Theorem tsmsgsum 24148

Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsid.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
tsmsgsum.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tsmsgsum	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))

Proof of Theorem tsmsgsum

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tsmsid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		tsmsgsum.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22941	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6		toponuni 22921	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
8	7	eleq2d 2826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽))
9		elfpw 9395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
10	9	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
12		suppssdm 8203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
13		tsmsid.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	12, 13	fssdm 6754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
16	11, 15	unssd 4191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ⊆ 𝐴)
17		elinel2 4201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
19		tsmsid.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹 finSupp 0 )
21	20	fsuppimpd 9410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
22		unfi 9212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
23	18, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
24		elfpw 9395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin))
25	16, 23, 24	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26		ssun1 4177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → 𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))
28	26, 27	sseqtrrid 4026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → 𝑦 ⊆ 𝑧)
29		pm5.5 361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑧 → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
31		reseq2 5991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → (𝐹 ↾ 𝑧) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))))
32	31	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))))
33	32	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
34	30, 33	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
35	34	rspcv 3617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
36	25, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
37		tsmsid.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
38		tsmsid.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
39	38	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
40		tsmsid.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
42	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
43		ssun2 4178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))
45	2, 37, 39, 41, 42, 44, 20	gsumres 19932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
46	45	eleq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
47	36, 46	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
48	47	rexlimdva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
49	19	fsuppimpd 9410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
50		elfpw 9395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
51	14, 49, 50	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
52	38	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐺 ∈ CMnd)
53	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
54	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
55		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)
56	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐹 finSupp 0 )
57	2, 37, 52, 53, 54, 55, 56	gsumres 19932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg 𝐹))
58		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)
59	57, 58	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)
60	59	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
61	60	ralrimiva 3145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
62		sseq1 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐹 supp 0 ) → (𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧))
63	62	rspceaimv 3627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
64	51, 61, 63	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
65	64	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))
66	48, 65	impbid 212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
67		disjsn 4710	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) = ∅ ↔ ¬ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)
68	67	necon2abii 2990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢 ↔ (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)
69	66, 68	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))
70	69	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)))
71	70	ralbidva 3175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)))
72	8, 71	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
73		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
74	2, 3, 73, 38, 1, 40, 13	eltsms 24142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))))
75		topontop 22920	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
76	5, 75	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
77	2, 37, 38, 40, 13, 19	gsumcl 19934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
78	77	snssd 4808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐵)
79	78, 7	sseqtrd 4019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ 𝐽)
80		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
81	80	elcls2 23083	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
82	76, 79, 81	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
83	72, 74, 82	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)})))
84	83	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∪ cun 3948   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  𝒫 cpw 4599  {csn 4625  ∪ cuni 4906   class class class wbr 5142   ↾ cres 5686  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   supp csupp 8186  Fincfn 8986   finSupp cfsupp 9402  Basecbs 17248  TopOpenctopn 17467  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  CMndccmn 19799  Topctop 22900  TopOnctopon 22917  TopSpctps 22939  clsccl 23027   tsums ctsu 24135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-tsms 24136

This theorem is referenced by:  tsmsid  24149  tgptsmscls  24159