Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmodlem1 35645
Description: Lemma for pmod1i 35647. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l = (le‘𝐾)
pmodlem.j = (join‘𝐾)
pmodlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmodlem.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmodlem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmodlem1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   ,𝑞,𝑟   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟   ,𝑞,𝑟   + ,𝑝,𝑞,𝑟   𝑆,𝑝,𝑞,𝑟   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟   𝑌,𝑝,𝑞,𝑟   𝑍,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   (𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem pmodlem1
StepHypRef Expression
1 simpl11 1322 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl12 1324 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑋𝐴)
3 simpl13 1326 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑌𝐴)
4 ssinss1 4049 . . . . 5 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
53, 4syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
6 pmodlem.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 pmodlem.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
86, 7sspadd1 35614 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
91, 2, 5, 8syl3anc 1483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
10 simpr 473 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 = 𝑞)
11 simpl31 1334 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑞𝑋)
1210, 11eqeltrd 2896 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝𝑋)
139, 12sseldd 3810 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
14 simpl11 1322 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
1514hllatd 35163 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simpl12 1324 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋𝐴)
17 simpl13 1326 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑌𝐴)
1817, 4syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
19 simpl31 1334 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞𝑋)
20 simpl32 1336 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟𝑌)
21 simpl21 1328 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑍𝑆)
22 simpl22 1330 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋𝑍)
23 simpl23 1332 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝑍)
24 pmodlem.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
256, 24psubssat 35553 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝑆) → 𝑍𝐴)
2614, 21, 25syl2anc 575 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑍𝐴)
2726, 23sseldd 3810 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝐴)
2817, 20sseldd 3810 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟𝐴)
2916, 19sseldd 3810 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞𝐴)
3027, 28, 293jca 1151 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑞𝐴))
31 simpr 473 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝑞)
32 simpl33 1338 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝 (𝑞 𝑟))
33 pmodlem.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
34 pmodlem.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
3533, 34, 6hlatexch1 35194 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑟 (𝑞 𝑝)))
3635imp 395 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟)) → 𝑟 (𝑞 𝑝))
3714, 30, 31, 32, 36syl31anc 1485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟 (𝑞 𝑝))
38 simp31 1259 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑞𝑋)
3938snssd 4541 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑞} ⊆ 𝑋)
40 simp22 1257 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑋𝑍)
4139, 40sstrd 3819 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑞} ⊆ 𝑍)
42 simp23 1258 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑝𝑍)
4342snssd 4541 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑝} ⊆ 𝑍)
44 simp11 1253 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝐾 ∈ HL)
45 simp12 1254 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑋𝐴)
4645, 38sseldd 3810 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑞𝐴)
4746snssd 4541 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑞} ⊆ 𝐴)
48 simp21 1256 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑍𝑆)
4944, 48, 25syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑍𝐴)
5049, 42sseldd 3810 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑝𝐴)
5150snssd 4541 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
526, 24, 7paddss 35644 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ ({𝑞} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴𝑍𝑆)) → (({𝑞} ⊆ 𝑍 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑍) ↔ ({𝑞} + {𝑝}) ⊆ 𝑍))
5344, 47, 51, 48, 52syl13anc 1484 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → (({𝑞} ⊆ 𝑍 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑍) ↔ ({𝑞} + {𝑝}) ⊆ 𝑍))
5441, 43, 53mpbi2and 694 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → ({𝑞} + {𝑝}) ⊆ 𝑍)
55 simp33 1261 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟 (𝑞 𝑝))
5644hllatd 35163 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝐾 ∈ Lat)
57 simp13 1255 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑌𝐴)
58 simp32 1260 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟𝑌)
5957, 58sseldd 3810 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟𝐴)
6033, 34, 6, 7elpadd2at2 35606 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴𝑟𝐴)) → (𝑟 ∈ ({𝑞} + {𝑝}) ↔ 𝑟 (𝑞 𝑝)))
6156, 46, 50, 59, 60syl13anc 1484 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → (𝑟 ∈ ({𝑞} + {𝑝}) ↔ 𝑟 (𝑞 𝑝)))
6255, 61mpbird 248 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟 ∈ ({𝑞} + {𝑝}))
6354, 62sseldd 3810 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟𝑍)
6414, 16, 17, 21, 22, 23, 19, 20, 37, 63syl333anc 1514 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟𝑍)
6520, 64elind 4008 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟 ∈ (𝑌𝑍))
6633, 34, 6, 7elpaddri 35601 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟 ∈ (𝑌𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
6715, 16, 18, 19, 65, 27, 32, 66syl322anc 1510 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
6813, 67pm2.61dane 3076 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  cin 3779  wss 3780  {csn 4381   class class class wbr 4855  cfv 6111  (class class class)co 6884  lecple 16180  joincjn 17169  Latclat 17270  Atomscatm 35062  HLchlt 35149  PSubSpcpsubsp 35295  +𝑃cpadd 35594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-proset 17153  df-poset 17171  df-plt 17183  df-lub 17199  df-glb 17200  df-join 17201  df-meet 17202  df-p0 17264  df-lat 17271  df-covers 35065  df-ats 35066  df-atl 35097  df-cvlat 35121  df-hlat 35150  df-psubsp 35302  df-padd 35595
This theorem is referenced by:  pmodlem2  35646
  Copyright terms: Public domain W3C validator