Theorem clsndisj 23031

Description: Any open set containing a point that belongs to the closure of a subset intersects the subset. One direction of Theorem 6.5(a) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsndisj	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem clsndisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝐽 ∈ Top)
2		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
3		clscld.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	clsss3 23015	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
5	4	sseld 3934	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃 ∈ 𝑋))
6	5	3impia 1118	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
7		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
8	3	elcls 23029	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
9	8	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
10	1, 2, 6, 7, 9	syl31anc 1376	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
11		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ 𝑈))
12		ineq1 4167	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∩ 𝑆) = (𝑈 ∩ 𝑆))
13	12	neeq1d 2992	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑈 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
14	11, 13	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ 𝑈 → (𝑈 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
15	14	rspccv 3575	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑈 ∈ 𝐽 → (𝑃 ∈ 𝑈 → (𝑈 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
16	15	imp32 418	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
17	10, 16	sylan 581	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  Topctop 22849  clsccl 22974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-top 22850  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977

This theorem is referenced by:  neindisj  23073  clsconn  23386  txcls  23560  ptclsg  23571  flimsncls  23942  hauspwpwf1  23943  met2ndci  24478  metdseq0  24811  heibor1lem  38049