Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kelac2 38154
Description: Kelley's choice, most common form: compactness of a product of knob topologies recovers choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac2.s ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
kelac2.z ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
kelac2.k (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
kelac2 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem kelac2
StepHypRef Expression
1 kelac2.z . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
2 kelac2.s . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
3 kelac2lem 38153 . . 3 (𝑆𝑉 → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Comp)
4 cmptop 21412 . . 3 ((topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Comp → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top)
52, 3, 43syl 18 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top)
6 uncom 3908 . . . . . . 7 (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) = ({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆)
76difeq1i 3875 . . . . . 6 ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆) = (({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆) ∖ 𝑆)
8 difun2 4190 . . . . . 6 (({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆) ∖ 𝑆) = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆)
97, 8eqtri 2793 . . . . 5 ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆) = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆)
10 snex 5036 . . . . . . 7 {𝒫 𝑆} ∈ V
11 uniprg 4588 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉 ∧ {𝒫 𝑆} ∈ V) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}))
122, 10, 11sylancl 574 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}))
1312difeq1d 3878 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) = ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆))
14 incom 3956 . . . . . . 7 ({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ {𝒫 𝑆})
15 pwuninel 7551 . . . . . . . . 9 ¬ 𝒫 𝑆𝑆
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ¬ 𝒫 𝑆𝑆)
17 disjsn 4383 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∩ {𝒫 𝑆}) = ∅ ↔ ¬ 𝒫 𝑆𝑆)
1816, 17sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 ∩ {𝒫 𝑆}) = ∅)
1914, 18syl5eq 2817 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = ∅)
20 disj3 4164 . . . . . 6 (({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = ∅ ↔ {𝒫 𝑆} = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆))
2119, 20sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆))
229, 13, 213eqtr4a 2831 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) = {𝒫 𝑆})
23 prex 5037 . . . . . 6 {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V
24 bastg 20984 . . . . . 6 ({𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V → {𝑆, {𝒫 𝑆}} ⊆ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2523, 24mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} ⊆ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2610prid2 4434 . . . . . 6 {𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}}
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
2825, 27sseldd 3753 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2922, 28eqeltrd 2850 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
30 prid1g 4431 . . . . 5 (𝑆𝑉𝑆 ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
31 elssuni 4603 . . . . 5 (𝑆 ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}} → 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
322, 30, 313syl 18 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
33 unitg 20985 . . . . . . 7 ({𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) = {𝑆, {𝒫 𝑆}})
3423, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) = {𝑆, {𝒫 𝑆}}
3534eqcomi 2780 . . . . 5 {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})
3635iscld2 21046 . . . 4 (((topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top ∧ 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}}) → (𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})) ↔ ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
375, 32, 36syl2anc 573 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})) ↔ ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
3829, 37mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
39 f1oi 6313 . . 3 ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆
4039a1i 11 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆)
41 elssuni 4603 . . . . 5 ({𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}} → {𝒫 𝑆} ⊆ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
4226, 41mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ⊆ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
43 uniexg 7100 . . . . 5 (𝑆𝑉 𝑆 ∈ V)
44 pwexg 4980 . . . . 5 ( 𝑆 ∈ V → 𝒫 𝑆 ∈ V)
45 snidg 4345 . . . . 5 (𝒫 𝑆 ∈ V → 𝒫 𝑆 ∈ {𝒫 𝑆})
462, 43, 44, 454syl 19 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 ∈ {𝒫 𝑆})
4742, 46sseldd 3753 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
4847, 34syl6eleqr 2861 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
49 kelac2.k . 2 (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))) ∈ Comp)
501, 5, 38, 40, 48, 49kelac1 38152 1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  {cpr 4318   cuni 4574  cmpt 4863   I cid 5156  cres 5251  1-1-ontowf1o 6028  cfv 6029  Xcixp 8060  topGenctg 16299  tcpt 16300  Topctop 20911  Clsdccld 21034  Compccmp 21403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fi 8471  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-top 20912  df-bases 20964  df-cld 21037  df-cmp 21404
This theorem is referenced by:  dfac21  38155
  Copyright terms: Public domain W3C validator