MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnf 25132
Description: The N-times derivative is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvnf ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)βŸΆβ„‚)

Proof of Theorem dvnf
StepHypRef Expression
1 dvnff 25128 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D𝑛 𝐹):β„•0⟢(β„‚ ↑pm dom 𝐹))
21ffvelcdmda 6989 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))
323impa 1110 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))
4 cnex 10994 . . . 4 β„‚ ∈ V
5 simp2 1137 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
65dmexd 7780 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
7 elpm2g 8659 . . . 4 ((β„‚ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ↔ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)βŸΆβ„‚ ∧ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹)))
84, 6, 7sylancr 588 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ↔ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)βŸΆβ„‚ ∧ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹)))
93, 8mpbid 232 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)βŸΆβ„‚ ∧ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹))
109simpld 496 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   βŠ† wss 3892  {cpr 4567  dom cdm 5596  βŸΆwf 6450  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   ↑pm cpm 8643  β„‚cc 10911  β„cr 10912  β„•0cn0 12275   D𝑛 cdvn 25069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-inf2 9439  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-map 8644  df-pm 8645  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fi 9210  df-sup 9241  df-inf 9242  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-q 12731  df-rp 12773  df-xneg 12890  df-xadd 12891  df-xmul 12892  df-icc 13128  df-fz 13282  df-seq 13764  df-exp 13825  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-struct 16889  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-starv 17018  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-unif 17026  df-rest 17174  df-topn 17175  df-topgen 17195  df-psmet 20630  df-xmet 20631  df-met 20632  df-bl 20633  df-mopn 20634  df-fbas 20635  df-fg 20636  df-cnfld 20639  df-top 22084  df-topon 22101  df-topsp 22123  df-bases 22137  df-cld 22211  df-ntr 22212  df-cls 22213  df-nei 22290  df-lp 22328  df-perf 22329  df-cnp 22420  df-haus 22507  df-fil 23038  df-fm 23130  df-flim 23131  df-flf 23132  df-xms 23514  df-ms 23515  df-limc 25071  df-dv 25072  df-dvn 25073
This theorem is referenced by:  dvn2bss  25135  dvnres  25136  cpnord  25140  taylfvallem1  25557  tayl0  25562  taylply2  25568  taylply  25569  dvtaylp  25570  dvntaylp  25571  dvntaylp0  25572  taylthlem1  25573  taylthlem2  25574
  Copyright terms: Public domain W3C validator