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Theorem ballotlemfp1 33427
Description: If the 𝐽 th ballot is for A, (𝐹𝐶) goes up 1. If the 𝐽 th ballot is for B, (𝐹𝐶) goes down 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotlemfp1.c (𝜑𝐶𝑂)
ballotlemfp1.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
ballotlemfp1 (𝜑 → ((¬ 𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1)) ∧ (𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐽   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐)   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfp1
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . . . . 6 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 ballotlemfp1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑂)
7 ballotlemfp1.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
87nnzd 12580 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ballotlemfval 33425 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
109adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
11 fzfi 13932 . . . . . . . . . 10 (1...(𝐽 − 1)) ∈ Fin
12 inss1 4226 . . . . . . . . . 10 ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ⊆ (1...(𝐽 − 1))
13 ssfi 9168 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝐽 − 1)) ∈ Fin ∧ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ⊆ (1...(𝐽 − 1))) → ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
1411, 12, 13mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin
15 hashcl 14311 . . . . . . . . 9 (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0
1716nn0cni 12479 . . . . . . 7 (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℂ
1817a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℂ)
19 diffi 9174 . . . . . . . . . 10 ((1...(𝐽 − 1)) ∈ Fin → ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
2011, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin
21 hashcl 14311 . . . . . . . . 9 (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0
2322nn0cni 12479 . . . . . . 7 (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℂ)
25 1cnd 11204 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → 1 ∈ ℂ)
2618, 24, 25subsub4d 11597 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) − 1) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1)))
27 1zzd 12588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
288, 27zsubcld 12666 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 28ballotlemfval 33425 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))))
3029adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))))
3130oveq1d 7418 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1) = (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) − 1))
32 elnnuz 12861 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℕ ↔ 𝐽 ∈ (ℤ‘1))
337, 32sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘1))
34 fzspl 31978 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝐽) = ((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}))
3534ineq1d 4209 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}) ∩ 𝐶))
36 indir 4273 . . . . . . . . . . 11 (((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))
3735, 36eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)))
3833, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)))
3938adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)))
40 disjsn 4713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∩ {𝐽}) = ∅ ↔ ¬ 𝐽𝐶)
41 incom 4199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∩ {𝐽}) = ({𝐽} ∩ 𝐶)
4241eqeq1i 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∩ {𝐽}) = ∅ ↔ ({𝐽} ∩ 𝐶) = ∅)
4340, 42sylbb1 236 . . . . . . . . . . 11 𝐽𝐶 → ({𝐽} ∩ 𝐶) = ∅)
4443adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ({𝐽} ∩ 𝐶) = ∅)
4544uneq2d 4161 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ∅))
46 un0 4388 . . . . . . . . 9 (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ∅) = ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)
4745, 46eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)) = ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶))
4839, 47eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶))
4948fveq2d 6891 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) = (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)))
5034difeq1d 4119 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}) ∖ 𝐶))
51 difundir 4278 . . . . . . . . . . 11 (((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))
5250, 51eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶)))
5333, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶)))
54 disj3 4451 . . . . . . . . . . . 12 (({𝐽} ∩ 𝐶) = ∅ ↔ {𝐽} = ({𝐽} ∖ 𝐶))
5543, 54sylib 217 . . . . . . . . . . 11 𝐽𝐶 → {𝐽} = ({𝐽} ∖ 𝐶))
5655eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 𝐽𝐶 → ({𝐽} ∖ 𝐶) = {𝐽})
5756uneq2d 4161 . . . . . . . . 9 𝐽𝐶 → (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶)) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽}))
5853, 57sylan9eq 2793 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽}))
5958fveq2d 6891 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽})))
608adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → 𝐽 ∈ ℤ)
61 uzid 12832 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ (ℤ𝐽))
62 uznfz 13579 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (ℤ𝐽) → ¬ 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
638, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
6463adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ¬ 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
65 difss 4129 . . . . . . . . . . 11 ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ⊆ (1...(𝐽 − 1))
6665sseli 3976 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) → 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
6764, 66nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))
68 ssfi 9168 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝐽 − 1)) ∈ Fin ∧ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ⊆ (1...(𝐽 − 1))) → ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
