MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gex1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gex1 19381
Description: A group or monoid has exponent 1 iff it is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl2.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gex1 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1o))

Proof of Theorem gex1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐸 = 1)
21oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐸(.g𝐺)𝑥) = (1(.g𝐺)𝑥))
3 gexcl2.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 gexcl2.2 . . . . . . . . . 10 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (.g𝐺) = (.g𝐺)
6 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
73, 4, 5, 6gexid 19371 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋 → (𝐸(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
87adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐸(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
93, 5mulg1 18891 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋 → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
109adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
112, 8, 103eqtr3rd 2782 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 = (0g𝐺))
12 velsn 4606 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
1311, 12sylibr 233 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
1413ex 414 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (𝑥𝑋𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
1514ssrdv 3954 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ⊆ {(0g𝐺)})
163, 6mndidcl 18579 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
1716adantr 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
1817snssd 4773 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → {(0g𝐺)} ⊆ 𝑋)
1915, 18eqssd 3965 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 = {(0g𝐺)})
20 fvex 6859 . . . 4 (0g𝐺) ∈ V
2120ensn1 8967 . . 3 {(0g𝐺)} ≈ 1o
2219, 21eqbrtrdi 5148 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ≈ 1o)
23 simpl 484 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Mnd)
24 1nn 12172 . . . . 5 1 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 1 ∈ ℕ)
269adantl 483 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥𝑋) → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
27 en1eqsn 9224 . . . . . . . . . 10 (((0g𝐺) ∈ 𝑋𝑋 ≈ 1o) → 𝑋 = {(0g𝐺)})
2816, 27sylan 581 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝑋 = {(0g𝐺)})
2928eleq2d 2820 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → (𝑥𝑋𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
3029biimpa 478 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
3130, 12sylib 217 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 = (0g𝐺))
3226, 31eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥𝑋) → (1(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
3332ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → ∀𝑥𝑋 (1(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
343, 4, 5, 6gexlem2 19372 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 (1(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...1))
3523, 25, 33, 34syl3anc 1372 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐸 ∈ (1...1))
36 elfz1eq 13461 . . 3 (𝐸 ∈ (1...1) → 𝐸 = 1)
3735, 36syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐸 = 1)
3822, 37impbida 800 1 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  {csn 4590   class class class wbr 5109  cfv 6500  (class class class)co 7361  1oc1o 8409  cen 8886  1c1 11060  cn 12161  ...cfz 13433  Basecbs 17091  0gc0g 17329  Mndcmnd 18564  .gcmg 18880  gExcgex 19315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mulg 18881  df-gex 19319
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3a  19863  pgpfaclem3  19870
  Copyright terms: Public domain W3C validator