MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmf2 24887
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmf2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))

Proof of Theorem ulmf2
StepHypRef Expression
1 ulmpm 24886 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹 ∈ ((ℂ ↑m 𝑆) ↑pm ℤ))
2 ovex 7181 . . . . . 6 (ℂ ↑m 𝑆) ∈ V
3 zex 11979 . . . . . 6 ℤ ∈ V
42, 3elpm2 8428 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((ℂ ↑m 𝑆) ↑pm ℤ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ dom 𝐹 ⊆ ℤ))
54simplbi 498 . . . 4 (𝐹 ∈ ((ℂ ↑m 𝑆) ↑pm ℤ) → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑m 𝑆))
61, 5syl 17 . . 3 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑m 𝑆))
76adantl 482 . 2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8 fndm 6452 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑍 → dom 𝐹 = 𝑍)
98adantr 481 . . 3 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → dom 𝐹 = 𝑍)
109feq2d 6497 . 2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → (𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑m 𝑆) ↔ 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆)))
117, 10mpbid 233 1 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3940   class class class wbr 5063  dom cdm 5554   Fn wfn 6347  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  m cmap 8396  pm cpm 8397  cc 10524  cz 11970  𝑢culm 24879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-map 8398  df-pm 8399  df-neg 10862  df-z 11971  df-uz 12233  df-ulm 24880
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  24903  ulmdvlem2  24904  ulmdvlem3  24905  mtestbdd  24908  mbfulm  24909  iblulm  24910  itgulm  24911  itgulm2  24912  lgamgulm2  25527  lgamcvglem  25531
  Copyright terms: Public domain W3C validator