MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1liplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c1liplem1 25884
Description: Lemma for c1lip1 25885. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1liplem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
c1liplem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
c1liplem1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
c1liplem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
c1liplem1.dv (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
c1liplem1.cn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
c1liplem1.k 𝐾 = sup((abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
c1liplem1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem c1liplem1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c1liplem1.k . . 3 𝐾 = sup((abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))), ℝ, < )
2 imassrn 6064 . . . . . 6 (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ran abs
3 absf 15290 . . . . . . 7 abs:β„‚βŸΆβ„
4 frn 6718 . . . . . . 7 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ ran abs βŠ† ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 ran abs βŠ† ℝ
62, 5sstri 3986 . . . . 5 (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ
76a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ)
8 dvf 25791 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
9 ffun 6714 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun (ℝ D 𝐹)
1110a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
12 c1liplem1.dv . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
13 cncff 24768 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
14 fdm 6720 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝐴[,]𝐡))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝐴[,]𝐡))
16 ssdmres 5998 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝐴[,]𝐡))
1715, 16sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
18 c1liplem1.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1918rexrd 11268 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
20 c1liplem1.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2120rexrd 11268 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
22 c1liplem1.le . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
23 lbicc2 13447 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
25 funfvima2 7228 . . . . . . 7 ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
2625imp 406 . . . . . 6 (((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
2711, 17, 24, 26syl21anc 835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
28 ffun 6714 . . . . . . 7 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ Fun abs)
293, 28ax-mp 5 . . . . . 6 Fun abs
30 imassrn 6064 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ran (ℝ D 𝐹)
31 frn 6718 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† β„‚)
328, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (ℝ D 𝐹) βŠ† β„‚
3330, 32sstri 3986 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† β„‚
343fdmi 6723 . . . . . . 7 dom abs = β„‚
3533, 34sseqtrri 4014 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† dom abs
36 funfvima2 7228 . . . . . 6 ((Fun abs ∧ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† dom abs) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π΄)) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
3729, 35, 36mp2an 689 . . . . 5 (((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π΄)) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
38 ne0i 4329 . . . . 5 ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π΄)) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β‰  βˆ…)
3927, 37, 383syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β‰  βˆ…)
40 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
41 ssid 3999 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
42 cncfss 24774 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4340, 41, 42mp2an 689 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)
4443, 12sselid 3975 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
45 cniccbdd 25345 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž)
4618, 20, 44, 45syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž)
47 fvelima 6951 . . . . . . . . . 10 ((Fun abs ∧ 𝑏 ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))(absβ€˜π‘¦) = 𝑏)
4829, 47mpan 687 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))(absβ€˜π‘¦) = 𝑏)
49 fvres 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘))
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘))
5150fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))
52 2fveq3 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) = (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘)))
5352breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ↔ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘)) ≀ π‘Ž))
5453rspccva 3605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘)) ≀ π‘Ž)
5551, 54eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) ≀ π‘Ž)
5655adantll 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) ≀ π‘Ž)
57 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦 β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) = (absβ€˜π‘¦))
5857breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦 β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) ≀ π‘Ž ↔ (absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž))
5956, 58syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦 β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž))
6059rexlimdva 3149 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦 β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž))
61 fvelima 6951 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦)
6210, 61mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦)
6360, 62impel 505 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž)
64 breq1 5144 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜π‘¦) = 𝑏 β†’ ((absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž ↔ 𝑏 ≀ π‘Ž))
6563, 64syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((absβ€˜π‘¦) = 𝑏 β†’ 𝑏 ≀ π‘Ž))
6665rexlimdva 3149 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))(absβ€˜π‘¦) = 𝑏 β†’ 𝑏 ≀ π‘Ž))
6748, 66syl5 34 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (𝑏 ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝑏 ≀ π‘Ž))
6867ralrimiv 3139 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž)
6968ex 412 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž β†’ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž))
7069reximdva 3162 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž))
7146, 70mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž)
727, 39, 71suprcld 12181 . . 3 (πœ‘ β†’ sup((abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
731, 72eqeltrid 2831 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
74 simplrr 775 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
7574fvresd 6905 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
76 c1liplem1.cn . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
77 cncff 24768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
7978ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
8079, 74ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
8180recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
8275, 81eqeltrrd 2828 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
83 simplrl 774 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
8483fvresd 6905 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
8579, 83ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8685recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8784, 86eqeltrrd 2828 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8882, 87subcld 11575 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
89 iccssre 13412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
9018, 20, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
9190ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
9291, 74sseldd 3978 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
9391, 83sseldd 3978 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9492, 93resubcld 11646 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ)
