Theorem ex-dif 28836

Description: Example for df-dif 3895. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-dif	⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Proof of Theorem ex-dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4568	. . 3 ⊢ {1, 3} = ({1} ∪ {3})
2	1	difeq1i 4059	. 2 ⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8})
3		difundir 4220	. 2 ⊢ (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8}) = (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8}))
4		snsspr1 4753	. . . . 5 ⊢ {1} ⊆ {1, 8}
5		ssdif0 4303	. . . . 5 ⊢ ({1} ⊆ {1, 8} ↔ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅)
6	4, 5	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅
7		incom 4141	. . . . . . 7 ⊢ ({3} ∩ {1, 8}) = ({1, 8} ∩ {3})
8		1re 11025	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		1lt3 12196	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 3
10	8, 9	gtneii 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 1
11		3re 12103	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
12		3lt8 12219	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 8
13	11, 12	ltneii 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 8
14	10, 13	nelpri 4594	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 8}
15		disjsn 4651	. . . . . . . 8 ⊢ (({1, 8} ∩ {3}) = ∅ ↔ ¬ 3 ∈ {1, 8})
16	14, 15	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 8} ∩ {3}) = ∅
17	7, 16	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ ({3} ∩ {1, 8}) = ∅
18		disj3 4393	. . . . . 6 ⊢ (({3} ∩ {1, 8}) = ∅ ↔ {3} = ({3} ∖ {1, 8}))
19	17, 18	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ {3} = ({3} ∖ {1, 8})
20	19	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ ({3} ∖ {1, 8}) = {3}
21	6, 20	uneq12i 4101	. . 3 ⊢ (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = (∅ ∪ {3})
22		uncom 4093	. . 3 ⊢ (∅ ∪ {3}) = ({3} ∪ ∅)
23		un0 4330	. . 3 ⊢ ({3} ∪ ∅) = {3}
24	21, 22, 23	3eqtri 2768	. 2 ⊢ (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = {3}
25	2, 3, 24	3eqtri 2768	1 ⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∖ cdif 3889   ∪ cun 3890   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  {csn 4565  {cpr 4567  1c1 10922  3c3 12079  8c8 12084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092

This theorem is referenced by: (None)