Theorem pmodlem1 40871

Description: Lemma for pmod1i 40873. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmodlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pmodlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmodlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmodlem.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmodlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmodlem1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   ∨ ,𝑞,𝑟   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟   ≤ ,𝑞,𝑟   + ,𝑝,𝑞,𝑟   𝑆,𝑝,𝑞,𝑟   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟   𝑌,𝑝,𝑞,𝑟   𝑍,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑝)   ≤ (𝑝)

Proof of Theorem pmodlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl11 1267	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl12 1268	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		simpl13 1269	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
4		ssinss1 4191	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 → (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
6		pmodlem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		pmodlem.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	6, 7	sspadd1 40840	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
9	1, 2, 5, 8	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
10		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 = 𝑞)
11		simpl31 1273	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑞 ∈ 𝑋)
12	10, 11	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 ∈ 𝑋)
13	9, 12	sseldd 3932	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
14		simpl11 1267	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
15	14	hllatd 40389	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝐾 ∈ Lat)
16		simpl12 1268	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
17		simpl13 1269	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
18	17, 4	syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
19		simpl31 1273	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑞 ∈ 𝑋)
20		simpl32 1274	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑟 ∈ 𝑌)
21		simpl21 1270	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑍 ∈ 𝑆)
22		simpl22 1271	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑋 ⊆ 𝑍)
23		simpl23 1272	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ∈ 𝑍)
24		pmodlem.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
25	6, 24	psubssat 40779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
26	14, 21, 25	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
27	26, 23	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ∈ 𝐴)
28	17, 20	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑟 ∈ 𝐴)
29	16, 19	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑞 ∈ 𝐴)
30	27, 28, 29	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴))
31		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ≠ 𝑞)
32		simpl33 1275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))
33		pmodlem.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
34		pmodlem.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
35	33, 34, 6	hlatexch1 40420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → (𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝)))
36	35	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))
37	14, 30, 31, 32, 36	syl31anc 1400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))
38		simp31 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝑋)
39	38	snssd 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → {𝑞} ⊆ 𝑋)
40		simp22 1226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑋 ⊆ 𝑍)
41	39, 40	sstrd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → {𝑞} ⊆ 𝑍)
42		simp23 1227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑍)
43	42	snssd 4747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → {𝑝} ⊆ 𝑍)
44		simp11 1222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝐾 ∈ HL)
45		simp12 1223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
46	45, 38	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
47	46	snssd 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → {𝑞} ⊆ 𝐴)
48		simp21 1225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑍 ∈ 𝑆)
49	44, 48, 25	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
50	49, 42	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
51	50	snssd 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
52	6, 24, 7	paddss 40870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ({𝑞} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (({𝑞} ⊆ 𝑍 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑍) ↔ ({𝑞} + {𝑝}) ⊆ 𝑍))
53	44, 47, 51, 48, 52	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → (({𝑞} ⊆ 𝑍 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑍) ↔ ({𝑞} + {𝑝}) ⊆ 𝑍))
54	41, 43, 53	mpbi2and 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → ({𝑞} + {𝑝}) ⊆ 𝑍)
55		simp33 1230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))
56	44	hllatd 40389	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝐾 ∈ Lat)
57		simp13 1224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
58		simp32 1229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑌)
59	57, 58	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
60	33, 34, 6, 7	elpadd2at2 40832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) → (𝑟 ∈ ({𝑞} + {𝑝}) ↔ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝)))
61	56, 46, 50, 59, 60	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → (𝑟 ∈ ({𝑞} + {𝑝}) ↔ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝)))
62	55, 61	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ∈ ({𝑞} + {𝑝}))
63	54, 62	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑟 ≤ (𝑞 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑍)
64	14, 16, 17, 21, 22, 23, 19, 20, 37, 63	syl333anc 1429	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑟 ∈ 𝑍)
65	20, 64	elind 4146	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑟 ∈ (𝑌 ∩ 𝑍))
66	33, 34, 6, 7	elpaddri 40827	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 ∩ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
67	15, 16, 18, 19, 65, 27, 32, 66	syl322anc 1425	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
68	13, 67	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (𝑞 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  lecple 17415  joincjn 18465  Latclat 18585  Atomscatm 40288  HLchlt 40375  PSubSpcpsubsp 40521  +_𝑃cpadd 40820

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-lat 18586  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-psubsp 40528  df-padd 40821

This theorem is used by:  pmodlem2  40872