Theorem t1connperf 23716

Description: A connected T₁ space is perfect, unless it is the topology of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
t1connperf.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
t1connperf	⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn ∧ ¬ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐽 ∈ Perf)

Proof of Theorem t1connperf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1connperf.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑥} ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ Conn)
3		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑥} ∈ 𝐽)) → {𝑥} ∈ 𝐽)
4		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	snnz 4736	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑥} ∈ 𝐽)) → {𝑥} ≠ ∅)
7	1	t1sncld 23606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
8	7	ad2ant2r 760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑥} ∈ 𝐽)) → {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
9	1, 2, 3, 6, 8	connclo 23695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑥} ∈ 𝐽)) → {𝑥} = 𝑋)
10	4	ensn1 9026	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥} ≈ 1o
11	9, 10	eqbrtrrdi 5144	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑥} ∈ 𝐽)) → 𝑋 ≈ 1o)
12	11	rexlimdvaa 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ 𝐽 → 𝑋 ≈ 1o))
13	12	con3d 153	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) → (¬ 𝑋 ≈ 1o → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ 𝐽))
14		ralnex 3088	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ 𝐽)
15	13, 14	imbitrrdi 255	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) → (¬ 𝑋 ≈ 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
16		t1top 23610	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐽 ∈ Top)
18	1	isperf3 23433	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Perf ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
19	18	baib 545	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Perf ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
20	17, 19	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) → (𝐽 ∈ Perf ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
21	15, 20	sylibrd 262	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) → (¬ 𝑋 ≈ 1o → 𝐽 ∈ Perf))
22	21	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn ∧ ¬ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐽 ∈ Perf)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∅c0 4278  {csn 4583  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  1_oc1o 8447   ≈ cen 8948  Topctop 23173  Clsdccld 23296  Perfcperf 23415  Frect1 23587  Conncconn 23691

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-1o 8454  df-en 8952  df-top 23174  df-cld 23299  df-ntr 23300  df-cls 23301  df-lp 23416  df-perf 23417  df-t1 23594  df-conn 23692

This theorem is used by: (None)