9594recnd 11246 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
96 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ < 𝑦)
97 difrp 13018 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ+))
9893, 92, 97syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ+))
9996, 98mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ+)
10099rpne0d 13027 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) β‰  0)
10188, 95, 100absdivd 15408 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))
1026a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ)
10339ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β‰  βˆ…)
10471ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž)
10529a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ Fun abs)
10688, 95, 100divcld 11994 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
107106, 34eleqtrrdi 2838 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ dom abs)
10893rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
10992rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
11093, 92, 96ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
111 ubicc2 13448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,]𝑦))
112108, 109, 110, 111syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,]𝑦))
113112fvresd 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
114 lbicc2 13447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯[,]𝑦))
115108, 109, 110, 114syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯[,]𝑦))
116115fvresd 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
117113, 116oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
118117oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))
119 iccss2 13401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
120119ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
121120resabs1d 6006 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)) = (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))
12276ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
123 rescncf 24772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)) ∈ ((π‘₯[,]𝑦)–cn→ℝ)))
124120, 122, 123sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)) ∈ ((π‘₯[,]𝑦)–cn→ℝ))
125121, 124eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)) ∈ ((π‘₯[,]𝑦)–cn→ℝ))
12640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
127 c1liplem1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
128127ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
129 cnex 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„‚ ∈ V
130 reex 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ∈ V
131129, 130elpm2 8870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
132131simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
133128, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
134131simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
135128, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
136 iccssre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† ℝ)
13793, 92, 136syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† ℝ)
138 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
139138tgioo2 24674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
140138, 139dvres 25795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) ∧ (dom 𝐹 βŠ† ℝ ∧ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦))))
141126, 133, 135, 137, 140syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦))))
142 iccntr 24692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
14393, 92, 142syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
144143reseq2d 5975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)))
145141, 144eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)))
146145dmeqd 5899 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)))
147 ioossicc 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯(,)𝑦) βŠ† (π‘₯[,]𝑦)
148147, 120sstrid 3988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯(,)𝑦) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
14917ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
150148, 149sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯(,)𝑦) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
151 ssdmres 5998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯(,)𝑦) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
152150, 151sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
153146, 152eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = (π‘₯(,)𝑦))
15493, 92, 96, 125, 153mvth 25880 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))
155145fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦))β€˜π‘Ž))
156155adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦))β€˜π‘Ž))
157 fvres 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦))β€˜π‘Ž) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž))
158157ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦))β€˜π‘Ž) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž))
159156, 158eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž))
16010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
16117ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
162148sseld 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦) β†’ π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)))
163162impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡))
164 funfvima2 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)) β†’ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
165164imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
166160, 161, 163, 165syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
167159, 166eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
168 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) ↔ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
169167, 168syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
170169expr 456 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
171170rexlimdv 3147 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
172154, 171mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
173118, 172eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
174 funfvima 7227 . . . . . . . . . . 11 ((Fun abs ∧ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ dom abs) β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
175174imp 406 . . . . . . . . . 10 (((Fun abs ∧ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ dom abs) ∧ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
176105, 107, 173, 175syl21anc 835 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
177102, 103, 104, 176suprubd 12180 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ≀ sup((abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))), ℝ, < ))
178177, 1breqtrrdi 5183 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ≀ 𝐾)
179101, 178eqbrtrrd 5165 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))) ≀ 𝐾)
18088abscld 15389 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
18173ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
18295, 100absrpcld 15401 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ+)
183180, 181, 182ledivmuld 13075 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))) ≀ 𝐾 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) Β· 𝐾)))
184179, 183mpbid 231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) Β· 𝐾))
185182rpcnd 13024 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
186181recnd 11246 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
187185, 186mulcomd 11239 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))
188184, 187breqtrd 5167 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))
189188ex 412 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (π‘₯ < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
190189ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
19173, 190jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8823  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  abscabs 15187  TopOpenctopn 17376  topGenctg 17392  β„‚fldccnfld 21240  intcnt 22876  β€“cnβ†’ccncf 24751   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  c1lip1  25885
  Copyright terms: Public domain W3C validator