Theorem tsmsgsum 24333

Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsid.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
tsmsgsum.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tsmsgsum	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))

Proof of Theorem tsmsgsum

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tsmsid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		tsmsgsum.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 23128	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6		toponuni 23108	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
8	7	eleq2d 2852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽))
9		elfpw 9321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
10	9	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
12		suppssdm 8182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
13		tsmsid.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	12, 13	fssdm 6732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
16	11, 15	unssd 4148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ⊆ 𝐴)
17		elinel2 4158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
18	17	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
19		tsmsid.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹 finSupp 0 )
21	20	fsuppimpd 9339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
22		unfi 9165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
23	18, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
24		elfpw 9321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin))
25	16, 23, 24	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26		ssun1 4134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))
27		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → 𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))
28	26, 27	sseqtrrid 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → 𝑦 ⊆ 𝑧)
29		pm5.5 364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑧 → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
31		reseq2 5978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → (𝐹 ↾ 𝑧) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))))
32	31	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))))
33	32	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
34	30, 33	bitrd 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
35	34	rspcv 3580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
36	25, 35	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
37		tsmsid.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
38		tsmsid.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
39	38	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
40		tsmsid.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
42	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
43		ssun2 4135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))
45	2, 37, 39, 41, 42, 44, 20	gsumres 20014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
46	45	eleq1d 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
47	36, 46	sylibd 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
48	47	rexlimdva 3169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
49	19	fsuppimpd 9339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
50		elfpw 9321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
51	14, 49, 50	sylanbrc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
52	38	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐺 ∈ CMnd)
53	40	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
54	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
55		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)
56	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐹 finSupp 0 )
57	2, 37, 52, 53, 54, 55, 56	gsumres 20014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg 𝐹))
58		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)
59	57, 58	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)
60	59	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
61	60	ralrimiva 3160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
62		sseq1 3965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐹 supp 0 ) → (𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧))
63	62	rspceaimv 3590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
64	51, 61, 63	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
65	64	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))
66	48, 65	impbid 215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
67		disjsn 4682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) = ∅ ↔ ¬ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)
68	67	necon2abii 3011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢 ↔ (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)
69	66, 68	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))
70	69	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)))
71	70	ralbidva 3189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)))
72	8, 71	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
73		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
74	2, 3, 73, 38, 1, 40, 13	eltsms 24327	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))))
75		topontop 23107	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
76	5, 75	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
77	2, 37, 38, 40, 13, 19	gsumcl 20016	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
78	77	snssd 4757	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐵)
79	78, 7	sseqtrd 3976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ 𝐽)
80		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
81	80	elcls2 23268	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
82	76, 79, 81	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
83	72, 74, 82	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)})))
84	83	eqrdv 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  ∪ cuni 4877   class class class wbr 5114   ↾ cres 5668  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   supp csupp 8165  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331  Basecbs 17294  TopOpenctopn 17499  0_gc0g 17517   Σ_g cgsu 17518  CMndccmn 19881  Topctop 23087  TopOnctopon 23104  TopSpctps 23126  clsccl 23212   tsums ctsu 24320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-tsms 24321

This theorem is used by:  tsmsid  24334  tgptsmscls  24344