Theorem mbfres 25760

Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfres	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 15151	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
3		ismbf1 25740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
4	3	simplbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5	4	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6		pmresg 8856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
8		cnex 11169	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
9		elpm2g 8829	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴)))
10	8, 2, 9	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴)))
11	7, 10	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴))
12	11	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ)
13		fco 6720	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
14	1, 12, 13	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
15		dmres 6001	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
17		mbfdm 25742	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18		inmbl 25658	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
19	16, 17, 18	syl2anr 608	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
20	15, 19	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ dom vol)
21		resco 6240	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
22	21	cnveqi 5850	. . . . . . 7 ⊢ ◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = ◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
23	22	imaeq1i 6049	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
24		cnvresima 6220	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
25	23, 24	eqtr3i 2790	. . . . 5 ⊢ (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26		mbff 25741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
27		ismbfcn 25745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
29	28	ibi 270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
30	29	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31		fco 6720	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
32	1, 26, 31	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
33		mbfima 25746	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
34	30, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
35		inmbl 25658	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
36	34, 35	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
37	25, 36	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
38	37	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
39	22	imaeq1i 6049	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
40		cnvresima 6220	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
41	39, 40	eqtr3i 2790	. . . . 5 ⊢ (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
42		mbfima 25746	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
43	30, 32, 42	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
44		inmbl 25658	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
45	43, 44	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
46	41, 45	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
47	46	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
48	14, 20, 38, 47	ismbf2d 25756	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)
49		imf 15152	. . . 4 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
50		fco 6720	. . . 4 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
51	49, 12, 50	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
52		resco 6240	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
53	52	cnveqi 5850	. . . . . . 7 ⊢ ◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = ◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
54	53	imaeq1i 6049	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
55		cnvresima 6220	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
56	54, 55	eqtr3i 2790	. . . . 5 ⊢ (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
57	29	simprd 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58		fco 6720	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
59	49, 26, 58	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
60		mbfima 25746	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
61	57, 59, 60	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
62		inmbl 25658	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
63	61, 62	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
64	56, 63	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
65	64	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
66	53	imaeq1i 6049	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
67		cnvresima 6220	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
68	66, 67	eqtr3i 2790	. . . . 5 ⊢ (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
69		mbfima 25746	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
70	57, 59, 69	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
71		inmbl 25658	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
72	70, 71	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
73	68, 72	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
74	73	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
75	51, 20, 65, 74	ismbf2d 25756	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)
76		ismbfcn 25745	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)))
77	12, 76	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)))
78	48, 75, 77	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6521  (class class class)co 7400   ↑_pm cpm 8813  ℂcc 11086  ℝcr 11087  +∞cpnf 11228  -∞cmnf 11229  (,)cioo 13360  ℜcre 15136  ℑcim 15137  volcvol 25579  MblFncmbf 25730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xadd 13126  df-ioo 13364  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-sum 15726  df-xmet 21472  df-met 21473  df-ovol 25580  df-vol 25581  df-mbf 25735

This theorem is referenced by:  mbfadd  25777  mbfsub  25778  mbfmullem2  25840  mbfmul  25842  itg2cnlem1  25877  iblss  25921  mbfposadd  38173  ftc1cnnclem  38197  ftc1anclem8  38206