Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctunlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgclctunlem1 34319
Description: Lemma for carsgclctun 34323. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
fiunelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
carsgclctunlem1.1 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦)
carsgclctunlem1.2 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem1
Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4918 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → 𝑎 = ∅)
21ineq2d 4220 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (𝐸 𝑎) = (𝐸 ∅))
32fveq2d 6910 . . 3 (𝑎 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 ∅)))
4 esumeq1 34035 . . 3 (𝑎 = ∅ → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦)))
53, 4eqeq12d 2753 . 2 (𝑎 = ∅ → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 ∅)) = Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦))))
6 unieq 4918 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏)
76ineq2d 4220 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝐸 𝑎) = (𝐸 𝑏))
87fveq2d 6910 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 𝑏)))
9 esumeq1 34035 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)))
108, 9eqeq12d 2753 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))))
11 unieq 4918 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}))
1211ineq2d 4220 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (𝐸 𝑎) = (𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥})))
1312fveq2d 6910 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))))
14 esumeq1 34035 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)))
1513, 14eqeq12d 2753 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦))))
16 unieq 4918 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 𝑎 = 𝐴)
1716ineq2d 4220 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝐸 𝑎) = (𝐸 𝐴))
1817fveq2d 6910 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 𝐴)))
19 esumeq1 34035 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦)))
2018, 19eqeq12d 2753 . 2 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦))))
21 carsgsiga.1 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
22 uni0 4935 . . . . . 6 ∅ = ∅
2322ineq2i 4217 . . . . 5 (𝐸 ∅) = (𝐸 ∩ ∅)
24 in0 4395 . . . . 5 (𝐸 ∩ ∅) = ∅
2523, 24eqtri 2765 . . . 4 (𝐸 ∅) = ∅
2625fveq2i 6909 . . 3 (𝑀‘(𝐸 ∅)) = (𝑀‘∅)
27 esumnul 34049 . . 3 Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦)) = 0
2821, 26, 273eqtr4g 2802 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∅)) = Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦)))
29 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)))
3029eqcomd 2743 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸 𝑏)))
31 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
3231ineq2d 4220 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐸𝑦) = (𝐸𝑥))
3332fveq2d 6910 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
34 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝑏))
35 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
37 carsgclctunlem1.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3837adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3938elpwincl1 32544 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
4036, 39ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑀‘(𝐸𝑥)) ∈ (0[,]+∞))
4133, 34, 40esumsn 34066 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
4241adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
4330, 42oveq12d 7449 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦))) = ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))))
44 nfv 1914 . . . . . 6 𝑦(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏)))
45 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑦𝑏
46 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑦{𝑥}
47 vex 3484 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏 ∈ V)
49 vsnex 5434 . . . . . . 7 {𝑥} ∈ V
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → {𝑥} ∈ V)
5134eldifbd 3964 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ¬ 𝑥𝑏)
52 disjsn 4711 . . . . . . 7 ((𝑏 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥𝑏)
5351, 52sylibr 234 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑏 ∩ {𝑥}) = ∅)
5435ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5537ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
5655elpwincl1 32544 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → (𝐸𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
5754, 56ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → (𝑀‘(𝐸𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
5835ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5937ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
6059elpwincl1 32544 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → (𝐸𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
6158, 60ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → (𝑀‘(𝐸𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
6244, 45, 46, 48, 50, 53, 57, 61esumsplit 34054 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)) = (Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦))))
6362adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)) = (Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦))))
64 uniun 4930 . . . . . . . 8 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏 {𝑥})
65 unisnv 4927 . . . . . . . . 9 {𝑥} = 𝑥
6665uneq2i 4165 . . . . . . . 8 ( 𝑏 {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
6764, 66eqtri 2765 . . . . . . 7 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
6867ineq2i 4217 . . . . . 6 (𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥})) = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))
6968fveq2i 6909 . . . . 5 (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))
70 inass 4228 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏) = (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏))
71 indir 4286 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏) = (( 𝑏 𝑏) ∪ (𝑥 𝑏))
72 inidm 4227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑏 𝑏) = 𝑏
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑏 𝑏) = 𝑏)
74 incom 4209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑏𝑥) = (𝑥 𝑏)
75 carsgclctunlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → Disj 𝑦𝐴 𝑦)
77 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
7877adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏𝐴)
7976, 78, 34disjuniel 32610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑏𝑥) = ∅)
8074, 79eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑥 𝑏) = ∅)
8173, 80uneq12d 4169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏 𝑏) ∪ (𝑥 𝑏)) = ( 𝑏 ∪ ∅))
82 un0 4394 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑏 ∪ ∅) = 𝑏
8381, 82eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏 𝑏) ∪ (𝑥 𝑏)) = 𝑏)
8471, 83eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏) = 𝑏)
8584ineq2d 4220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏)) = (𝐸 𝑏))
8670, 85eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏) = (𝐸 𝑏))
8786fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) = (𝑀‘(𝐸 𝑏)))
88 indif2 4281 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏)) = ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏)
89 uncom 4158 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑏𝑥) = (𝑥 𝑏)
9089difeq1i 4122 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏) = ((𝑥 𝑏) ∖ 𝑏)
91 difun2 4481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑏) ∖ 𝑏) = (𝑥 𝑏)
92 disj3 4454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 𝑏) = ∅ ↔ 𝑥 = (𝑥 𝑏))
9392biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑏) = ∅ → 𝑥 = (𝑥 𝑏))
9491, 93eqtr4id 2796 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝑏) = ∅ → ((𝑥 𝑏) ∖ 𝑏) = 𝑥)
9590, 94eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝑏) = ∅ → (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏) = 𝑥)
9680, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏) = 𝑥)
9796ineq2d 4220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏)) = (𝐸𝑥))
9888, 97eqtr3id 2791 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏) = (𝐸𝑥))
9998fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
10087, 99oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))))
101 carsgval.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑂𝑉)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑂𝑉)
10335adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
10421adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
105 carsgsiga.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
1061053adant1r 1178 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
107 fiunelcarsg.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
108 ssfi 9213 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
109107, 108sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
110 fiunelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
11277, 111sstrd 3994 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
113102, 103, 104, 106, 109, 112fiunelcarsg 34318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
114101, 35elcarsg 34307 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ( 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ( 𝑏𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))))
115114adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐴) → ( 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ( 𝑏𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))))
116113, 115mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐴) → ( 𝑏𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒)))
117116simprd 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐴) → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))
118117adantrr 717 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))
11938elpwincl1 32544 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∈ 𝒫 𝑂)
120 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))
121120ineq1d 4219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑒 𝑏) = ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏))
122121fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑀‘(𝑒 𝑏)) = (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)))
123120difeq1d 4125 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑒 𝑏) = ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))
124123fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑀‘(𝑒 𝑏)) = (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏)))
125122, 124oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → ((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))))
126120fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑀𝑒) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
127125, 126eqeq12d 2753 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒) ↔ ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))))
128119, 127rspcdv 3614 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒) → ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))))
129118, 128mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
130100, 129eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
131130adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
13269, 131eqtr4id 2796 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))))
13343, 63, 1323eqtr4rd 2788 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)))
134133ex 412 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) → (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦))))
1355, 10, 15, 20, 28, 134, 107findcard2d 9206 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   cuni 4907  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8983  Fincfn 8985  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  cle 11296   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  Σ*cesum 34028  toCaraSigaccarsg 34303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-tsms 24135  df-trg 24168  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-esum 34029  df-carsg 34304
This theorem is referenced by:  carsggect  34320  carsgclctunlem2  34321
  Copyright terms: Public domain W3C validator