Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fveq2 6892 |
. . . . . 6
β’ (π = π β
((πCπβπ)βπ) =
((πCπβπ)βπ)) |
2 | 1 | sseq1d 4014 |
. . . . 5
β’ (π = π β
(((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ))) |
3 | 2 | imbi2d 341 |
. . . 4
β’ (π = π β (((π β {β, β} β§ π β β0)
β ((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ)) β ((π β {β, β} β§ π β β0)
β ((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ)))) |
4 | | fveq2 6892 |
. . . . . 6
β’ (π = π β
((πCπβπ)βπ) =
((πCπβπ)βπ)) |
5 | 4 | sseq1d 4014 |
. . . . 5
β’ (π = π β
(((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ))) |
6 | 5 | imbi2d 341 |
. . . 4
β’ (π = π β (((π β {β, β} β§ π β β0)
β ((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ)) β ((π β {β, β} β§ π β β0)
β ((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ)))) |
7 | | fveq2 6892 |
. . . . . 6
β’ (π = (π + 1) β
((πCπβπ)βπ) =
((πCπβπ)β(π + 1))) |
8 | 7 | sseq1d 4014 |
. . . . 5
β’ (π = (π + 1) β
(((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)β(π + 1)) β
((πCπβπ)βπ))) |
9 | 8 | imbi2d 341 |
. . . 4
β’ (π = (π + 1) β (((π β {β, β} β§ π β β0)
β ((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ)) β ((π β {β, β} β§ π β β0)
β ((πCπβπ)β(π + 1)) β
((πCπβπ)βπ)))) |
10 | | fveq2 6892 |
. . . . . 6
β’ (π = π β
((πCπβπ)βπ) =
((πCπβπ)βπ)) |
11 | 10 | sseq1d 4014 |
. . . . 5
β’ (π = π β
(((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ))) |
12 | 11 | imbi2d 341 |
. . . 4
β’ (π = π β (((π β {β, β} β§ π β β0)
β ((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ)) β ((π β {β, β} β§ π β β0)
β ((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ)))) |
13 | | ssid 4005 |
. . . . 5
β’
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ) |
14 | 13 | 2a1i 12 |
. . . 4
β’ (π β β€ β ((π β {β, β} β§
π β
β0) β ((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ))) |
15 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β π β (β βpm π)) |
16 | | recnprss 25421 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β {β, β}
β π β
β) |
17 | 16 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β π β β) |
18 | 17 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β π β β) |
19 | | simplll 774 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β π β {β, β}) |
20 | | eluznn0 12901 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β0
β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β β0) |
21 | 20 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β π β β0) |
22 | 21 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β π β β0) |
23 | | dvnf 25444 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β {β, β} β§
π β (β
βpm π)
β§ π β
β0) β ((π Dπ π)βπ):dom ((π Dπ π)βπ)βΆβ) |
24 | 19, 15, 22, 23 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β ((π Dπ π)βπ):dom ((π Dπ π)βπ)βΆβ) |
25 | | dvnbss 25445 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β {β, β} β§
π β (β
βpm π)
β§ π β
β0) β dom ((π Dπ π)βπ) β dom π) |
26 | 19, 15, 22, 25 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β dom ((π Dπ π)βπ) β dom π) |
27 | | dvnp1 25442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β (β
βpm π)
β§ π β
β0) β ((π Dπ π)β(π + 1)) = (π D ((π Dπ π)βπ))) |
28 | 18, 15, 22, 27 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β ((π Dπ π)β(π + 1)) = (π D ((π Dπ π)βπ))) |
29 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ)) |
30 | 28, 29 | eqeltrrd 2835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β (π D ((π Dπ π)βπ)) β (dom πβcnββ)) |
31 | | cncff 24409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π D ((π Dπ π)βπ)) β (dom πβcnββ) β (π D ((π Dπ π)βπ)):dom πβΆβ) |
32 | 30, 31 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β (π D ((π Dπ π)βπ)):dom πβΆβ) |
33 | 32 | fdmd 6729 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β dom (π D ((π Dπ π)βπ)) = dom π) |
34 | | cnex 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ β
β V |
35 | | elpm2g 8838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((β
β V β§ π β
