MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfres 23619
Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 14069 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 simpr 473 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
3 ismbf1 23599 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
43simplbi 487 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
54adantr 468 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6 pmresg 8114 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → (𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
72, 5, 6syl2anc 575 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
8 cnex 10296 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
9 elpm2g 8103 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴)))
108, 2, 9sylancr 577 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴)))
117, 10mpbid 223 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴))
1211simpld 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ)
13 fco 6267 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ) → (ℜ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
141, 12, 13sylancr 577 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
15 dmres 5616 . . . 4 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
17 mbfdm 23601 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18 inmbl 23517 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
1916, 17, 18syl2anr 586 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
2015, 19syl5eqel 2885 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → dom (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
21 resco 5847 . . . . . . . 8 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹𝐴))
2221cnveqi 5492 . . . . . . 7 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹𝐴))
2322imaeq1i 5667 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
24 cnvresima 5831 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
2523, 24eqtr3i 2826 . . . . 5 ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26 mbff 23600 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
27 ismbfcn 23604 . . . . . . . . . 10 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2928ibi 258 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
3029simpld 484 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31 fco 6267 . . . . . . . 8 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
321, 26, 31sylancr 577 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
33 mbfima 23605 . . . . . . 7 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3430, 32, 33syl2anc 575 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
35 inmbl 23517 . . . . . 6 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3634, 35sylan 571 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3725, 36syl5eqel 2885 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3837adantr 468 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3922imaeq1i 5667 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
40 cnvresima 5831 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
4139, 40eqtr3i 2826 . . . . 5 ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
42 mbfima 23605 . . . . . . 7 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4330, 32, 42syl2anc 575 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
44 inmbl 23517 . . . . . 6 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4543, 44sylan 571 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4641, 45syl5eqel 2885 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4746adantr 468 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4814, 20, 38, 47ismbf2d 23615 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)
49 imf 14070 . . . 4 ℑ:ℂ⟶ℝ
50 fco 6267 . . . 4 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ) → (ℑ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
5149, 12, 50sylancr 577 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
52 resco 5847 . . . . . . . 8 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹𝐴))
5352cnveqi 5492 . . . . . . 7 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹𝐴))
5453imaeq1i 5667 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
55 cnvresima 5831 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5654, 55eqtr3i 2826 . . . . 5 ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5729simprd 485 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58 fco 6267 . . . . . . . 8 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5949, 26, 58sylancr 577 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
60 mbfima 23605 . . . . . . 7 (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
6157, 59, 60syl2anc 575 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
62 inmbl 23517 . . . . . 6 ((((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6361, 62sylan 571 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6456, 63syl5eqel 2885 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
6564adantr 468 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
6653imaeq1i 5667 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
67 cnvresima 5831 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
6866, 67eqtr3i 2826 . . . . 5 ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
69 mbfima 23605 . . . . . . 7 (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
7057, 59, 69syl2anc 575 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
71 inmbl 23517 . . . . . 6 ((((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7270, 71sylan 571 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7368, 72syl5eqel 2885 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
7473adantr 468 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
7551, 20, 65, 74ismbf2d 23615 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)
76 ismbfcn 23604 . . 3 ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ → ((𝐹𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)))
7712, 76syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)))
7848, 75, 77mpbir2and 695 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wcel 2155  wral 3092  Vcvv 3387  cin 3762  wss 3763  ccnv 5304  dom cdm 5305  ran crn 5306  cres 5307  cima 5308  ccom 5309  wf 6091  (class class class)co 6868  pm cpm 8087  cc 10213  cr 10214  +∞cpnf 10350  -∞cmnf 10351  (,)cioo 12387  cre 14054  cim 14055  volcvol 23438  MblFncmbf 23589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-inf2 8779  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-se 5265  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-isom 6104  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-of 7121  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-2o 7791  df-oadd 7794  df-er 7973  df-map 8088  df-pm 8089  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-sup 8581  df-inf 8582  df-oi 8648  df-card 9042  df-cda 9269  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-n0 11554  df-z 11638  df-uz 11899  df-q 12002  df-rp 12041  df-xadd 12157  df-ioo 12391  df-ico 12393  df-icc 12394  df-fz 12544  df-fzo 12684  df-fl 12811  df-seq 13019  df-exp 13078  df-hash 13332  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-clim 14436  df-sum 14634  df-xmet 19941  df-met 19942  df-ovol 23439  df-vol 23440  df-mbf 23594
This theorem is referenced by:  mbfadd  23636  mbfsub  23637  mbfmullem2  23699  mbfmul  23701  itg2cnlem1  23736  iblss  23779  mbfposadd  33763  ftc1cnnclem  33789  ftc1anclem8  33798
  Copyright terms: Public domain W3C validator