MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1liplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c1liplem1 25947
Description: Lemma for c1lip1 25948. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1liplem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
c1liplem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
c1liplem1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
c1liplem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
c1liplem1.dv (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
c1liplem1.cn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
c1liplem1.k 𝐾 = sup((abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
c1liplem1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem c1liplem1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c1liplem1.k . . 3 𝐾 = sup((abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))), ℝ, < )
2 imassrn 6069 . . . . . 6 (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ran abs
3 absf 15316 . . . . . . 7 abs:β„‚βŸΆβ„
4 frn 6724 . . . . . . 7 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ ran abs βŠ† ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 ran abs βŠ† ℝ
62, 5sstri 3982 . . . . 5 (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ
76a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ)
8 dvf 25854 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
9 ffun 6720 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun (ℝ D 𝐹)
1110a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
12 c1liplem1.dv . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
13 cncff 24831 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
14 fdm 6726 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝐴[,]𝐡))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝐴[,]𝐡))
16 ssdmres 6012 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝐴[,]𝐡))
1715, 16sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
18 c1liplem1.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1918rexrd 11294 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
20 c1liplem1.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2120rexrd 11294 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
22 c1liplem1.le . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
23 lbicc2 13473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
25 funfvima2 7239 . . . . . . 7 ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
2625imp 405 . . . . . 6 (((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
2711, 17, 24, 26syl21anc 836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
28 ffun 6720 . . . . . . 7 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ Fun abs)
293, 28ax-mp 5 . . . . . 6 Fun abs
30 imassrn 6069 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ran (ℝ D 𝐹)
31 frn 6724 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† β„‚)
328, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (ℝ D 𝐹) βŠ† β„‚
3330, 32sstri 3982 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† β„‚
343fdmi 6729 . . . . . . 7 dom abs = β„‚
3533, 34sseqtrri 4010 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† dom abs
36 funfvima2 7239 . . . . . 6 ((Fun abs ∧ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† dom abs) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π΄)) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
3729, 35, 36mp2an 690 . . . . 5 (((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π΄)) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
38 ne0i 4330 . . . . 5 ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π΄)) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β‰  βˆ…)
3927, 37, 383syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β‰  βˆ…)
40 ax-resscn 11195 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
41 ssid 3995 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
42 cncfss 24837 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4340, 41, 42mp2an 690 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)
4443, 12sselid 3970 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
45 cniccbdd 25408 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž)
4618, 20, 44, 45syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž)
47 fvelima 6959 . . . . . . . . . 10 ((Fun abs ∧ 𝑏 ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))(absβ€˜π‘¦) = 𝑏)
4829, 47mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))(absβ€˜π‘¦) = 𝑏)
49 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘))
5049adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘))
5150fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))
52 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) = (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘)))
5352breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ↔ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘)) ≀ π‘Ž))
5453rspccva 3600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘)) ≀ π‘Ž)
5551, 54eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) ≀ π‘Ž)
5655adantll 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) ≀ π‘Ž)
57 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦 β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) = (absβ€˜π‘¦))
5857breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦 β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) ≀ π‘Ž ↔ (absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž))
5956, 58syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦 β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž))
6059rexlimdva 3145 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦 β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž))
61 fvelima 6959 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦)
6210, 61mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦)
6360, 62impel 504 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž)
64 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜π‘¦) = 𝑏 β†’ ((absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž ↔ 𝑏 ≀ π‘Ž))
6563, 64syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((absβ€˜π‘¦) = 𝑏 β†’ 𝑏 ≀ π‘Ž))
6665rexlimdva 3145 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))(absβ€˜π‘¦) = 𝑏 β†’ 𝑏 ≀ π‘Ž))
6748, 66syl5 34 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (𝑏 ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝑏 ≀ π‘Ž))
6867ralrimiv 3135 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž)
6968ex 411 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž β†’ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž))
7069reximdva 3158 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž))
7146, 70mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž)
727, 39, 71suprcld 12207 . . 3 (πœ‘ β†’ sup((abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
731, 72eqeltrid 2829 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
74 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
7574fvresd 6912 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
76 c1liplem1.cn . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
77 cncff 24831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
7978ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
8079, 74ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
8180recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
8275, 81eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
83 simplrl 775 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
8483fvresd 6912 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
8579, 83ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8685recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8784, 86eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8882, 87subcld 11601 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
89 iccssre 13438 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
9018, 20, 89syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
9190ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
9291, 74sseldd 3973 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
9391, 83sseldd 3973 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9492, 93resubcld 11672 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ)
9594recnd 11272 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
96 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ < 𝑦)
