Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kelac2 38315
Description: Kelley's choice, most common form: compactness of a product of knob topologies recovers choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac2.s ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
kelac2.z ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
kelac2.k (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
kelac2 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem kelac2
StepHypRef Expression
1 kelac2.z . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
2 kelac2.s . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
3 kelac2lem 38314 . . 3 (𝑆𝑉 → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Comp)
4 cmptop 21481 . . 3 ((topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Comp → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top)
52, 3, 43syl 18 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top)
6 uncom 3921 . . . . . . 7 (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) = ({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆)
76difeq1i 3888 . . . . . 6 ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆) = (({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆) ∖ 𝑆)
8 difun2 4210 . . . . . 6 (({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆) ∖ 𝑆) = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆)
97, 8eqtri 2787 . . . . 5 ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆) = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆)
10 snex 5066 . . . . . . 7 {𝒫 𝑆} ∈ V
11 uniprg 4610 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉 ∧ {𝒫 𝑆} ∈ V) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}))
122, 10, 11sylancl 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}))
1312difeq1d 3891 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) = ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆))
14 incom 3969 . . . . . . 7 ({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ {𝒫 𝑆})
15 pwuninel 7606 . . . . . . . . 9 ¬ 𝒫 𝑆𝑆
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ¬ 𝒫 𝑆𝑆)
17 disjsn 4404 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∩ {𝒫 𝑆}) = ∅ ↔ ¬ 𝒫 𝑆𝑆)
1816, 17sylibr 225 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 ∩ {𝒫 𝑆}) = ∅)
1914, 18syl5eq 2811 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = ∅)
20 disj3 4184 . . . . . 6 (({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = ∅ ↔ {𝒫 𝑆} = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆))
2119, 20sylib 209 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆))
229, 13, 213eqtr4a 2825 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) = {𝒫 𝑆})
23 prex 5067 . . . . . 6 {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V
24 bastg 21053 . . . . . 6 ({𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V → {𝑆, {𝒫 𝑆}} ⊆ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2523, 24mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} ⊆ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2610prid2 4455 . . . . . 6 {𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}}
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
2825, 27sseldd 3764 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2922, 28eqeltrd 2844 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
30 prid1g 4452 . . . . 5 (𝑆𝑉𝑆 ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
31 elssuni 4627 . . . . 5 (𝑆 ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}} → 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
322, 30, 313syl 18 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
33 unitg 21054 . . . . . . 7 ({𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) = {𝑆, {𝒫 𝑆}})
3423, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) = {𝑆, {𝒫 𝑆}}
3534eqcomi 2774 . . . . 5 {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})
3635iscld2 21115 . . . 4 (((topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top ∧ 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}}) → (𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})) ↔ ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
375, 32, 36syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})) ↔ ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
3829, 37mpbird 248 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
39 f1oi 6359 . . 3 ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆
4039a1i 11 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆)
41 elssuni 4627 . . . . 5 ({𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}} → {𝒫 𝑆} ⊆ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
4226, 41mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ⊆ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
43 uniexg 7155 . . . . 5 (𝑆𝑉 𝑆 ∈ V)
44 pwexg 5016 . . . . 5 ( 𝑆 ∈ V → 𝒫 𝑆 ∈ V)
45 snidg 4366 . . . . 5 (𝒫 𝑆 ∈ V → 𝒫 𝑆 ∈ {𝒫 𝑆})
462, 43, 44, 454syl 19 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 ∈ {𝒫 𝑆})
4742, 46sseldd 3764 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
4847, 34syl6eleqr 2855 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
49 kelac2.k . 2 (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))) ∈ Comp)
501, 5, 38, 40, 48, 49kelac1 38313 1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  cdif 3731  cun 3732  cin 3733  wss 3734  c0 4081  𝒫 cpw 4317  {csn 4336  {cpr 4338   cuni 4596  cmpt 4890   I cid 5186  cres 5281  1-1-ontowf1o 6069  cfv 6070  Xcixp 8115  topGenctg 16367  tcpt 16368  Topctop 20980  Clsdccld 21103  Compccmp 21472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fi 8526  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-top 20981  df-bases 21033  df-cld 21106  df-cmp 21473
This theorem is referenced by:  dfac21  38316
  Copyright terms: Public domain W3C validator