MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnord 25452
Description: 𝓑C𝑛 conditions are ordered by strength. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnord ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€))

Proof of Theorem cpnord
Dummy variables 𝑓 𝑛 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘›) = ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€))
21sseq1d 4014 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 β†’ (((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘›) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€) ↔ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)))
32imbi2d 341 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 β†’ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘›) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€))))
4 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘›) = ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘š))
54sseq1d 4014 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘›) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€) ↔ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘š) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)))
65imbi2d 341 . . . 4 (𝑛 = π‘š β†’ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘›) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘š) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€))))
7 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘›) = ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜(π‘š + 1)))
87sseq1d 4014 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘›) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€) ↔ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜(π‘š + 1)) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)))
98imbi2d 341 . . . 4 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘›) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜(π‘š + 1)) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€))))
10 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘›) = ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘))
1110sseq1d 4014 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘›) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€) ↔ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)))
1211imbi2d 341 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘›) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€))))
13 ssid 4005 . . . . 5 ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)
14132a1i 12 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)))
15 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
16 recnprss 25421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
1817adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
19 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
20 eluznn0 12901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
2120adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
23 dvnf 25444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š)βŸΆβ„‚)
2419, 15, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š)βŸΆβ„‚)
25 dvnbss 25445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š) βŠ† dom 𝑓)
2619, 15, 22, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š) βŠ† dom 𝑓)
27 dvnp1 25442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š)))
2818, 15, 22, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š)))
29 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))
3028, 29eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))
31 cncff 24409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š)):dom π‘“βŸΆβ„‚)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š)):dom π‘“βŸΆβ„‚)
3332fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š)) = dom 𝑓)
34 cnex 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„‚ ∈ V
35 elpm2g 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) β†’ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ↔ (𝑓:dom π‘“βŸΆβ„‚ ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑆)))
3634, 19, 35sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ↔ (𝑓:dom π‘“βŸΆβ„‚ ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑆)))
3715, 36mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ (𝑓:dom π‘“βŸΆβ„‚ ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑆))
3837simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ dom 𝑓 βŠ† 𝑆)
3926, 38sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š) βŠ† 𝑆)
4018, 24, 39dvbss 25418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š)) βŠ† dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š))
4133, 40eqsstrrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ dom 𝑓 βŠ† dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š))
4226, 41eqssd 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š) = dom 𝑓)
4342feq2d 6704 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š)βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š):dom π‘“βŸΆβ„‚))
4424, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š):dom π‘“βŸΆβ„‚)
45 dvcn 25438 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š):dom π‘“βŸΆβ„‚ ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š)) = dom 𝑓) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))
4618, 44, 38, 33, 45syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))
4715, 46jca 513 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))) β†’ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚)))
4847ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))))
49 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•0)
5021, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•0)
51 elcpn 25451 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ (π‘š + 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑓 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜(π‘š + 1)) ↔ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))))
5217, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (𝑓 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜(π‘š + 1)) ↔ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜(π‘š + 1)) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))))
53 elcpn 25451 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑓 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘š) ↔ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))))
5417, 21, 53syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (𝑓 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘š) ↔ (𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)β€˜π‘š) ∈ (dom 𝑓–cnβ†’β„‚))))
5548, 52, 543imtr4d 294 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (𝑓 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜(π‘š + 1)) β†’ 𝑓 ∈ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘š)))
5655ssrdv 3989 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜(π‘š + 1)) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘š))
57 sstr2 3990 . . . . . . 7 (((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜(π‘š + 1)) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘š) β†’ (((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘š) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜(π‘š + 1)) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)))
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘š) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜(π‘š + 1)) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)))
5958expcom 415 . . . . 5 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘š) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜(π‘š + 1)) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€))))
6059a2d 29 . . . 4 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘š) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)) β†’ ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜(π‘š + 1)) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€))))
613, 6, 9, 12, 14, 60uzind4 12890 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)))
6261com12 32 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€)))
63623impia 1118 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘) βŠ† ((𝓑Cπ‘›β€˜π‘†)β€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {cpr 4631  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β€“cnβ†’ccncf 24392   D cdv 25380   D𝑛 cdvn 25381  π“‘C𝑛ccpn 25382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-dvn 25385  df-cpn 25386
This theorem is referenced by:  cpncn  25453  c1lip2  25515
  Copyright terms: Public domain W3C validator