MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvnadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnadd 25309
Description: The 𝑁-th derivative of the 𝑀-th derivative of 𝐹 is the same as the 𝑀 + 𝑁-th derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvnadd (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem dvnadd
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜0))
2 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 β†’ (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 0))
32fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 0)))
41, 3eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 0))))
54imbi2d 341 . . . 4 (𝑛 = 0 β†’ ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 0)))))
6 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜))
7 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + π‘˜))
87fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜)))
96, 8eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜))))
109imbi2d 341 . . . 4 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜)))))
11 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)))
12 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + (π‘˜ + 1)))
1312fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))))
1411, 13eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1)))))
1514imbi2d 341 . . . 4 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))))))
16 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘))
17 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 𝑁))
1817fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁)))
1916, 18eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁))))
2019imbi2d 341 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁)))))
21 recnprss 25284 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2221ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
23 ssidd 3972 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
24 cnex 11139 . . . . . . . . . . 11 β„‚ ∈ V
25 elpm2g 8789 . . . . . . . . . . 11 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)))
2624, 25mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)))
2726simplbda 501 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
2824a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ β„‚ ∈ V)
29 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
30 pmss12g 8814 . . . . . . . . 9 (((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆) ∧ (β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})) β†’ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) βŠ† (β„‚ ↑pm 𝑆))
3123, 27, 28, 29, 30syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) βŠ† (β„‚ ↑pm 𝑆))
3231adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) βŠ† (β„‚ ↑pm 𝑆))
33 dvnff 25303 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D𝑛 𝐹):β„•0⟢(β„‚ ↑pm dom 𝐹))
3433ffvelcdmda 7040 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))
3532, 34sseldd 3950 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
36 dvn0 25304 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))
3722, 35, 36syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))
38 nn0cn 12430 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3938adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
4039addid1d 11362 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 0) = 𝑀)
4140fveq2d 6851 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 0)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))
4237, 41eqtr4d 2780 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 0)))
43 oveq2 7370 . . . . . . 7 (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜)) β†’ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜))))
4422adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4535adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
46 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
47 dvnp1 25305 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜)))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜)))
4939adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
50 nn0cn 12430 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5150adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
52 1cnd 11157 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
5349, 51, 52addassd 11184 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + π‘˜) + 1) = (𝑀 + (π‘˜ + 1)))
5453fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜((𝑀 + π‘˜) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))))
55 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
56 nn0addcl 12455 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + π‘˜) ∈ β„•0)
5756adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + π‘˜) ∈ β„•0)
58 dvnp1 25305 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑀 + π‘˜) ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜((𝑀 + π‘˜) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜))))
5944, 55, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜((𝑀 + π‘˜) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜))))
6054, 59eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜))))
6148, 60eqeq12d 2753 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))) ↔ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜)))))
6243, 61syl5ibr 246 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1)))))
6362expcom 415 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))))))
6463a2d 29 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜))) β†’ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))))))
655, 10, 15, 20, 42, 64nn0ind 12605 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁))))
6665com12 32 . 2 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁))))
6766impr 456 1 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  {cpr 4593  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑pm cpm 8773  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  β„•0cn0 12420   D cdv 25243   D𝑛 cdvn 25244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-rest 17311  df-topn 17312  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-limc 25246  df-dv 25247  df-dvn 25248
This theorem is referenced by:  dvn2bss  25310  dvtaylp  25745  dvntaylp  25746  dvntaylp0  25747
  Copyright terms: Public domain W3C validator