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Theorem perfdvf 25958
Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
perfdvf.1 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
perfdvf ((𝐾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Proof of Theorem perfdvf
Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 25922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
21dmmpossx 8107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom D ⊆ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠))
3 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D )
42, 3sselid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
5 oveq2 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
65opeliunxp2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
74, 6sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
87simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9 cnex 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ∈ V
107simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
11 elpm2g 8902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆)))
129, 10, 11sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆)))
138, 12mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆))
1413simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
162sseli 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
1716, 6sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
1817simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1917simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
209, 19, 11sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆)))
2118, 20mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆))
2221simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom 𝐹𝑆)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹𝑆)
2410elpwid 4631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2523, 24sstrd 4019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
27 perfdvf.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2827cnfldtopon 24824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
29 resttopon 23190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
3028, 24, 29sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
31 topontop 22940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
33 toponuni 22941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐾t 𝑆))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → 𝑆 = (𝐾t 𝑆))
3523, 34sseqtrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → dom 𝐹 (𝐾t 𝑆))
36 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾t 𝑆) = (𝐾t 𝑆)
3736ntrss2 23086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 (𝐾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
3832, 35, 37syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
3938sselda 4008 . . . . . . . . . . . . 13 (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
4015, 26, 39dvlem 25951 . . . . . . . . . . . 12 ((((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) ∈ ℂ)
4140fmpttd 7149 . . . . . . . . . . 11 (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))):(dom 𝐹 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
4226ssdifssd 4170 . . . . . . . . . . 11 (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
4336ntrss3 23089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 (𝐾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ (𝐾t 𝑆))
4432, 35, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ (𝐾t 𝑆))
4544, 34sseqtrrd 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ 𝑆)
46 restabs 23194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → ((𝐾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
4728, 45, 10, 46mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
48 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾t 𝑆) ∈ Perf)
4936ntropn 23078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 (𝐾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾t 𝑆))
5032, 35, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾t 𝑆))
51 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = ((𝐾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹))
5236, 51perfopn 23214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾t 𝑆) ∈ Perf ∧ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ (𝐾t 𝑆)) → ((𝐾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
5348, 50, 52syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾t 𝑆) ↾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
5447, 53eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝐾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf)
5527cnfldtop 24825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐾 ∈ Top
5645, 24sstrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ℂ)
5728toponunii 22943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ = 𝐾
58 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) = (𝐾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹))
5957, 58restperf 23213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Top ∧ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ℂ) → ((𝐾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf ↔ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹))))
6055, 56, 59sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ((𝐾t ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∈ Perf ↔ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹))))
6154, 60mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)))
6257lpss3 23173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹) → ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
6355, 25, 38, 62mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ((limPt‘𝐾)‘((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
6461, 63sstrd 4019 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
6564sselda 4008 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹))
6657lpdifsn 23172 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
6755, 26, 66sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘dom 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
6865, 67mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘(dom 𝐹 ∖ {𝑥})))
6941, 42, 68, 27limcmo 25937 . . . . . . . . . 10 (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))
7069ex 412 . . . . . . . . 9 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
71 moanimv 2622 . . . . . . . . 9 (∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
7270, 71sylibr 234 . . . . . . . 8 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
73 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (𝐾t 𝑆) = (𝐾t 𝑆)
74 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
7573, 27, 74, 24, 14, 23eldv 25953 . . . . . . . . 9 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
7675mobidv 2552 . . . . . . . 8 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
7772, 76mpbird 257 . . . . . . 7 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
7877alrimiv 1926 . . . . . 6 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
79 reldv 25925 . . . . . . 7 Rel (𝑆 D 𝐹)
80 dffun6 6586 . . . . . . 7 (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ (Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))
8179, 80mpbiran 708 . . . . . 6 (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
8278, 81sylibr 234 . . . . 5 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → Fun (𝑆 D 𝐹))
8382funfnd 6609 . . . 4 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
84 vex 3492 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
8584elrn 5918 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
8624, 14, 23dvcl 25954 . . . . . . . 8 (((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
8786ex 412 . . . . . . 7 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑦 ∈ ℂ))
8887exlimdv 1932 . . . . . 6 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑦 ∈ ℂ))
8985, 88biimtrid 242 . . . . 5 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) → 𝑦 ∈ ℂ))
9089ssrdv 4014 . . . 4 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ)
91 df-f 6577 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ))
9283, 90, 91sylanbrc 582 . . 3 ((⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ∧ (𝐾t 𝑆) ∈ Perf) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
9392ex 412 . 2 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝐾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ))
94 f0 6802 . . . 4 ∅:∅⟶ℂ
95 df-ov 7451 . . . . . 6 (𝑆 D 𝐹) = ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩)
96 ndmfv 6955 . . . . . 6 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩) = ∅)
9795, 96eqtrid 2792 . . . . 5 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹) = ∅)
9897dmeqd 5930 . . . . . 6 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = dom ∅)
99 dm0 5945 . . . . . 6 dom ∅ = ∅
10098, 99eqtrdi 2796 . . . . 5 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = ∅)
10197, 100feq12d 6735 . . . 4 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ ∅:∅⟶ℂ))
10294, 101mpbiri 258 . . 3 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
103102a1d 25 . 2 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ((𝐾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ))
10493, 103pm2.61i 182 1 ((𝐾t 𝑆) ∈ Perf → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1535   = wceq 1537  wex 1777  wcel 2108  ∃*wmo 2541  Vcvv 3488  cdif 3973  wss 3976  c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  cop 4654   cuni 4931   ciun 5015   class class class wbr 5166  cmpt 5249   × cxp 5698  dom cdm 5700  ran crn 5701  Rel wrel 5705  Fun wfun 6567   Fn wfn 6568  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  pm cpm 8885  cc 11182  cmin 11520   / cdiv 11947  t crest 17480  TopOpenctopn 17481  fldccnfld 21387  Topctop 22920  TopOnctopon 22937  intcnt 23046  limPtclp 23163  Perfcperf 23164   lim climc 25917   D cdv 25918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-icc 13414  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-limc 25921  df-dv 25922
This theorem is referenced by:  dvfg  25961
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