Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfp1 33559
Description: If the 𝐽 th ballot is for A, (𝐹𝐶) goes up 1. If the 𝐽 th ballot is for B, (𝐹𝐶) goes down 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotlemfp1.c (𝜑𝐶𝑂)
ballotlemfp1.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
ballotlemfp1 (𝜑 → ((¬ 𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1)) ∧ (𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐽   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐)   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfp1
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . . . . 6 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 ballotlemfp1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑂)
7 ballotlemfp1.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
87nnzd 12587 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ballotlemfval 33557 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
11 fzfi 13939 . . . . . . . . . 10 (1...(𝐽 − 1)) ∈ Fin
12 inss1 4228 . . . . . . . . . 10 ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ⊆ (1...(𝐽 − 1))
13 ssfi 9175 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝐽 − 1)) ∈ Fin ∧ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ⊆ (1...(𝐽 − 1))) → ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
1411, 12, 13mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin
15 hashcl 14318 . . . . . . . . 9 (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0
1716nn0cni 12486 . . . . . . 7 (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℂ
1817a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℂ)
19 diffi 9181 . . . . . . . . . 10 ((1...(𝐽 − 1)) ∈ Fin → ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
2011, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin
21 hashcl 14318 . . . . . . . . 9 (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0
2322nn0cni 12486 . . . . . . 7 (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℂ)
25 1cnd 11211 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → 1 ∈ ℂ)
2618, 24, 25subsub4d 11604 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) − 1) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1)))
27 1zzd 12595 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
288, 27zsubcld 12673 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 28ballotlemfval 33557 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))))
3029adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))))
3130oveq1d 7426 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1) = (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) − 1))
32 elnnuz 12868 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℕ ↔ 𝐽 ∈ (ℤ‘1))
337, 32sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘1))
34 fzspl 32039 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝐽) = ((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}))
3534ineq1d 4211 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}) ∩ 𝐶))
36 indir 4275 . . . . . . . . . . 11 (((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))
3735, 36eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)))
3833, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)))
3938adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)))
40 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∩ {𝐽}) = ∅ ↔ ¬ 𝐽𝐶)
41 incom 4201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∩ {𝐽}) = ({𝐽} ∩ 𝐶)
4241eqeq1i 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∩ {𝐽}) = ∅ ↔ ({𝐽} ∩ 𝐶) = ∅)
4340, 42sylbb1 236 . . . . . . . . . . 11 𝐽𝐶 → ({𝐽} ∩ 𝐶) = ∅)
4443adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ({𝐽} ∩ 𝐶) = ∅)
4544uneq2d 4163 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ∅))
46 un0 4390 . . . . . . . . 9 (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ∅) = ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)
4745, 46eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)) = ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶))
4839, 47eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) = ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶))
4948fveq2d 6895 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) = (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)))
5034difeq1d 4121 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}) ∖ 𝐶))
51 difundir 4280 . . . . . . . . . . 11 (((1...(𝐽 − 1)) ∪ {𝐽}) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))
5250, 51eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶)))
5333, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶)))
54 disj3 4453 . . . . . . . . . . . 12 (({𝐽} ∩ 𝐶) = ∅ ↔ {𝐽} = ({𝐽} ∖ 𝐶))
5543, 54sylib 217 . . . . . . . . . . 11 𝐽𝐶 → {𝐽} = ({𝐽} ∖ 𝐶))
5655eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 𝐽𝐶 → ({𝐽} ∖ 𝐶) = {𝐽})
5756uneq2d 4163 . . . . . . . . 9 𝐽𝐶 → (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶)) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽}))
5853, 57sylan9eq 2792 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽}))
5958fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽})))
608adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → 𝐽 ∈ ℤ)
61 uzid 12839 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ (ℤ𝐽))
62 uznfz 13586 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (ℤ𝐽) → ¬ 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
638, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
6463adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ¬ 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
65 difss 4131 . . . . . . . . . . 11 ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ⊆ (1...(𝐽 − 1))
6665sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) → 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
6764, 66nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))
68 ssfi 9175 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝐽 − 1)) ∈ Fin ∧ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ⊆ (1...(𝐽 − 1))) → ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
6911, 65, 68mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin
7067, 69jctil 520 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin ∧ ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)))
