MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1liplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c1liplem1 25376
Description: Lemma for c1lip1 25377. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1liplem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
c1liplem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
c1liplem1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
c1liplem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
c1liplem1.dv (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
c1liplem1.cn (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
c1liplem1.k 𝐾 = sup((abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
c1liplem1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem c1liplem1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c1liplem1.k . . 3 𝐾 = sup((abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))), ℝ, < )
2 imassrn 6029 . . . . . 6 (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ran abs
3 absf 15229 . . . . . . 7 abs:β„‚βŸΆβ„
4 frn 6680 . . . . . . 7 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ ran abs βŠ† ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 ran abs βŠ† ℝ
62, 5sstri 3958 . . . . 5 (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ
76a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ)
8 dvf 25287 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
9 ffun 6676 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun (ℝ D 𝐹)
1110a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
12 c1liplem1.dv . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
13 cncff 24272 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
14 fdm 6682 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝐴[,]𝐡))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝐴[,]𝐡))
16 ssdmres 5965 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝐴[,]𝐡))
1715, 16sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
18 c1liplem1.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1918rexrd 11212 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
20 c1liplem1.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2120rexrd 11212 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
22 c1liplem1.le . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
23 lbicc2 13388 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
25 funfvima2 7186 . . . . . . 7 ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
2625imp 408 . . . . . 6 (((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
2711, 17, 24, 26syl21anc 837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
28 ffun 6676 . . . . . . 7 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ Fun abs)
293, 28ax-mp 5 . . . . . 6 Fun abs
30 imassrn 6029 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ran (ℝ D 𝐹)
31 frn 6680 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† β„‚)
328, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (ℝ D 𝐹) βŠ† β„‚
3330, 32sstri 3958 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† β„‚
343fdmi 6685 . . . . . . 7 dom abs = β„‚
3533, 34sseqtrri 3986 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† dom abs
36 funfvima2 7186 . . . . . 6 ((Fun abs ∧ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† dom abs) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π΄)) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
3729, 35, 36mp2an 691 . . . . 5 (((ℝ D 𝐹)β€˜π΄) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π΄)) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
38 ne0i 4299 . . . . 5 ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π΄)) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β‰  βˆ…)
3927, 37, 383syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β‰  βˆ…)
40 ax-resscn 11115 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
41 ssid 3971 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
42 cncfss 24278 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
4340, 41, 42mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)
4443, 12sselid 3947 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
45 cniccbdd 24841 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž)
4618, 20, 44, 45syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž)
47 fvelima 6913 . . . . . . . . . 10 ((Fun abs ∧ 𝑏 ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))(absβ€˜π‘¦) = 𝑏)
4829, 47mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))(absβ€˜π‘¦) = 𝑏)
49 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘))
5049adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘))
5150fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))
52 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) = (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘)))
5352breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ↔ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘)) ≀ π‘Ž))
5453rspccva 3583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘)) ≀ π‘Ž)
5551, 54eqbrtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) ≀ π‘Ž)
5655adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) ≀ π‘Ž)
57 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦 β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) = (absβ€˜π‘¦))
5857breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦 β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) ≀ π‘Ž ↔ (absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž))
5956, 58syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦 β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž))
6059rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦 β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž))
61 fvelima 6913 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦)
6210, 61mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) = 𝑦)
6360, 62impel 507 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž)
64 breq1 5113 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜π‘¦) = 𝑏 β†’ ((absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ž ↔ 𝑏 ≀ π‘Ž))
6563, 64syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((absβ€˜π‘¦) = 𝑏 β†’ 𝑏 ≀ π‘Ž))
6665rexlimdva 3153 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))(absβ€˜π‘¦) = 𝑏 β†’ 𝑏 ≀ π‘Ž))
6748, 66syl5 34 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (𝑏 ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ 𝑏 ≀ π‘Ž))
6867ralrimiv 3143 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž)
6968ex 414 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž β†’ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž))
7069reximdva 3166 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž))
7146, 70mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž)
727, 39, 71suprcld 12125 . . 3 (πœ‘ β†’ sup((abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
731, 72eqeltrid 2842 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
74 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
7574fvresd 6867 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
76 c1liplem1.cn . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
77 cncff 24272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
7978ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
8079, 74ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
8180recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
8275, 81eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
83 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
8483fvresd 6867 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
8579, 83ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8685recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8784, 86eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8882, 87subcld 11519 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
89 iccssre 13353 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
9018, 20, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
9291, 74sseldd 3950 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
9391, 83sseldd 3950 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9492, 93resubcld 11590 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ)
9594recnd 11190 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
96 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ < 𝑦)
97 difrp 12960 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ+))
9893, 92, 97syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ+))
9996, 98mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ+)
