MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsndisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clsndisj 21826
Description: Any open set containing a point that belongs to the closure of a subset intersects the subset. One direction of Theorem 6.5(a) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
clsndisj (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑈𝐽𝑃𝑈)) → (𝑈𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem clsndisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝐽 ∈ Top)
2 simp2 1138 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑋)
3 clscld.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
43clsss3 21810 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
54sseld 3876 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃𝑋))
653impia 1118 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑃𝑋)
7 simp3 1139 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
83elcls 21824 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
98biimpa 480 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
101, 2, 6, 7, 9syl31anc 1374 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
11 eleq2 2821 . . . . 5 (𝑥 = 𝑈 → (𝑃𝑥𝑃𝑈))
12 ineq1 4096 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑈 → (𝑥𝑆) = (𝑈𝑆))
1312neeq1d 2993 . . . . 5 (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑈𝑆) ≠ ∅))
1411, 13imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = 𝑈 → ((𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃𝑈 → (𝑈𝑆) ≠ ∅)))
1514rspccv 3523 . . 3 (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑈𝐽 → (𝑃𝑈 → (𝑈𝑆) ≠ ∅)))
1615imp32 422 . 2 ((∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ (𝑈𝐽𝑃𝑈)) → (𝑈𝑆) ≠ ∅)
1710, 16sylan 583 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑈𝐽𝑃𝑈)) → (𝑈𝑆) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  cin 3842  wss 3843  c0 4211   cuni 4796  cfv 6339  Topctop 21644  clsccl 21769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-top 21645  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772
This theorem is referenced by:  neindisj  21868  clsconn  22181  txcls  22355  ptclsg  22366  flimsncls  22737  hauspwpwf1  22738  met2ndci  23275  metdseq0  23606  heibor1lem  35590
  Copyright terms: Public domain W3C validator