MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvnadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnadd 25437
Description: The 𝑁-th derivative of the 𝑀-th derivative of 𝐹 is the same as the 𝑀 + 𝑁-th derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvnadd (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem dvnadd
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜0))
2 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 β†’ (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 0))
32fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 0)))
41, 3eqeq12d 2748 . . . . 5 (𝑛 = 0 β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 0))))
54imbi2d 340 . . . 4 (𝑛 = 0 β†’ ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 0)))))
6 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜))
7 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + π‘˜))
87fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜)))
96, 8eqeq12d 2748 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜))))
109imbi2d 340 . . . 4 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜)))))
11 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)))
12 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + (π‘˜ + 1)))
1312fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))))
1411, 13eqeq12d 2748 . . . . 5 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1)))))
1514imbi2d 340 . . . 4 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))))))
16 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘))
17 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑀 + 𝑛) = (𝑀 + 𝑁))
1817fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁)))
1916, 18eqeq12d 2748 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛)) ↔ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁))))
2019imbi2d 340 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘›) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑛))) ↔ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁)))))
21 recnprss 25412 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2221ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
23 ssidd 4004 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
24 cnex 11187 . . . . . . . . . . 11 β„‚ ∈ V
25 elpm2g 8834 . . . . . . . . . . 11 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)))
2624, 25mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)))
2726simplbda 500 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
2824a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ β„‚ ∈ V)
29 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
30 pmss12g 8859 . . . . . . . . 9 (((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆) ∧ (β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})) β†’ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) βŠ† (β„‚ ↑pm 𝑆))
3123, 27, 28, 29, 30syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) βŠ† (β„‚ ↑pm 𝑆))
3231adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) βŠ† (β„‚ ↑pm 𝑆))
33 dvnff 25431 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D𝑛 𝐹):β„•0⟢(β„‚ ↑pm dom 𝐹))
3433ffvelcdmda 7083 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))
3532, 34sseldd 3982 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
36 dvn0 25432 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))
3722, 35, 36syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))
38 nn0cn 12478 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3938adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
4039addridd 11410 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 0) = 𝑀)
4140fveq2d 6892 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 0)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))
4237, 41eqtr4d 2775 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 0)))
43 oveq2 7413 . . . . . . 7 (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜)) β†’ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜))))
4422adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4535adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
46 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
47 dvnp1 25433 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜)))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜)))
4939adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
50 nn0cn 12478 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
52 1cnd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
5349, 51, 52addassd 11232 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + π‘˜) + 1) = (𝑀 + (π‘˜ + 1)))
5453fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜((𝑀 + π‘˜) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))))
55 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
56 nn0addcl 12503 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + π‘˜) ∈ β„•0)
5756adantll 712 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + π‘˜) ∈ β„•0)
58 dvnp1 25433 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑀 + π‘˜) ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜((𝑀 + π‘˜) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜))))
5944, 55, 57, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜((𝑀 + π‘˜) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜))))
6054, 59eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜))))
6148, 60eqeq12d 2748 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))) ↔ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜)))))
6243, 61imbitrrid 245 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1)))))
6362expcom 414 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))))))
6463a2d 29 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + π‘˜))) β†’ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + (π‘˜ + 1))))))
655, 10, 15, 20, 42, 64nn0ind 12653 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁))))
6665com12 32 . 2 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁))))
6766impr 455 1 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑀 + 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {cpr 4629  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8817  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„•0cn0 12468   D cdv 25371   D𝑛 cdvn 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-limc 25374  df-dv 25375  df-dvn 25376
This theorem is referenced by:  dvn2bss  25438  dvtaylp  25873  dvntaylp  25874  dvntaylp0  25875
  Copyright terms: Public domain W3C validator