Theorem mbff 25573

Description: A measurable function is a function into the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbff	⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem mbff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf1 25572	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3		cnex 11098	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 11108	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5	3, 4	elpm2 8808	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
6	5	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ⊆ wss 3898  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621  ran crn 5622   “ cima 5624   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6485  (class class class)co 7355   ↑_pm cpm 8760  ℂcc 11015  ℝcr 11016  (,)cioo 13252  ℜcre 15011  ℑcim 15012  volcvol 25411  MblFncmbf 25562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-pm 8762  df-mbf 25567

This theorem is referenced by:  mbfdm  25574  mbfmptcl  25584  mbfres  25592  mbfimaopnlem  25603  mbfadd  25609  mbfsub  25610  mbfmul  25674  iblcnlem  25737  bddmulibl  25787  bddibl  25788  bddiblnc  25790  mbfresmf  46899