Theorem mbfres 25998

Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfres	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 15311	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
3		ismbf1 25978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
4	3	simplbi 502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6		pmresg 8929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
8		cnex 11311	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
9		elpm2g 8895	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴)))
10	8, 2, 9	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴)))
11	7, 10	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴))
12	11	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ)
13		fco 6759	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
14	1, 12, 13	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
15		dmres 6016	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
17		mbfdm 25980	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18		inmbl 25896	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
19	16, 17, 18	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
20	15, 19	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ dom vol)
21		resco 6265	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
22	21	cnveqi 5860	. . . . . . 7 ⊢ ◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = ◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
23	22	imaeq1i 6062	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
24		cnvresima 6245	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
25	23, 24	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26		mbff 25979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
27		ismbfcn 25983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
29	28	ibi 270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
30	29	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31		fco 6759	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
32	1, 26, 31	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
33		mbfima 25984	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
34	30, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
35		inmbl 25896	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
36	34, 35	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
37	25, 36	eqeltrid 2868	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
38	37	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
39	22	imaeq1i 6062	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
40		cnvresima 6245	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
41	39, 40	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
42		mbfima 25984	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
43	30, 32, 42	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
44		inmbl 25896	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
45	43, 44	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
46	41, 45	eqeltrid 2868	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
47	46	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
48	14, 20, 38, 47	ismbf2d 25994	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)
49		imf 15312	. . . 4 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
50		fco 6759	. . . 4 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
51	49, 12, 50	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
52		resco 6265	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
53	52	cnveqi 5860	. . . . . . 7 ⊢ ◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = ◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
54	53	imaeq1i 6062	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
55		cnvresima 6245	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
56	54, 55	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
57	29	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58		fco 6759	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
59	49, 26, 58	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
60		mbfima 25984	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
61	57, 59, 60	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
62		inmbl 25896	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
63	61, 62	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
64	56, 63	eqeltrid 2868	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
65	64	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
66	53	imaeq1i 6062	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
67		cnvresima 6245	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
68	66, 67	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
69		mbfima 25984	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
70	57, 59, 69	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
71		inmbl 25896	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
72	70, 71	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
73	68, 72	eqeltrid 2868	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
74	73	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
75	51, 20, 65, 74	ismbf2d 25994	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)
76		ismbfcn 25983	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)))
77	12, 76	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)))
78	48, 75, 77	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ^◡ccnv 5655  dom cdm 5656  ran crn 5657   ↾ cres 5658   “ cima 5659   ∘ ccom 5660  ⟶wf 6557  (class class class)co 7446   ↑_pm cpm 8879  ℂcc 11228  ℝcr 11229  +∞cpnf 11370  -∞cmnf 11371  (,)cioo 13506  ℜcre 15296  ℑcim 15297  volcvol 25817  MblFncmbf 25968

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xadd 13272  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-sum 15886  df-xmet 21704  df-met 21705  df-ovol 25818  df-vol 25819  df-mbf 25973

This theorem is used by:  mbfadd  26015  mbfsub  26016  mbfmullem2  26078  mbfmul  26080  itg2cnlem1  26115  iblss  26158  mbfposadd  38790  ftc1cnnclem  38814  ftc1anclem8  38823