MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbsss 25289
Description: The set of differentiable points is a subset of the ambient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvbsss dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆

Proof of Theorem dvbsss
Dummy variables 𝑓 𝑠 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 25254 . . . . . . . . . . 11 D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
21reldmmpo 7494 . . . . . . . . . 10 Rel dom D
3 df-rel 5644 . . . . . . . . . 10 (Rel dom D ↔ dom D βŠ† (V Γ— V))
42, 3mpbi 229 . . . . . . . . 9 dom D βŠ† (V Γ— V)
54sseli 3944 . . . . . . . 8 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ (V Γ— V))
6 opelxp1 5678 . . . . . . . 8 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ (V Γ— V) β†’ 𝑆 ∈ V)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ 𝑆 ∈ V)
8 opeq1 4834 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ = βŸ¨π‘†, 𝐹⟩)
98eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ ∈ dom D ↔ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D ))
10 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚ ↔ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚))
11 oveq2 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 β†’ (β„‚ ↑pm 𝑠) = (β„‚ ↑pm 𝑆))
1211eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↔ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)))
1310, 12anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))))
149, 13imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠))) ↔ (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)))))
151dmmpossx 8002 . . . . . . . . . 10 dom D βŠ† βˆͺ 𝑠 ∈ 𝒫 β„‚({𝑠} Γ— (β„‚ ↑pm 𝑠))
1615sseli 3944 . . . . . . . . 9 (βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ ∈ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝒫 β„‚({𝑠} Γ— (β„‚ ↑pm 𝑠)))
17 opeliunxp 5703 . . . . . . . . 9 (βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ ∈ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝒫 β„‚({𝑠} Γ— (β„‚ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠)))
1816, 17sylib 217 . . . . . . . 8 (βŸ¨π‘ , 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠)))
1914, 18vtoclg 3527 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ V β†’ (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))))
207, 19mpcom 38 . . . . . 6 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)))
2120simpld 496 . . . . 5 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚)
2221elpwid 4573 . . . 4 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2320simprd 497 . . . . . 6 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
24 cnex 11140 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
25 elpm2g 8788 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚) β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)))
2624, 21, 25sylancr 588 . . . . . 6 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)))
2723, 26mpbid 231 . . . . 5 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆))
2827simpld 496 . . . 4 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
2927simprd 497 . . . 4 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
3022, 28, 29dvbss 25288 . . 3 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† dom 𝐹)
3130, 29sstrd 3958 . 2 (βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆)
32 df-ov 7364 . . . . . 6 (𝑆 D 𝐹) = ( D β€˜βŸ¨π‘†, 𝐹⟩)
33 ndmfv 6881 . . . . . 6 (Β¬ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ ( D β€˜βŸ¨π‘†, 𝐹⟩) = βˆ…)
3432, 33eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ (𝑆 D 𝐹) = βˆ…)
3534dmeqd 5865 . . . 4 (Β¬ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = dom βˆ…)
36 dm0 5880 . . . 4 dom βˆ… = βˆ…
3735, 36eqtrdi 2789 . . 3 (Β¬ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = βˆ…)
38 0ss 4360 . . 3 βˆ… βŠ† 𝑆
3937, 38eqsstrdi 4002 . 2 (Β¬ βŸ¨π‘†, 𝐹⟩ ∈ dom D β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆)
4031, 39pm2.61i 182 1 dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590  βŸ¨cop 4596  βˆͺ ciun 4958   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  Rel wrel 5642  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„‚cc 11057   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  β„‚fldccnfld 20819  intcnt 22391   limβ„‚ climc 25249   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-ntr 22394  df-cnp 22602  df-xms 23696  df-ms 23697  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  dvaddf  25329  dvmulf  25330  dvcmulf  25332  dvcof  25335  dvmptres2  25349  dvmptcmul  25351  dvmptcj  25355  dvcnvlem  25363  dvcnv  25364  dvef  25367  dvcnvrelem1  25404  dvcnvrelem2  25405  dvcnvre  25406  ulmdvlem1  25782  ulmdvlem3  25784  ulmdv  25785  fperdvper  44250  dvmulcncf  44256  dvdivcncf  44258
  Copyright terms: Public domain W3C validator