Theorem ex-dif 28896

Description: Example for df-dif 3900. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-dif	⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Proof of Theorem ex-dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4574	. . 3 ⊢ {1, 3} = ({1} ∪ {3})
2	1	difeq1i 4064	. 2 ⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8})
3		difundir 4225	. 2 ⊢ (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8}) = (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8}))
4		snsspr1 4759	. . . . 5 ⊢ {1} ⊆ {1, 8}
5		ssdif0 4308	. . . . 5 ⊢ ({1} ⊆ {1, 8} ↔ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅)
6	4, 5	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅
7		incom 4146	. . . . . . 7 ⊢ ({3} ∩ {1, 8}) = ({1, 8} ∩ {3})
8		1re 11048	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		1lt3 12219	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 3
10	8, 9	gtneii 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 1
11		3re 12126	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
12		3lt8 12242	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 8
13	11, 12	ltneii 11161	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 8
14	10, 13	nelpri 4600	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 8}
15		disjsn 4657	. . . . . . . 8 ⊢ (({1, 8} ∩ {3}) = ∅ ↔ ¬ 3 ∈ {1, 8})
16	14, 15	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 8} ∩ {3}) = ∅
17	7, 16	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ({3} ∩ {1, 8}) = ∅
18		disj3 4398	. . . . . 6 ⊢ (({3} ∩ {1, 8}) = ∅ ↔ {3} = ({3} ∖ {1, 8}))
19	17, 18	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ {3} = ({3} ∖ {1, 8})
20	19	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ({3} ∖ {1, 8}) = {3}
21	6, 20	uneq12i 4106	. . 3 ⊢ (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = (∅ ∪ {3})
22		uncom 4098	. . 3 ⊢ (∅ ∪ {3}) = ({3} ∪ ∅)
23		un0 4335	. . 3 ⊢ ({3} ∪ ∅) = {3}
24	21, 22, 23	3eqtri 2769	. 2 ⊢ (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = {3}
25	2, 3, 24	3eqtri 2769	1 ⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4267  {csn 4571  {cpr 4573  1c1 10945  3c3 12102  8c8 12107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115

This theorem is referenced by: (None)