Theorem elcls2 23039

Description: Membership in a closure. (Contributed by NM, 5-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
elcls2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem elcls2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clsss3 23024	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
3		ssel 3915	. . . 4 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃 ∈ 𝑋))
4	3	pm4.71rd 562	. . 3 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
6	1	elcls 23038	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
7	6	3expa 1119	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
8	7	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))
9	5, 8	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  Topctop 22858  clsccl 22983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-top 22859  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986

This theorem is referenced by:  1stcelcls  23426  tsmsgsum  24104