MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-dif 30452
Description: Example for df-dif 3966. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-dif ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Proof of Theorem ex-dif
StepHypRef Expression
1 df-pr 4634 . . 3 {1, 3} = ({1} ∪ {3})
21difeq1i 4132 . 2 ({1, 3} ∖ {1, 8}) = (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8})
3 difundir 4297 . 2 (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8}) = (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8}))
4 snsspr1 4819 . . . . 5 {1} ⊆ {1, 8}
5 ssdif0 4372 . . . . 5 ({1} ⊆ {1, 8} ↔ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅)
64, 5mpbi 230 . . . 4 ({1} ∖ {1, 8}) = ∅
7 incom 4217 . . . . . . 7 ({3} ∩ {1, 8}) = ({1, 8} ∩ {3})
8 1re 11259 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
9 1lt3 12437 . . . . . . . . . 10 1 < 3
108, 9gtneii 11371 . . . . . . . . 9 3 ≠ 1
11 3re 12344 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
12 3lt8 12460 . . . . . . . . . 10 3 < 8
1311, 12ltneii 11372 . . . . . . . . 9 3 ≠ 8
1410, 13nelpri 4660 . . . . . . . 8 ¬ 3 ∈ {1, 8}
15 disjsn 4716 . . . . . . . 8 (({1, 8} ∩ {3}) = ∅ ↔ ¬ 3 ∈ {1, 8})
1614, 15mpbir 231 . . . . . . 7 ({1, 8} ∩ {3}) = ∅
177, 16eqtri 2763 . . . . . 6 ({3} ∩ {1, 8}) = ∅
18 disj3 4460 . . . . . 6 (({3} ∩ {1, 8}) = ∅ ↔ {3} = ({3} ∖ {1, 8}))
1917, 18mpbi 230 . . . . 5 {3} = ({3} ∖ {1, 8})
2019eqcomi 2744 . . . 4 ({3} ∖ {1, 8}) = {3}
216, 20uneq12i 4176 . . 3 (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = (∅ ∪ {3})
22 uncom 4168 . . 3 (∅ ∪ {3}) = ({3} ∪ ∅)
23 un0 4400 . . 3 ({3} ∪ ∅) = {3}
2421, 22, 233eqtri 2767 . 2 (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = {3}
252, 3, 243eqtri 2767 1 ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  1c1 11154  3c3 12320  8c8 12325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator