Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmodlem1 37141
Description: Lemma for pmod1i 37143. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l = (le‘𝐾)
pmodlem.j = (join‘𝐾)
pmodlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmodlem.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmodlem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmodlem1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   ,𝑞,𝑟   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟   ,𝑞,𝑟   + ,𝑝,𝑞,𝑟   𝑆,𝑝,𝑞,𝑟   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟   𝑌,𝑝,𝑞,𝑟   𝑍,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   (𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem pmodlem1
StepHypRef Expression
1 simpl11 1245 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl12 1246 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑋𝐴)
3 simpl13 1247 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑌𝐴)
4 ssinss1 4167 . . . . 5 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
53, 4syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
6 pmodlem.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 pmodlem.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
86, 7sspadd1 37110 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
91, 2, 5, 8syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
10 simpr 488 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 = 𝑞)
11 simpl31 1251 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑞𝑋)
1210, 11eqeltrd 2893 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝𝑋)
139, 12sseldd 3919 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
14 simpl11 1245 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
1514hllatd 36659 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simpl12 1246 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋𝐴)
17 simpl13 1247 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑌𝐴)
1817, 4syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
19 simpl31 1251 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞𝑋)
20 simpl32 1252 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟𝑌)
21 simpl21 1248 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑍𝑆)
22 simpl22 1249 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋𝑍)
23 simpl23 1250 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝑍)
24 pmodlem.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
256, 24psubssat 37049 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝑆) → 𝑍𝐴)
2614, 21, 25syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑍𝐴)
2726, 23sseldd 3919 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝐴)
2817, 20sseldd 3919 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟𝐴)
2916, 19sseldd 3919 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞𝐴)
3027, 28, 293jca 1125 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑞𝐴))
31 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝑞)
32 simpl33 1253 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝 (𝑞 𝑟))
33 pmodlem.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
34 pmodlem.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
3533, 34, 6hlatexch1 36690 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑟 (𝑞 𝑝)))
3635imp 410 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟)) → 𝑟 (𝑞 𝑝))
3714, 30, 31, 32, 36syl31anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟 (𝑞 𝑝))
38 simp31 1206 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑞𝑋)
3938snssd 4705 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑞} ⊆ 𝑋)
40 simp22 1204 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑋𝑍)
4139, 40sstrd 3928 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑞} ⊆ 𝑍)
42 simp23 1205 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑝𝑍)
4342snssd 4705 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑝} ⊆ 𝑍)
44 simp11 1200 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝐾 ∈ HL)
45 simp12 1201 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑋𝐴)
4645, 38sseldd 3919 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑞𝐴)
4746snssd 4705 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑞} ⊆ 𝐴)
48 simp21 1203 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑍𝑆)
4944, 48, 25syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑍𝐴)
5049, 42sseldd 3919 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑝𝐴)
5150snssd 4705 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
526, 24, 7paddss 37140 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ ({𝑞} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴𝑍𝑆)) → (({𝑞} ⊆ 𝑍 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑍) ↔ ({𝑞} + {𝑝}) ⊆ 𝑍))
5344, 47, 51, 48, 52syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → (({𝑞} ⊆ 𝑍 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑍) ↔ ({𝑞} + {𝑝}) ⊆ 𝑍))
5441, 43, 53mpbi2and 711 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → ({𝑞} + {𝑝}) ⊆ 𝑍)
55 simp33 1208 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟 (𝑞 𝑝))
5644hllatd 36659 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝐾 ∈ Lat)
57 simp13 1202 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑌𝐴)
58 simp32 1207 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟𝑌)
5957, 58sseldd 3919 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟𝐴)
6033, 34, 6, 7elpadd2at2 37102 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴𝑟𝐴)) → (𝑟 ∈ ({𝑞} + {𝑝}) ↔ 𝑟 (𝑞 𝑝)))
6156, 46, 50, 59, 60syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → (𝑟 ∈ ({𝑞} + {𝑝}) ↔ 𝑟 (𝑞 𝑝)))
6255, 61mpbird 260 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟 ∈ ({𝑞} + {𝑝}))
6354, 62sseldd 3919 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑟 (𝑞 𝑝))) → 𝑟𝑍)
6414, 16, 17, 21, 22, 23, 19, 20, 37, 63syl333anc 1399 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟𝑍)
6520, 64elind 4124 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑟 ∈ (𝑌𝑍))
6633, 34, 6, 7elpaddri 37097 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟 ∈ (𝑌𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
6715, 16, 18, 19, 65, 27, 32, 66syl322anc 1395 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
6813, 67pm2.61dane 3077 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  cin 3883  wss 3884  {csn 4528   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  lecple 16568  joincjn 17550  Latclat 17651  Atomscatm 36558  HLchlt 36645  PSubSpcpsubsp 36791  +𝑃cpadd 37090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-lat 17652  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-psubsp 36798  df-padd 37091
This theorem is referenced by:  pmodlem2  37142
  Copyright terms: Public domain W3C validator