Theorem gex1 19564

Description: A group or monoid has exponent 1 iff it is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gex1	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1o))

Proof of Theorem gex1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 = 1)
2	1	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐸(.g‘𝐺)𝑥) = (1(.g‘𝐺)𝑥))
3		gexcl2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		gexcl2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	gexid 19554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝐸(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐸(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
9	3, 5	mulg1 19055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
10	9	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
11	2, 8, 10	3eqtr3rd 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 = (0g‘𝐺))
12		velsn 4578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
13	11, 12	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
14	13	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
15	14	ssrdv 3928	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ⊆ {(0g‘𝐺)})
16	3, 6	mndidcl 18715	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
17	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
18	17	snssd 4725	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑋)
19	15, 18	eqssd 3939	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 = {(0g‘𝐺)})
20		fvex 6847	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
21	20	ensn1 8965	. . 3 ⊢ {(0g‘𝐺)} ≈ 1o
22	19, 21	eqbrtrdi 5118	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ≈ 1o)
23		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Mnd)
24		1nn 12183	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 1 ∈ ℕ)
26	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
27		en1eqsn 9182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝑋 = {(0g‘𝐺)})
28	16, 27	sylan 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝑋 = {(0g‘𝐺)})
29	28	eleq2d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
30	29	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
31	30, 12	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 = (0g‘𝐺))
32	26, 31	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
33	32	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (1(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
34	3, 4, 5, 6	gexlem2 19555	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (1(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...1))
35	23, 25, 33, 34	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐸 ∈ (1...1))
36		elfz1eq 13487	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (1...1) → 𝐸 = 1)
37	35, 36	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐸 = 1)
38	22, 37	impbida 806	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  {csn 4562   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  1_oc1o 8395   ≈ cen 8887  1c1 11037  ℕcn 12172  ...cfz 13459  Basecbs 17177  0_gc0g 17400  Mndcmnd 18700  ._gcmg 19041  gExcgex 19498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-seq 13962  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mulg 19042  df-gex 19502

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3a  20051  pgpfaclem3  20058