Theorem dvnadd 24826

Description: The 𝑁-th derivative of the 𝑀-th derivative of 𝐹 is the same as the 𝑀 + 𝑁-th derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnadd	⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem dvnadd

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6717	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0))
2		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 0))
3	2	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)))
4	1, 3	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0))))
5	4	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)))))
6		fveq2 6717	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘))
7		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 𝑘))
8	7	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)))
9	6, 8	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
10	9	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)))))
11		fveq2 6717	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)))
12		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
13	12	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))
14	11, 13	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1)))))
15	14	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))))
16		fveq2 6717	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁))
17		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 𝑁))
18	17	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))
19	16, 18	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁))))
20	19	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))))
21		recnprss 24801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
22	21	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
23		ssidd 3924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ℂ ⊆ ℂ)
24		cnex 10810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
25		elpm2g 8525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
26	24, 25	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
27	26	simplbda 503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
28	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ℂ ∈ V)
29		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
30		pmss12g 8550	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})) → (ℂ ↑pm dom 𝐹) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
31	23, 27, 28, 29, 30	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (ℂ ↑pm dom 𝐹) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
32	31	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (ℂ ↑pm dom 𝐹) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
33		dvnff 24820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))
34	33	ffvelrnda 6904	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
35	32, 34	sseldd 3902	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
36		dvn0 24821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
37	22, 35, 36	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
38		nn0cn 12100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
39	38	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
40	39	addid1d 11032	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
41	40	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
42	37, 41	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 0)))
43		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
44	22	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
45	35	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
47		dvnp1 24822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)))
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)))
49	39	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
50		nn0cn 12100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
51	50	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
52		1cnd 10828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
53	49, 51, 52	addassd 10855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
54	53	fveq2d 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))
55		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
56		nn0addcl 12125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
57	56	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
58		dvnp1 24822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
59	44, 55, 57, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
60	54, 59	eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))))
61	48, 60	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))) ↔ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)))))
62	43, 61	syl5ibr 249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1)))))
63	62	expcom 417	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))))
64	63	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑘))) → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑘 + 1))))))
65	5, 10, 15, 20, 42, 64	nn0ind 12272	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁))))
66	65	com12 32	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁))))
67	66	impr 458	1 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866  {cpr 4543  dom cdm 5551  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ↑_pm cpm 8509  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732  ℕ₀cn0 12090   D cdv 24760   D^𝑛 cdvn 24761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-icc 12942  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-rest 16927  df-topn 16928  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-limc 24763  df-dv 24764  df-dvn 24765

This theorem is referenced by:  dvn2bss  24827  dvtaylp  25262  dvntaylp  25263  dvntaylp0  25264