MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvnbss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnbss 25090
Description: The set of N-times differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvnbss ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)

Proof of Theorem dvnbss
StepHypRef Expression
1 dvnff 25085 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))
21ffvelrnda 6958 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
323impa 1109 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
4 cnex 10953 . . . 4 ℂ ∈ V
5 simp2 1136 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
65dmexd 7746 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom 𝐹 ∈ V)
7 elpm2g 8615 . . . 4 ((ℂ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℂ ∧ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)))
84, 6, 7sylancr 587 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℂ ∧ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)))
93, 8mpbid 231 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℂ ∧ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹))
109simprd 496 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086  wcel 2110  Vcvv 3431  wss 3892  {cpr 4569  dom cdm 5590  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  pm cpm 8599  cc 10870  cr 10871  0cn0 12233   D𝑛 cdvn 25026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-icc 13085  df-fz 13239  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-struct 16846  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-rest 17131  df-topn 17132  df-topgen 17152  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-limc 25028  df-dv 25029  df-dvn 25030
This theorem is referenced by:  dvn2bss  25092  dvnres  25093  cpnord  25097  dvnfre  25114  taylfvallem1  25514  taylply2  25525  taylply  25526  dvtaylp  25527  dvntaylp  25528  dvntaylp0  25529  taylthlem1  25530  taylthlem2  25531
  Copyright terms: Public domain W3C validator