Theorem iccdifioo 45869

Description: If the open inverval is removed from the closed interval, only the bounds are left. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iccdifioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem iccdifioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prunioo 13409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
2		uncom 4112	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵))
3	1, 2	eqtr3di 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = ({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)))
4	3	difeq1d 4079	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)))
5		difun2 4435	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (({𝐴, 𝐵} ∪ (𝐴(,)𝐵)) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)))
7		incom 4163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ({𝐴, 𝐵} ∩ (𝐴(,)𝐵))
8		iooinlbub 45855	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅
9	7, 8	eqtr3i 2762	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅
10		disj3 4408	. . . . 5 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)))
11	9, 10	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵))
12	11	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵}
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
14	4, 6, 13	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  {cpr 4584   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280

This theorem is referenced by:  ibliooicc  46323