Theorem elcls2 21286

Description: Membership in a closure. (Contributed by NM, 5-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
elcls2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem elcls2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clsss3 21271	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
3		ssel 3815	. . . 4 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃 ∈ 𝑋))
4	3	pm4.71rd 558	. . 3 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
6	1	elcls 21285	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
7	6	3expa 1108	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
8	7	pm5.32da 574	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
9	5, 8	bitrd 271	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  ∪ cuni 4671  ‘cfv 6135  Topctop 21105  clsccl 21230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-top 21106  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233

This theorem is referenced by:  1stcelcls  21673  tsmsgsum  22350