MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbsss 24065
Description: The set of differentiable points is a subset of the ambient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvbsss dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆

Proof of Theorem dvbsss
Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 24030 . . . . . . . . . . 11 D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
21reldmmpt2 7031 . . . . . . . . . 10 Rel dom D
3 df-rel 5349 . . . . . . . . . 10 (Rel dom D ↔ dom D ⊆ (V × V))
42, 3mpbi 222 . . . . . . . . 9 dom D ⊆ (V × V)
54sseli 3823 . . . . . . . 8 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ (V × V))
6 opelxp1 5383 . . . . . . . 8 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ (V × V) → 𝑆 ∈ V)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ V)
8 opeq1 4623 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → ⟨𝑠, 𝐹⟩ = ⟨𝑆, 𝐹⟩)
98eleq1d 2891 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D ↔ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ))
10 eleq1 2894 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ))
11 oveq2 6913 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
1211eleq2d 2892 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↔ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
1310, 12anbi12d 626 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))))
149, 13imbi12d 336 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → ((⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠))) ↔ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))))
151dmmpt2ssx 7498 . . . . . . . . . 10 dom D ⊆ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠))
1615sseli 3823 . . . . . . . . 9 (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
17 opeliunxp 5403 . . . . . . . . 9 (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠)))
1816, 17sylib 210 . . . . . . . 8 (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠)))
1914, 18vtoclg 3482 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ V → (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))))
207, 19mpcom 38 . . . . . 6 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
2120simpld 490 . . . . 5 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
2221elpwid 4390 . . . 4 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ⊆ ℂ)
2320simprd 491 . . . . . 6 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
24 cnex 10333 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
25 elpm2g 8139 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆)))
2624, 21, 25sylancr 583 . . . . . 6 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆)))
2723, 26mpbid 224 . . . . 5 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆))
2827simpld 490 . . . 4 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2927simprd 491 . . . 4 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom 𝐹𝑆)
3022, 28, 29dvbss 24064 . . 3 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
3130, 29sstrd 3837 . 2 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
32 df-ov 6908 . . . . . 6 (𝑆 D 𝐹) = ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩)
33 ndmfv 6463 . . . . . 6 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩) = ∅)
3432, 33syl5eq 2873 . . . . 5 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹) = ∅)
3534dmeqd 5558 . . . 4 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = dom ∅)
36 dm0 5571 . . . 4 dom ∅ = ∅
3735, 36syl6eq 2877 . . 3 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = ∅)
38 0ss 4197 . . 3 ∅ ⊆ 𝑆
3937, 38syl6eqss 3880 . 2 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
4031, 39pm2.61i 177 1 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3414  cdif 3795  wss 3798  c0 4144  𝒫 cpw 4378  {csn 4397  cop 4403   ciun 4740  cmpt 4952   × cxp 5340  dom cdm 5342  Rel wrel 5347  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  pm cpm 8123  cc 10250  cmin 10585   / cdiv 11009  t crest 16434  TopOpenctopn 16435  fldccnfld 20106  intcnt 21192   lim climc 24025   D cdv 24026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-fz 12620  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-rest 16436  df-topn 16437  df-topgen 16457  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-ntr 21195  df-cnp 21403  df-xms 22495  df-ms 22496  df-limc 24029  df-dv 24030
This theorem is referenced by:  dvaddf  24104  dvmulf  24105  dvcmulf  24107  dvcof  24110  dvmptres2  24124  dvmptcmul  24126  dvmptcj  24130  dvcnvlem  24138  dvcnv  24139  dvef  24142  dvcnvrelem1  24179  dvcnvrelem2  24180  dvcnvre  24181  ulmdvlem1  24553  ulmdvlem3  24555  ulmdv  24556  fperdvper  40928  dvmulcncf  40935  dvdivcncf  40937
  Copyright terms: Public domain W3C validator