Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  asindmre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asindmre 35012
Description: Real part of domain of differentiability of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
Assertion
Ref Expression
asindmre (𝐷 ∩ ℝ) = (-1(,)1)

Proof of Theorem asindmre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 un12 4118 . . . . 5 ((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((-∞(,]-1) ∪ ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞)))
2 neg1rr 11727 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
32rexri 10673 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ*
4 1xr 10674 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
5 pnfxr 10669 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
63, 4, 53pm3.2i 1335 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
7 neg1lt0 11729 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
8 0lt1 11136 . . . . . . . . . 10 0 < 1
9 0re 10617 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
10 1re 10615 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
112, 9, 10lttri 10740 . . . . . . . . . 10 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
127, 8, 11mp2an 690 . . . . . . . . 9 -1 < 1
13 ltpnf 12490 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 < +∞
1512, 14pm3.2i 473 . . . . . . . 8 (-1 < 1 ∧ 1 < +∞)
16 df-ioo 12717 . . . . . . . . 9 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
17 df-ico 12719 . . . . . . . . 9 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
18 xrlenlt 10680 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (1 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 1))
19 xrlttr 12508 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 1 ∧ 1 < +∞) → 𝑤 < +∞))
20 xrltletr 12525 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-1 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → -1 < 𝑤))
2116, 17, 18, 16, 19, 20ixxun 12729 . . . . . . . 8 (((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-1 < 1 ∧ 1 < +∞)) → ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞)) = (-1(,)+∞))
226, 15, 21mp2an 690 . . . . . . 7 ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞)) = (-1(,)+∞)
2322uneq2i 4111 . . . . . 6 ((-∞(,]-1) ∪ ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞))) = ((-∞(,]-1) ∪ (-1(,)+∞))
24 mnfxr 10672 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
2524, 3, 53pm3.2i 1335 . . . . . . 7 (-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
26 mnflt 12493 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
27 ltpnf 12490 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℝ → -1 < +∞)
2826, 27jca 514 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ → (-∞ < -1 ∧ -1 < +∞))
292, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (-∞ < -1 ∧ -1 < +∞)
30 df-ioc 12718 . . . . . . . 8 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
31 xrltnle 10682 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-1 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -1))
32 xrlelttr 12524 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ -1 ∧ -1 < +∞) → 𝑤 < +∞))
33 xrlttr 12508 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < -1 ∧ -1 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
3430, 16, 31, 16, 32, 33ixxun 12729 . . . . . . 7 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < -1 ∧ -1 < +∞)) → ((-∞(,]-1) ∪ (-1(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
3525, 29, 34mp2an 690 . . . . . 6 ((-∞(,]-1) ∪ (-1(,)+∞)) = (-∞(,)+∞)
3623, 35eqtri 2843 . . . . 5 ((-∞(,]-1) ∪ ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞))) = (-∞(,)+∞)
37 ioomax 12787 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
381, 36, 373eqtri 2847 . . . 4 ((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ℝ
3938difeq1i 4070 . . 3 (((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (ℝ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
40 difun2 4401 . . 3 (((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
41 ax-resscn 10568 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
42 difin2 4240 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → (ℝ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ))
4341, 42ax-mp 5 . . 3 (ℝ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
4439, 40, 433eqtr3ri 2852 . 2 ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
45 dvasin.d . . 3 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4645ineq1i 4159 . 2 (𝐷 ∩ ℝ) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
47 incom 4152 . . . . 5 ((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ((-∞(,]-1) ∩ (-1(,)1))
4830, 16, 31ixxdisj 12728 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((-∞(,]-1) ∩ (-1(,)1)) = ∅)
4924, 3, 4, 48mp3an 1457 . . . . 5 ((-∞(,]-1) ∩ (-1(,)1)) = ∅
5047, 49eqtri 2843 . . . 4 ((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅
5116, 17, 18ixxdisj 12728 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅)
523, 4, 5, 51mp3an 1457 . . . 4 ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅
5350, 52pm3.2i 473 . . 3 (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅ ∧ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅)
54 un00 4366 . . . 4 ((((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅ ∧ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅) ↔ (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) ∪ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞))) = ∅)
55 indi 4224 . . . . 5 ((-1(,)1) ∩ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) ∪ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)))
5655eqeq1i 2825 . . . 4 (((-1(,)1) ∩ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ∅ ↔ (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) ∪ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞))) = ∅)
57 disj3 4375 . . . 4 (((-1(,)1) ∩ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ∅ ↔ (-1(,)1) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))
5854, 56, 573bitr2i 301 . . 3 ((((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅ ∧ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅) ↔ (-1(,)1) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))
5953, 58mpbi 232 . 2 (-1(,)1) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
6044, 46, 593eqtr4i 2853 1 (𝐷 ∩ ℝ) = (-1(,)1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  cdif 3906  cun 3907  cin 3908  wss 3909  c0 4265   class class class wbr 5038  (class class class)co 7129  cc 10509  cr 10510  0cc0 10511  1c1 10512  +∞cpnf 10646  -∞cmnf 10647  *cxr 10648   < clt 10649  cle 10650  -cneg 10845  (,)cioo 12713  (,]cioc 12714  [,)cico 12715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-ioo 12717  df-ioc 12718  df-ico 12719
This theorem is referenced by:  dvasin  35013  dvreasin  35015  dvreacos  35016
  Copyright terms: Public domain W3C validator