Theorem iccdifprioo 45501

Description: An open interval is the closed interval without the bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iccdifprioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem iccdifprioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prunioo 13402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
2	1	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
3	2	difeq1d 4078	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ∖ {𝐴, 𝐵}))
4		difun2 4434	. . . . 5 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ∖ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵})
5		iooinlbub 45486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅
6		disj3 4407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ (𝐴(,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}))
7	5, 6	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵})
8	4, 7	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵)
9	3, 8	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
10	9	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
11		difssd 4090	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
12		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
13		xrlenlt 11199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
15	12, 14	mtbid 324	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ ¬ 𝐵 < 𝐴)
16	15	notnotrd 133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
17		icc0 13314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
19	16, 18	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
20	11, 19	sseqtrd 3974	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) ⊆ ∅)
21		ss0 4355	. . . 4 ⊢ (((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) ⊆ ∅ → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
23		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25	23, 24, 16	xrltled 13070	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
26		ioo0 13291	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
28	25, 27	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
29	22, 28	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
30	10, 29	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {cpr 4581   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  (,)cioo 13266  [,]cicc 13269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-icc 13273

This theorem is referenced by: (None)