Theorem ex-dif 30398

Description: Example for df-dif 3905. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-dif	⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Proof of Theorem ex-dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4579	. . 3 ⊢ {1, 3} = ({1} ∪ {3})
2	1	difeq1i 4072	. 2 ⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8})
3		difundir 4241	. 2 ⊢ (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8}) = (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8}))
4		snsspr1 4766	. . . . 5 ⊢ {1} ⊆ {1, 8}
5		ssdif0 4316	. . . . 5 ⊢ ({1} ⊆ {1, 8} ↔ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅)
6	4, 5	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅
7		incom 4159	. . . . . . 7 ⊢ ({3} ∩ {1, 8}) = ({1, 8} ∩ {3})
8		1re 11109	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		1lt3 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 3
10	8, 9	gtneii 11222	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 1
11		3re 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
12		3lt8 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 8
13	11, 12	ltneii 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 8
14	10, 13	nelpri 4608	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 8}
15		disjsn 4664	. . . . . . . 8 ⊢ (({1, 8} ∩ {3}) = ∅ ↔ ¬ 3 ∈ {1, 8})
16	14, 15	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 8} ∩ {3}) = ∅
17	7, 16	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ({3} ∩ {1, 8}) = ∅
18		disj3 4404	. . . . . 6 ⊢ (({3} ∩ {1, 8}) = ∅ ↔ {3} = ({3} ∖ {1, 8}))
19	17, 18	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ {3} = ({3} ∖ {1, 8})
20	19	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ ({3} ∖ {1, 8}) = {3}
21	6, 20	uneq12i 4116	. . 3 ⊢ (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = (∅ ∪ {3})
22		uncom 4108	. . 3 ⊢ (∅ ∪ {3}) = ({3} ∪ ∅)
23		un0 4344	. . 3 ⊢ ({3} ∪ ∅) = {3}
24	21, 22, 23	3eqtri 2758	. 2 ⊢ (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = {3}
25	2, 3, 24	3eqtri 2758	1 ⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4576  {cpr 4578  1c1 11004  3c3 12178  8c8 12183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191

This theorem is referenced by: (None)