71 hashunsng 14354 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℤ → ((((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∈ Fin ∧ ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽})) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1)))
7260, 70, 71sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ {𝐽})) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1))
7359, 72eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1))
7449, 73oveq12d 7429 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) + 1)))
7526, 31, 743eqtr4rd 2783 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1))
7610, 75eqtrd 2772 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1))
7776ex 413 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1)))
789adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
7917a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) ∈ ℂ)
80 1cnd 11211 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → 1 ∈ ℂ)
8123a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)) ∈ ℂ)
8279, 80, 81addsubd 11594 . . . . 5 ((𝜑𝐽𝐶) → (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) = (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) + 1))
8338fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))))
8483adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))))
85 snssi 4811 . . . . . . . . . . 11 (𝐽𝐶 → {𝐽} ⊆ 𝐶)
86 df-ss 3965 . . . . . . . . . . 11 ({𝐽} ⊆ 𝐶 ↔ ({𝐽} ∩ 𝐶) = {𝐽})
8785, 86sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐽𝐶 → ({𝐽} ∩ 𝐶) = {𝐽})
8887uneq2d 4163 . . . . . . . . 9 (𝐽𝐶 → (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶)) = (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽}))
8988fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝐽𝐶 → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽})))
9089adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∩ 𝐶))) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽})))
91 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽𝐶) → 𝐽𝐶)
928adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽𝐶) → 𝐽 ∈ ℤ)
9392, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽𝐶) → ¬ 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
9412sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) → 𝐽 ∈ (1...(𝐽 − 1)))
9593, 94nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽𝐶) → ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶))
9695, 14jctil 520 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin ∧ ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)))
97 hashunsng 14354 . . . . . . . 8 (𝐽𝐶 → ((((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∈ Fin ∧ ¬ 𝐽 ∈ ((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽})) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1)))
9891, 96, 97sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶) ∪ {𝐽})) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1))
9984, 90, 983eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1))
10053fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))))
101100adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))))
102 difin2 4291 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐽} ⊆ 𝐶 → ({𝐽} ∖ 𝐶) = ((𝐶𝐶) ∩ {𝐽}))
103 difid 4370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶𝐶) = ∅
104103ineq1i 4208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝐶) ∩ {𝐽}) = (∅ ∩ {𝐽})
105 0in 4393 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∩ {𝐽}) = ∅
106104, 105eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝐶) ∩ {𝐽}) = ∅
107102, 106eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 ({𝐽} ⊆ 𝐶 → ({𝐽} ∖ 𝐶) = ∅)
10885, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐽𝐶 → ({𝐽} ∖ 𝐶) = ∅)
109108uneq2d 4163 . . . . . . . . 9 (𝐽𝐶 → (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶)) = (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅))
110109fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝐽𝐶 → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅)))
111110adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ({𝐽} ∖ 𝐶))) = (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅)))
112 un0 4390 . . . . . . . . 9 (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅) = ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)
113112a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽𝐶) → (((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅) = ((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))
114113fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘(((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶) ∪ ∅)) = (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)))
115101, 111, 1143eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) = (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶)))
11699, 115oveq12d 7429 . . . . 5 ((𝜑𝐽𝐶) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) = (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) + 1) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))))
11729adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) = ((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))))
118117oveq1d 7426 . . . . 5 ((𝜑𝐽𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1) = (((♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝐽 − 1)) ∖ 𝐶))) + 1))
11982, 116, 1183eqtr4d 2782 . . . 4 ((𝜑𝐽𝐶) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1))
12078, 119eqtrd 2772 . . 3 ((𝜑𝐽𝐶) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1))
121120ex 413 . 2 (𝜑 → (𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1)))
12277, 121jca 512 1 (𝜑 → ((¬ 𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) − 1)) ∧ (𝐽𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (((𝐹𝐶)‘(𝐽 − 1)) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3432  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115  cmin 11446   / cdiv 11873  cn 12214  0cn0 12474  cz 12560  cuz 12824  ...cfz 13486  chash 14292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-hash 14293
This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  33560  ballotlemfcc  33561  ballotlem4  33566  ballotlemi1  33570  ballotlemii  33571  ballotlemic  33574  ballotlem1c  33575
  Copyright terms: Public domain W3C validator