MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsgsum 23506
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsid.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tsmsid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsid.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
tsmsgsum.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}))

Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑒 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsid.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
42, 3istps 22299 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
51, 4sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
6 toponuni 22279 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
87eleq2d 2820 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽))
9 elfpw 9301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
109simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
12 suppssdm 8109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
1412, 13fssdm 6689 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴)
1611, 15unssd 4147 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) βŠ† 𝐴)
17 elinel2 4157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
1817adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
19 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
2120fsuppimpd 9316 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
22 unfi 9119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
2318, 21, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
24 elfpw 9301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin))
2516, 23, 24sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26 ssun1 4133 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 ))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ 𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))
2826, 27sseqtrrid 3998 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑧)
29 pm5.5 362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
31 reseq2 5933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) = (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 ))))
3231oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))))
3332eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
3430, 33bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
3534rspcv 3576 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
3625, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
37 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜πΊ)
38 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
40 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4213ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
43 ssun2 4134 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 supp 0 ) βŠ† (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 ))
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))
452, 37, 39, 41, 42, 44, 20gsumres 19695 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Ξ£g 𝐹))
4645eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
4736, 46sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
4847rexlimdva 3149 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
4919fsuppimpd 9316 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
50 elfpw 9301 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
5114, 49, 50sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5238ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
5340ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
55 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)
5619ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
572, 37, 52, 53, 54, 55, 56gsumres 19695 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g 𝐹))
58 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)
5957, 58eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)
6059expr 458 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
6160ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
62 sseq1 3970 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹 supp 0 ) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧))
6362rspceaimv 3584 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
6451, 61, 63syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
6564expr 458 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
6648, 65impbid 211 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
67 disjsn 4673 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) = βˆ… ↔ Β¬ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)
6867necon2abii 2991 . . . . . . 7 ((𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒 ↔ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…)
6966, 68bitrdi 287 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))
7069imbi2d 341 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…)))
7170ralbidva 3169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…)))
728, 71anbi12d 632 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))))
73 eqid 2733 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
742, 3, 73, 38, 1, 40, 13eltsms 23500 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
75 topontop 22278 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐽 ∈ Top)
765, 75syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
772, 37, 38, 40, 13, 19gsumcl 19697 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝐡)
7877snssd 4770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)} βŠ† 𝐡)
7978, 7sseqtrd 3985 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)} βŠ† βˆͺ 𝐽)
80 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
8180elcls2 22441 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)} βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))))
8276, 79, 81syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))))
8372, 74, 823bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)})))
8483eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   supp csupp 8093  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9308  Basecbs 17088  TopOpenctopn 17308  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  CMndccmn 19567  Topctop 22258  TopOnctopon 22275  TopSpctps 22297  clsccl 22385   tsums ctsu 23493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494
This theorem is referenced by:  tsmsid  23507  tgptsmscls  23517
  Copyright terms: Public domain W3C validator