MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-dif 30442
Description: Example for df-dif 3954. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-dif ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Proof of Theorem ex-dif
StepHypRef Expression
1 df-pr 4629 . . 3 {1, 3} = ({1} ∪ {3})
21difeq1i 4122 . 2 ({1, 3} ∖ {1, 8}) = (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8})
3 difundir 4291 . 2 (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8}) = (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8}))
4 snsspr1 4814 . . . . 5 {1} ⊆ {1, 8}
5 ssdif0 4366 . . . . 5 ({1} ⊆ {1, 8} ↔ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅)
64, 5mpbi 230 . . . 4 ({1} ∖ {1, 8}) = ∅
7 incom 4209 . . . . . . 7 ({3} ∩ {1, 8}) = ({1, 8} ∩ {3})
8 1re 11261 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
9 1lt3 12439 . . . . . . . . . 10 1 < 3
108, 9gtneii 11373 . . . . . . . . 9 3 ≠ 1
11 3re 12346 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
12 3lt8 12462 . . . . . . . . . 10 3 < 8
1311, 12ltneii 11374 . . . . . . . . 9 3 ≠ 8
1410, 13nelpri 4655 . . . . . . . 8 ¬ 3 ∈ {1, 8}
15 disjsn 4711 . . . . . . . 8 (({1, 8} ∩ {3}) = ∅ ↔ ¬ 3 ∈ {1, 8})
1614, 15mpbir 231 . . . . . . 7 ({1, 8} ∩ {3}) = ∅
177, 16eqtri 2765 . . . . . 6 ({3} ∩ {1, 8}) = ∅
18 disj3 4454 . . . . . 6 (({3} ∩ {1, 8}) = ∅ ↔ {3} = ({3} ∖ {1, 8}))
1917, 18mpbi 230 . . . . 5 {3} = ({3} ∖ {1, 8})
2019eqcomi 2746 . . . 4 ({3} ∖ {1, 8}) = {3}
216, 20uneq12i 4166 . . 3 (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = (∅ ∪ {3})
22 uncom 4158 . . 3 (∅ ∪ {3}) = ({3} ∪ ∅)
23 un0 4394 . . 3 ({3} ∪ ∅) = {3}
2421, 22, 233eqtri 2769 . 2 (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = {3}
252, 3, 243eqtri 2769 1 ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628  1c1 11156  3c3 12322  8c8 12327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator