MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsgsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tsmsgsum 23998
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsid.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tsmsid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsid.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
tsmsgsum.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}))
Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑒 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsid.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
42, 3istps 22791 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
51, 4sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
6 toponuni 22771 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
87eleq2d 2813 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽))
9 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
109simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
12 suppssdm 8162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
1412, 13fssdm 6731 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴)
1514ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴)
1611, 15unssd 4181 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) βŠ† 𝐴)
17 elinel2 4191 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
19 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
2019ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
2120fsuppimpd 9371 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
22 unfi 9174 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
2318, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
24 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin))
2516, 23, 24sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26 ssun1 4167 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 ))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ 𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))
2826, 27sseqtrrid 4030 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑧)
29 pm5.5 361 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
31 reseq2 5970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) = (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 ))))
3231oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))))
3332eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
3430, 33bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
3534rspcv 3602 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
3625, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
37 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜πΊ)
38 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
3938ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
40 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4140ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4213ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
43 ssun2 4168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 supp 0 ) βŠ† (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 ))
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))
452, 37, 39, 41, 42, 44, 20gsumres 19833 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Ξ£g 𝐹))
4645eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
4736, 46sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
4847rexlimdva 3149 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
4919fsuppimpd 9371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
50 elfpw 9356 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
5114, 49, 50sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5238ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
5340ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5413ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
55 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)
5619ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
572, 37, 52, 53, 54, 55, 56gsumres 19833 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g 𝐹))
58 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)
5957, 58eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)
6059expr 456 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
6160ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
62 sseq1 4002 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹 supp 0 ) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧))
6362rspceaimv 3612 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
6451, 61, 63syl2an2r 682 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
6564expr 456 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
6648, 65impbid 211 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
67 disjsn 4710 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) = βˆ… ↔ Β¬ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)
6867necon2abii 2985 . . . . . . 7 ((𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒 ↔ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…)
6966, 68bitrdi 287 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))
7069imbi2d 340 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…)))
7170ralbidva 3169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…)))
728, 71anbi12d 630 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))))
73 eqid 2726 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
742, 3, 73, 38, 1, 40, 13eltsms 23992 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
75 topontop 22770 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐽 ∈ Top)
765, 75syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
772, 37, 38, 40, 13, 19gsumcl 19835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝐡)
7877snssd 4807 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)} βŠ† 𝐡)
7978, 7sseqtrd 4017 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)} βŠ† βˆͺ 𝐽)
80 eqid 2726 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
8180elcls2 22933 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)} βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))))
8276, 79, 81syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))))
8372, 74, 823bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)})))
8483eqrdv 2724 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   supp csupp 8146  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  TopOpenctopn 17376  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395  CMndccmn 19700  Topctop 22750  TopOnctopon 22767  TopSpctps 22789  clsccl 22877   tsums ctsu 23985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-tsms 23986
This theorem is referenced by:  tsmsid  23999  tgptsmscls  24009
  Copyright terms: Public domain W3C validator