MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbff 23609
Description: A measurable function is a function into the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbff (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem mbff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf1 23608 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
21simplbi 485 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3 cnex 10219 . . . 4 ℂ ∈ V
4 reex 10229 . . . 4 ℝ ∈ V
53, 4elpm2 8041 . . 3 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
65simplbi 485 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
72, 6syl 17 1 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  wral 3061  wss 3723  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cima 5252  ccom 5253  wf 6025  (class class class)co 6792  pm cpm 8010  cc 10136  cr 10137  (,)cioo 12376  cre 14041  cim 14042  volcvol 23447  MblFncmbf 23598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-fv 6037  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-pm 8012  df-mbf 23603
This theorem is referenced by:  mbfdm  23610  mbfmptcl  23620  mbfres  23627  mbfimaopnlem  23638  mbfadd  23644  mbfsub  23645  mbfmul  23709  iblcnlem  23771  bddmulibl  23821  bddibl  23822  bddiblnc  33808  mbfresmf  41465
  Copyright terms: Public domain W3C validator