Theorem dvnadd 26141

Description: The 𝑁-th derivative of the 𝑀-th derivative of 𝐹 is the same as the 𝑀 + 𝑁-th derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnadd	⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem dvnadd

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0))
2		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 0))
3	2	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)))
4	1, 3	eqeq12d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0))))
5	4	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)))))
6		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘))
7		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 𝑘))
8	7	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)))
9	6, 8	eqeq12d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
10	9	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)))))
11		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)))
12		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
13	12	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))
14	11, 13	eqeq12d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1)))))
15	14	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))))
16		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁))
17		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 𝑁))
18	17	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))
19	16, 18	eqeq12d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁))))
20	19	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))))
21		recnprss 26116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
23		ssidd 3961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ℂ ⊆ ℂ)
24		cnex 11198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
25		elpm2g 8847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
26	24, 25	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
27	26	simplbda 505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
28	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ℂ ∈ V)
29		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
30		pmss12g 8873	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})) → (ℂ ↑pm dom 𝐹) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
31	23, 27, 28, 29, 30	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (ℂ ↑pm dom 𝐹) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
32	31	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (ℂ ↑pm dom 𝐹) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
33		dvnff 26135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))
34	33	ffvelcdmda 7083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
35	32, 34	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
36		dvn0 26136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
37	22, 35, 36	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
38		nn0cn 12531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
39	38	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
40	39	addridd 11427	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
41	40	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
42	37, 41	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)))
43		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
44	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
45	35	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
47		dvnp1 26137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)))
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)))
49	39	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
50		nn0cn 12531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
52		1cnd 11219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
53	49, 51, 52	addassd 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
54	53	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))
55		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
56		nn0addcl 12556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
57	56	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
58		dvnp1 26137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
59	44, 55, 57, 58	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
60	54, 59	eqtr3d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
61	48, 60	eqeq12d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))) ↔ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)))))
62	43, 61	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1)))))
63	62	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))))
64	63	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))) → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))))
65	5, 10, 15, 20, 42, 64	nn0ind 12709	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁))))
66	65	com12 33	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁))))
67	66	impr 460	1 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  {cpr 4593  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_pm cpm 8831  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120  ℕ₀cn0 12521   D cdv 26075   D^𝑛 cdvn 26076

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13397  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17231  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-rest 17499  df-topn 17500  df-topgen 17520  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-limc 26078  df-dv 26079  df-dvn 26080

This theorem is used by:  dvn2bss  26142  dvtaylp  26586  dvntaylp  26587  dvntaylp0  26588