Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  asindmre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asindmre 36875
Description: Real part of domain of differentiability of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
Assertion
Ref Expression
asindmre (𝐷 ∩ ℝ) = (-1(,)1)

Proof of Theorem asindmre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 un12 4168 . . . . 5 ((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((-∞(,]-1) ∪ ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞)))
2 neg1rr 12332 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
32rexri 11277 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ*
4 1xr 11278 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
5 pnfxr 11273 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
63, 4, 53pm3.2i 1338 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
7 neg1lt0 12334 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
8 0lt1 11741 . . . . . . . . . 10 0 < 1
9 0re 11221 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
10 1re 11219 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
112, 9, 10lttri 11345 . . . . . . . . . 10 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
127, 8, 11mp2an 689 . . . . . . . . 9 -1 < 1
13 ltpnf 13105 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 < +∞
1512, 14pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (-1 < 1 ∧ 1 < +∞)
16 df-ioo 13333 . . . . . . . . 9 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
17 df-ico 13335 . . . . . . . . 9 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
18 xrlenlt 11284 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (1 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 1))
19 xrlttr 13124 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 1 ∧ 1 < +∞) → 𝑤 < +∞))
20 xrltletr 13141 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-1 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → -1 < 𝑤))
2116, 17, 18, 16, 19, 20ixxun 13345 . . . . . . . 8 (((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-1 < 1 ∧ 1 < +∞)) → ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞)) = (-1(,)+∞))
226, 15, 21mp2an 689 . . . . . . 7 ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞)) = (-1(,)+∞)
2322uneq2i 4161 . . . . . 6 ((-∞(,]-1) ∪ ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞))) = ((-∞(,]-1) ∪ (-1(,)+∞))
24 mnfxr 11276 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
2524, 3, 53pm3.2i 1338 . . . . . . 7 (-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
26 mnflt 13108 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
27 ltpnf 13105 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℝ → -1 < +∞)
2826, 27jca 511 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ → (-∞ < -1 ∧ -1 < +∞))
292, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (-∞ < -1 ∧ -1 < +∞)
30 df-ioc 13334 . . . . . . . 8 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
31 xrltnle 11286 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-1 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -1))
32 xrlelttr 13140 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ -1 ∧ -1 < +∞) → 𝑤 < +∞))
33 xrlttr 13124 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < -1 ∧ -1 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
3430, 16, 31, 16, 32, 33ixxun 13345 . . . . . . 7 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < -1 ∧ -1 < +∞)) → ((-∞(,]-1) ∪ (-1(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
3525, 29, 34mp2an 689 . . . . . 6 ((-∞(,]-1) ∪ (-1(,)+∞)) = (-∞(,)+∞)
3623, 35eqtri 2759 . . . . 5 ((-∞(,]-1) ∪ ((-1(,)1) ∪ (1[,)+∞))) = (-∞(,)+∞)
37 ioomax 13404 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
381, 36, 373eqtri 2763 . . . 4 ((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ℝ
3938difeq1i 4119 . . 3 (((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (ℝ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
40 difun2 4481 . . 3 (((-1(,)1) ∪ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
41 ax-resscn 11170 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
42 difin2 4292 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → (ℝ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ))
4341, 42ax-mp 5 . . 3 (ℝ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
4439, 40, 433eqtr3ri 2768 . 2 ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
45 dvasin.d . . 3 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4645ineq1i 4209 . 2 (𝐷 ∩ ℝ) = ((ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∩ ℝ)
47 incom 4202 . . . . 5 ((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ((-∞(,]-1) ∩ (-1(,)1))
4830, 16, 31ixxdisj 13344 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((-∞(,]-1) ∩ (-1(,)1)) = ∅)
4924, 3, 4, 48mp3an 1460 . . . . 5 ((-∞(,]-1) ∩ (-1(,)1)) = ∅
5047, 49eqtri 2759 . . . 4 ((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅
5116, 17, 18ixxdisj 13344 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅)
523, 4, 5, 51mp3an 1460 . . . 4 ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅
5350, 52pm3.2i 470 . . 3 (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅ ∧ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅)
54 un00 4443 . . . 4 ((((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅ ∧ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅) ↔ (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) ∪ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞))) = ∅)
55 indi 4274 . . . . 5 ((-1(,)1) ∩ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) ∪ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)))
5655eqeq1i 2736 . . . 4 (((-1(,)1) ∩ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ∅ ↔ (((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) ∪ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞))) = ∅)
57 disj3 4454 . . . 4 (((-1(,)1) ∩ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) = ∅ ↔ (-1(,)1) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))
5854, 56, 573bitr2i 298 . . 3 ((((-1(,)1) ∩ (-∞(,]-1)) = ∅ ∧ ((-1(,)1) ∩ (1[,)+∞)) = ∅) ↔ (-1(,)1) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))))
5953, 58mpbi 229 . 2 (-1(,)1) = ((-1(,)1) ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
6044, 46, 593eqtr4i 2769 1 (𝐷 ∩ ℝ) = (-1(,)1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  cc 11111  cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  *cxr 11252   < clt 11253  cle 11254  -cneg 11450  (,)cioo 13329  (,]cioc 13330  [,)cico 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335
This theorem is referenced by:  dvasin  36876  dvreasin  36878  dvreacos  36879
  Copyright terms: Public domain W3C validator