Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem kelac2 41807
Description: Kelley's choice, most common form: compactness of a product of knob topologies recovers choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac2.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
kelac2.z ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
kelac2.k (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}))) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
kelac2 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆 β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝑉(π‘₯)
Proof of Theorem kelac2
StepHypRef Expression
1 kelac2.z . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
2 kelac2.s . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
3 kelac2lem 41806 . . 3 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Comp)
4 cmptop 22899 . . 3 ((topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Comp β†’ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Top)
52, 3, 43syl 18 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Top)
6 uncom 4154 . . . . . . 7 (𝑆 βˆͺ {𝒫 βˆͺ 𝑆}) = ({𝒫 βˆͺ 𝑆} βˆͺ 𝑆)
76difeq1i 4119 . . . . . 6 ((𝑆 βˆͺ {𝒫 βˆͺ 𝑆}) βˆ– 𝑆) = (({𝒫 βˆͺ 𝑆} βˆͺ 𝑆) βˆ– 𝑆)
8 difun2 4481 . . . . . 6 (({𝒫 βˆͺ 𝑆} βˆͺ 𝑆) βˆ– 𝑆) = ({𝒫 βˆͺ 𝑆} βˆ– 𝑆)
97, 8eqtri 2761 . . . . 5 ((𝑆 βˆͺ {𝒫 βˆͺ 𝑆}) βˆ– 𝑆) = ({𝒫 βˆͺ 𝑆} βˆ– 𝑆)
10 snex 5432 . . . . . . 7 {𝒫 βˆͺ 𝑆} ∈ V
11 uniprg 4926 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ {𝒫 βˆͺ 𝑆} ∈ V) β†’ βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} = (𝑆 βˆͺ {𝒫 βˆͺ 𝑆}))
122, 10, 11sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} = (𝑆 βˆͺ {𝒫 βˆͺ 𝑆}))
1312difeq1d 4122 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} βˆ– 𝑆) = ((𝑆 βˆͺ {𝒫 βˆͺ 𝑆}) βˆ– 𝑆))
14 incom 4202 . . . . . . 7 ({𝒫 βˆͺ 𝑆} ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ {𝒫 βˆͺ 𝑆})
15 pwuninel 8260 . . . . . . . . 9 Β¬ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ Β¬ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
17 disjsn 4716 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∩ {𝒫 βˆͺ 𝑆}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
1816, 17sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 ∩ {𝒫 βˆͺ 𝑆}) = βˆ…)
1914, 18eqtrid 2785 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ({𝒫 βˆͺ 𝑆} ∩ 𝑆) = βˆ…)
20 disj3 4454 . . . . . 6 (({𝒫 βˆͺ 𝑆} ∩ 𝑆) = βˆ… ↔ {𝒫 βˆͺ 𝑆} = ({𝒫 βˆͺ 𝑆} βˆ– 𝑆))
2119, 20sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ {𝒫 βˆͺ 𝑆} = ({𝒫 βˆͺ 𝑆} βˆ– 𝑆))
229, 13, 213eqtr4a 2799 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} βˆ– 𝑆) = {𝒫 βˆͺ 𝑆})
23 prex 5433 . . . . . 6 {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ V
24 bastg 22469 . . . . . 6 ({𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ V β†’ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} βŠ† (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}))
2523, 24mp1i 13 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} βŠ† (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}))
2610prid2 4768 . . . . . 6 {𝒫 βˆͺ 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}
2726a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ {𝒫 βˆͺ 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})
2825, 27sseldd 3984 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ {𝒫 βˆͺ 𝑆} ∈ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}))
2922, 28eqeltrd 2834 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} βˆ– 𝑆) ∈ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}))
30 prid1g 4765 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ 𝑆 ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})
31 elssuni 4942 . . . . 5 (𝑆 ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})
322, 30, 313syl 18 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})
33 unitg 22470 . . . . . . 7 ({𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ V β†’ βˆͺ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) = βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})
3423, 33ax-mp 5 . . . . . 6 βˆͺ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) = βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}
3534eqcomi 2742 . . . . 5 βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} = βˆͺ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})
3635iscld2 22532 . . . 4 (((topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})) ↔ (βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} βˆ– 𝑆) ∈ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})))
375, 32, 36syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})) ↔ (βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} βˆ– 𝑆) ∈ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})))
3829, 37mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})))
39 f1oi 6872 . . 3 ( I β†Ύ 𝑆):𝑆–1-1-onto→𝑆
4039a1i 11 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ( I β†Ύ 𝑆):𝑆–1-1-onto→𝑆)
41 elssuni 4942 . . . . 5 ({𝒫 βˆͺ 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} β†’ {𝒫 βˆͺ 𝑆} βŠ† βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})
4226, 41mp1i 13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ {𝒫 βˆͺ 𝑆} βŠ† βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})
43 uniexg 7730 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
44 pwexg 5377 . . . . 5 (βˆͺ 𝑆 ∈ V β†’ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ V)
45 snidg 4663 . . . . 5 (𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ V β†’ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ {𝒫 βˆͺ 𝑆})
462, 43, 44, 454syl 19 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ {𝒫 βˆͺ 𝑆})
4742, 46sseldd 3984 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ βˆͺ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})
4847, 34eleqtrrdi 2845 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ βˆͺ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}))
49 kelac2.k . 2 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}))) ∈ Comp)
501, 5, 38, 40, 48, 49kelac1 41805 1 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  {cpr 4631  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   β†Ύ cres 5679  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  Xcixp 8891  topGenctg 17383  βˆtcpt 17384  Topctop 22395  Clsdccld 22520  Compccmp 22890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fi 9406  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-top 22396  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cmp 22891
This theorem is referenced by:  dfac21  41808
  Copyright terms: Public domain W3C validator