Theorem cpnord 26285

Description: 𝒞^𝑛 conditions are ordered by strength. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cpnord	⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑁) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀))

Proof of Theorem cpnord

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑛) = ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀))
2	1	sseq1d 3944	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀) ↔ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)))
3	2	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀))))
4		fveq2 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑛) = ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑚))
5	4	sseq1d 3944	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀) ↔ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑚) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)))
6	5	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑚) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀))))
7		fveq2 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑛) = ((𝒞𝑛‘𝑆)‘(𝑚 + 1)))
8	7	sseq1d 3944	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀) ↔ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)))
9	8	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀))))
10		fveq2 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑛) = ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑁))
11	10	sseq1d 3944	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀) ↔ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑁) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)))
12	11	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑛) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑁) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀))))
13		ssid 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)
14	13	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)))
15		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16		recnprss 26254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
19		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
20		eluznn0 13071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
21	20	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
23		dvnf 26277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)⟶ℂ)
24	19, 15, 22, 23	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)⟶ℂ)
25		dvnbss 26278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ⊆ dom 𝑓)
26	19, 15, 22, 25	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ⊆ dom 𝑓)
27		dvnp1 26275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)))
28	18, 15, 22, 27	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)))
29		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))
30	28, 29	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))
31		cncff 25244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)):dom 𝑓⟶ℂ)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)):dom 𝑓⟶ℂ)
33	32	fdmd 6742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) = dom 𝑓)
34		cnex 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℂ ∈ V
35		elpm2g 8892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓 ⊆ 𝑆)))
36	34, 19, 35	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓 ⊆ 𝑆)))
37	15, 36	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓 ⊆ 𝑆))
38	37	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → dom 𝑓 ⊆ 𝑆)
39	26, 38	sstrd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ⊆ 𝑆)
40	18, 24, 39	dvbss 26251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚))
41	33, 40	eqsstrrd 3948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → dom 𝑓 ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚))
42	26, 41	eqssd 3930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) = dom 𝑓)
43	42	feq2d 6715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → (((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom 𝑓⟶ℂ))
44	24, 43	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom 𝑓⟶ℂ)
45		dvcn 26271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) = dom 𝑓) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))
46	18, 44, 38, 33, 45	syl31anc 1401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))
47	15, 46	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ)))
48	47	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ)) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))))
49		peano2nn0 12673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
50	21, 49	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
51		elcpn 26284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))))
52	17, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑓 ∈ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))))
53		elcpn 26284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑚) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))))
54	17, 21, 53	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑓 ∈ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑚) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓–cn→ℂ))))
55	48, 52, 54	3imtr4d 297	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑓 ∈ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘(𝑚 + 1)) → 𝑓 ∈ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑚)))
56	55	ssrdv 3919	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑚))
57		sstr2 3920	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒞𝑛‘𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑚) → (((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑚) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)))
58	56, 57	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑚) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)))
59	58	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑚) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀))))
60	59	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑚) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)) → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀))))
61	3, 6, 9, 12, 14, 60	uzind4 13060	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑁) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)))
62	61	com12 33	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑁) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀)))
63	62	3impia 1135	1 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑁) ⊆ ((𝒞𝑛‘𝑆)‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {cpr 4590  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_pm cpm 8876  ℂcc 11225  ℝcr 11226  1c1 11228   + caddc 11230  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  –cn→ccncf 25227   D cdv 26213   D^𝑛 cdvn 26214  𝒞^𝑛ccpn 26215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-limc 26216  df-dv 26217  df-dvn 26218  df-cpn 26219

This theorem is used by:  cpncn  26286  c1lip2  26348