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Theorem carsgclctunlem1 32974
Description: Lemma for carsgclctun 32978. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
carsgsiga.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
fiunelcarsg.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
carsgclctunlem1.1 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
carsgclctunlem1.2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝐴(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐸,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem1
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4877 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ βˆ…)
21ineq2d 4173 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž) = (𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…))
32fveq2d 6847 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…)))
4 esumeq1 32690 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
53, 4eqeq12d 2749 . 2 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ↔ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…)) = Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
6 unieq 4877 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ 𝑏)
76ineq2d 4173 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏))
87fveq2d 6847 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)))
9 esumeq1 32690 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
108, 9eqeq12d 2749 . 2 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ↔ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
11 unieq 4877 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))
1211ineq2d 4173 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž) = (𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})))
1312fveq2d 6847 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))))
14 esumeq1 32690 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
1513, 14eqeq12d 2749 . 2 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ↔ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
16 unieq 4877 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ 𝐴)
1716ineq2d 4173 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴))
1817fveq2d 6847 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)))
19 esumeq1 32690 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝐴(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
2018, 19eqeq12d 2749 . 2 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ↔ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝐴(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
21 carsgsiga.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
22 uni0 4897 . . . . . 6 βˆͺ βˆ… = βˆ…
2322ineq2i 4170 . . . . 5 (𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…) = (𝐸 ∩ βˆ…)
24 in0 4352 . . . . 5 (𝐸 ∩ βˆ…) = βˆ…
2523, 24eqtri 2761 . . . 4 (𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…) = βˆ…
2625fveq2i 6846 . . 3 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…)) = (π‘€β€˜βˆ…)
27 esumnul 32704 . . 3 Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = 0
2821, 26, 273eqtr4g 2798 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…)) = Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
29 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
3029eqcomd 2739 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)))
31 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
3231ineq2d 4173 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (𝐸 ∩ 𝑦) = (𝐸 ∩ π‘₯))
3332fveq2d 6847 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)))
34 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))
35 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
3635adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
37 carsgclctunlem1.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3837adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3938elpwincl1 31496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝐸 ∩ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂)
4036, 39ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)) ∈ (0[,]+∞))
4133, 34, 40esumsn 32721 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)))
4241adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)))
4330, 42oveq12d 7376 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))))
44 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏)))
45 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑦𝑏
46 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑦{π‘₯}
47 vex 3448 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ 𝑏 ∈ V)
49 vsnex 5387 . . . . . . 7 {π‘₯} ∈ V
5049a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ {π‘₯} ∈ V)
5134eldifbd 3924 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑏)
52 disjsn 4673 . . . . . . 7 ((𝑏 ∩ {π‘₯}) = βˆ… ↔ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑏)
5351, 52sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝑏 ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
5435ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
5537ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
5655elpwincl1 31496 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ (𝐸 ∩ 𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
5754, 56ffvelcdmd 7037 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
5835ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
5937ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
6059elpwincl1 31496 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ (𝐸 ∩ 𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
6158, 60ffvelcdmd 7037 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
6244, 45, 46, 48, 50, 53, 57, 61esumsplit 32709 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
6362adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
64 uniun 4892 . . . . . . . 8 βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆͺ {π‘₯})
65 unisnv 4889 . . . . . . . . 9 βˆͺ {π‘₯} = π‘₯
6665uneq2i 4121 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆͺ {π‘₯}) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)
6764, 66eqtri 2761 . . . . . . 7 βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)
6867ineq2i 4170 . . . . . 6 (𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})) = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))
6968fveq2i 6846 . . . . 5 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)))
70 inass 4180 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏) = (𝐸 ∩ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝑏))
71 indir 4236 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝑏) = ((βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) βˆͺ (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏))
72 inidm 4179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆͺ 𝑏
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆͺ 𝑏)
74 incom 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ 𝑏 ∩ π‘₯) = (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏)
75 carsgclctunlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
7675adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
77 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
7877adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
7976, 78, 34disjuniel 31561 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (βˆͺ 𝑏 ∩ π‘₯) = βˆ…)
8074, 79eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ…)
8173, 80uneq12d 4125 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) βˆͺ (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏)) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆ…))
82 un0 4351 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆ…) = βˆͺ 𝑏
8381, 82eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) βˆͺ (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏)) = βˆͺ 𝑏)
8471, 83eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆͺ 𝑏)
8584ineq2d 4173 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝐸 ∩ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝑏)) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏))
8670, 85eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏))
8786fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)))
88 indif2 4231 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∩ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏)) = ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏)
89 uncom 4114 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) = (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝑏)
9089difeq1i 4079 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏) = ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝑏) βˆ– βˆͺ 𝑏)
91 difun2 4441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝑏) βˆ– βˆͺ 𝑏) = (π‘₯ βˆ– βˆͺ 𝑏)
92 disj3 4414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ… ↔ π‘₯ = (π‘₯ βˆ– βˆͺ 𝑏))
9392biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ… β†’ π‘₯ = (π‘₯ βˆ– βˆͺ 𝑏))
9491, 93eqtr4id 2792 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ… β†’ ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝑏) βˆ– βˆͺ 𝑏) = π‘₯)
9590, 94eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ… β†’ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏) = π‘₯)
9680, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏) = π‘₯)
9796ineq2d 4173 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝐸 ∩ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏)) = (𝐸 ∩ π‘₯))
9888, 97eqtr3id 2787 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏) = (𝐸 ∩ π‘₯))
9998fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)))
10087, 99oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))))
101 carsgval.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
102101adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
10335adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
10421adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
105 carsgsiga.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
1061053adant1r 1178 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
107 fiunelcarsg.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
108 ssfi 9120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
109107, 108sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
110 fiunelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
111110adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
11277, 111sstrd 3955 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
113102, 103, 104, 106, 109, 112fiunelcarsg 32973 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
114101, 35elcarsg 32962 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ (βˆͺ 𝑏 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’))))
115114adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ (βˆͺ 𝑏 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’))))
116113, 115mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ 𝑏 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’)))
117116simprd 497 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’))
118117adantrr 716 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’))
11938elpwincl1 31496 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∈ 𝒫 𝑂)
120 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)))
121120ineq1d 4172 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏) = ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏))
122121fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) = (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)))
123120difeq1d 4082 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏) = ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))
124123fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏)) = (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏)))
125122, 124oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))))
126120fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (π‘€β€˜π‘’) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))))
127125, 126eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’) ↔ ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)))))
128119, 127rspcdv 3572 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’) β†’ ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)))))
129118, 128mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))))
130100, 129eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))))
131130adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))))
13269, 131eqtr4id 2792 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))))
13343, 63, 1323eqtr4rd 2784 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
134133ex 414 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
1355, 10, 15, 20, 28, 134, 107findcard2d 9113 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝐴(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866  Disj wdisj 5071   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Ο‰com 7803   β‰Ό cdom 8884  Fincfn 8886  0cc0 11056  +∞cpnf 11191   ≀ cle 11195   +𝑒 cxad 13036  [,]cicc 13273  Ξ£*cesum 32683  toCaraSigaccarsg 32958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-ordt 17388  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-plusf 18501  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-subrg 20234  df-abv 20290  df-lmod 20338  df-scaf 20339  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494  df-trg 23527  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-ii 24256  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-esum 32684  df-carsg 32959
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