Theorem fzodif1 32800

Description: Set difference of two half-open range of sequential integers sharing the same starting value. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fzodif1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ∖ (𝑀..^𝐾)) = (𝐾..^𝑁))

Proof of Theorem fzodif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzosplit 13728	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀..^𝑁) = ((𝑀..^𝐾) ∪ (𝐾..^𝑁)))
2	1	difeq1d 4134	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ∖ (𝑀..^𝐾)) = (((𝑀..^𝐾) ∪ (𝐾..^𝑁)) ∖ (𝑀..^𝐾)))
3		difundir 4296	. . 3 ⊢ (((𝑀..^𝐾) ∪ (𝐾..^𝑁)) ∖ (𝑀..^𝐾)) = (((𝑀..^𝐾) ∖ (𝑀..^𝐾)) ∪ ((𝐾..^𝑁) ∖ (𝑀..^𝐾)))
4		difid 4381	. . . 4 ⊢ ((𝑀..^𝐾) ∖ (𝑀..^𝐾)) = ∅
5		incom 4216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾..^𝑁) ∩ (𝑀..^𝐾)) = ((𝑀..^𝐾) ∩ (𝐾..^𝑁))
6		fzodisj 13729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀..^𝐾) ∩ (𝐾..^𝑁)) = ∅
7	5, 6	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾..^𝑁) ∩ (𝑀..^𝐾)) = ∅
8		disj3 4459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾..^𝑁) ∩ (𝑀..^𝐾)) = ∅ ↔ (𝐾..^𝑁) = ((𝐾..^𝑁) ∖ (𝑀..^𝐾)))
9	7, 8	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (𝐾..^𝑁) = ((𝐾..^𝑁) ∖ (𝑀..^𝐾))
10	9	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ ((𝐾..^𝑁) ∖ (𝑀..^𝐾)) = (𝐾..^𝑁)
11	4, 10	uneq12i 4175	. . 3 ⊢ (((𝑀..^𝐾) ∖ (𝑀..^𝐾)) ∪ ((𝐾..^𝑁) ∖ (𝑀..^𝐾))) = (∅ ∪ (𝐾..^𝑁))
12		0un 4401	. . 3 ⊢ (∅ ∪ (𝐾..^𝑁)) = (𝐾..^𝑁)
13	3, 11, 12	3eqtri 2766	. 2 ⊢ (((𝑀..^𝐾) ∪ (𝐾..^𝑁)) ∖ (𝑀..^𝐾)) = (𝐾..^𝑁)
14	2, 13	eqtrdi 2790	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ∖ (𝑀..^𝐾)) = (𝐾..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3959   ∪ cun 3960   ∩ cin 3961  ∅c0 4338  (class class class)co 7430  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  33157