Theorem iccdifprioo 45975

Description: An open interval is the closed interval without the bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iccdifprioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem iccdifprioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prunioo 13429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
2	1	eqcomd 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
3	2	difeq1d 4059	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ∖ {𝐴, 𝐵}))
4		difun2 4412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ∖ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵})
5		iooinlbub 45960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅
6		disj3 4385	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ (𝐴(,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}))
7	5, 6	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵})
8	4, 7	eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵)
9	3, 8	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
10	9	3expa 1125	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
11		difssd 4070	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
12		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
13		xrlenlt 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
14	13	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
15	12, 14	mtbid 326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ ¬ 𝐵 < 𝐴)
16	15	notnotrd 133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
17		icc0 13341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
18	17	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
19	16, 18	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
20	11, 19	sseqtrd 3953	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) ⊆ ∅)
21		ss0 4333	. . . 4 ⊢ (((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) ⊆ ∅ → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
23		simplr 775	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24		simpll 773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25	23, 24, 16	xrltled 13096	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
26		ioo0 13318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
27	26	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
28	25, 27	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
29	22, 28	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))
30	10, 29	pm2.61dan 819	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∖ cdif 3882   ∪ cun 3883   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  {cpr 4560   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175  (,)cioo 13293  [,]cicc 13296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300

This theorem is referenced by: (None)