Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  asindmre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asindmre 37710
Description: Real part of domain of differentiability of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
Assertion
Ref Expression
asindmre (𝐷 ∩ ℝ) = (-1(,)1)

Proof of Theorem asindmre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 un12 4173 . . . . 5 ((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((-∞(,]-1) ∪ ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞)))
2 neg1rr 12381 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
32rexri 11319 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ*
4 1xr 11320 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
5 pnfxr 11315 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
63, 4, 53pm3.2i 1340 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
7 neg1lt0 12383 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
8 0lt1 11785 . . . . . . . . . 10 0 < 1
9 0re 11263 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
10 1re 11261 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
112, 9, 10lttri 11387 . . . . . . . . . 10 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
127, 8, 11mp2an 692 . . . . . . . . 9 -1 < 1
13 ltpnf 13162 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 < +∞
1512, 14pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (-1 < 1 ∧ 1 < +∞)
16 df-ioo 13391 . . . . . . . . 9 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
17 df-ico 13393 . . . . . . . . 9 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
18 xrlenlt 11326 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (1 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 1))
19 xrlttr 13182 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 1 ∧ 1 < +∞) → 𝑤 < +∞))
20 xrltletr 13199 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-1 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → -1 < 𝑤))
2116, 17, 18, 16, 19, 20ixxun 13403 . . . . . . . 8 (((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-1 < 1 ∧ 1 < +∞)) → ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞)) = (-1(,)+∞))
226, 15, 21mp2an 692 . . . . . . 7 ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞)) = (-1(,)+∞)
2322uneq2i 4165 . . . . . 6 ((-∞(,]-1) ∪ ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞))) = ((-∞(,]-1) ∪ (-1(,)+∞))
24 mnfxr 11318 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
2524, 3, 53pm3.2i 1340 . . . . . . 7 (-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
26 mnflt 13165 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
27 ltpnf 13162 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℝ → -1 < +∞)
2826, 27jca 511 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ → (-∞ < -1 ∧ -1 < +∞))
292, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (-∞ < -1 ∧ -1 < +∞)
30 df-ioc 13392 . . . . . . . 8 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
31 xrltnle 11328 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-1 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -1))
32 xrlelttr 13198 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ -1 ∧ -1 < +∞) → 𝑤 < +∞))
33 xrlttr 13182 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < -1 ∧ -1 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
3430, 16, 31, 16, 32, 33ixxun 13403 . . . . . . 7 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < -1 ∧ -1 < +∞)) → ((-∞(,]-1) ∪ (-1(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
3525, 29, 34mp2an 692 . . . . . 6 ((-∞(,]-1) ∪ (-1(,)+∞)) = (-∞(,)+∞)
3623, 35eqtri 2765 . . . . 5 ((-∞(,]-1) ∪ ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞))) = (-∞(,)+∞)
37 ioomax 13462 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
381, 36, 373eqtri 2769 . . . 4 ((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ℝ
3938difeq1i 4122 . . 3 (((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (ℝ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
40 difun2 4481 . . 3 (((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
41 ax-resscn 11212 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
42 difin2 4301 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → (ℝ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ))
4341, 42ax-mp 5 . . 3 (ℝ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
4439, 40, 433eqtr3ri 2774 . 2 ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
45 dvasin.d . . 3 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4645ineq1i 4216 . 2 (𝐷 ∩ ℝ) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
47 incom 4209 . . . . 5 ((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ((-∞(,]-1) ∩ (-1(,)1))
4830, 16, 31ixxdisj 13402 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((-∞(,]-1) ∩ (-1(,)1)) = ∅)
4924, 3, 4, 48mp3an 1463 . . . . 5 ((-∞(,]-1) ∩ (-1(,)1)) = ∅
5047, 49eqtri 2765 . . . 4 ((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅
5116, 17, 18ixxdisj 13402 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅)
523, 4, 5, 51mp3an 1463 . . . 4 ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅
5350, 52pm3.2i 470 . . 3 (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅ ∧ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅)
54 un00 4445 . . . 4 ((((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅ ∧ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅) ↔ (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) ∪ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞))) = ∅)
55 indi 4284 . . . . 5 ((-1(,)1) ∩ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) ∪ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)))
5655eqeq1i 2742 . . . 4 (((-1(,)1) ∩ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ∅ ↔ (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) ∪ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞))) = ∅)
57 disj3 4454 . . . 4 (((-1(,)1) ∩ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ∅ ↔ (-1(,)1) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))
5854, 56, 573bitr2i 299 . . 3 ((((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅ ∧ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅) ↔ (-1(,)1) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))
5953, 58mpbi 230 . 2 (-1(,)1) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
6044, 46, 593eqtr4i 2775 1 (𝐷 ∩ ℝ) = (-1(,)1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,)cico 13389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393
This theorem is referenced by:  dvasin  37711  dvreasin  37713  dvreacos  37714
  Copyright terms: Public domain W3C validator