Theorem tsmsgsum 24114

Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsid.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
tsmsgsum.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tsmsgsum	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))

Proof of Theorem tsmsgsum

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tsmsid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		tsmsgsum.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22909	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6		toponuni 22889	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
8	7	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽))
9		elfpw 9257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
10	9	simplbi 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
12		suppssdm 8120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
13		tsmsid.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	12, 13	fssdm 6681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
15	14	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
16	11, 15	unssd 4133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ⊆ 𝐴)
17		elinel2 4143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
19		tsmsid.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
20	19	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹 finSupp 0 )
21	20	fsuppimpd 9275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
22		unfi 9098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
23	18, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
24		elfpw 9257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin))
25	16, 23, 24	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26		ssun1 4119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → 𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))
28	26, 27	sseqtrrid 3966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → 𝑦 ⊆ 𝑧)
29		pm5.5 361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑧 → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
31		reseq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → (𝐹 ↾ 𝑧) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))))
32	31	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))))
33	32	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
34	30, 33	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) → ((𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
35	34	rspcv 3561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
36	25, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢))
37		tsmsid.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
38		tsmsid.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
39	38	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
40		tsmsid.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
41	40	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
42	13	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
43		ssun2 4120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 ))
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))
45	2, 37, 39, 41, 42, 44, 20	gsumres 19879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
46	45	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
47	36, 46	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
48	47	rexlimdva 3139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
49	19	fsuppimpd 9275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
50		elfpw 9257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
51	14, 49, 50	sylanbrc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
52	38	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐺 ∈ CMnd)
53	40	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
54	13	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
55		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)
56	19	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → 𝐹 finSupp 0 )
57	2, 37, 52, 53, 54, 55, 56	gsumres 19879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg 𝐹))
58		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)
59	57, 58	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)
60	59	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
61	60	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
62		sseq1 3948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐹 supp 0 ) → (𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧))
63	62	rspceaimv 3571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
64	51, 61, 63	syl2an2r 686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))
65	64	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))
66	48, 65	impbid 212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢))
67		disjsn 4656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) = ∅ ↔ ¬ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢)
68	67	necon2abii 2983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑢 ↔ (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)
69	66, 68	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))
70	69	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)))
71	70	ralbidva 3159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅)))
72	8, 71	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
73		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
74	2, 3, 73, 38, 1, 40, 13	eltsms 24108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝑢)))))
75		topontop 22888	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
76	5, 75	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
77	2, 37, 38, 40, 13, 19	gsumcl 19881	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
78	77	snssd 4753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ 𝐵)
79	78, 7	sseqtrd 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ 𝐽)
80		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
81	80	elcls2 23049	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {(𝐺 Σg 𝐹)} ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
82	76, 79, 81	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑢 → (𝑢 ∩ {(𝐺 Σg 𝐹)}) ≠ ∅))))
83	72, 74, 82	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)})))
84	83	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{(𝐺 Σg 𝐹)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   supp csupp 8103  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9267  Basecbs 17170  TopOpenctopn 17375  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  CMndccmn 19746  Topctop 22868  TopOnctopon 22885  TopSpctps 22907  clsccl 22993   tsums ctsu 24101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-tsms 24102

This theorem is referenced by:  tsmsid  24115  tgptsmscls  24125