Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem2 44938
Description: Derivative of 𝐺. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem2.xf β„²π‘₯𝐹
etransclem2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
etransclem2.dvnf ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–):β„βŸΆβ„‚)
etransclem2.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
etransclem2 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑅,𝑖,π‘₯   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑖)

Proof of Theorem etransclem2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem2.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))
21oveq2i 7416 . 2 (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯)))
3 eqid 2732 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
43tgioo2 24310 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
5 reelprrecn 11198 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
7 reopn 43985 . . . 4 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
9 fzfid 13934 . . 3 (πœ‘ β†’ (0...𝑅) ∈ Fin)
10 fzelp1 13549 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0...𝑅) β†’ 𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1)))
11 etransclem2.dvnf . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–):β„βŸΆβ„‚)
1210, 11sylan2 593 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–):β„βŸΆβ„‚)
13123adant3 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–):β„βŸΆβ„‚)
14 simp3 1138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1513, 14ffvelcdmd 7084 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
16 fzp1elp1 13550 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0...𝑅) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1)))
17 ovex 7438 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) ∈ V
18 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1))))
1918anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1)))))
20 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—) = ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)))
2120feq1d 6699 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—):β„βŸΆβ„‚ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)):β„βŸΆβ„‚))
2219, 21imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—):β„βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)):β„βŸΆβ„‚)))
23 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))))
2423anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1))) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1)))))
25 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–) = ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—))
2625feq1d 6699 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–):β„βŸΆβ„‚ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—):β„βŸΆβ„‚))
2724, 26imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–):β„βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—):β„βŸΆβ„‚)))
2827, 11chvarvv 2002 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘—):β„βŸΆβ„‚)
2917, 22, 28vtocl 3549 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1))) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)):β„βŸΆβ„‚)
3016, 29sylan2 593 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)):β„βŸΆβ„‚)
31303adant3 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)):β„βŸΆβ„‚)
3231, 14ffvelcdmd 7084 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3312ffnd 6715 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–) Fn ℝ)
34 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ℝ
35 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ D𝑛
36 etransclem2.xf . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝐹
3734, 35, 36nfov 7435 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(ℝ D𝑛 𝐹)
38 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝑖
3937, 38nffv 6898 . . . . . . . 8 β„²π‘₯((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)
4039dffn5f 6960 . . . . . . 7 (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–) Fn ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯)))
4133, 40sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯)))
4241eqcomd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯)) = ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–))
4342oveq2d 7421 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)))
44 ax-resscn 11163 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
4544a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
46 etransclem2.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
47 ffdm 6744 . . . . . . . 8 (𝐹:β„βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
49 cnex 11187 . . . . . . . . 9 β„‚ ∈ V
5049a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
51 reex 11197 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
52 elpm2g 8834 . . . . . . . 8 ((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ)))
5350, 51, 52sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ)))
5448, 53mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
5554adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
56 elfznn0 13590 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0...𝑅) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
5756adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
58 dvnp1 25433 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)))
5945, 55, 57, 58syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)))
6030ffnd 6715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)) Fn ℝ)
61 nfcv 2903 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑖 + 1)
6237, 61nffv 6898 . . . . . 6 β„²π‘₯((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))
6362dffn5f 6960 . . . . 5 (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)) Fn ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯)))
6460, 63sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯)))
6543, 59, 643eqtr2d 2778 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑅)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯)))
664, 3, 6, 8, 9, 15, 32, 65dvmptfsum 25483 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯)))
672, 66eqtrid 2784 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑖 + 1))β€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {cpr 4629   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8817  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„•0cn0 12468  (,)cioo 13320  ...cfz 13480  Ξ£csu 15628  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  β„‚fldccnfld 20936   D cdv 25371   D𝑛 cdvn 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-dvn 25376
This theorem is referenced by:  etransclem46  44982
  Copyright terms: Public domain W3C validator