MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-dif 28184
Description: Example for df-dif 3915. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-dif ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Proof of Theorem ex-dif
StepHypRef Expression
1 df-pr 4544 . . 3 {1, 3} = ({1} ∪ {3})
21difeq1i 4071 . 2 ({1, 3} ∖ {1, 8}) = (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8})
3 difundir 4233 . 2 (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8}) = (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8}))
4 snsspr1 4721 . . . . 5 {1} ⊆ {1, 8}
5 ssdif0 4297 . . . . 5 ({1} ⊆ {1, 8} ↔ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅)
64, 5mpbi 232 . . . 4 ({1} ∖ {1, 8}) = ∅
7 incom 4154 . . . . . . 7 ({3} ∩ {1, 8}) = ({1, 8} ∩ {3})
8 1re 10617 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
9 1lt3 11787 . . . . . . . . . 10 1 < 3
108, 9gtneii 10728 . . . . . . . . 9 3 ≠ 1
11 3re 11694 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
12 3lt8 11810 . . . . . . . . . 10 3 < 8
1311, 12ltneii 10729 . . . . . . . . 9 3 ≠ 8
1410, 13nelpri 4568 . . . . . . . 8 ¬ 3 ∈ {1, 8}
15 disjsn 4621 . . . . . . . 8 (({1, 8} ∩ {3}) = ∅ ↔ ¬ 3 ∈ {1, 8})
1614, 15mpbir 233 . . . . . . 7 ({1, 8} ∩ {3}) = ∅
177, 16eqtri 2843 . . . . . 6 ({3} ∩ {1, 8}) = ∅
18 disj3 4377 . . . . . 6 (({3} ∩ {1, 8}) = ∅ ↔ {3} = ({3} ∖ {1, 8}))
1917, 18mpbi 232 . . . . 5 {3} = ({3} ∖ {1, 8})
2019eqcomi 2829 . . . 4 ({3} ∖ {1, 8}) = {3}
216, 20uneq12i 4113 . . 3 (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = (∅ ∪ {3})
22 uncom 4105 . . 3 (∅ ∪ {3}) = ({3} ∪ ∅)
23 un0 4318 . . 3 ({3} ∪ ∅) = {3}
2421, 22, 233eqtri 2847 . 2 (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = {3}
252, 3, 243eqtri 2847 1 ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537  wcel 2114  cdif 3909  cun 3910  cin 3911  wss 3912  c0 4267  {csn 4541  {cpr 4543  1c1 10514  3c3 11670  8c8 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4813  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5434  df-po 5448  df-so 5449  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-2 11677  df-3 11678  df-4 11679  df-5 11680  df-6 11681  df-7 11682  df-8 11683
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator