Theorem dvbsss 26231

Description: The set of differentiable points is a subset of the ambient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvbsss	⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆

Proof of Theorem dvbsss

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dv 26196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
2	1	reldmmpo 7558	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom D
3		df-rel 5658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Rel dom D ↔ dom D ⊆ (V × V))
4	2, 3	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ dom D ⊆ (V × V)
5	4	sseli 3905	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ (V × V))
6		opelxp1 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ (V × V) → 𝑆 ∈ V)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ V)
8		opeq1 4839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ⟨𝑠, 𝐹⟩ = ⟨𝑆, 𝐹⟩)
9	8	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D ↔ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ))
10		eleq1 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ))
11		oveq2 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
12	11	eleq2d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↔ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
13	10, 12	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))))
14	9, 13	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠))) ↔ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))))
15	1	dmmpossx 8082	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom D ⊆ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠))
16	15	sseli 3905	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
17		opeliunxp 5718	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ ∪ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠)))
18	16, 17	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠)))
19	14, 18	vtoclg 3517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ V → (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))))
20	7, 19	mpcom 39	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
21	20	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
22	21	elpwid 4565	. . . 4 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ⊆ ℂ)
23	20	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
24		cnex 11288	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
25		elpm2g 8872	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
26	24, 21, 25	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
27	23, 26	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
28	27	simpld 500	. . . 4 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
29	27	simprd 501	. . . 4 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
30	22, 28, 29	dvbss 26230	. . 3 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
31	30, 29	sstrd 3919	. 2 ⊢ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
32		df-ov 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D 𝐹) = ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩)
33		ndmfv 6922	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩) = ∅)
34	32, 33	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹) = ∅)
35	34	dmeqd 5888	. . . 4 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = dom ∅)
36		dm0 5903	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
37	35, 36	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = ∅)
38		0ss 4349	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑆
39	37, 38	eqsstrdi 3953	. 2 ⊢ (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
40	31, 39	pm2.61i 184	1 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ⟨cop 4834  ∪ ciun 4950   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  dom cdm 5651  Rel wrel 5656  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_pm cpm 8856  ℂcc 11205   − cmin 11548   / cdiv 11980   ↾_t crest 17600  TopOpenctopn 17601  ℂ_fldccnfld 21687  intcnt 23344   lim_ℂ climc 26191   D cdv 26192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-fz 13647  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-rest 17602  df-topn 17603  df-topgen 17623  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-ntr 23347  df-cnp 23555  df-xms 24648  df-ms 24649  df-limc 26195  df-dv 26196

This theorem is used by:  dvaddf  26271  dvmulf  26272  dvcmulf  26274  dvcof  26277  dvmptres2  26291  dvmptcmul  26293  dvmptcj  26297  dvcnvlem  26305  dvcnv  26306  dvef  26309  dvcnvrelem1  26346  dvcnvrelem2  26347  dvcnvre  26348  ulmdvlem1  26736  ulmdvlem3  26738  ulmdv  26739  fperdvper  47065  dvmulcncf  47071  dvdivcncf  47073