Theorem iccdifioo 45533

Description: If the open inverval is removed from the closed interval, only the bounds are left. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iccdifioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem iccdifioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prunioo 13522	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
2		uncom 4157	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
3	1, 2	eqtr3di 2791	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
4	3	difeq1d 4124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)))
5		difun2 4480	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)))
7		incom 4208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ({𝐴, 𝐵} ∩ (𝐴(,)𝐵))
8		iooinlbub 45519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅
9	7, 8	eqtr3i 2766	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅
10		disj3 4453	. . . . 5 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)))
11	9, 10	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
12	11	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵}
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
14	4, 6, 13	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3947   ∪ cun 3948   ∩ cin 3949  ∅c0 4332  {cpr 4627   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝ^*cxr 11295   ≤ cle 11297  (,)cioo 13388  [,]cicc 13391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395

This theorem is referenced by:  ibliooicc  45991