Theorem mbff 25582

Description: A measurable function is a function into the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbff	⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem mbff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf1 25581	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3		cnex 11107	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 11117	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5	3, 4	elpm2 8812	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
6	5	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ⊆ wss 3901  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625   “ cima 5627   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358   ↑_pm cpm 8764  ℂcc 11024  ℝcr 11025  (,)cioo 13261  ℜcre 15020  ℑcim 15021  volcvol 25420  MblFncmbf 25571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pm 8766  df-mbf 25576

This theorem is referenced by:  mbfdm  25583  mbfmptcl  25593  mbfres  25601  mbfimaopnlem  25612  mbfadd  25618  mbfsub  25619  mbfmul  25683  iblcnlem  25746  bddmulibl  25796  bddibl  25797  bddiblnc  25799  mbfresmf  46983