MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfres 25152
Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfres
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 15055 . . . 4 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
3 ismbf1 25132 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
43simplbi 498 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
54adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
6 pmresg 8860 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴))
72, 5, 6syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴))
8 cnex 11187 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
9 elpm2g 8834 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴)))
108, 2, 9sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴)))
117, 10mpbid 231 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴))
1211simpld 495 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚)
13 fco 6738 . . . 4 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
141, 12, 13sylancr 587 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
15 dmres 6001 . . . 4 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
17 mbfdm 25134 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
18 inmbl 25050 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
1916, 17, 18syl2anr 597 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
2015, 19eqeltrid 2837 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ dom vol)
21 resco 6246 . . . . . . . 8 ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2221cnveqi 5872 . . . . . . 7 β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2322imaeq1i 6054 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞))
24 cnvresima 6226 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
2523, 24eqtr3i 2762 . . . . 5 (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26 mbff 25133 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
27 ismbfcn 25137 . . . . . . . . . 10 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2928ibi 266 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
3029simpld 495 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31 fco 6738 . . . . . . . 8 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
321, 26, 31sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
33 mbfima 25138 . . . . . . 7 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
3430, 32, 33syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
35 inmbl 25050 . . . . . 6 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3634, 35sylan 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3725, 36eqeltrid 2837 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
3837adantr 481 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
3922imaeq1i 6054 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯))
40 cnvresima 6226 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
4139, 40eqtr3i 2762 . . . . 5 (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
42 mbfima 25138 . . . . . . 7 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4330, 32, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
44 inmbl 25050 . . . . . 6 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4543, 44sylan 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4641, 45eqeltrid 2837 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4746adantr 481 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4814, 20, 38, 47ismbf2d 25148 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)
49 imf 15056 . . . 4 β„‘:β„‚βŸΆβ„
50 fco 6738 . . . 4 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
5149, 12, 50sylancr 587 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
52 resco 6246 . . . . . . . 8 ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
5352cnveqi 5872 . . . . . . 7 β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
5453imaeq1i 6054 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞))
55 cnvresima 6226 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5654, 55eqtr3i 2762 . . . . 5 (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5729simprd 496 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58 fco 6738 . . . . . . . 8 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
5949, 26, 58sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
60 mbfima 25138 . . . . . . 7 (((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
6157, 59, 60syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
62 inmbl 25050 . . . . . 6 (((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6361, 62sylan 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6456, 63eqeltrid 2837 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
6564adantr 481 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
6653imaeq1i 6054 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯))
67 cnvresima 6226 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
6866, 67eqtr3i 2762 . . . . 5 (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
69 mbfima 25138 . . . . . . 7 (((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
7057, 59, 69syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
71 inmbl 25050 . . . . . 6 (((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7270, 71sylan 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7368, 72eqeltrid 2837 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
7473adantr 481 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
7551, 20, 65, 74ismbf2d 25148 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)
76 ismbfcn 25137 . . 3 ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)))
7712, 76syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)))
7848, 75, 77mpbir2and 711 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8817  β„‚cc 11104  β„cr 11105  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  (,)cioo 13320  β„œcre 15040  β„‘cim 15041  volcvol 24971  MblFncmbf 25122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127
This theorem is referenced by:  mbfadd  25169  mbfsub  25170  mbfmullem2  25233  mbfmul  25235  itg2cnlem1  25270  iblss  25313  mbfposadd  36523  ftc1cnnclem  36547  ftc1anclem8  36556
  Copyright terms: Public domain W3C validator