MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnord 25097
Description: 𝓑C𝑛 conditions are ordered by strength. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnord ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑁) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀))

Proof of Theorem cpnord
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6771 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑛) = ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀))
21sseq1d 3957 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀) ↔ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)))
32imbi2d 341 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀))))
4 fveq2 6771 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑛) = ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑚))
54sseq1d 3957 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀) ↔ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑚) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)))
65imbi2d 341 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑚) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀))))
7 fveq2 6771 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑛) = ((𝓑C𝑛𝑆)‘(𝑚 + 1)))
87sseq1d 3957 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀) ↔ ((𝓑C𝑛𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)))
98imbi2d 341 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀))))
10 fveq2 6771 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑛) = ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑁))
1110sseq1d 3957 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀) ↔ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑁) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)))
1211imbi2d 341 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑁) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀))))
13 ssid 3948 . . . . 5 ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)
14132a1i 12 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)))
15 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16 recnprss 25066 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
1716ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
19 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
20 eluznn0 12656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2120adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
23 dvnf 25089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)⟶ℂ)
2419, 15, 22, 23syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)⟶ℂ)
25 dvnbss 25090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ⊆ dom 𝑓)
2619, 15, 22, 25syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ⊆ dom 𝑓)
27 dvnp1 25087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)))
2818, 15, 22, 27syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)))
29 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))
3028, 29eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))
31 cncff 24054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)):dom 𝑓⟶ℂ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)):dom 𝑓⟶ℂ)
3332fdmd 6609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) = dom 𝑓)
34 cnex 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℂ ∈ V
35 elpm2g 8615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓𝑆)))
3634, 19, 35sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓𝑆)))
3715, 36mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓𝑆))
3837simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom 𝑓𝑆)
3926, 38sstrd 3936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ⊆ 𝑆)
4018, 24, 39dvbss 25063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚))
4133, 40eqsstrrd 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom 𝑓 ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚))
4226, 41eqssd 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) = dom 𝑓)
4342feq2d 6584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom 𝑓⟶ℂ))
4424, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom 𝑓⟶ℂ)
45 dvcn 25083 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓𝑆) ∧ dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) = dom 𝑓) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))
4618, 44, 38, 33, 45syl31anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))
4715, 46jca 512 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ)))
4847ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ)) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
49 peano2nn0 12273 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
5021, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
51 elcpn 25096 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ ((𝓑C𝑛𝑆)‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
5217, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑓 ∈ ((𝓑C𝑛𝑆)‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
53 elcpn 25096 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑚) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
5417, 21, 53syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑓 ∈ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑚) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
5548, 52, 543imtr4d 294 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑓 ∈ ((𝓑C𝑛𝑆)‘(𝑚 + 1)) → 𝑓 ∈ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑚)))
5655ssrdv 3932 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑚))
57 sstr2 3933 . . . . . . 7 (((𝓑C𝑛𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑚) → (((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑚) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)))
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑚) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)))
5958expcom 414 . . . . 5 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑚) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀))))
6059a2d 29 . . . 4 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑚) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)) → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀))))
613, 6, 9, 12, 14, 60uzind4 12645 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑁) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)))
6261com12 32 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑁) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀)))
63623impia 1116 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑁) ⊆ ((𝓑C𝑛𝑆)‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431  wss 3892  {cpr 4569  dom cdm 5590  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  pm cpm 8599  cc 10870  cr 10871  1c1 10873   + caddc 10875  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12581  cnccncf 24037   D cdv 25025   D𝑛 cdvn 25026  𝓑C𝑛ccpn 25027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029  df-dvn 25030  df-cpn 25031
This theorem is referenced by:  cpncn  25098  c1lip2  25160
  Copyright terms: Public domain W3C validator