MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmf2 26338
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmf2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))

Proof of Theorem ulmf2
StepHypRef Expression
1 ulmpm 26337 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹 ∈ ((ℂ ↑m 𝑆) ↑pm ℤ))
2 ovex 7457 . . . . . 6 (ℂ ↑m 𝑆) ∈ V
3 zex 12603 . . . . . 6 ℤ ∈ V
42, 3elpm2 8897 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((ℂ ↑m 𝑆) ↑pm ℤ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ dom 𝐹 ⊆ ℤ))
54simplbi 496 . . . 4 (𝐹 ∈ ((ℂ ↑m 𝑆) ↑pm ℤ) → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑m 𝑆))
61, 5syl 17 . . 3 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑m 𝑆))
76adantl 480 . 2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8 fndm 6660 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑍 → dom 𝐹 = 𝑍)
98adantr 479 . . 3 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → dom 𝐹 = 𝑍)
109feq2d 6711 . 2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → (𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑m 𝑆) ↔ 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆)))
117, 10mpbid 231 1 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3947   class class class wbr 5150  dom cdm 5680   Fn wfn 6546  wf 6547  cfv 6551  (class class class)co 7424  m cmap 8849  pm cpm 8850  cc 11142  cz 12594  𝑢culm 26330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8851  df-pm 8852  df-neg 11483  df-z 12595  df-uz 12859  df-ulm 26331
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  26354  ulmdvlem2  26355  ulmdvlem3  26356  mtestbdd  26359  mbfulm  26360  iblulm  26361  itgulm  26362  itgulm2  26363  lgamgulm2  26986  lgamcvglem  26990
  Copyright terms: Public domain W3C validator