Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kelac2 39816
 Description: Kelley's choice, most common form: compactness of a product of knob topologies recovers choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac2.s ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
kelac2.z ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
kelac2.k (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
kelac2 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem kelac2
StepHypRef Expression
1 kelac2.z . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
2 kelac2.s . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
3 kelac2lem 39815 . . 3 (𝑆𝑉 → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Comp)
4 cmptop 21979 . . 3 ((topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Comp → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top)
52, 3, 43syl 18 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top)
6 uncom 4105 . . . . . . 7 (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) = ({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆)
76difeq1i 4071 . . . . . 6 ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆) = (({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆) ∖ 𝑆)
8 difun2 4402 . . . . . 6 (({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆) ∖ 𝑆) = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆)
97, 8eqtri 2844 . . . . 5 ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆) = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆)
10 snex 5305 . . . . . . 7 {𝒫 𝑆} ∈ V
11 uniprg 4829 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉 ∧ {𝒫 𝑆} ∈ V) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}))
122, 10, 11sylancl 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}))
1312difeq1d 4074 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) = ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆))
14 incom 4153 . . . . . . 7 ({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ {𝒫 𝑆})
15 pwuninel 7916 . . . . . . . . 9 ¬ 𝒫 𝑆𝑆
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ¬ 𝒫 𝑆𝑆)
17 disjsn 4620 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∩ {𝒫 𝑆}) = ∅ ↔ ¬ 𝒫 𝑆𝑆)
1816, 17sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 ∩ {𝒫 𝑆}) = ∅)
1914, 18syl5eq 2868 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = ∅)
20 disj3 4376 . . . . . 6 (({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = ∅ ↔ {𝒫 𝑆} = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆))
2119, 20sylib 221 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆))
229, 13, 213eqtr4a 2882 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) = {𝒫 𝑆})
23 prex 5306 . . . . . 6 {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V
24 bastg 21550 . . . . . 6 ({𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V → {𝑆, {𝒫 𝑆}} ⊆ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2523, 24mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} ⊆ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2610prid2 4672 . . . . . 6 {𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}}
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
2825, 27sseldd 3944 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2922, 28eqeltrd 2912 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
30 prid1g 4669 . . . . 5 (𝑆𝑉𝑆 ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
31 elssuni 4841 . . . . 5 (𝑆 ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}} → 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
322, 30, 313syl 18 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
33 unitg 21551 . . . . . . 7 ({𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) = {𝑆, {𝒫 𝑆}})
3423, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) = {𝑆, {𝒫 𝑆}}
3534eqcomi 2830 . . . . 5 {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})
3635iscld2 21612 . . . 4 (((topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top ∧ 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}}) → (𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})) ↔ ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
375, 32, 36syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})) ↔ ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
3829, 37mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
39 f1oi 6625 . . 3 ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆
4039a1i 11 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆)
41 elssuni 4841 . . . . 5 ({𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}} → {𝒫 𝑆} ⊆ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
4226, 41mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ⊆ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
43 uniexg 7441 . . . . 5 (𝑆𝑉 𝑆 ∈ V)
44 pwexg 5252 . . . . 5 ( 𝑆 ∈ V → 𝒫 𝑆 ∈ V)
45 snidg 4572 . . . . 5 (𝒫 𝑆 ∈ V → 𝒫 𝑆 ∈ {𝒫 𝑆})
462, 43, 44, 454syl 19 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 ∈ {𝒫 𝑆})
4742, 46sseldd 3944 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
4847, 34eleqtrrdi 2923 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
49 kelac2.k . 2 (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))) ∈ Comp)
501, 5, 38, 40, 48, 49kelac1 39814 1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  Vcvv 3471   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4266  𝒫 cpw 4512  {csn 4540  {cpr 4542  ∪ cuni 4811   ↦ cmpt 5119   I cid 5432   ↾ cres 5530  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  Xcixp 8436  topGenctg 16690  ∏tcpt 16691  Topctop 21477  Clsdccld 21600  Compccmp 21970 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fi 8851  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-top 21478  df-bases 21530  df-cld 21603  df-cmp 21971 This theorem is referenced by:  dfac21  39817
 Copyright terms: Public domain W3C validator