Theorem perfdvf 25965

Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
perfdvf.1	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
perfdvf	⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Proof of Theorem perfdvf

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dv 25929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
2	1	dmmpossx 8047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom D ⊆ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠))
3		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D )
4	2, 3	sselid 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
5		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
6	5	opeliunxp2 5810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
7	4, 6	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
8	7	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9		cnex 11154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ∈ V
10	7	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
11		elpm2g 8825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
12	9, 10, 11	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
13	8, 12	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
14	13	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
15	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
16	2	sseli 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
17	16, 6	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
18	17	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
19	17	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
20	9, 19, 11	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
21	18, 20	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
22	21	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
24	10	elpwid 4564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 ⊆ ℂ)
25	23, 24	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
26	25	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
27		perfdvf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28	27	cnfldtopon 24842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
29		resttopon 23221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
30	28, 24, 29	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
31		topontop 22973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
33		toponuni 22974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
35	23, 34	sseqtrd 3972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
36		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆) = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)
37	36	ntrss2 23117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
38	32, 35, 37	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
39	38	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
40	15, 26, 39	dvlem 25958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
41	40	fmpttd 7096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))):(dom 𝐹 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
42	26	ssdifssd 4100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
43	36	ntrss3 23120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
44	32, 35, 43	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
45	44, 34	sseqtrrd 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ 𝑆)
46		restabs 23225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
47	28, 45, 10, 46	mp3an2i 1487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
48		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)
49	36	ntropn 23109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
50	32, 35, 49	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
51		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
52	36, 51	perfopn 23245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
53	48, 50, 52	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
54	47, 53	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
55	27	cnfldtop 24843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐾 ∈ Top
56	45, 24	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ℂ)
57	28	toponunii 22976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
58		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
59	57, 58	restperf 23244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ℂ) → ((𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf ↔ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))))
60	55, 56, 59	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾 ↾t ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf ↔ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))))
61	54, 60	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
62	57	lpss3 23204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹) → ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
63	55, 25, 38, 62	mp3an2i 1487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
64	61, 63	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
65	64	sselda 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
66	57	lpdifsn 23203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
67	55, 26, 66	sylancr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
68	65, 67	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥})))
69	41, 42, 68, 27	limcmo 25944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
70	69	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
71		moanimv 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
72	70, 71	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
73		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ↾t 𝑆) = (𝐾 ↾t 𝑆)
74		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
75	73, 27, 74, 24, 14, 23	eldv 25960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
76	75	mobidv 2576	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
77	72, 76	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
78	77	alrimiv 1947	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
79		reldv 25932	. . . . . . 7 ⊢ Rel (𝑆 D 𝐹)
80		dffun6 6532	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ (Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))
81	79, 80	mpbiran 719	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
82	78, 81	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → Fun (𝑆 D 𝐹))
83	82	funfnd 6552	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
84		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
85	84	elrn 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
86	24, 14, 23	dvcl 25961	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
87	86	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ))
88	87	exlimdv 1953	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ))
89	85, 88	biimtrid 244	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) → 𝑦 ∈ ℂ))
90	89	ssrdv 3942	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ)
91		df-f 6525	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ))
92	83, 90, 91	sylanbrc 592	. . 3 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
93	92	ex 416	. 2 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ))
94		f0 6745	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶ℂ
95		df-ov 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D 𝐹) = ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩)
96		ndmfv 6899	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩) = ∅)
97	95, 96	eqtrid 2809	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹) = ∅)
98	97	dmeqd 5881	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = dom ∅)
99		dm0 5896	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
100	98, 99	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = ∅)
101	97, 100	feq12d 6679	. . . 4 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ ∅:∅⟶ℂ))
102	94, 101	mpbiri 260	. . 3 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
103	102	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ))
104	93, 103	pm2.61i 183	1 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399  ∀wal 1558   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142  ∃*wmo 2564  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4555  {csn 4582  ⟨cop 4588  ∪ cuni 4865  ∪ ciun 4949   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5645  dom cdm 5647  ran crn 5648  Rel wrel 5652  Fun wfun 6515   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_pm cpm 8809  ℂcc 11071   − cmin 11414   / cdiv 11844   ↾_t crest 17449  TopOpenctopn 17450  ℂ_fldccnfld 21424  Topctop 22953  TopOnctopon 22970  intcnt 23077  limPtclp 23194  Perfcperf 23195   lim_ℂ climc 25924   D cdv 25925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-icc 13356  df-fz 13513  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-rest 17451  df-topn 17452  df-topgen 17472  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-lp 23196  df-perf 23197  df-cnp 23288  df-haus 23375  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-limc 25928  df-dv 25929

This theorem is referenced by:  dvfg  25968