Theorem ex-dif 30109

Description: Example for df-dif 3951. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-dif	⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Proof of Theorem ex-dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4631	. . 3 ⊢ {1, 3} = ({1} ∪ {3})
2	1	difeq1i 4118	. 2 ⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8})
3		difundir 4280	. 2 ⊢ (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8}) = (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8}))
4		snsspr1 4817	. . . . 5 ⊢ {1} ⊆ {1, 8}
5		ssdif0 4363	. . . . 5 ⊢ ({1} ⊆ {1, 8} ↔ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅)
6	4, 5	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅
7		incom 4201	. . . . . . 7 ⊢ ({3} ∩ {1, 8}) = ({1, 8} ∩ {3})
8		1re 11221	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		1lt3 12392	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 3
10	8, 9	gtneii 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 1
11		3re 12299	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
12		3lt8 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 8
13	11, 12	ltneii 11334	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 8
14	10, 13	nelpri 4657	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 8}
15		disjsn 4715	. . . . . . . 8 ⊢ (({1, 8} ∩ {3}) = ∅ ↔ ¬ 3 ∈ {1, 8})
16	14, 15	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 8} ∩ {3}) = ∅
17	7, 16	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ ({3} ∩ {1, 8}) = ∅
18		disj3 4453	. . . . . 6 ⊢ (({3} ∩ {1, 8}) = ∅ ↔ {3} = ({3} ∖ {1, 8}))
19	17, 18	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ {3} = ({3} ∖ {1, 8})
20	19	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ ({3} ∖ {1, 8}) = {3}
21	6, 20	uneq12i 4161	. . 3 ⊢ (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = (∅ ∪ {3})
22		uncom 4153	. . 3 ⊢ (∅ ∪ {3}) = ({3} ∪ ∅)
23		un0 4390	. . 3 ⊢ ({3} ∪ ∅) = {3}
24	21, 22, 23	3eqtri 2763	. 2 ⊢ (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = {3}
25	2, 3, 24	3eqtri 2763	1 ⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  1c1 11117  3c3 12275  8c8 12280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288

This theorem is referenced by: (None)