10099rpne0d 12969 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) β‰  0)
10188, 95, 100absdivd 15347 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))
1026a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ)
10339ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β‰  βˆ…)
10471ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘ ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))𝑏 ≀ π‘Ž)
10529a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ Fun abs)
10688, 95, 100divcld 11938 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
107106, 34eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ dom abs)
10893rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
10992rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
11093, 92, 96ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
111 ubicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,]𝑦))
112108, 109, 110, 111syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (π‘₯[,]𝑦))
113112fvresd 6867 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
114 lbicc2 13388 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯[,]𝑦))
115108, 109, 110, 114syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯[,]𝑦))
116115fvresd 6867 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
117113, 116oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
118117oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))
119 iccss2 13342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
120119ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
121120resabs1d 5973 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)) = (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))
12276ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
123 rescncf 24276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)) ∈ ((π‘₯[,]𝑦)–cn→ℝ)))
124120, 122, 123sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)) ∈ ((π‘₯[,]𝑦)–cn→ℝ))
125121, 124eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)) ∈ ((π‘₯[,]𝑦)–cn→ℝ))
12640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
127 c1liplem1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
128127ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
129 cnex 11139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„‚ ∈ V
130 reex 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ∈ V
131129, 130elpm2 8819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
132131simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
133128, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
134131simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
135128, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
136 iccssre 13353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† ℝ)
13793, 92, 136syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† ℝ)
138 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
139138tgioo2 24182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
140138, 139dvres 25291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) ∧ (dom 𝐹 βŠ† ℝ ∧ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦))))
141126, 133, 135, 137, 140syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦))))
142 iccntr 24200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
14393, 92, 142syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
144143reseq2d 5942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘₯[,]𝑦))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)))
145141, 144eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)))
146145dmeqd 5866 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)))
147 ioossicc 13357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯(,)𝑦) βŠ† (π‘₯[,]𝑦)
148147, 120sstrid 3960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯(,)𝑦) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
14917ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
150148, 149sstrd 3959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘₯(,)𝑦) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
151 ssdmres 5965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯(,)𝑦) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
152150, 151sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦)) = (π‘₯(,)𝑦))
153146, 152eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))) = (π‘₯(,)𝑦))
15493, 92, 96, 125, 153mvth 25372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))
155145fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦))β€˜π‘Ž))
156155adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦))β€˜π‘Ž))
157 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦))β€˜π‘Ž) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž))
158157ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (π‘₯(,)𝑦))β€˜π‘Ž) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž))
159156, 158eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž))
16010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
16117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
162148sseld 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦) β†’ π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)))
163162impr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡))
164 funfvima2 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)) β†’ (π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
165164imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
166160, 161, 163, 165syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
167159, 166eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
168 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) ↔ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
169167, 168syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦))) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
170169expr 458 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
171170rexlimdv 3151 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘₯(,)𝑦)((ℝ D (𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦)))β€˜π‘Ž) = ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
172154, 171mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ (π‘₯[,]𝑦))β€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
173118, 172eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))
174 funfvima 7185 . . . . . . . . . . 11 ((Fun abs ∧ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ dom abs) β†’ ((((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
175174imp 408 . . . . . . . . . 10 (((Fun abs ∧ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ dom abs) ∧ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
176105, 107, 173, 175syl21anc 837 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ∈ (abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))))
177102, 103, 104, 176suprubd 12124 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ≀ sup((abs β€œ ((ℝ D 𝐹) β€œ (𝐴[,]𝐡))), ℝ, < ))
178177, 1breqtrrdi 5152 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ≀ 𝐾)
179101, 178eqbrtrrd 5134 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))) ≀ 𝐾)
18088abscld 15328 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
18173ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
18295, 100absrpcld 15340 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ+)
183180, 181, 182ledivmuld 13017 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))) ≀ 𝐾 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) Β· 𝐾)))
184179, 183mpbid 231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) Β· 𝐾))
185182rpcnd 12966 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
186181recnd 11190 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
187185, 186mulcomd 11183 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))
188184, 187breqtrd 5136 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ π‘₯ < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))
189188ex 414 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (π‘₯ < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
190189ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
19173, 190jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (𝐾 Β· (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑pm cpm 8773  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  abscabs 15126  TopOpenctopn 17310  topGenctg 17326  β„‚fldccnfld 20812  intcnt 22384  β€“cnβ†’ccncf 24255   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  c1lip1  25377
  Copyright terms: Public domain W3C validator