Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmodlem1 38415
Description: Lemma for pmod1i 38417. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pmodlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pmodlem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pmodlem.s 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
pmodlem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmodlem1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,π‘Ÿ,𝐴   ∨ ,π‘ž,π‘Ÿ   𝐾,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   ≀ ,π‘ž,π‘Ÿ   + ,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   𝑆,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   𝑋,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   π‘Œ,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ   𝑍,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ∨ (𝑝)   ≀ (𝑝)

Proof of Theorem pmodlem1
StepHypRef Expression
1 simpl11 1248 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 = π‘ž) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl12 1249 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 = π‘ž) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
3 simpl13 1250 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 = π‘ž) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
4 ssinss1 4217 . . . . 5 (π‘Œ βŠ† 𝐴 β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴)
53, 4syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 = π‘ž) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴)
6 pmodlem.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 pmodlem.p . . . . 5 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
86, 7sspadd1 38384 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
91, 2, 5, 8syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 = π‘ž) β†’ 𝑋 βŠ† (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
10 simpr 485 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 = π‘ž) β†’ 𝑝 = π‘ž)
11 simpl31 1254 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 = π‘ž) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
1210, 11eqeltrd 2832 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 = π‘ž) β†’ 𝑝 ∈ 𝑋)
139, 12sseldd 3963 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 = π‘ž) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
14 simpl11 1248 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1514hllatd 37932 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
16 simpl12 1249 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
17 simpl13 1250 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
1817, 4syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴)
19 simpl31 1254 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
20 simpl32 1255 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)
21 simpl21 1251 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑍 ∈ 𝑆)
22 simpl22 1252 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑍)
23 simpl23 1253 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑝 ∈ 𝑍)
24 pmodlem.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (PSubSpβ€˜πΎ)
256, 24psubssat 38323 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
2614, 21, 25syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
2726, 23sseldd 3963 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
2817, 20sseldd 3963 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
2916, 19sseldd 3963 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
3027, 28, 293jca 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴))
31 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑝 β‰  π‘ž)
32 simpl33 1256 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))
33 pmodlem.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
34 pmodlem.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3533, 34, 6hlatexch1 37964 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝)))
3635imp 407 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))
3714, 30, 31, 32, 36syl31anc 1373 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))
38 simp31 1209 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
3938snssd 4789 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ {π‘ž} βŠ† 𝑋)
40 simp22 1207 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑍)
4139, 40sstrd 3972 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ {π‘ž} βŠ† 𝑍)
42 simp23 1208 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑍)
4342snssd 4789 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ {𝑝} βŠ† 𝑍)
44 simp11 1203 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
45 simp12 1204 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
4645, 38sseldd 3963 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
4746snssd 4789 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ {π‘ž} βŠ† 𝐴)
48 simp21 1206 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑆)
4944, 48, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
5049, 42sseldd 3963 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
5150snssd 4789 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ {𝑝} βŠ† 𝐴)
526, 24, 7paddss 38414 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ ({π‘ž} βŠ† 𝐴 ∧ {𝑝} βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) β†’ (({π‘ž} βŠ† 𝑍 ∧ {𝑝} βŠ† 𝑍) ↔ ({π‘ž} + {𝑝}) βŠ† 𝑍))
5344, 47, 51, 48, 52syl13anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ (({π‘ž} βŠ† 𝑍 ∧ {𝑝} βŠ† 𝑍) ↔ ({π‘ž} + {𝑝}) βŠ† 𝑍))
5441, 43, 53mpbi2and 710 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ ({π‘ž} + {𝑝}) βŠ† 𝑍)
55 simp33 1211 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))
5644hllatd 37932 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
57 simp13 1205 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
58 simp32 1210 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ π‘Ÿ ∈ π‘Œ)
5957, 58sseldd 3963 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
6033, 34, 6, 7elpadd2at2 38376 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ÿ ∈ ({π‘ž} + {𝑝}) ↔ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝)))
6156, 46, 50, 59, 60syl13anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ (π‘Ÿ ∈ ({π‘ž} + {𝑝}) ↔ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝)))
6255, 61mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ π‘Ÿ ∈ ({π‘ž} + {𝑝}))
6354, 62sseldd 3963 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ≀ (π‘ž ∨ 𝑝))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑍)
6414, 16, 17, 21, 22, 23, 19, 20, 37, 63syl333anc 1402 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑍)
6520, 64elind 4174 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ ∩ 𝑍))
6633, 34, 6, 7elpaddri 38371 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Œ ∩ 𝑍) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ ∩ 𝑍)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
6715, 16, 18, 19, 65, 27, 32, 66syl322anc 1398 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
6813, 67pm2.61dane 3028 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑝 ∈ 𝑍) ∧ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ ∩ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939   ∩ cin 3927   βŠ† wss 3928  {csn 4606   class class class wbr 5125  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  lecple 17169  joincjn 18229  Latclat 18349  Atomscatm 37831  HLchlt 37918  PSubSpcpsubsp 38065  +𝑃cpadd 38364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-lat 18350  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-psubsp 38072  df-padd 38365
This theorem is referenced by:  pmodlem2  38416
  Copyright terms: Public domain W3C validator