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Theorem ballotlemfp1 33131
Description: If the 𝐽 th ballot is for A, (𝐹𝐶) goes up 1. If the 𝐽 th ballot is for B, (𝐹𝐶) goes down 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotlemfp1.c (𝜑𝐶𝑂)
ballotlemfp1.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
ballotlemfp1 (𝜑 → ((¬ 𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1)) ∧ (𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐽   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐)   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfp1
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . . . . 6 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 ballotlemfp1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑂)
7 ballotlemfp1.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
87nnzd 12533 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ballotlemfval 33129 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
109adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
11 fzfi 13884 . . . . . . . . . 10 (1...(𝐽 − 1)) ∈ Fin
12 inss1 4193 . . . . . . . . . 10 ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ⊆ (1...(𝐽 − 1))
13 ssfi 9124 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝐽 − 1)) ∈ Fin ∧ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ⊆ (1...(𝐽 − 1))) → ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
1411, 12, 13mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin
15 hashcl 14263 . . . . . . . . 9 (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0
1716nn0cni 12432 . . . . . . 7 (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℂ
1817a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℂ)
19 diffi 9130 . . . . . . . . . 10 ((1...(𝐽 − 1)) ∈ Fin → ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
2011, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin
21 hashcl 14263 . . . . . . . . 9 (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0
2322nn0cni 12432 . . . . . . 7 (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℂ)
25 1cnd 11157 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → 1 ∈ ℂ)
2618, 24, 25subsub4d 11550 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) − 1) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1)))
27 1zzd 12541 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
288, 27zsubcld 12619 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 28ballotlemfval 33129 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))))
3029adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))))
3130oveq1d 7377 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1) = (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) − 1))
32 elnnuz 12814 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℕ ↔ 𝐽 ∈ (ℤ‘1))
337, 32sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘1))
34 fzspl 31735 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝐽) = ((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}))
3534ineq1d 4176 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}) ∩ 𝐶))
36 indir 4240 . . . . . . . . . . 11 (((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))
3735, 36eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)))
3833, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)))
3938adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)))
40 disjsn 4677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∩ {𝐽}) = ∅ ↔ ¬ 𝐽𝐶)
41 incom 4166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∩ {𝐽}) = ({𝐽} ∩ 𝐶)
4241eqeq1i 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∩ {𝐽}) = ∅ ↔ ({𝐽} ∩ 𝐶) = ∅)
4340, 42sylbb1 236 . . . . . . . . . . 11 𝐽𝐶 → ({𝐽} ∩ 𝐶) = ∅)
4443adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ({𝐽} ∩ 𝐶) = ∅)
4544uneq2d 4128 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ∅))
46 un0 4355 . . . . . . . . 9 (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ∅) = ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)
4745, 46eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)) = ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶))
4839, 47eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶))
4948fveq2d 6851 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) = (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)))
5034difeq1d 4086 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}) ∖ 𝐶))
51 difundir 4245 . . . . . . . . . . 11 (((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))
5250, 51eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶)))
5333, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶)))
54 disj3 4418 . . . . . . . . . . . 12 (({𝐽} ∩ 𝐶) = ∅ ↔ {𝐽} = ({𝐽} ∖ 𝐶))
5543, 54sylib 217 . . . . . . . . . . 11 𝐽𝐶 → {𝐽} = ({𝐽} ∖ 𝐶))
5655eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 𝐽𝐶 → ({𝐽} ∖ 𝐶) = {𝐽})
5756uneq2d 4128 . . . . . . . . 9 𝐽𝐶 → (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶)) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽}))
5853, 57sylan9eq 2797 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽}))
5958fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽})))
608adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → 𝐽 ∈ ℤ)
61 uzid 12785 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ (ℤ𝐽))
62 uznfz 13531 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (ℤ𝐽) → ¬ 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
638, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
6463adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ¬ 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
65 difss 4096 . . . . . . . . . . 11 ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ⊆ (1...(𝐽 − 1))
6665sseli 3945 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) → 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
6764, 66nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))
68 ssfi 9124 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝐽 − 1)) ∈ Fin ∧ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ⊆ (1...(𝐽 − 1))) → ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
