MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsgsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tsmsgsum 24059
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsid.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
tsmsid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsid.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
tsmsgsum.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}))
Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑒 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsid.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
42, 3istps 22852 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
51, 4sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
6 toponuni 22832 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
87eleq2d 2811 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽))
9 elfpw 9376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
109simplbi 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
1110adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
12 suppssdm 8178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 supp 0 ) βŠ† dom 𝐹
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
1412, 13fssdm 6735 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴)
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴)
1611, 15unssd 4178 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) βŠ† 𝐴)
17 elinel2 4188 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
1817adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
19 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
2120fsuppimpd 9391 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
22 unfi 9193 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
2318, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
24 elfpw 9376 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin))
2516, 23, 24sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26 ssun1 4164 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 ))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ 𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))
2826, 27sseqtrrid 4025 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑧)
29 pm5.5 360 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
31 reseq2 5972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) = (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 ))))
3231oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))))
3332eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
3430, 33bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
3534rspcv 3597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
3625, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒))
37 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜πΊ)
38 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
40 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4213ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
43 ssun2 4165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 supp 0 ) βŠ† (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 ))
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))
452, 37, 39, 41, 42, 44, 20gsumres 19870 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Ξ£g 𝐹))
4645eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑦 βˆͺ (𝐹 supp 0 )))) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
4736, 46sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
4847rexlimdva 3145 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
4919fsuppimpd 9391 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
50 elfpw 9376 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ ((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
5114, 49, 50sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5238ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
5340ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5413ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
55 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)
5619ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
572, 37, 52, 53, 54, 55, 56gsumres 19870 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g 𝐹))
58 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)
5957, 58eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)
6059expr 455 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
6160ralrimiva 3136 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
62 sseq1 3997 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹 supp 0 ) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ (𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧))
6362rspceaimv 3607 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 supp 0 ) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐹 supp 0 ) βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
6451, 61, 63syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))
6564expr 455 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))
6648, 65impbid 211 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒))
67 disjsn 4709 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) = βˆ… ↔ Β¬ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒)
6867necon2abii 2981 . . . . . . 7 ((𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑒 ↔ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…)
6966, 68bitrdi 286 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒) ↔ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))
7069imbi2d 339 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…)))
7170ralbidva 3166 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…)))
728, 71anbi12d 630 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒))) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))))
73 eqid 2725 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
742, 3, 73, 38, 1, 40, 13eltsms 24053 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝑒)))))
75 topontop 22831 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ 𝐽 ∈ Top)
765, 75syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
772, 37, 38, 40, 13, 19gsumcl 19872 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝐡)
7877snssd 4806 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)} βŠ† 𝐡)
7978, 7sseqtrd 4012 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)} βŠ† βˆͺ 𝐽)
80 eqid 2725 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
8180elcls2 22994 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)} βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))))
8276, 79, 81syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ (𝑒 ∩ {(𝐺 Ξ£g 𝐹)}) β‰  βˆ…))))
8372, 74, 823bitr4d 310 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)})))
8483eqrdv 2723 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g 𝐹)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βˆͺ cun 3937   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4316  π’« cpw 4596  {csn 4622  βˆͺ cuni 4901   class class class wbr 5141   β†Ύ cres 5672  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414   supp csupp 8161  Fincfn 8960   finSupp cfsupp 9383  Basecbs 17177  TopOpenctopn 17400  0gc0g 17418   Ξ£g cgsu 17419  CMndccmn 19737  Topctop 22811  TopOnctopon 22828  TopSpctps 22850  clsccl 22938   tsums ctsu 24046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-tsms 24047
This theorem is referenced by:  tsmsid  24060  tgptsmscls  24070
  Copyright terms: Public domain W3C validator