MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbsss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvbsss 25651
Description: The set of differentiable points is a subset of the ambient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvbsss dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆
Proof of Theorem dvbsss
Dummy variables 𝑓 𝑠 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 25616 . . . . . . . . . . 11 D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
21reldmmpo 7545 . . . . . . . . . 10 Rel dom D
3 df-rel 5682 . . . . . . . . . 10 (Rel dom D ↔ dom D βŠ† (V Γ— V))
42, 3mpbi 229 . . . . . . . . 9 dom D βŠ† (V Γ— V)
54sseli 3977 . . . . . . . 8 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ (V Γ— V))
6 opelxp1 5717 . . . . . . . 8 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ (V Γ— V) β†’ 𝑆 ∈ V)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ 𝑆 ∈ V)
8 opeq1 4872 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ = βŸ¨π‘†, 𝐹⟩)
98eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ ∈ dom D ↔ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D ))
10 eleq1 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚ ↔ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚))
11 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 β†’ (β„‚ ↑pm 𝑠) = (β„‚ ↑pm 𝑆))
1211eleq2d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↔ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)))
1310, 12anbi12d 629 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))))
149, 13imbi12d 343 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠))) ↔ (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)))))
151dmmpossx 8054 . . . . . . . . . 10 dom D βŠ† βˆͺ 𝑠 ∈ 𝒫 β„‚({𝑠} Γ— (β„‚ ↑pm 𝑠))
1615sseli 3977 . . . . . . . . 9 (βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ ∈ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝒫 β„‚({𝑠} Γ— (β„‚ ↑pm 𝑠)))
17 opeliunxp 5742 . . . . . . . . 9 (βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ ∈ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝒫 β„‚({𝑠} Γ— (β„‚ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠)))
1816, 17sylib 217 . . . . . . . 8 (βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠)))
1914, 18vtoclg 3541 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ V β†’ (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))))
207, 19mpcom 38 . . . . . 6 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)))
2120simpld 493 . . . . 5 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚)
2221elpwid 4610 . . . 4 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2320simprd 494 . . . . . 6 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
24 cnex 11193 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
25 elpm2g 8840 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚) β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)))
2624, 21, 25sylancr 585 . . . . . 6 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)))
2723, 26mpbid 231 . . . . 5 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆))
2827simpld 493 . . . 4 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
2927simprd 494 . . . 4 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
3022, 28, 29dvbss 25650 . . 3 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† dom 𝐹)
3130, 29sstrd 3991 . 2 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆)
32 df-ov 7414 . . . . . 6 (𝑆 D 𝐹) = ( D β€˜βŸ¨π‘†, 𝐹⟩)
33 ndmfv 6925 . . . . . 6 (Β¬ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ ( D β€˜βŸ¨π‘†, 𝐹⟩) = βˆ…)
3432, 33eqtrid 2782 . . . . 5 (Β¬ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝑆 D 𝐹) = βˆ…)
3534dmeqd 5904 . . . 4 (Β¬ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = dom βˆ…)
36 dm0 5919 . . . 4 dom βˆ… = βˆ…
3735, 36eqtrdi 2786 . . 3 (Β¬ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = βˆ…)
38 0ss 4395 . . 3 βˆ… βŠ† 𝑆
3937, 38eqsstrdi 4035 . 2 (Β¬ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆)
4031, 39pm2.61i 182 1 dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βˆͺ ciun 4996   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  Rel wrel 5680  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑pm cpm 8823  β„‚cc 11110   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  β„‚fldccnfld 21144  intcnt 22741   limβ„‚ climc 25611   D cdv 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-ntr 22744  df-cnp 22952  df-xms 24046  df-ms 24047  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  dvaddf  25693  dvmulf  25694  dvcmulf  25696  dvcof  25700  dvmptres2  25714  dvmptcmul  25716  dvmptcj  25720  dvcnvlem  25728  dvcnv  25729  dvef  25732  dvcnvrelem1  25769  dvcnvrelem2  25770  dvcnvre  25771  ulmdvlem1  26148  ulmdvlem3  26150  ulmdv  26151  fperdvper  44933  dvmulcncf  44939  dvdivcncf  44941
  Copyright terms: Public domain W3C validator