Theorem ex-dif 30752

Description: Example for df-dif 3909. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-dif	⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Proof of Theorem ex-dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4593	. . 3 ⊢ {1, 3} = ({1} ∪ {3})
2	1	difeq1i 4078	. 2 ⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8})
3		difundir 4245	. 2 ⊢ (({1} ∪ {3}) ∖ {1, 8}) = (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8}))
4		snsspr1 4781	. . . . 5 ⊢ {1} ⊆ {1, 8}
5		ssdif0 4322	. . . . 5 ⊢ ({1} ⊆ {1, 8} ↔ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅)
6	4, 5	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ({1} ∖ {1, 8}) = ∅
7		incom 4163	. . . . . . 7 ⊢ ({3} ∩ {1, 8}) = ({1, 8} ∩ {3})
8		1re 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		1lt3 12417	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 3
10	8, 9	gtneii 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 1
11		3re 12322	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
12		3lt8 12440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 8
13	11, 12	ltneii 11324	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 8
14	10, 13	nelpri 4622	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 8}
15		disjsn 4678	. . . . . . . 8 ⊢ (({1, 8} ∩ {3}) = ∅ ↔ ¬ 3 ∈ {1, 8})
16	14, 15	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 8} ∩ {3}) = ∅
17	7, 16	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ({3} ∩ {1, 8}) = ∅
18		disj3 4415	. . . . . 6 ⊢ (({3} ∩ {1, 8}) = ∅ ↔ {3} = ({3} ∖ {1, 8}))
19	17, 18	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ {3} = ({3} ∖ {1, 8})
20	19	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ ({3} ∖ {1, 8}) = {3}
21	6, 20	uneq12i 4121	. . 3 ⊢ (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = (∅ ∪ {3})
22		uncom 4113	. . 3 ⊢ (∅ ∪ {3}) = ({3} ∪ ∅)
23		un0 4352	. . 3 ⊢ ({3} ∪ ∅) = {3}
24	21, 22, 23	3eqtri 2790	. 2 ⊢ (({1} ∖ {1, 8}) ∪ ({3} ∖ {1, 8})) = {3}
25	2, 3, 24	3eqtri 2790	1 ⊢ ({1, 3} ∖ {1, 8}) = {3}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590  {cpr 4592  1c1 11102  3c3 12297  8c8 12302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310

This theorem is referenced by: (None)