Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmodlem1 39848
Description: Lemma for pmod1i 39850. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l = (le‘𝐾)
pmodlem.j = (join‘𝐾)
pmodlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmodlem.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmodlem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmodlem1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   ,𝑞,𝑟   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟   ,𝑞,𝑟   + ,𝑝,𝑞,𝑟   𝑆,𝑝,𝑞,𝑟   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟   𝑌,𝑝,𝑞,𝑟   𝑍,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   (𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem pmodlem1
StepHypRef Expression
1 simpl11 1249 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl12 1250 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑋𝐴)
3 simpl13 1251 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑌𝐴)
4 ssinss1 4246 . . . . 5 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
53, 4syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
6 pmodlem.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 pmodlem.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
86, 7sspadd1 39817 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
91, 2, 5, 8syl3anc 1373 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
10 simpr 484 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 = 𝑞)
11 simpl31 1255 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑞𝑋)
1210, 11eqeltrd 2841 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝𝑋)
139, 12sseldd 3984 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
14 simpl11 1249 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
1514hllatd 39365 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simpl12 1250 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋𝐴)
17 simpl13 1251 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑌𝐴)
1817, 4syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
19 simpl31 1255 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞𝑋)
20 simpl32 1256 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟𝑌)
21 simpl21 1252 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑍𝑆)
22 simpl22 1253 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋𝑍)
23 simpl23 1254 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝑍)
24 pmodlem.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
256, 24psubssat 39756 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝑆) → 𝑍𝐴)
2614, 21, 25syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑍𝐴)
2726, 23sseldd 3984 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝐴)
2817, 20sseldd 3984 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟𝐴)
2916, 19sseldd 3984 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞𝐴)
3027, 28, 293jca 1129 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑞𝐴))
31 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝑞)
32 simpl33 1257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝 (𝑞 𝑟))
33 pmodlem.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
34 pmodlem.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
3533, 34, 6hlatexch1 39397 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑟 (𝑞 𝑝)))
3635imp 406 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟)) → 𝑟 (𝑞 𝑝))
3714, 30, 31, 32, 36syl31anc 1375 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟 (𝑞 𝑝))
38 simp31 1210 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑞𝑋)
3938snssd 4809 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑞} ⊆ 𝑋)
40 simp22 1208 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑋𝑍)
4139, 40sstrd 3994 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑞} ⊆ 𝑍)
42 simp23 1209 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑝𝑍)
4342snssd 4809 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑝} ⊆ 𝑍)
44 simp11 1204 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝐾 ∈ HL)
45 simp12 1205 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑋𝐴)
4645, 38sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑞𝐴)
4746snssd 4809 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑞} ⊆ 𝐴)
48 simp21 1207 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑍𝑆)
4944, 48, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑍𝐴)
5049, 42sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑝𝐴)
5150snssd 4809 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
526, 24, 7paddss 39847 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ ({𝑞} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴𝑍𝑆)) → (({𝑞} ⊆ 𝑍 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑍) ↔ ({𝑞} + {𝑝}) ⊆ 𝑍))
5344, 47, 51, 48, 52syl13anc 1374 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → (({𝑞} ⊆ 𝑍 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑍) ↔ ({𝑞} + {𝑝}) ⊆ 𝑍))
5441, 43, 53mpbi2and 712 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → ({𝑞} + {𝑝}) ⊆ 𝑍)
55 simp33 1212 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟 (𝑞 𝑝))
5644hllatd 39365 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝐾 ∈ Lat)
57 simp13 1206 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑌𝐴)
58 simp32 1211 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟𝑌)
5957, 58sseldd 3984 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟𝐴)
6033, 34, 6, 7elpadd2at2 39809 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴𝑟𝐴)) → (𝑟 ∈ ({𝑞} + {𝑝}) ↔ 𝑟 (𝑞 𝑝)))
6156, 46, 50, 59, 60syl13anc 1374 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → (𝑟 ∈ ({𝑞} + {𝑝}) ↔ 𝑟 (𝑞 𝑝)))
6255, 61mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟 ∈ ({𝑞} + {𝑝}))
6354, 62sseldd 3984 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟𝑍)
6414, 16, 17, 21, 22, 23, 19, 20, 37, 63syl333anc 1404 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟𝑍)
6520, 64elind 4200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟 ∈ (𝑌𝑍))
6633, 34, 6, 7elpaddri 39804 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟 ∈ (𝑌𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
6715, 16, 18, 19, 65, 27, 32, 66syl322anc 1400 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
6813, 67pm2.61dane 3029 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cin 3950  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  lecple 17304  joincjn 18357  Latclat 18476  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  PSubSpcpsubsp 39498  +𝑃cpadd 39797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-psubsp 39505  df-padd 39798
This theorem is referenced by:  pmodlem2  39849
  Copyright terms: Public domain W3C validator