Theorem t1connperf 23460

Description: A connected T₁ space is perfect, unless it is the topology of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
t1connperf.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
t1connperf	⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn ∧ ¬ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐽 ∈ Perf)

Proof of Theorem t1connperf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1connperf.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑥} ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ Conn)
3		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑥} ∈ 𝐽)) → {𝑥} ∈ 𝐽)
4		vex 3482	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	snnz 4781	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑥} ∈ 𝐽)) → {𝑥} ≠ ∅)
7	1	t1sncld 23350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
8	7	ad2ant2r 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑥} ∈ 𝐽)) → {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
9	1, 2, 3, 6, 8	connclo 23439	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑥} ∈ 𝐽)) → {𝑥} = 𝑋)
10	4	ensn1 9060	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥} ≈ 1o
11	9, 10	eqbrtrrdi 5188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑥} ∈ 𝐽)) → 𝑋 ≈ 1o)
12	11	rexlimdvaa 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ 𝐽 → 𝑋 ≈ 1o))
13	12	con3d 152	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) → (¬ 𝑋 ≈ 1o → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ 𝐽))
14		ralnex 3070	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ 𝐽)
15	13, 14	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) → (¬ 𝑋 ≈ 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
16		t1top 23354	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐽 ∈ Top)
18	1	isperf3 23177	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Perf ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
19	18	baib 535	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Perf ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
20	17, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) → (𝐽 ∈ Perf ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ {𝑥} ∈ 𝐽))
21	15, 20	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn) → (¬ 𝑋 ≈ 1o → 𝐽 ∈ Perf))
22	21	3impia 1116	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐽 ∈ Conn ∧ ¬ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐽 ∈ Perf)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  ∅c0 4339  {csn 4631  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  1_oc1o 8498   ≈ cen 8981  Topctop 22915  Clsdccld 23040  Perfcperf 23159  Frect1 23331  Conncconn 23435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1o 8505  df-en 8985  df-top 22916  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-lp 23160  df-perf 23161  df-t1 23338  df-conn 23436

This theorem is referenced by: (None)