MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbff 23919
Description: A measurable function is a function into the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbff (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem mbff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf1 23918 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
21simplbi 490 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3 cnex 10408 . . . 4 ℂ ∈ V
4 reex 10418 . . . 4 ℝ ∈ V
53, 4elpm2 8230 . . 3 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
65simplbi 490 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
72, 6syl 17 1 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wcel 2048  wral 3082  wss 3825  ccnv 5399  dom cdm 5400  ran crn 5401  cima 5403  ccom 5404  wf 6178  (class class class)co 6970  pm cpm 8199  cc 10325  cr 10326  (,)cioo 12547  cre 14307  cim 14308  volcvol 23757  MblFncmbf 23908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-pm 8201  df-mbf 23913
This theorem is referenced by:  mbfdm  23920  mbfmptcl  23930  mbfres  23938  mbfimaopnlem  23949  mbfadd  23955  mbfsub  23956  mbfmul  24020  iblcnlem  24082  bddmulibl  24132  bddibl  24133  bddiblnc  34351  mbfresmf  42393
  Copyright terms: Public domain W3C validator