MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfres 24713
Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 14751 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
3 ismbf1 24693 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
43simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6 pmresg 8616 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → (𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
72, 5, 6syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
8 cnex 10883 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
9 elpm2g 8590 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴)))
108, 2, 9sylancr 586 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴)))
117, 10mpbid 231 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴))
1211simpld 494 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ)
13 fco 6608 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ) → (ℜ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
141, 12, 13sylancr 586 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
15 dmres 5902 . . . 4 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
17 mbfdm 24695 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18 inmbl 24611 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
1916, 17, 18syl2anr 596 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
2015, 19eqeltrid 2843 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → dom (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
21 resco 6143 . . . . . . . 8 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹𝐴))
2221cnveqi 5772 . . . . . . 7 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹𝐴))
2322imaeq1i 5955 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
24 cnvresima 6122 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
2523, 24eqtr3i 2768 . . . . 5 ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26 mbff 24694 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
27 ismbfcn 24698 . . . . . . . . . 10 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2928ibi 266 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
3029simpld 494 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31 fco 6608 . . . . . . . 8 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
321, 26, 31sylancr 586 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
33 mbfima 24699 . . . . . . 7 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3430, 32, 33syl2anc 583 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
35 inmbl 24611 . . . . . 6 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3634, 35sylan 579 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3725, 36eqeltrid 2843 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3837adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3922imaeq1i 5955 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
40 cnvresima 6122 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
4139, 40eqtr3i 2768 . . . . 5 ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
42 mbfima 24699 . . . . . . 7 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4330, 32, 42syl2anc 583 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
44 inmbl 24611 . . . . . 6 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4543, 44sylan 579 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4641, 45eqeltrid 2843 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4746adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4814, 20, 38, 47ismbf2d 24709 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)
49 imf 14752 . . . 4 ℑ:ℂ⟶ℝ
50 fco 6608 . . . 4 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ) → (ℑ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
5149, 12, 50sylancr 586 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
52 resco 6143 . . . . . . . 8 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹𝐴))
5352cnveqi 5772 . . . . . . 7 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹𝐴))
5453imaeq1i 5955 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
55 cnvresima 6122 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5654, 55eqtr3i 2768 . . . . 5 ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5729simprd 495 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58 fco 6608 . . . . . . . 8 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5949, 26, 58sylancr 586 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
60 mbfima 24699 . . . . . . 7 (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
6157, 59, 60syl2anc 583 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
62 inmbl 24611 . . . . . 6 ((((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6361, 62sylan 579 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6456, 63eqeltrid 2843 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
6564adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
6653imaeq1i 5955 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
67 cnvresima 6122 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
6866, 67eqtr3i 2768 . . . . 5 ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
69 mbfima 24699 . . . . . . 7 (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
7057, 59, 69syl2anc 583 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
71 inmbl 24611 . . . . . 6 ((((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7270, 71sylan 579 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7368, 72eqeltrid 2843 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
7473adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
7551, 20, 65, 74ismbf2d 24709 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)
76 ismbfcn 24698 . . 3 ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ → ((𝐹𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)))
7712, 76syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)))
7848, 75, 77mpbir2and 709 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2108  wral 3063  Vcvv 3422  cin 3882  wss 3883  ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581  cres 5582  cima 5583  ccom 5584  wf 6414  (class class class)co 7255  pm cpm 8574  cc 10800  cr 10801  +∞cpnf 10937  -∞cmnf 10938  (,)cioo 13008  cre 14736  cim 14737  volcvol 24532  MblFncmbf 24683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-xmet 20503  df-met 20504  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688
This theorem is referenced by:  mbfadd  24730  mbfsub  24731  mbfmullem2  24794  mbfmul  24796  itg2cnlem1  24831  iblss  24874  mbfposadd  35751  ftc1cnnclem  35775  ftc1anclem8  35784
  Copyright terms: Public domain W3C validator