Theorem mbfres 24808

Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfres	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 14823	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
3		ismbf1 24788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
4	3	simplbi 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6		pmresg 8658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
8		cnex 10952	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
9		elpm2g 8632	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴)))
10	8, 2, 9	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴)))
11	7, 10	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐴))
12	11	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ)
13		fco 6624	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
14	1, 12, 13	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
15		dmres 5913	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
17		mbfdm 24790	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18		inmbl 24706	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
19	16, 17, 18	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
20	15, 19	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → dom (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ dom vol)
21		resco 6154	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
22	21	cnveqi 5783	. . . . . . 7 ⊢ ◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = ◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
23	22	imaeq1i 5966	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
24		cnvresima 6133	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
25	23, 24	eqtr3i 2768	. . . . 5 ⊢ (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26		mbff 24789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
27		ismbfcn 24793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
29	28	ibi 266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
30	29	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31		fco 6624	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
32	1, 26, 31	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
33		mbfima 24794	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
34	30, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
35		inmbl 24706	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
36	34, 35	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
37	25, 36	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
38	37	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
39	22	imaeq1i 5966	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
40		cnvresima 6133	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
41	39, 40	eqtr3i 2768	. . . . 5 ⊢ (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
42		mbfima 24794	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
43	30, 32, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
44		inmbl 24706	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
45	43, 44	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
46	41, 45	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
47	46	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
48	14, 20, 38, 47	ismbf2d 24804	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)
49		imf 14824	. . . 4 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
50		fco 6624	. . . 4 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
51	49, 12, 50	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℝ)
52		resco 6154	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
53	52	cnveqi 5783	. . . . . . 7 ⊢ ◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = ◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
54	53	imaeq1i 5966	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
55		cnvresima 6133	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
56	54, 55	eqtr3i 2768	. . . . 5 ⊢ (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
57	29	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58		fco 6624	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
59	49, 26, 58	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
60		mbfima 24794	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
61	57, 59, 60	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
62		inmbl 24706	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
63	61, 62	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
64	56, 63	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
65	64	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
66	53	imaeq1i 5966	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
67		cnvresima 6133	. . . . . 6 ⊢ (◡((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
68	66, 67	eqtr3i 2768	. . . . 5 ⊢ (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
69		mbfima 24794	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
70	57, 59, 69	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
71		inmbl 24706	. . . . . 6 ⊢ (((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
72	70, 71	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
73	68, 72	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
74	73	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
75	51, 20, 65, 74	ismbf2d 24804	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)
76		ismbfcn 24793	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)))
77	12, 76	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ MblFn)))
78	48, 75, 77	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   ↾ cres 5591   “ cima 5592   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275   ↑_pm cpm 8616  ℂcc 10869  ℝcr 10870  +∞cpnf 11006  -∞cmnf 11007  (,)cioo 13079  ℜcre 14808  ℑcim 14809  volcvol 24627  MblFncmbf 24778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-xmet 20590  df-met 20591  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783

This theorem is referenced by:  mbfadd  24825  mbfsub  24826  mbfmullem2  24889  mbfmul  24891  itg2cnlem1  24926  iblss  24969  mbfposadd  35824  ftc1cnnclem  35848  ftc1anclem8  35857