Theorem clsndisj 21680

Description: Any open set containing a point that belongs to the closure of a subset intersects the subset. One direction of Theorem 6.5(a) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsndisj	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem clsndisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝐽 ∈ Top)
2		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
3		clscld.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	clsss3 21664	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
5	4	sseld 3914	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃 ∈ 𝑋))
6	5	3impia 1114	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
7		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
8	3	elcls 21678	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
9	8	biimpa 480	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
10	1, 2, 6, 7, 9	syl31anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
11		eleq2 2878	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ 𝑈))
12		ineq1 4131	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∩ 𝑆) = (𝑈 ∩ 𝑆))
13	12	neeq1d 3046	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑈 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
14	11, 13	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ 𝑈 → (𝑈 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
15	14	rspccv 3568	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑈 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑈 → (𝑈 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
16	15	imp32 422	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
17	10, 16	sylan 583	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ∪ cuni 4800  ‘cfv 6324  Topctop 21498  clsccl 21623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-top 21499  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626

This theorem is referenced by:  neindisj  21722  clsconn  22035  txcls  22209  ptclsg  22220  flimsncls  22591  hauspwpwf1  22592  met2ndci  23129  metdseq0  23459  heibor1lem  35247