6911, 65, 68mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin
7067, 69jctil 521 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin ∧ ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)))
71 hashunsng 14299 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℤ → ((((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin ∧ ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽})) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1)))
7260, 70, 71sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽})) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1))
7359, 72eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1))
7449, 73oveq12d 7380 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1)))
7526, 31, 743eqtr4rd 2788 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1))
7610, 75eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1))
7776ex 414 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1)))
789adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
7917a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℂ)
80 1cnd 11157 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → 1 ∈ ℂ)
8123a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℂ)
8279, 80, 81addsubd 11540 . . . . 5 ((𝜑𝐽𝐶) → (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) = (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) + 1))
8338fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))))
8483adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))))
85 snssi 4773 . . . . . . . . . . 11 (𝐽𝐶 → {𝐽} ⊆ 𝐶)
86 df-ss 3932 . . . . . . . . . . 11 ({𝐽} ⊆ 𝐶 ↔ ({𝐽} ∩ 𝐶) = {𝐽})
8785, 86sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐽𝐶 → ({𝐽} ∩ 𝐶) = {𝐽})
8887uneq2d 4128 . . . . . . . . 9 (𝐽𝐶 → (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽}))
8988fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝐽𝐶 → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽})))
9089adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽})))
91 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽𝐶) → 𝐽𝐶)
928adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽𝐶) → 𝐽 ∈ ℤ)
9392, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽𝐶) → ¬ 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
9412sseli 3945 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) → 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
9593, 94nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽𝐶) → ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶))
9695, 14jctil 521 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin ∧ ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)))
97 hashunsng 14299 . . . . . . . 8 (𝐽𝐶 → ((((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin ∧ ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽})) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1)))
9891, 96, 97sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽})) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1))
9984, 90, 983eqtrd 2781 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1))
10053fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))))
101100adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))))
102 difin2 4256 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐽} ⊆ 𝐶 → ({𝐽} ∖ 𝐶) = ((𝐶𝐶) ∩ {𝐽}))
103 difid 4335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶𝐶) = ∅
104103ineq1i 4173 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝐶) ∩ {𝐽}) = (∅ ∩ {𝐽})
105 0in 4358 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∩ {𝐽}) = ∅
106104, 105eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝐶) ∩ {𝐽}) = ∅
107102, 106eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 ({𝐽} ⊆ 𝐶 → ({𝐽} ∖ 𝐶) = ∅)
10885, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐽𝐶 → ({𝐽} ∖ 𝐶) = ∅)
109108uneq2d 4128 . . . . . . . . 9 (𝐽𝐶 → (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶)) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅))
110109fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝐽𝐶 → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅)))
111110adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅)))
112 un0 4355 . . . . . . . . 9 (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅) = ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)
113112a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅) = ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))
114113fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅)) = (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)))
115101, 111, 1143eqtrd 2781 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)))
11699, 115oveq12d 7380 . . . . 5 ((𝜑𝐽𝐶) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) = (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))))
11729adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))))
118117oveq1d 7377 . . . . 5 ((𝜑𝐽𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1) = (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) + 1))
11982, 116, 1183eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝜑𝐽𝐶) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1))
12078, 119eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1))
121120ex 414 . 2 (𝜑 → (𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1)))
12277, 121jca 513 1 (𝜑 → ((¬ 𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1)) ∧ (𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3410  cdif 3912  cun 3913  cin 3914  wss 3915  c0 4287  𝒫 cpw 4565  {csn 4591  cmpt 5193  cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061  cmin 11392   / cdiv 11819  cn 12160  0cn0 12420  cz 12506  cuz 12770  ...cfz 13431  chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  33132  ballotlemfcc  33133  ballotlem4  33138  ballotlemi1  33142  ballotlemii  33143  ballotlemic  33146  ballotlem1c  33147
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