{β, β}) β (π β (β βpm π) β (π:dom πβΆβ β§ dom π β π))) |
36 | 34, 19, 35 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β (π β (β βpm π) β (π:dom πβΆβ β§ dom π β π))) |
37 | 15, 36 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β (π:dom πβΆβ β§ dom π β π)) |
38 | 37 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β dom π β π) |
39 | 26, 38 | sstrd 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β dom ((π Dπ π)βπ) β π) |
40 | 18, 24, 39 | dvbss 25418 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β dom (π D ((π Dπ π)βπ)) β dom ((π Dπ π)βπ)) |
41 | 33, 40 | eqsstrrd 4022 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β dom π β dom ((π Dπ π)βπ)) |
42 | 26, 41 | eqssd 4000 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β dom ((π Dπ π)βπ) = dom π) |
43 | 42 | feq2d 6704 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β (((π Dπ π)βπ):dom ((π Dπ π)βπ)βΆβ β ((π Dπ π)βπ):dom πβΆβ)) |
44 | 24, 43 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β ((π Dπ π)βπ):dom πβΆβ) |
45 | | dvcn 25438 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β β β§ ((π Dπ π)βπ):dom πβΆβ β§ dom π β π) β§ dom (π D ((π Dπ π)βπ)) = dom π) β ((π Dπ π)βπ) β (dom πβcnββ)) |
46 | 18, 44, 38, 33, 45 | syl31anc 1374 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β ((π Dπ π)βπ) β (dom πβcnββ)) |
47 | 15, 46 | jca 513 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β§ (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ))) β (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)βπ) β (dom πβcnββ))) |
48 | 47 | ex 414 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β ((π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ)) β (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)βπ) β (dom πβcnββ)))) |
49 | | peano2nn0 12512 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β0
β (π + 1) β
β0) |
50 | 21, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β (π + 1) β
β0) |
51 | | elcpn 25451 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β β β§ (π + 1) β
β0) β (π β
((πCπβπ)β(π + 1)) β (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ)))) |
52 | 17, 50, 51 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β (π β
((πCπβπ)β(π + 1)) β (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)β(π + 1)) β (dom πβcnββ)))) |
53 | | elcpn 25451 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β β β§ π β β0)
β (π β
((πCπβπ)βπ) β (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)βπ) β (dom πβcnββ)))) |
54 | 17, 21, 53 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β (π β
((πCπβπ)βπ) β (π β (β βpm π) β§ ((π Dπ π)βπ) β (dom πβcnββ)))) |
55 | 48, 52, 54 | 3imtr4d 294 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β (π β
((πCπβπ)β(π + 1)) β π β
((πCπβπ)βπ))) |
56 | 55 | ssrdv 3989 |
. . . . . . 7
β’ (((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β
((πCπβπ)β(π + 1)) β
((πCπβπ)βπ)) |
57 | | sstr2 3990 |
. . . . . . 7
β’
(((πCπβπ)β(π + 1)) β
((πCπβπ)βπ) β
(((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)β(π + 1)) β
((πCπβπ)βπ))) |
58 | 56, 57 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β {β, β} β§
π β
β0) β§ π β (β€β₯βπ)) β
(((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)β(π + 1)) β
((πCπβπ)βπ))) |
59 | 58 | expcom 415 |
. . . . 5
β’ (π β
(β€β₯βπ) β ((π β {β, β} β§ π β β0)
β (((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)β(π + 1)) β
((πCπβπ)βπ)))) |
60 | 59 | a2d 29 |
. . . 4
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (((π β {β, β} β§ π β β0)
β ((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ)) β ((π β {β, β} β§ π β β0)
β ((πCπβπ)β(π + 1)) β
((πCπβπ)βπ)))) |
61 | 3, 6, 9, 12, 14, 60 | uzind4 12890 |
. . 3
β’ (π β
(β€β₯βπ) β ((π β {β, β} β§ π β β0)
β ((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ))) |
62 | 61 | com12 32 |
. 2
β’ ((π β {β, β} β§
π β
β0) β (π β (β€β₯βπ) β
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ))) |
63 | 62 | 3impia 1118 |
1
β’ ((π β {β, β} β§
π β
β0 β§ π
β (β€β₯βπ)) β
((πCπβπ)βπ) β
((πCπβπ)βπ)) |