MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfres 25024
Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 15004 . . . 4 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
3 ismbf1 25004 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
43simplbi 499 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
54adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
6 pmresg 8815 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴))
72, 5, 6syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴))
8 cnex 11139 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
9 elpm2g 8789 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴)))
108, 2, 9sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴)))
117, 10mpbid 231 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴))
1211simpld 496 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚)
13 fco 6697 . . . 4 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
141, 12, 13sylancr 588 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
15 dmres 5964 . . . 4 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
17 mbfdm 25006 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
18 inmbl 24922 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
1916, 17, 18syl2anr 598 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
2015, 19eqeltrid 2842 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ dom vol)
21 resco 6207 . . . . . . . 8 ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2221cnveqi 5835 . . . . . . 7 β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2322imaeq1i 6015 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞))
24 cnvresima 6187 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
2523, 24eqtr3i 2767 . . . . 5 (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26 mbff 25005 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
27 ismbfcn 25009 . . . . . . . . . 10 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2928ibi 267 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
3029simpld 496 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31 fco 6697 . . . . . . . 8 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
321, 26, 31sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
33 mbfima 25010 . . . . . . 7 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
3430, 32, 33syl2anc 585 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
35 inmbl 24922 . . . . . 6 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3634, 35sylan 581 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3725, 36eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
3837adantr 482 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
3922imaeq1i 6015 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯))
40 cnvresima 6187 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
4139, 40eqtr3i 2767 . . . . 5 (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
42 mbfima 25010 . . . . . . 7 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4330, 32, 42syl2anc 585 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
44 inmbl 24922 . . . . . 6 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4543, 44sylan 581 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4641, 45eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4746adantr 482 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4814, 20, 38, 47ismbf2d 25020 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)
49 imf 15005 . . . 4 β„‘:β„‚βŸΆβ„
50 fco 6697 . . . 4 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
5149, 12, 50sylancr 588 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
52 resco 6207 . . . . . . . 8 ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
5352cnveqi 5835 . . . . . . 7 β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
5453imaeq1i 6015 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞))
55 cnvresima 6187 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5654, 55eqtr3i 2767 . . . . 5 (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5729simprd 497 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58 fco 6697 . . . . . . . 8 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
5949, 26, 58sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
60 mbfima 25010 . . . . . . 7 (((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
6157, 59, 60syl2anc 585 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
62 inmbl 24922 . . . . . 6 (((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6361, 62sylan 581 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6456, 63eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
6564adantr 482 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
6653imaeq1i 6015 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯))
67 cnvresima 6187 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
6866, 67eqtr3i 2767 . . . . 5 (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
69 mbfima 25010 . . . . . . 7 (((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
7057, 59, 69syl2anc 585 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
71 inmbl 24922 . . . . . 6 (((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7270, 71sylan 581 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7368, 72eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
7473adantr 482 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
7551, 20, 65, 74ismbf2d 25020 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)
76 ismbfcn 25009 . . 3 ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)))
7712, 76syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)))
7848, 75, 77mpbir2and 712 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  (class class class)co 7362   ↑pm cpm 8773  β„‚cc 11056  β„cr 11057  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  (,)cioo 13271  β„œcre 14989  β„‘cim 14990  volcvol 24843  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  mbfadd  25041  mbfsub  25042  mbfmullem2  25105  mbfmul  25107  itg2cnlem1  25142  iblss  25185  mbfposadd  36154  ftc1cnnclem  36178  ftc1anclem8  36187
  Copyright terms: Public domain W3C validator