MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsgsum 22434
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z 0 = (0g𝐺)
tsmsid.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsid.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsid.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
tsmsgsum.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))

Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsid.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
42, 3istps 21230 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
51, 4sylib 219 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6 toponuni 21210 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 = 𝐽)
87eleq2d 2870 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 𝐽))
9 elfpw 8679 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
109simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
12 suppssdm 7701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
1412, 13fssdm 6405 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
1514ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
1611, 15unssd 4089 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ⊆ 𝐴)
17 elinel2 4100 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
19 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
2019ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹 finSupp 0 )
2120fsuppimpd 8693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
22 unfi 8638 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
2318, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
24 elfpw 8679 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin))
2516, 23, 24sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26 ssun1 4075 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → 𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))
2826, 27sseqtrrid 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → 𝑦𝑧)
29 pm5.5 363 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝑧 → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
31 reseq2 5736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → (𝐹𝑧) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))))
3231oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))))
3332eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
3430, 33bitrd 280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
3534rspcv 3557 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
3625, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
37 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
38 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
3938ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
40 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑉)
4140ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴𝑉)
4213ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴𝐵)
43 ssun2 4076 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))
452, 37, 39, 41, 42, 44, 20gsumres 18758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
4645eleq1d 2869 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
4736, 46sylibd 240 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
4847rexlimdva 3249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
4919fsuppimpd 8693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
50 elfpw 8679 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
5114, 49, 50sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5238ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐺 ∈ CMnd)
5340ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐴𝑉)
5413ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐹:𝐴𝐵)
55 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)
5619ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐹 finSupp 0 )
572, 37, 52, 53, 54, 55, 56gsumres 18758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) = (𝐺 Σg 𝐹))
58 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)
5957, 58eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)
6059expr 457 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
6160ralrimiva 3151 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
62 sseq1 3919 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹 supp 0 ) → (𝑦𝑧 ↔ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧))
6362rspceaimv 3569 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
6451, 61, 63syl2an2r 681 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
6564expr 457 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐽) → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
6648, 65impbid 213 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
67 disjsn 4560 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) = ∅ ↔ ¬ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)
6867necon2abii 3036 . . . . . . 7 ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢 ↔ (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)
6966, 68syl6bb 288 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))
7069imbi2d 342 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐽) → ((𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)))
7170ralbidva 3165 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)))
728, 71anbi12d 630 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
73 eqid 2797 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
742, 3, 73, 38, 1, 40, 13eltsms 22428 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))))
75 topontop 21209 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
765, 75syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
772, 37, 38, 40, 13, 19gsumcl 18760 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
7877snssd 4655 . . . . 5 (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐵)
7978, 7sseqtrd 3934 . . . 4 (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐽)
80 eqid 2797 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
8180elcls2 21370 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
8276, 79, 81syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
8372, 74, 823bitr4d 312 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)})))
8483eqrdv 2795 1 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  wrex 3108  cun 3863  cin 3864  wss 3865  c0 4217  𝒫 cpw 4459  {csn 4478   cuni 4751   class class class wbr 4968  cres 5452  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023   supp csupp 7688  Fincfn 8364   finSupp cfsupp 8686  Basecbs 16316  TopOpenctopn 16528  0gc0g 16546   Σg cgsu 16547  CMndccmn 18637  Topctop 21189  TopOnctopon 21206  TopSpctps 21228  clsccl 21314   tsums ctsu 22421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-tsms 22422
This theorem is referenced by:  tsmsid  22435  tgptsmscls  22445
  Copyright terms: Public domain W3C validator