MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfres 25593
Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfres
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 15099 . . . 4 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
3 ismbf1 25573 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
43simplbi 496 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
54adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
6 pmresg 8895 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴))
72, 5, 6syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴))
8 cnex 11227 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
9 elpm2g 8869 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴)))
108, 2, 9sylancr 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ (β„‚ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴)))
117, 10mpbid 231 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴))
1211simpld 493 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚)
13 fco 6752 . . . 4 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
141, 12, 13sylancr 585 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
15 dmres 6021 . . . 4 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
17 mbfdm 25575 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
18 inmbl 25491 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
1916, 17, 18syl2anr 595 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
2015, 19eqeltrid 2833 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ dom vol)
21 resco 6259 . . . . . . . 8 ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2221cnveqi 5881 . . . . . . 7 β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2322imaeq1i 6065 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞))
24 cnvresima 6239 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
2523, 24eqtr3i 2758 . . . . 5 (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26 mbff 25574 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
27 ismbfcn 25578 . . . . . . . . . 10 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2928ibi 266 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
3029simpld 493 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31 fco 6752 . . . . . . . 8 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
321, 26, 31sylancr 585 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
33 mbfima 25579 . . . . . . 7 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
3430, 32, 33syl2anc 582 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
35 inmbl 25491 . . . . . 6 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3634, 35sylan 578 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3725, 36eqeltrid 2833 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
3837adantr 479 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
3922imaeq1i 6065 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯))
40 cnvresima 6239 . . . . . 6 (β—‘((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
4139, 40eqtr3i 2758 . . . . 5 (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
42 mbfima 25579 . . . . . . 7 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4330, 32, 42syl2anc 582 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
44 inmbl 25491 . . . . . 6 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4543, 44sylan 578 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4641, 45eqeltrid 2833 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4746adantr 479 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
4814, 20, 38, 47ismbf2d 25589 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)
49 imf 15100 . . . 4 β„‘:β„‚βŸΆβ„
50 fco 6752 . . . 4 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
5149, 12, 50sylancr 585 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„)
52 resco 6259 . . . . . . . 8 ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
5352cnveqi 5881 . . . . . . 7 β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) = β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴))
5453imaeq1i 6065 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞))
55 cnvresima 6239 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5654, 55eqtr3i 2758 . . . . 5 (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5729simprd 494 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58 fco 6752 . . . . . . . 8 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
5949, 26, 58sylancr 585 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
60 mbfima 25579 . . . . . . 7 (((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
6157, 59, 60syl2anc 582 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
62 inmbl 25491 . . . . . 6 (((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6361, 62sylan 578 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6456, 63eqeltrid 2833 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
6564adantr 479 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
6653imaeq1i 6065 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯))
67 cnvresima 6239 . . . . . 6 (β—‘((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐴) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
6866, 67eqtr3i 2758 . . . . 5 (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴)
69 mbfima 25579 . . . . . . 7 (((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
7057, 59, 69syl2anc 582 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
71 inmbl 25491 . . . . . 6 (((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7270, 71sylan 578 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7368, 72eqeltrid 2833 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
7473adantr 479 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
7551, 20, 65, 74ismbf2d 25589 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)
76 ismbfcn 25578 . . 3 ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)))
7712, 76syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∈ MblFn)))
7848, 75, 77mpbir2and 711 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  (class class class)co 7426   ↑pm cpm 8852  β„‚cc 11144  β„cr 11145  +∞cpnf 11283  -∞cmnf 11284  (,)cioo 13364  β„œcre 15084  β„‘cim 15085  volcvol 25412  MblFncmbf 25563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568
This theorem is referenced by:  mbfadd  25610  mbfsub  25611  mbfmullem2  25674  mbfmul  25676  itg2cnlem1  25711  iblss  25754  mbfposadd  37173  ftc1cnnclem  37197  ftc1anclem8  37206
  Copyright terms: Public domain W3C validator