Theorem mbfres 25784

Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfres	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 15165	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
3		ismbf1 25764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
4	3	simplbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5	4	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6		pmresg 8869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
8		cnex 11182	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
9		elpm2g 8842	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴)))
10	8, 2, 9	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴)))
11	7, 10	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴))
12	11	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ)
13		fco 6732	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
14	1, 12, 13	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
15		dmres 6013	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
17		mbfdm 25766	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18		inmbl 25682	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
19	16, 17, 18	syl2anr 608	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
20	15, 19	eqeltrid 2867	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ dom vol)
21		resco 6253	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
22	21	cnveqi 5862	. . . . . . 7 ⊢ ◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = ◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
23	22	imaeq1i 6061	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
24		cnvresima 6233	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
25	23, 24	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26		mbff 25765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
27		ismbfcn 25769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
29	28	ibi 270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
30	29	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31		fco 6732	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
32	1, 26, 31	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
33		mbfima 25770	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
34	30, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
35		inmbl 25682	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
36	34, 35	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
37	25, 36	eqeltrid 2867	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
38	37	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
39	22	imaeq1i 6061	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
40		cnvresima 6233	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
41	39, 40	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
42		mbfima 25770	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
43	30, 32, 42	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
44		inmbl 25682	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
45	43, 44	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
46	41, 45	eqeltrid 2867	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
47	46	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
48	14, 20, 38, 47	ismbf2d 25780	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)
49		imf 15166	. . . 4 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
50		fco 6732	. . . 4 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
51	49, 12, 50	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
52		resco 6253	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
53	52	cnveqi 5862	. . . . . . 7 ⊢ ◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = ◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
54	53	imaeq1i 6061	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
55		cnvresima 6233	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
56	54, 55	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
57	29	simprd 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58		fco 6732	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
59	49, 26, 58	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
60		mbfima 25770	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
61	57, 59, 60	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
62		inmbl 25682	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
63	61, 62	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
64	56, 63	eqeltrid 2867	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
65	64	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
66	53	imaeq1i 6061	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
67		cnvresima 6233	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
68	66, 67	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
69		mbfima 25770	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
70	57, 59, 69	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
71		inmbl 25682	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
72	70, 71	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
73	68, 72	eqeltrid 2867	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
74	73	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
75	51, 20, 65, 74	ismbf2d 25780	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)
76		ismbfcn 25769	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)))
77	12, 76	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)))
78	48, 75, 77	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   ↾ cres 5665   “ cima 5666   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6534  (class class class)co 7412   ↑_pm cpm 8826  ℂcc 11099  ℝcr 11100  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  (,)cioo 13373  ℜcre 15150  ℑcim 15151  volcvol 25603  MblFncmbf 25754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xadd 13139  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-xmet 21496  df-met 21497  df-ovol 25604  df-vol 25605  df-mbf 25759

This theorem is referenced by:  mbfadd  25801  mbfsub  25802  mbfmullem2  25864  mbfmul  25866  itg2cnlem1  25901  iblss  25945  mbfposadd  38299  ftc1cnnclem  38323  ftc1anclem8  38332