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Theorem carsgclctunlem1 33615
Description: Lemma for carsgclctun 33619. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
carsgsiga.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
fiunelcarsg.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
carsgclctunlem1.1 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
carsgclctunlem1.2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝐴(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐸,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem1
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4919 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ βˆ…)
21ineq2d 4212 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž) = (𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…))
32fveq2d 6895 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…)))
4 esumeq1 33331 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
53, 4eqeq12d 2747 . 2 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ↔ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…)) = Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
6 unieq 4919 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ 𝑏)
76ineq2d 4212 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏))
87fveq2d 6895 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)))
9 esumeq1 33331 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
108, 9eqeq12d 2747 . 2 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ↔ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
11 unieq 4919 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))
1211ineq2d 4212 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž) = (𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})))
1312fveq2d 6895 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))))
14 esumeq1 33331 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
1513, 14eqeq12d 2747 . 2 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ↔ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
16 unieq 4919 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ 𝐴)
1716ineq2d 4212 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴))
1817fveq2d 6895 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)))
19 esumeq1 33331 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝐴(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
2018, 19eqeq12d 2747 . 2 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ↔ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝐴(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
21 carsgsiga.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
22 uni0 4939 . . . . . 6 βˆͺ βˆ… = βˆ…
2322ineq2i 4209 . . . . 5 (𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…) = (𝐸 ∩ βˆ…)
24 in0 4391 . . . . 5 (𝐸 ∩ βˆ…) = βˆ…
2523, 24eqtri 2759 . . . 4 (𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…) = βˆ…
2625fveq2i 6894 . . 3 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…)) = (π‘€β€˜βˆ…)
27 esumnul 33345 . . 3 Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = 0
2821, 26, 273eqtr4g 2796 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…)) = Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
29 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
3029eqcomd 2737 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)))
31 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
3231ineq2d 4212 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (𝐸 ∩ 𝑦) = (𝐸 ∩ π‘₯))
3332fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)))
34 simprr 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))
35 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
37 carsgclctunlem1.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3837adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3938elpwincl1 32031 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝐸 ∩ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂)
4036, 39ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)) ∈ (0[,]+∞))
4133, 34, 40esumsn 33362 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)))
4241adantr 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)))
4330, 42oveq12d 7430 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))))
44 nfv 1916 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏)))
45 nfcv 2902 . . . . . 6 Ⅎ𝑦𝑏
46 nfcv 2902 . . . . . 6 Ⅎ𝑦{π‘₯}
47 vex 3477 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ 𝑏 ∈ V)
49 vsnex 5429 . . . . . . 7 {π‘₯} ∈ V
5049a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ {π‘₯} ∈ V)
5134eldifbd 3961 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑏)
52 disjsn 4715 . . . . . . 7 ((𝑏 ∩ {π‘₯}) = βˆ… ↔ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑏)
5351, 52sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝑏 ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
5435ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
5537ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
5655elpwincl1 32031 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ (𝐸 ∩ 𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
5754, 56ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
5835ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
5937ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
6059elpwincl1 32031 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ (𝐸 ∩ 𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
6158, 60ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
6244, 45, 46, 48, 50, 53, 57, 61esumsplit 33350 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
6362adantr 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
64 uniun 4934 . . . . . . . 8 βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆͺ {π‘₯})
65 unisnv 4931 . . . . . . . . 9 βˆͺ {π‘₯} = π‘₯
6665uneq2i 4160 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆͺ {π‘₯}) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)
6764, 66eqtri 2759 . . . . . . 7 βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)
6867ineq2i 4209 . . . . . 6 (𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})) = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))
6968fveq2i 6894 . . . . 5 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)))
70 inass 4219 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏) = (𝐸 ∩ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝑏))
71 indir 4275 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝑏) = ((βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) βˆͺ (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏))
72 inidm 4218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆͺ 𝑏
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆͺ 𝑏)
74 incom 4201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ 𝑏 ∩ π‘₯) = (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏)
75 carsgclctunlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
77 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
7877adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
7976, 78, 34disjuniel 32096 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (βˆͺ 𝑏 ∩ π‘₯) = βˆ…)
8074, 79eqtr3id 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ…)
8173, 80uneq12d 4164 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) βˆͺ (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏)) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆ…))
82 un0 4390 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆ…) = βˆͺ 𝑏
8381, 82eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) βˆͺ (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏)) = βˆͺ 𝑏)
8471, 83eqtrid 2783 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆͺ 𝑏)
8584ineq2d 4212 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝐸 ∩ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝑏)) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏))
8670, 85eqtrid 2783 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏))
8786fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)))
88 indif2 4270 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∩ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏)) = ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏)
89 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) = (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝑏)
9089difeq1i 4118 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏) = ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝑏) βˆ– βˆͺ 𝑏)
91 difun2 4480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝑏) βˆ– βˆͺ 𝑏) = (π‘₯ βˆ– βˆͺ 𝑏)
92 disj3 4453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ… ↔ π‘₯ = (π‘₯ βˆ– βˆͺ 𝑏))
9392biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ… β†’ π‘₯ = (π‘₯ βˆ– βˆͺ 𝑏))
9491, 93eqtr4id 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ… β†’ ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝑏) βˆ– βˆͺ 𝑏) = π‘₯)
9590, 94eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ… β†’ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏) = π‘₯)
9680, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏) = π‘₯)
9796ineq2d 4212 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝐸 ∩ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏)) = (𝐸 ∩ π‘₯))
9888, 97eqtr3id 2785 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏) = (𝐸 ∩ π‘₯))
9998fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)))
10087, 99oveq12d 7430 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))))
101 carsgval.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
10335adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
10421adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
105 carsgsiga.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
1061053adant1r 1176 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
107 fiunelcarsg.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
108 ssfi 9177 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
109107, 108sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
110 fiunelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
11277, 111sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
113102, 103, 104, 106, 109, 112fiunelcarsg 33614 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
114101, 35elcarsg 33603 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ (βˆͺ 𝑏 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’))))
115114adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ (βˆͺ 𝑏 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’))))
116113, 115mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ 𝑏 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’)))
117116simprd 495 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’))
118117adantrr 714 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’))
11938elpwincl1 32031 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∈ 𝒫 𝑂)
120 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)))
121120ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏) = ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏))
122121fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) = (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)))
123120difeq1d 4121 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏) = ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))
124123fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏)) = (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏)))
125122, 124oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))))
126120fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (π‘€β€˜π‘’) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))))
127125, 126eqeq12d 2747 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’) ↔ ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)))))
128119, 127rspcdv 3604 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’) β†’ ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)))))
129118, 128mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))))
130100, 129eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))))
131130adantr 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))))
13269, 131eqtr4id 2790 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))))
13343, 63, 1323eqtr4rd 2782 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
134133ex 412 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
1355, 10, 15, 20, 28, 134, 107findcard2d 9170 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝐴(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Ο‰com 7859   β‰Ό cdom 8941  Fincfn 8943  0cc0 11114  +∞cpnf 11250   ≀ cle 11254   +𝑒 cxad 13095  [,]cicc 13332  Ξ£*cesum 33324  toCaraSigaccarsg 33599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-ordt 17452  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-plusf 18565  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-abv 20569  df-lmod 20617  df-scaf 20618  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-tmd 23797  df-tgp 23798  df-tsms 23852  df-trg 23885  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-nm 24312  df-ngp 24313  df-nrg 24315  df-nlm 24316  df-ii 24618  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-esum 33325  df-carsg 33600
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