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Theorem carsgclctunlem1 33316
Description: Lemma for carsgclctun 33320. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
carsgsiga.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
fiunelcarsg.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
carsgclctunlem1.1 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
carsgclctunlem1.2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝐴(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐸,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem1
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4920 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ βˆ…)
21ineq2d 4213 . . . 4 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž) = (𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…))
32fveq2d 6896 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…)))
4 esumeq1 33032 . . 3 (π‘Ž = βˆ… β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
53, 4eqeq12d 2749 . 2 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ↔ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…)) = Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
6 unieq 4920 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ 𝑏)
76ineq2d 4213 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏))
87fveq2d 6896 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)))
9 esumeq1 33032 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
108, 9eqeq12d 2749 . 2 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ↔ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
11 unieq 4920 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))
1211ineq2d 4213 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž) = (𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})))
1312fveq2d 6896 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))))
14 esumeq1 33032 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
1513, 14eqeq12d 2749 . 2 (π‘Ž = (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ↔ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
16 unieq 4920 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ βˆͺ π‘Ž = βˆͺ 𝐴)
1716ineq2d 4213 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴))
1817fveq2d 6896 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)))
19 esumeq1 33032 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝐴(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
2018, 19eqeq12d 2749 . 2 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘Ž)) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘Ž(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ↔ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝐴(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
21 carsgsiga.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
22 uni0 4940 . . . . . 6 βˆͺ βˆ… = βˆ…
2322ineq2i 4210 . . . . 5 (𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…) = (𝐸 ∩ βˆ…)
24 in0 4392 . . . . 5 (𝐸 ∩ βˆ…) = βˆ…
2523, 24eqtri 2761 . . . 4 (𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…) = βˆ…
2625fveq2i 6895 . . 3 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…)) = (π‘€β€˜βˆ…)
27 esumnul 33046 . . 3 Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = 0
2821, 26, 273eqtr4g 2798 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ βˆ…)) = Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
29 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
3029eqcomd 2739 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)))
31 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
3231ineq2d 4213 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (𝐸 ∩ 𝑦) = (𝐸 ∩ π‘₯))
3332fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)))
34 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))
35 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
3635adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
37 carsgclctunlem1.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3837adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3938elpwincl1 31763 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝐸 ∩ π‘₯) ∈ 𝒫 𝑂)
4036, 39ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)) ∈ (0[,]+∞))
4133, 34, 40esumsn 33063 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)))
4241adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)))
4330, 42oveq12d 7427 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))))
44 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏)))
45 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑦𝑏
46 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑦{π‘₯}
47 vex 3479 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ 𝑏 ∈ V)
49 vsnex 5430 . . . . . . 7 {π‘₯} ∈ V
5049a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ {π‘₯} ∈ V)
5134eldifbd 3962 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑏)
52 disjsn 4716 . . . . . . 7 ((𝑏 ∩ {π‘₯}) = βˆ… ↔ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑏)
5351, 52sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝑏 ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
5435ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
5537ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
5655elpwincl1 31763 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ (𝐸 ∩ 𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
5754, 56ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
5835ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
5937ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
6059elpwincl1 31763 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ (𝐸 ∩ 𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
6158, 60ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {π‘₯}) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
6244, 45, 46, 48, 50, 53, 57, 61esumsplit 33051 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
6362adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘₯} (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
64 uniun 4935 . . . . . . . 8 βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆͺ {π‘₯})
65 unisnv 4932 . . . . . . . . 9 βˆͺ {π‘₯} = π‘₯
6665uneq2i 4161 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆͺ {π‘₯}) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)
6764, 66eqtri 2761 . . . . . . 7 βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)
6867ineq2i 4210 . . . . . 6 (𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})) = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))
6968fveq2i 6895 . . . . 5 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)))
70 inass 4220 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏) = (𝐸 ∩ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝑏))
71 indir 4276 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝑏) = ((βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) βˆͺ (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏))
72 inidm 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆͺ 𝑏
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆͺ 𝑏)
