MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsgsum 23490
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z 0 = (0g𝐺)
tsmsid.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsid.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsid.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
tsmsgsum.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))

Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsid.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
42, 3istps 22283 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
51, 4sylib 217 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6 toponuni 22263 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 = 𝐽)
87eleq2d 2823 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 𝐽))
9 elfpw 9298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
109simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
12 suppssdm 8108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
1412, 13fssdm 6688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
1611, 15unssd 4146 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ⊆ 𝐴)
17 elinel2 4156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
19 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹 finSupp 0 )
2120fsuppimpd 9312 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
22 unfi 9116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
2318, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
24 elfpw 9298 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin))
2516, 23, 24sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26 ssun1 4132 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → 𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))
2826, 27sseqtrrid 3997 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → 𝑦𝑧)
29 pm5.5 361 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝑧 → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
31 reseq2 5932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → (𝐹𝑧) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))))
3231oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))))
3332eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
3430, 33bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
3534rspcv 3577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
3625, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
37 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
38 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
40 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑉)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴𝑉)
4213ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴𝐵)
43 ssun2 4133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))
452, 37, 39, 41, 42, 44, 20gsumres 19690 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
4645eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
4736, 46sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
4847rexlimdva 3152 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
4919fsuppimpd 9312 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
50 elfpw 9298 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
5114, 49, 50sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5238ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐺 ∈ CMnd)
5340ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐴𝑉)
5413ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐹:𝐴𝐵)
55 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)
5619ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐹 finSupp 0 )
572, 37, 52, 53, 54, 55, 56gsumres 19690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) = (𝐺 Σg 𝐹))
58 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)
5957, 58eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)
6059expr 457 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
6160ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
62 sseq1 3969 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹 supp 0 ) → (𝑦𝑧 ↔ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧))
6362rspceaimv 3585 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
6451, 61, 63syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))
6564expr 457 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐽) → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
6648, 65impbid 211 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
67 disjsn 4672 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) = ∅ ↔ ¬ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)
6867necon2abii 2994 . . . . . . 7 ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢 ↔ (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)
6966, 68bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))
7069imbi2d 340 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐽) → ((𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)))
7170ralbidva 3172 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)))
728, 71anbi12d 631 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
73 eqid 2736 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
742, 3, 73, 38, 1, 40, 13eltsms 23484 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))))
75 topontop 22262 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
765, 75syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
772, 37, 38, 40, 13, 19gsumcl 19692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
7877snssd 4769 . . . . 5 (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐵)
7978, 7sseqtrd 3984 . . . 4 (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐽)
80 eqid 2736 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
8180elcls2 22425 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
8276, 79, 81syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑥𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
8372, 74, 823bitr4d 310 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)})))
8483eqrdv 2734 1 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   cuni 4865   class class class wbr 5105  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  TopOpenctopn 17303  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  CMndccmn 19562  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  TopSpctps 22281  clsccl 22369   tsums ctsu 23477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tsms 23478
This theorem is referenced by:  tsmsid  23491  tgptsmscls  23501
  Copyright terms: Public domain W3C validator