97 difrp 13044 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ+))
9893, 92, 97syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ+))
9996, 98mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ+)
10099rpne0d 13053 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) β‰  0)
10188, 95, 100absdivd 15434 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))
1026a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ)
10339ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β‰  βˆ…)
10471ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž)
10529a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ Fun abs)
10688, 95, 100divcld 12020 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
107106, 34eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ dom abs)
10893rexrd 11294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
10992rexrd 11294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
11093, 92, 96ltled 11392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
111 ubicc2 13474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,]𝑦))
112108, 109, 110, 111syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,]𝑦))
113112fvresd 6912 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
114 lbicc2 13473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯[,]𝑦))
115108, 109, 110, 114syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯[,]𝑦))
116115fvresd 6912 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
117113, 116oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
118117oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))
119 iccss2 13427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
120119ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
121120resabs1d 6007 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)) = (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))
12276ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
123 rescncf 24835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)) ∈ ((π‘₯[,]𝑦)–cn→ℝ)))
124120, 122, 123sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)) ∈ ((π‘₯[,]𝑦)–cn→ℝ))
125121, 124eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)) ∈ ((π‘₯[,]𝑦)–cn→ℝ))
12640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
127 c1liplem1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
128127ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
129 cnex 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„‚ ∈ V
130 reex 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ∈ V
131129, 130elpm2 8891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
132131simplbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
133128, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
134131simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
135128, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
136 iccssre 13438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† ℝ)
13793, 92, 136syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† ℝ)
138 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
139138tgioo2 24737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
140138, 139dvres 25858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) ∧ (dom 𝐹 βŠ† ℝ ∧ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦))))
141126, 133, 135, 137, 140syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦))))
142 iccntr 24755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
14393, 92, 142syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
144143reseq2d 5979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)))
145141, 144eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)))
146145dmeqd 5902 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)))
147 ioossicc 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯(,)𝑦) βŠ† (π‘₯[,]𝑦)
148147, 120sstrid 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯(,)𝑦) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
14917ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
150148, 149sstrd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯(,)𝑦) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
151 ssdmres 6012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯(,)𝑦) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
152150, 151sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
153146, 152eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = (π‘₯(,)𝑦))
15493, 92, 96, 125, 153mvth 25943 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))
155145fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦))β€˜π‘Ž))
156155adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦))β€˜π‘Ž))
157 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦))β€˜π‘Ž) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž))
158157ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦))β€˜π‘Ž) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž))
159156, 158eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž))
16010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
16117ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
162148sseld 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦) β†’ π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)))
163162impr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡))
164 funfvima2 7239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)) β†’ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
165164imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
166160, 161, 163, 165syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
167159, 166eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
168 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) ↔ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
169167, 168syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
170169expr 455 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
171170rexlimdv 3143 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
172154, 171mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
173118, 172eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
174 funfvima 7238 . . . . . . . . . . 11 ((Fun abs ∧ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ dom abs) β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
175174imp 405 . . . . . . . . . 10 (((Fun abs ∧ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ dom abs) ∧ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
176105, 107, 173, 175syl21anc 836 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
177102, 103, 104, 176suprubd 12206 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ≀ sup((abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))), ℝ, < ))
178177, 1breqtrrdi 5185 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ≀ 𝐾)
179101, 178eqbrtrrd 5167 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))) ≀ 𝐾)
18088abscld 15415 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
18173ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
18295, 100absrpcld 15427 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ+)
183180, 181, 182ledivmuld 13101 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))) ≀ 𝐾 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) Β· 𝐾)))
184179, 183mpbid 231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) Β· 𝐾))
185182rpcnd 13050 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
186181recnd 11272 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
187185, 186mulcomd 11265 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))
188184, 187breqtrd 5169 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))
189188ex 411 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (π‘₯ < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
190189ralrimivva 3191 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
19173, 190jca 510 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ↑pm cpm 8844  supcsup 9463  β„‚cc 11136  β„cr 11137   Β· cmul 11143  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  β„+crp 13006  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359  abscabs 15213  TopOpenctopn 17402  topGenctg 17418  β„‚fldccnfld 21283  intcnt 22939  β€“cnβ†’ccncf 24814   D cdv 25810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814
This theorem is referenced by:  c1lip1  25948
  Copyright terms: Public domain W3C validator