74 incom 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ 𝑏 ∩ π‘₯) = (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏)
75 carsgclctunlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
7675adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝑦)
77 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
7877adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
7976, 78, 34disjuniel 31828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (βˆͺ 𝑏 ∩ π‘₯) = βˆ…)
8074, 79eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ…)
8173, 80uneq12d 4165 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) βˆͺ (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏)) = (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆ…))
82 un0 4391 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆͺ 𝑏 βˆͺ βˆ…) = βˆͺ 𝑏
8381, 82eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((βˆͺ 𝑏 ∩ βˆͺ 𝑏) βˆͺ (π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏)) = βˆͺ 𝑏)
8471, 83eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆͺ 𝑏)
8584ineq2d 4213 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝐸 ∩ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝑏)) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏))
8670, 85eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏))
8786fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)))
88 indif2 4271 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∩ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏)) = ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏)
89 uncom 4154 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) = (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝑏)
9089difeq1i 4119 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏) = ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝑏) βˆ– βˆͺ 𝑏)
91 difun2 4481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝑏) βˆ– βˆͺ 𝑏) = (π‘₯ βˆ– βˆͺ 𝑏)
92 disj3 4454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ… ↔ π‘₯ = (π‘₯ βˆ– βˆͺ 𝑏))
9392biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ… β†’ π‘₯ = (π‘₯ βˆ– βˆͺ 𝑏))
9491, 93eqtr4id 2792 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ… β†’ ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝑏) βˆ– βˆͺ 𝑏) = π‘₯)
9590, 94eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∩ βˆͺ 𝑏) = βˆ… β†’ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏) = π‘₯)
9680, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏) = π‘₯)
9796ineq2d 4213 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝐸 ∩ ((βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯) βˆ– βˆͺ 𝑏)) = (𝐸 ∩ π‘₯))
9888, 97eqtr3id 2787 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏) = (𝐸 ∩ π‘₯))
9998fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯)))
10087, 99oveq12d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))))
101 carsgval.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
102101adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
10335adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
10421adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
105 carsgsiga.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
1061053adant1r 1178 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
107 fiunelcarsg.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
108 ssfi 9173 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
109107, 108sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
110 fiunelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
111110adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
11277, 111sstrd 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
113102, 103, 104, 106, 109, 112fiunelcarsg 33315 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
114101, 35elcarsg 33304 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ (βˆͺ 𝑏 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’))))
115114adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ 𝑏 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ (βˆͺ 𝑏 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’))))
116113, 115mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ 𝑏 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’)))
117116simprd 497 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’))
118117adantrr 716 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’))
11938elpwincl1 31763 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∈ 𝒫 𝑂)
120 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)))
121120ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏) = ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏))
122121fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) = (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)))
123120difeq1d 4122 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏) = ((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))
124123fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏)) = (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏)))
125122, 124oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))))
126120fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (π‘€β€˜π‘’) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))))
127125, 126eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))) β†’ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’) ↔ ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)))))
128119, 127rspcdv 3605 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜π‘’) β†’ ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)))))
129118, 128mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯)) βˆ– βˆͺ 𝑏))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))))
130100, 129eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))))
131130adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ (βˆͺ 𝑏 βˆͺ π‘₯))))
13269, 131eqtr4id 2792 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 ∩ π‘₯))))
13343, 63, 1323eqtr4rd 2784 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
134133ex 414 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑏))) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑏)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑏(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ (𝑏 βˆͺ {π‘₯}))) = Ξ£*𝑦 ∈ (𝑏 βˆͺ {π‘₯})(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦))))
1355, 10, 15, 20, 28, 134, 107findcard2d 9166 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝐴(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855   β‰Ό cdom 8937  Fincfn 8939  0cc0 11110  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249   +𝑒 cxad 13090  [,]cicc 13327  Ξ£*cesum 33025  toCaraSigaccarsg 33300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-plusf 18560  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-abv 20425  df-lmod 20473  df-scaf 20474  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tmd 23576  df-tgp 23577  df-tsms 23631  df-trg 23664  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-ii 24393  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-esum 33026  df-carsg 33301
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