Theorem mbff 23609

Description: A measurable function is a function into the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbff	⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem mbff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf1 23608	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
2	1	simplbi 485	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3		cnex 10219	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 10229	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5	3, 4	elpm2 8041	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
6	5	simplbi 485	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   ⊆ wss 3723  ^◡ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250   “ cima 5252   ∘ ccom 5253  ⟶wf 6025  (class class class)co 6792   ↑_pm cpm 8010  ℂcc 10136  ℝcr 10137  (,)cioo 12376  ℜcre 14041  ℑcim 14042  volcvol 23447  MblFncmbf 23598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-fv 6037  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-pm 8012  df-mbf 23603

This theorem is referenced by:  mbfdm  23610  mbfmptcl  23620  mbfres  23627  mbfimaopnlem  23638  mbfadd  23644  mbfsub  23645  mbfmul  23709  iblcnlem  23771  bddmulibl  23821  bddibl  23822  bddiblnc  33808  mbfresmf  41465