6911, 65, 68mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin
7067, 69jctil 521 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin ∧ ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)))
71 hashunsng 14347 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℤ → ((((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin ∧ ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽})) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1)))
7260, 70, 71sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽})) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1))
7359, 72eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1))
7449, 73oveq12d 7421 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1)))
7526, 31, 743eqtr4rd 2784 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1))
7610, 75eqtrd 2773 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1))
7776ex 414 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1)))
789adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
7917a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℂ)
80 1cnd 11204 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → 1 ∈ ℂ)
8123a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℂ)
8279, 80, 81addsubd 11587 . . . . 5 ((𝜑𝐽𝐶) → (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) = (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) + 1))
8338fveq2d 6891 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))))
8483adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))))
85 snssi 4809 . . . . . . . . . . 11 (𝐽𝐶 → {𝐽} ⊆ 𝐶)
86 df-ss 3963 . . . . . . . . . . 11 ({𝐽} ⊆ 𝐶 ↔ ({𝐽} ∩ 𝐶) = {𝐽})
8785, 86sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐽𝐶 → ({𝐽} ∩ 𝐶) = {𝐽})
8887uneq2d 4161 . . . . . . . . 9 (𝐽𝐶 → (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽}))
8988fveq2d 6891 . . . . . . . 8 (𝐽𝐶 → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽})))
9089adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽})))
91 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽𝐶) → 𝐽𝐶)
928adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽𝐶) → 𝐽 ∈ ℤ)
9392, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽𝐶) → ¬ 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
9412sseli 3976 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) → 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
9593, 94nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽𝐶) → ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶))
9695, 14jctil 521 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin ∧ ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)))
97 hashunsng 14347 . . . . . . . 8 (𝐽𝐶 → ((((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin ∧ ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽})) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1)))
9891, 96, 97sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽})) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1))
9984, 90, 983eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1))
10053fveq2d 6891 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))))
101100adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))))
102 difin2 4289 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐽} ⊆ 𝐶 → ({𝐽} ∖ 𝐶) = ((𝐶𝐶) ∩ {𝐽}))
103 difid 4368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶𝐶) = ∅
104103ineq1i 4206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝐶) ∩ {𝐽}) = (∅ ∩ {𝐽})
105 0in 4391 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∩ {𝐽}) = ∅
106104, 105eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝐶) ∩ {𝐽}) = ∅
107102, 106eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 ({𝐽} ⊆ 𝐶 → ({𝐽} ∖ 𝐶) = ∅)
10885, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐽𝐶 → ({𝐽} ∖ 𝐶) = ∅)
109108uneq2d 4161 . . . . . . . . 9 (𝐽𝐶 → (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶)) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅))
110109fveq2d 6891 . . . . . . . 8 (𝐽𝐶 → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅)))
111110adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅)))
112 un0 4388 . . . . . . . . 9 (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅) = ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)
113112a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅) = ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))
114113fveq2d 6891 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅)) = (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)))
115101, 111, 1143eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)))
11699, 115oveq12d 7421 . . . . 5 ((𝜑𝐽𝐶) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) = (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))))
11729adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))))
118117oveq1d 7418 . . . . 5 ((𝜑𝐽𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1) = (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) + 1))
11982, 116, 1183eqtr4d 2783 . . . 4 ((𝜑𝐽𝐶) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1))
12078, 119eqtrd 2773 . . 3 ((𝜑𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1))
121120ex 414 . 2 (𝜑 → (𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1)))
12277, 121jca 513 1 (𝜑 → ((¬ 𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1)) ∧ (𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433  cdif 3943  cun 3944  cin 3945  wss 3946  c0 4320  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  cmpt 5229  cfv 6539  (class class class)co 7403  Fincfn 8934  cc 11103  1c1 11106   + caddc 11108  cmin 11439   / cdiv 11866  cn 12207  0cn0 12467  cz 12553  cuz 12817  ...cfz 13479  chash 14285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-hash 14286
This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  33428  ballotlemfcc  33429  ballotlem4  33434  ballotlemi1  33438  ballotlemii  33439  ballotlemic  33442  ballotlem1c  33443
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