MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmf2 24429
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmf2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))

Proof of Theorem ulmf2
StepHypRef Expression
1 ulmpm 24428 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
2 ovex 6874 . . . . . 6 (ℂ ↑𝑚 𝑆) ∈ V
3 zex 11633 . . . . . 6 ℤ ∈ V
42, 3elpm2 8092 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ dom 𝐹 ⊆ ℤ))
54simplbi 491 . . . 4 (𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ) → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
61, 5syl 17 . . 3 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
76adantl 473 . 2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
8 fndm 6168 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑍 → dom 𝐹 = 𝑍)
98adantr 472 . . 3 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → dom 𝐹 = 𝑍)
109feq2d 6209 . 2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → (𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)))
117, 10mpbid 223 1 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wss 3732   class class class wbr 4809  dom cdm 5277   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑚 cmap 8060  pm cpm 8061  cc 10187  cz 11624  𝑢culm 24421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-map 8062  df-pm 8063  df-neg 10523  df-z 11625  df-uz 11887  df-ulm 24422
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  24445  ulmdvlem2  24446  ulmdvlem3  24447  mtestbdd  24450  mbfulm  24451  iblulm  24452  itgulm  24453  itgulm2  24454  lgamgulm2  25053  lgamcvglem  25057
  Copyright terms: Public domain W3C validator