MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gex1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gex1 18480
Description: A group or monoid has exponent 1 iff it is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl2.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gex1 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1o))

Proof of Theorem gex1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 756 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐸 = 1)
21oveq1d 6993 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐸(.g𝐺)𝑥) = (1(.g𝐺)𝑥))
3 gexcl2.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 gexcl2.2 . . . . . . . . . 10 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (.g𝐺) = (.g𝐺)
6 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
73, 4, 5, 6gexid 18470 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋 → (𝐸(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
87adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐸(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
93, 5mulg1 18023 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋 → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
109adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
112, 8, 103eqtr3rd 2823 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 = (0g𝐺))
12 velsn 4458 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
1311, 12sylibr 226 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
1413ex 405 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (𝑥𝑋𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
1514ssrdv 3866 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ⊆ {(0g𝐺)})
163, 6mndidcl 17779 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
1716adantr 473 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
1817snssd 4617 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → {(0g𝐺)} ⊆ 𝑋)
1915, 18eqssd 3877 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 = {(0g𝐺)})
20 fvex 6514 . . . 4 (0g𝐺) ∈ V
2120ensn1 8372 . . 3 {(0g𝐺)} ≈ 1o
2219, 21syl6eqbr 4969 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ≈ 1o)
23 simpl 475 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Mnd)
24 1nn 11454 . . . . 5 1 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 1 ∈ ℕ)
269adantl 474 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥𝑋) → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
27 en1eqsn 8545 . . . . . . . . . 10 (((0g𝐺) ∈ 𝑋𝑋 ≈ 1o) → 𝑋 = {(0g𝐺)})
2816, 27sylan 572 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝑋 = {(0g𝐺)})
2928eleq2d 2851 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → (𝑥𝑋𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
3029biimpa 469 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
3130, 12sylib 210 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 = (0g𝐺))
3226, 31eqtrd 2814 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥𝑋) → (1(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
3332ralrimiva 3132 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → ∀𝑥𝑋 (1(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
343, 4, 5, 6gexlem2 18471 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 (1(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...1))
3523, 25, 33, 34syl3anc 1351 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐸 ∈ (1...1))
36 elfz1eq 12737 . . 3 (𝐸 ∈ (1...1) → 𝐸 = 1)
3735, 36syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐸 = 1)
3822, 37impbida 788 1 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  {csn 4442   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978  1oc1o 7900  cen 8305  1c1 10338  cn 11441  ...cfz 12711  Basecbs 16342  0gc0g 16572  Mndcmnd 17765  .gcmg 18014  gExcgex 18418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-fz 12712  df-seq 13188  df-0g 16574  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mulg 18015  df-gex 18422
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3a  18951  pgpfaclem3  18958
  Copyright terms: Public domain W3C validator