Theorem mbfres 23928

Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfres	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 14305	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
3		ismbf1 23908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
4	3	simplbi 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6		pmresg 8284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
8		cnex 10464	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
9		elpm2g 8273	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴)))
10	8, 2, 9	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴)))
11	7, 10	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴))
12	11	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ)
13		fco 6399	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
14	1, 12, 13	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
15		dmres 5756	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
17		mbfdm 23910	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18		inmbl 23826	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
19	16, 17, 18	syl2anr 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
20	15, 19	syl5eqel 2887	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ dom vol)
21		resco 5978	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
22	21	cnveqi 5631	. . . . . . 7 ⊢ ◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = ◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
23	22	imaeq1i 5803	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
24		cnvresima 5962	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
25	23, 24	eqtr3i 2821	. . . . 5 ⊢ (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26		mbff 23909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
27		ismbfcn 23913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
29	28	ibi 268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
30	29	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31		fco 6399	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
32	1, 26, 31	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
33		mbfima 23914	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
34	30, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
35		inmbl 23826	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
36	34, 35	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
37	25, 36	syl5eqel 2887	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
38	37	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
39	22	imaeq1i 5803	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
40		cnvresima 5962	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
41	39, 40	eqtr3i 2821	. . . . 5 ⊢ (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
42		mbfima 23914	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
43	30, 32, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
44		inmbl 23826	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
45	43, 44	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
46	41, 45	syl5eqel 2887	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
47	46	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
48	14, 20, 38, 47	ismbf2d 23924	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)
49		imf 14306	. . . 4 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
50		fco 6399	. . . 4 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
51	49, 12, 50	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
52		resco 5978	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
53	52	cnveqi 5631	. . . . . . 7 ⊢ ◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = ◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
54	53	imaeq1i 5803	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
55		cnvresima 5962	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
56	54, 55	eqtr3i 2821	. . . . 5 ⊢ (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
57	29	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58		fco 6399	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
59	49, 26, 58	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
60		mbfima 23914	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
61	57, 59, 60	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
62		inmbl 23826	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
63	61, 62	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
64	56, 63	syl5eqel 2887	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
65	64	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
66	53	imaeq1i 5803	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
67		cnvresima 5962	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
68	66, 67	eqtr3i 2821	. . . . 5 ⊢ (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
69		mbfima 23914	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
70	57, 59, 69	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
71		inmbl 23826	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
72	70, 71	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
73	68, 72	syl5eqel 2887	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
74	73	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
75	51, 20, 65, 74	ismbf2d 23924	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)
76		ismbfcn 23913	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)))
77	12, 76	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)))
78	48, 75, 77	mpbir2and 709	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  Vcvv 3437   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ^◡ccnv 5442  dom cdm 5443  ran crn 5444   ↾ cres 5445   “ cima 5446   ∘ ccom 5447  ⟶wf 6221  (class class class)co 7016   ↑_pm cpm 8257  ℂcc 10381  ℝcr 10382  +∞cpnf 10518  -∞cmnf 10519  (,)cioo 12588  ℜcre 14290  ℑcim 14291  volcvol 23747  MblFncmbf 23898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xadd 12358  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-xmet 20220  df-met 20221  df-ovol 23748  df-vol 23749  df-mbf 23903

This theorem is referenced by:  mbfadd  23945  mbfsub  23946  mbfmullem2  24008  mbfmul  24010  itg2cnlem1  24045  iblss  24088  mbfposadd  34470  ftc1cnnclem  34496  ftc1anclem8  34505