Theorem perfdvf 25883

Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
perfdvf.1	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
perfdvf	⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Proof of Theorem perfdvf

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dv 25847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
2	1	dmmpossx 8013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom D ⊆ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠))
3		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D )
4	2, 3	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
5		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
6	5	opeliunxp2 5788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
7	4, 6	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
8	7	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9		cnex 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ∈ V
10	7	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
11		elpm2g 8785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
12	9, 10, 11	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
13	8, 12	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
14	13	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
16	2	sseli 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
17	16, 6	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
18	17	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
19	17	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
20	9, 19, 11	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
21	18, 20	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
22	21	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
24	10	elpwid 4551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 ⊆ ℂ)
25	23, 24	sstrd 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
27		perfdvf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28	27	cnfldtopon 24760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
29		resttopon 23139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
30	28, 24, 29	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
31		topontop 22891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
33		toponuni 22892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
35	23, 34	sseqtrd 3959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
36		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆) = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)
37	36	ntrss2 23035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
38	32, 35, 37	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
39	38	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
40	15, 26, 39	dvlem 25876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
41	40	fmpttd 7062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))):(dom 𝐹 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
42	26	ssdifssd 4088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
43	36	ntrss3 23038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
44	32, 35, 43	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
45	44, 34	sseqtrrd 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ 𝑆)
46		restabs 23143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
47	28, 45, 10, 46	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)
49	36	ntropn 23027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
50	32, 35, 49	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
51		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
52	36, 51	perfopn 23163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
53	48, 50, 52	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
54	47, 53	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
55	27	cnfldtop 24761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐾 ∈ Top
56	45, 24	sstrd 3933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ℂ)
57	28	toponunii 22894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
58		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
59	57, 58	restperf 23162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ℂ) → ((𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf ↔ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))))
60	55, 56, 59	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf ↔ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))))
61	54, 60	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
62	57	lpss3 23122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹) → ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
63	55, 25, 38, 62	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
64	61, 63	sstrd 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
65	64	sselda 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
66	57	lpdifsn 23121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
67	55, 26, 66	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
68	65, 67	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥})))
69	41, 42, 68, 27	limcmo 25862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
70	69	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
71		moanimv 2620	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
72	70, 71	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
73		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ↾t 𝑆) = (𝐾 ↾t 𝑆)
74		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
75	73, 27, 74, 24, 14, 23	eldv 25878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
76	75	mobidv 2550	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
77	72, 76	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
78	77	alrimiv 1929	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
79		reldv 25850	. . . . . . 7 ⊢ Rel (𝑆 D 𝐹)
80		dffun6 6504	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ (Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))
81	79, 80	mpbiran 710	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
82	78, 81	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → Fun (𝑆 D 𝐹))
83	82	funfnd 6524	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
84		vex 3434	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
85	84	elrn 5843	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
86	24, 14, 23	dvcl 25879	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
87	86	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ))
88	87	exlimdv 1935	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ))
89	85, 88	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) → 𝑦 ∈ ℂ))
90	89	ssrdv 3928	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ)
91		df-f 6497	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ))
92	83, 90, 91	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
93	92	ex 412	. 2 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ))
94		f0 6716	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶ℂ
95		df-ov 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D 𝐹) = ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩)
96		ndmfv 6867	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩) = ∅)
97	95, 96	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹) = ∅)
98	97	dmeqd 5855	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = dom ∅)
99		dm0 5870	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
100	98, 99	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = ∅)
101	97, 100	feq12d 6651	. . . 4 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ ∅:∅⟶ℂ))
102	94, 101	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
103	102	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ))
104	93, 103	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  ⟨cop 4574  ∪ cuni 4851  ∪ ciun 4934   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5623  dom cdm 5625  ran crn 5626  Rel wrel 5630  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_pm cpm 8768  ℂcc 11030   − cmin 11371   / cdiv 11801   ↾_t crest 17377  TopOpenctopn 17378  ℂ_fldccnfld 21347  Topctop 22871  TopOnctopon 22888  intcnt 22995  limPtclp 23112  Perfcperf 23113   lim_ℂ climc 25842   D cdv 25843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-icc 13299  df-fz 13456  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-rest 17379  df-topn 17380  df-topgen 17400  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-limc 25846  df-dv 25847

This theorem is referenced by:  dvfg  25886