝐴o (𝐾𝑦)) ·o (𝐺‘(𝐾𝑦))) = ((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))))
311310oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (((𝐴o (𝐾𝑦)) ·o (𝐺‘(𝐾𝑦))) +o (𝑀𝑦)) = (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝑀𝑦)))
312274, 311eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝑀‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝑀𝑦)))
313272, 312eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦) ↔ (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝐻𝑦)) = (((𝐴o (𝑂𝑦)) ·o (𝐹‘(𝑂𝑦))) +o (𝑀𝑦))))
314267, 313syl5ibr 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝐻𝑦) = (𝑀𝑦) → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦)))
315314ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → ((𝐻𝑦) = (𝑀𝑦) → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
316315a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
317266, 316syld 47 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
318317a2i 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑 → (𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦))) → (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
319318a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 → (𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦))) → (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦)))))
320238, 244, 250, 256, 258, 319finds 7835 . . . . . . 7 ( dom 𝑂 ∈ ω → (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂))))
32120, 320mpcom 38 . . . . . 6 (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂)))
32262, 321mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂))
3231, 2, 3, 220, 5, 232cantnfval 9604 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺) = (𝑀‘dom 𝐾))
324228, 322, 3233eqtr4d 2786 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 dom 𝑂) = ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺))
325140, 324oveq12d 7375 . . 3 (𝜑 → (((𝐴o (𝑂 dom 𝑂)) ·o (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂))) +o (𝐻 dom 𝑂)) = (((𝐴o 𝑋) ·o 𝑌) +o ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺)))
32622, 325eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (𝐻‘suc dom 𝑂) = (((𝐴o 𝑋) ·o 𝑌) +o ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺)))
32712, 15, 3263eqtrd 2780 1 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (((𝐴o 𝑋) ·o 𝑌) +o ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188  Tr wtr 5222   E cep 5536   Se wse 5586   We wwe 5587  ccnv 5632  dom cdm 5633  cres 5635  cima 5636  Ord word 6316  Oncon0 6317  suc csuc 6319  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  cmpo 7359  ωcom 7802   supp csupp 8092  seqωcseqom 8393  1oc1o 8405   +o coa 8409   ·o comu 8410  o coe 8411   finSupp cfsupp 9305  OrdIsocoi 9445   CNF ccnf 9597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-seqom 8394  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-cnf 9598
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