Theorem perfdvf 26115

Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
perfdvf.1	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
perfdvf	⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Proof of Theorem perfdvf

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dv 26079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
2	1	dmmpossx 8069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom D ⊆ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠))
3		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D )
4	2, 3	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
5		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
6	5	opeliunxp2 5826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
7	4, 6	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
8	7	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9		cnex 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ∈ V
10	7	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
11		elpm2g 8847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
12	9, 10, 11	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
13	8, 12	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
14	13	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
16	2	sseli 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
17	16, 6	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
18	17	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
19	17	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
20	9, 19, 11	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
21	18, 20	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
22	21	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
24	10	elpwid 4573	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 ⊆ ℂ)
25	23, 24	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
27		perfdvf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28	27	cnfldtopon 24992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
29		resttopon 23370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
30	28, 24, 29	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
31		topontop 23122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
33		toponuni 23123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
34	30, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
35	23, 34	sseqtrd 3974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
36		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆) = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)
37	36	ntrss2 23266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
38	32, 35, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
39	38	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
40	15, 26, 39	dvlem 26108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
41	40	fmpttd 7114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))):(dom 𝐹 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
42	26	ssdifssd 4101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
43	36	ntrss3 23269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
44	32, 35, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
45	44, 34	sseqtrrd 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ 𝑆)
46		restabs 23374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
47	28, 45, 10, 46	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
48		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)
49	36	ntropn 23258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
50	32, 35, 49	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
51		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
52	36, 51	perfopn 23394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
53	48, 50, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
54	47, 53	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
55	27	cnfldtop 24993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐾 ∈ Top
56	45, 24	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ℂ)
57	28	toponunii 23125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
58		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
59	57, 58	restperf 23393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ℂ) → ((𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf ↔ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))))
60	55, 56, 59	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf ↔ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))))
61	54, 60	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
62	57	lpss3 23353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹) → ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
63	55, 25, 38, 62	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
64	61, 63	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
65	64	sselda 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
66	57	lpdifsn 23352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
67	55, 26, 66	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
68	65, 67	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥})))
69	41, 42, 68, 27	limcmo 26094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
70	69	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
71		moanimv 2649	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
72	70, 71	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
73		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ↾t 𝑆) = (𝐾 ↾t 𝑆)
74		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
75	73, 27, 74, 24, 14, 23	eldv 26110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
76	75	mobidv 2579	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
77	72, 76	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
78	77	alrimiv 1960	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
79		reldv 26082	. . . . . . 7 ⊢ Rel (𝑆 D 𝐹)
80		dffun6 6551	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ (Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))
81	79, 80	mpbiran 722	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
82	78, 81	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → Fun (𝑆 D 𝐹))
83	82	funfnd 6571	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
84		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
85	84	elrn 5885	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
86	24, 14, 23	dvcl 26111	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
87	86	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ))
88	87	exlimdv 1966	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ))
89	85, 88	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) → 𝑦 ∈ ℂ))
90	89	ssrdv 3944	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ)
91		df-f 6544	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ))
92	83, 90, 91	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
93	92	ex 418	. 2 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ))
94		f0 6763	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶ℂ
95		df-ov 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D 𝐹) = ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩)
96		ndmfv 6917	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩) = ∅)
97	95, 96	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹) = ∅)
98	97	dmeqd 5897	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = dom ∅)
99		dm0 5912	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
100	98, 99	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = ∅)
101	97, 100	feq12d 6697	. . . 4 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ ∅:∅⟶ℂ))
102	94, 101	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
103	102	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ))
104	93, 103	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∃*wmo 2567  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  ⟨cop 4597  ∪ cuni 4874  ∪ ciun 4958   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  dom cdm 5663  ran crn 5664  Rel wrel 5668  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_pm cpm 8831  ℂcc 11115   − cmin 11458   / cdiv 11888   ↾_t crest 17497  TopOpenctopn 17498  ℂ_fldccnfld 21574  Topctop 23102  TopOnctopon 23119  intcnt 23226  limPtclp 23343  Perfcperf 23344   lim_ℂ climc 26074   D cdv 26075

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13397  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17231  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-rest 17499  df-topn 17500  df-topgen 17520  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-limc 26078  df-dv 26079

This theorem is used by:  dvfg  26118