MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsgsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tsmsgsum 23634
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsid.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tsmsid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsid.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
tsmsgsum.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}))
Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑒 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsid.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
42, 3istps 22427 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
51, 4sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
6 toponuni 22407 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
87eleq2d 2819 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽))
9 elfpw 9350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
109simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
12 suppssdm 8158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
1412, 13fssdm 6734 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴)
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴)
1611, 15unssd 4185 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) βŠ† 𝐴)
17 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
19 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
2120fsuppimpd 9365 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
22 unfi 9168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
2318, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
24 elfpw 9350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin))
2516, 23, 24sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 ))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ 𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))
2826, 27sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑧)
29 pm5.5 361 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
31 reseq2 5974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) = (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 ))))
3231oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))))
3332eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
3430, 33bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
3534rspcv 3608 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
3625, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
37 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜πΊ)
38 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
40 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4213ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
43 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 supp 0 ) βŠ† (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 ))
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))
452, 37, 39, 41, 42, 44, 20gsumres 19775 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Ξ£g 𝐹))
4645eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
4736, 46sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
4847rexlimdva 3155 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
4919fsuppimpd 9365 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
50 elfpw 9350 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
5114, 49, 50sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5238ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
5340ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5413ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
55 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)
5619ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
572, 37, 52, 53, 54, 55, 56gsumres 19775 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g 𝐹))
58 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)
5957, 58eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)
6059expr 457 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
6160ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
62 sseq1 4006 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹 supp 0 ) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧))
6362rspceaimv 3616 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
6451, 61, 63syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
6564expr 457 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
6648, 65impbid 211 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
67 disjsn 4714 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) = βˆ… ↔ Β¬ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)
6867necon2abii 2991 . . . . . . 7 ((𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒 ↔ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…)
6966, 68bitrdi 286 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))
7069imbi2d 340 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…)))
7170ralbidva 3175 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…)))
728, 71anbi12d 631 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))))
73 eqid 2732 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
742, 3, 73, 38, 1, 40, 13eltsms 23628 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
75 topontop 22406 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐽 ∈ Top)
765, 75syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
772, 37, 38, 40, 13, 19gsumcl 19777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝐡)
7877snssd 4811 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)} βŠ† 𝐡)
7978, 7sseqtrd 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)} βŠ† βˆͺ 𝐽)
80 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
8180elcls2 22569 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)} βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))))
8276, 79, 81syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))))
8372, 74, 823bitr4d 310 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)})))
8483eqrdv 2730 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   supp csupp 8142  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  TopOpenctopn 17363  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  CMndccmn 19642  Topctop 22386  TopOnctopon 22403  TopSpctps 22425  clsccl 22513   tsums ctsu 23621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tsms 23622
This theorem is referenced by:  tsmsid  23635  tgptsmscls  23645
  Copyright terms: Public domain W3C validator