MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfres 25524
Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfres
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 15063 . . . 4 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
3 ismbf1 25504 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
43simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
6 pmresg 8863 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴))
72, 5, 6syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴))
8 cnex 11190 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
9 elpm2g 8837 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴)))
108, 2, 9sylancr 586 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴)))
117, 10mpbid 231 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴))
1211simpld 494 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚)
13 fco 6734 . . . 4 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
141, 12, 13sylancr 586 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
15 dmres 5996 . . . 4 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
17 mbfdm 25506 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
18 inmbl 25422 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
1916, 17, 18syl2anr 596 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
2015, 19eqeltrid 2831 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ dom vol)
21 resco 6242 . . . . . . . 8 ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2221cnveqi 5867 . . . . . . 7 β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2322imaeq1i 6049 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞))
24 cnvresima 6222 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
2523, 24eqtr3i 2756 . . . . 5 (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26 mbff 25505 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
27 ismbfcn 25509 . . . . . . . . . 10 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2928ibi 267 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
3029simpld 494 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31 fco 6734 . . . . . . . 8 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
321, 26, 31sylancr 586 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
33 mbfima 25510 . . . . . . 7 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
3430, 32, 33syl2anc 583 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
35 inmbl 25422 . . . . . 6 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3634, 35sylan 579 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3725, 36eqeltrid 2831 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
3837adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
3922imaeq1i 6049 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯))
40 cnvresima 6222 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
4139, 40eqtr3i 2756 . . . . 5 (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
42 mbfima 25510 . . . . . . 7 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4330, 32, 42syl2anc 583 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
44 inmbl 25422 . . . . . 6 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4543, 44sylan 579 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4641, 45eqeltrid 2831 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4746adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4814, 20, 38, 47ismbf2d 25520 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)
49 imf 15064 . . . 4 β„‘:β„‚βŸΆβ„
50 fco 6734 . . . 4 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
5149, 12, 50sylancr 586 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
52 resco 6242 . . . . . . . 8 ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
5352cnveqi 5867 . . . . . . 7 β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
5453imaeq1i 6049 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞))
55 cnvresima 6222 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5654, 55eqtr3i 2756 . . . . 5 (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5729simprd 495 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58 fco 6734 . . . . . . . 8 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
5949, 26, 58sylancr 586 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
60 mbfima 25510 . . . . . . 7 (((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
6157, 59, 60syl2anc 583 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
62 inmbl 25422 . . . . . 6 (((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6361, 62sylan 579 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6456, 63eqeltrid 2831 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
6564adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
6653imaeq1i 6049 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯))
67 cnvresima 6222 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
6866, 67eqtr3i 2756 . . . . 5 (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
69 mbfima 25510 . . . . . . 7 (((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
7057, 59, 69syl2anc 583 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
71 inmbl 25422 . . . . . 6 (((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7270, 71sylan 579 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7368, 72eqeltrid 2831 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
7473adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
7551, 20, 65, 74ismbf2d 25520 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)
76 ismbfcn 25509 . . 3 ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)))
7712, 76syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)))
7848, 75, 77mpbir2and 710 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  (class class class)co 7404   ↑pm cpm 8820  β„‚cc 11107  β„cr 11108  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  (,)cioo 13327  β„œcre 15048  β„‘cim 15049  volcvol 25343  MblFncmbf 25494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21229  df-met 21230  df-ovol 25344  df-vol 25345  df-mbf 25499
This theorem is referenced by:  mbfadd  25541  mbfsub  25542  mbfmullem2  25605  mbfmul  25607  itg2cnlem1  25642  iblss  25685  mbfposadd  37046  ftc1cnnclem  37070  ftc1anclem8  37079
  Copyright terms: Public domain W3C validator