Theorem tsmsgsum 23290

Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsid.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
tsmsgsum.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tsmsgsum	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))

Proof of Theorem tsmsgsum

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tsmsid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		tsmsgsum.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22083	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6		toponuni 22063	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
8	7	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽))
9		elfpw 9121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
10	9	simplbi 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
12		suppssdm 7993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
13		tsmsid.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	12, 13	fssdm 6620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
15	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
16	11, 15	unssd 4120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ⊆ 𝐴)
17		elinel2 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
19		tsmsid.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
20	19	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹 finSupp 0 )
21	20	fsuppimpd 9135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
22		unfi 8955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
23	18, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
24		elfpw 9121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin))
25	16, 23, 24	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26		ssun1 4106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → 𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))
28	26, 27	sseqtrrid 3974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → 𝑦 ⊆ 𝑧)
29		pm5.5 362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑧 → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
31		reseq2 5886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → (𝐹 ↾ 𝑧) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))))
32	31	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))))
33	32	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
34	30, 33	bitrd 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
35	34	rspcv 3557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
36	25, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
37		tsmsid.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
38		tsmsid.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
39	38	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
40		tsmsid.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
41	40	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
42	13	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
43		ssun2 4107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))
45	2, 37, 39, 41, 42, 44, 20	gsumres 19514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
46	45	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
47	36, 46	sylibd 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
48	47	rexlimdva 3213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
49	19	fsuppimpd 9135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
50		elfpw 9121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
51	14, 49, 50	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
52	38	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐺 ∈ CMnd)
53	40	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
54	13	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
55		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)
56	19	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐹 finSupp 0 )
57	2, 37, 52, 53, 54, 55, 56	gsumres 19514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg 𝐹))
58		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)
59	57, 58	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)
60	59	expr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
61	60	ralrimiva 3103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
62		sseq1 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐹 supp 0 ) → (𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧))
63	62	rspceaimv 3565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
64	51, 61, 63	syl2an2r 682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
65	64	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))
66	48, 65	impbid 211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
67		disjsn 4647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) = ∅ ↔ ¬ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)
68	67	necon2abii 2994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢 ↔ (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)
69	66, 68	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))
70	69	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)))
71	70	ralbidva 3111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)))
72	8, 71	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
73		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
74	2, 3, 73, 38, 1, 40, 13	eltsms 23284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))))
75		topontop 22062	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
76	5, 75	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
77	2, 37, 38, 40, 13, 19	gsumcl 19516	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
78	77	snssd 4742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐵)
79	78, 7	sseqtrd 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ 𝐽)
80		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
81	80	elcls2 22225	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
82	76, 79, 81	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
83	72, 74, 82	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)})))
84	83	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {csn 4561  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074   ↾ cres 5591  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128  Basecbs 16912  TopOpenctopn 17132  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  CMndccmn 19386  Topctop 22042  TopOnctopon 22059  TopSpctps 22081  clsccl 22169   tsums ctsu 23277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-tsms 23278

This theorem is referenced by:  tsmsid  23291  tgptsmscls  23301