MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbsss 24427
Description: The set of differentiable points is a subset of the ambient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvbsss dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆

Proof of Theorem dvbsss
Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 24392 . . . . . . . . . . 11 D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
21reldmmpo 7274 . . . . . . . . . 10 Rel dom D
3 df-rel 5555 . . . . . . . . . 10 (Rel dom D ↔ dom D ⊆ (V × V))
42, 3mpbi 231 . . . . . . . . 9 dom D ⊆ (V × V)
54sseli 3960 . . . . . . . 8 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ (V × V))
6 opelxp1 5589 . . . . . . . 8 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ (V × V) → 𝑆 ∈ V)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ V)
8 opeq1 4795 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → ⟨𝑠, 𝐹⟩ = ⟨𝑆, 𝐹⟩)
98eleq1d 2894 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D ↔ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ))
10 eleq1 2897 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ))
11 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
1211eleq2d 2895 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↔ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
1310, 12anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))))
149, 13imbi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → ((⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠))) ↔ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))))
151dmmpossx 7753 . . . . . . . . . 10 dom D ⊆ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠))
1615sseli 3960 . . . . . . . . 9 (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
17 opeliunxp 5612 . . . . . . . . 9 (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠)))
1816, 17sylib 219 . . . . . . . 8 (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠)))
1914, 18vtoclg 3565 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ V → (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))))
207, 19mpcom 38 . . . . . 6 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
2120simpld 495 . . . . 5 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
2221elpwid 4549 . . . 4 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ⊆ ℂ)
2320simprd 496 . . . . . 6 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
24 cnex 10606 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
25 elpm2g 8412 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆)))
2624, 21, 25sylancr 587 . . . . . 6 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆)))
2723, 26mpbid 233 . . . . 5 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆))
2827simpld 495 . . . 4 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2927simprd 496 . . . 4 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom 𝐹𝑆)
3022, 28, 29dvbss 24426 . . 3 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
3130, 29sstrd 3974 . 2 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
32 df-ov 7148 . . . . . 6 (𝑆 D 𝐹) = ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩)
33 ndmfv 6693 . . . . . 6 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩) = ∅)
3432, 33syl5eq 2865 . . . . 5 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹) = ∅)
3534dmeqd 5767 . . . 4 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = dom ∅)
36 dm0 5783 . . . 4 dom ∅ = ∅
3735, 36syl6eq 2869 . . 3 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = ∅)
38 0ss 4347 . . 3 ∅ ⊆ 𝑆
3937, 38eqsstrdi 4018 . 2 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
4031, 39pm2.61i 183 1 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cdif 3930  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {csn 4557  cop 4563   ciun 4910  cmpt 5137   × cxp 5546  dom cdm 5548  Rel wrel 5553  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  pm cpm 8396  cc 10523  cmin 10858   / cdiv 11285  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  fldccnfld 20473  intcnt 21553   lim climc 24387   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-ntr 21556  df-cnp 21764  df-xms 22857  df-ms 22858  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  dvaddf  24466  dvmulf  24467  dvcmulf  24469  dvcof  24472  dvmptres2  24486  dvmptcmul  24488  dvmptcj  24492  dvcnvlem  24500  dvcnv  24501  dvef  24504  dvcnvrelem1  24541  dvcnvrelem2  24542  dvcnvre  24543  ulmdvlem1  24915  ulmdvlem3  24917  ulmdv  24918  fperdvper  42079  dvmulcncf  42086  dvdivcncf  42088
  Copyright terms: Public domain W3C validator