Theorem perfdvf 25860

Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
perfdvf.1	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
perfdvf	⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Proof of Theorem perfdvf

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dv 25824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
2	1	dmmpossx 8010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom D ⊆ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠))
3		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D )
4	2, 3	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
5		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
6	5	opeliunxp2 5787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
7	4, 6	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
8	7	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9		cnex 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ∈ V
10	7	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
11		elpm2g 8781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
12	9, 10, 11	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
13	8, 12	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
14	13	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
16	2	sseli 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
17	16, 6	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
18	17	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
19	17	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
20	9, 19, 11	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
21	18, 20	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
22	21	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
24	10	elpwid 4563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 ⊆ ℂ)
25	23, 24	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
27		perfdvf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28	27	cnfldtopon 24726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
29		resttopon 23105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
30	28, 24, 29	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
31		topontop 22857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
33		toponuni 22858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
35	23, 34	sseqtrd 3970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
36		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆) = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)
37	36	ntrss2 23001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
38	32, 35, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
39	38	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
40	15, 26, 39	dvlem 25853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
41	40	fmpttd 7060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))):(dom 𝐹 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
42	26	ssdifssd 4099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
43	36	ntrss3 23004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
44	32, 35, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
45	44, 34	sseqtrrd 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ 𝑆)
46		restabs 23109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
47	28, 45, 10, 46	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)
49	36	ntropn 22993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
50	32, 35, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
51		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
52	36, 51	perfopn 23129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
53	48, 50, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
54	47, 53	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
55	27	cnfldtop 24727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐾 ∈ Top
56	45, 24	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ℂ)
57	28	toponunii 22860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
58		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
59	57, 58	restperf 23128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ℂ) → ((𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf ↔ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))))
60	55, 56, 59	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf ↔ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))))
61	54, 60	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
62	57	lpss3 23088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹) → ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
63	55, 25, 38, 62	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
64	61, 63	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
65	64	sselda 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
66	57	lpdifsn 23087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
67	55, 26, 66	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
68	65, 67	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥})))
69	41, 42, 68, 27	limcmo 25839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
70	69	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
71		moanimv 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
72	70, 71	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
73		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ↾t 𝑆) = (𝐾 ↾t 𝑆)
74		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
75	73, 27, 74, 24, 14, 23	eldv 25855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
76	75	mobidv 2549	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
77	72, 76	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
78	77	alrimiv 1928	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
79		reldv 25827	. . . . . . 7 ⊢ Rel (𝑆 D 𝐹)
80		dffun6 6503	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ (Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))
81	79, 80	mpbiran 709	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
82	78, 81	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → Fun (𝑆 D 𝐹))
83	82	funfnd 6523	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
84		vex 3444	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
85	84	elrn 5842	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
86	24, 14, 23	dvcl 25856	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
87	86	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ))
88	87	exlimdv 1934	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ))
89	85, 88	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) → 𝑦 ∈ ℂ))
90	89	ssrdv 3939	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ)
91		df-f 6496	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ))
92	83, 90, 91	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
93	92	ex 412	. 2 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ))
94		f0 6715	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶ℂ
95		df-ov 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D 𝐹) = ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩)
96		ndmfv 6866	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩) = ∅)
97	95, 96	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹) = ∅)
98	97	dmeqd 5854	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = dom ∅)
99		dm0 5869	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
100	98, 99	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = ∅)
101	97, 100	feq12d 6650	. . . 4 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ ∅:∅⟶ℂ))
102	94, 101	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
103	102	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ))
104	93, 103	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃*wmo 2537  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4580  ⟨cop 4586  ∪ cuni 4863  ∪ ciun 4946   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  dom cdm 5624  ran crn 5625  Rel wrel 5629  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_pm cpm 8764  ℂcc 11024   − cmin 11364   / cdiv 11794   ↾_t crest 17340  TopOpenctopn 17341  ℂ_fldccnfld 21309  Topctop 22837  TopOnctopon 22854  intcnt 22961  limPtclp 23078  Perfcperf 23079   lim_ℂ climc 25819   D cdv 25820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-icc 13268  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-rest 17342  df-topn 17343  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-limc 25823  df-dv 25824

This theorem is referenced by:  dvfg  25863