Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem2 44952
Description: Derivative of 𝐺. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem2.xf β„²π‘₯𝐹
etransclem2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
etransclem2.dvnf ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–):β„βŸΆβ„‚)
etransclem2.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
etransclem2 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑅,𝑖,π‘₯   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑖)

Proof of Theorem etransclem2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem2.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))
21oveq2i 7420 . 2 (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯)))
3 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
43tgioo2 24319 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
5 reelprrecn 11202 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
7 reopn 43999 . . . 4 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
9 fzfid 13938 . . 3 (πœ‘ β†’ (0...𝑅) ∈ Fin)
10 fzelp1 13553 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0...𝑅) β†’ 𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1)))
11 etransclem2.dvnf . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–):β„βŸΆβ„‚)
1210, 11sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–):β„βŸΆβ„‚)
13123adant3 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–):β„βŸΆβ„‚)
14 simp3 1139 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1513, 14ffvelcdmd 7088 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
16 fzp1elp1 13554 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0...𝑅) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1)))
17 ovex 7442 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) ∈ V
18 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1))))
1918anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1)))))
20 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—) = ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)))
2120feq1d 6703 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—):β„βŸΆβ„‚ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)):β„βŸΆβ„‚))
2219, 21imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—):β„βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)):β„βŸΆβ„‚)))
23 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))))
2423anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1))) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1)))))
25 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–) = ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—))
2625feq1d 6703 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–):β„βŸΆβ„‚ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—):β„βŸΆβ„‚))
2724, 26imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–):β„βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—):β„βŸΆβ„‚)))
2827, 11chvarvv 2003 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—):β„βŸΆβ„‚)
2917, 22, 28vtocl 3550 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)):β„βŸΆβ„‚)
3016, 29sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)):β„βŸΆβ„‚)
31303adant3 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)):β„βŸΆβ„‚)
3231, 14ffvelcdmd 7088 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3312ffnd 6719 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–) Fn ℝ)
34 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ℝ
35 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ D𝑛
36 etransclem2.xf . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝐹
3734, 35, 36nfov 7439 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(ℝ D𝑛 𝐹)
38 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝑖
3937, 38nffv 6902 . . . . . . . 8 β„²π‘₯((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)
4039dffn5f 6964 . . . . . . 7 (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–) Fn ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯)))
4133, 40sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯)))
4241eqcomd 2739 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯)) = ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–))
4342oveq2d 7425 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)))
44 ax-resscn 11167 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
4544a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
46 etransclem2.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
47 ffdm 6748 . . . . . . . 8 (𝐹:β„βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
49 cnex 11191 . . . . . . . . 9 β„‚ ∈ V
5049a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
51 reex 11201 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
52 elpm2g 8838 . . . . . . . 8 ((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ)))
5350, 51, 52sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ)))
5448, 53mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
5554adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
56 elfznn0 13594 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0...𝑅) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
5756adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
58 dvnp1 25442 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)))
5945, 55, 57, 58syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)))
6030ffnd 6719 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)) Fn ℝ)
61 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑖 + 1)
6237, 61nffv 6902 . . . . . 6 β„²π‘₯((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))
6362dffn5f 6964 . . . . 5 (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)) Fn ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯)))
6460, 63sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯)))
6543, 59, 643eqtr2d 2779 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯)))
664, 3, 6, 8, 9, 15, 32, 65dvmptfsum 25492 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯)))
672, 66eqtrid 2785 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„•0cn0 12472  (,)cioo 13324  ...cfz 13484  Ξ£csu 15632  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944   D cdv 25380   D𝑛 cdvn 25381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-dvn 25385
This theorem is referenced by:  etransclem46  44996
  Copyright terms: Public domain W3C validator