Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kelac2 42631
Description: Kelley's choice, most common form: compactness of a product of knob topologies recovers choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac2.s ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
kelac2.z ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
kelac2.k (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
kelac2 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem kelac2
StepHypRef Expression
1 kelac2.z . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
2 kelac2.s . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
3 kelac2lem 42630 . . 3 (𝑆𝑉 → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Comp)
4 cmptop 23343 . . 3 ((topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Comp → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top)
52, 3, 43syl 18 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top)
6 uncom 4150 . . . . . . 7 (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) = ({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆)
76difeq1i 4114 . . . . . 6 ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆) = (({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆) ∖ 𝑆)
8 difun2 4482 . . . . . 6 (({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆) ∖ 𝑆) = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆)
97, 8eqtri 2753 . . . . 5 ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆) = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆)
10 snex 5433 . . . . . . 7 {𝒫 𝑆} ∈ V
11 uniprg 4925 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉 ∧ {𝒫 𝑆} ∈ V) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}))
122, 10, 11sylancl 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}))
1312difeq1d 4117 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) = ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆))
14 incom 4199 . . . . . . 7 ({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ {𝒫 𝑆})
15 pwuninel 8281 . . . . . . . . 9 ¬ 𝒫 𝑆𝑆
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ¬ 𝒫 𝑆𝑆)
17 disjsn 4717 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∩ {𝒫 𝑆}) = ∅ ↔ ¬ 𝒫 𝑆𝑆)
1816, 17sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 ∩ {𝒫 𝑆}) = ∅)
1914, 18eqtrid 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = ∅)
20 disj3 4455 . . . . . 6 (({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = ∅ ↔ {𝒫 𝑆} = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆))
2119, 20sylib 217 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆))
229, 13, 213eqtr4a 2791 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) = {𝒫 𝑆})
23 prex 5434 . . . . . 6 {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V
24 bastg 22913 . . . . . 6 ({𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V → {𝑆, {𝒫 𝑆}} ⊆ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2523, 24mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} ⊆ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2610prid2 4769 . . . . . 6 {𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}}
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
2825, 27sseldd 3977 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2922, 28eqeltrd 2825 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
30 prid1g 4766 . . . . 5 (𝑆𝑉𝑆 ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
31 elssuni 4941 . . . . 5 (𝑆 ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}} → 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
322, 30, 313syl 18 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
33 unitg 22914 . . . . . . 7 ({𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) = {𝑆, {𝒫 𝑆}})
3423, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) = {𝑆, {𝒫 𝑆}}
3534eqcomi 2734 . . . . 5 {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})
3635iscld2 22976 . . . 4 (((topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top ∧ 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}}) → (𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})) ↔ ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
375, 32, 36syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})) ↔ ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
3829, 37mpbird 256 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
39 f1oi 6876 . . 3 ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆
4039a1i 11 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆)
41 elssuni 4941 . . . . 5 ({𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}} → {𝒫 𝑆} ⊆ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
4226, 41mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ⊆ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
43 uniexg 7746 . . . . 5 (𝑆𝑉 𝑆 ∈ V)
44 pwexg 5378 . . . . 5 ( 𝑆 ∈ V → 𝒫 𝑆 ∈ V)
45 snidg 4664 . . . . 5 (𝒫 𝑆 ∈ V → 𝒫 𝑆 ∈ {𝒫 𝑆})
462, 43, 44, 454syl 19 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 ∈ {𝒫 𝑆})
4742, 46sseldd 3977 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
4847, 34eleqtrrdi 2836 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
49 kelac2.k . 2 (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))) ∈ Comp)
501, 5, 38, 40, 48, 49kelac1 42629 1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4322  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  {cpr 4632   cuni 4909  cmpt 5232   I cid 5575  cres 5680  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  Xcixp 8916  topGenctg 17422  tcpt 17423  Topctop 22839  Clsdccld 22964  Compccmp 23334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1o 8487  df-er 8725  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-fin 8968  df-fi 9436  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-top 22840  df-bases 22893  df-cld 22967  df-cmp 23335
This theorem is referenced by:  dfac21  42632
  Copyright terms: Public domain W3C validator