Theorem gex1 19505

Description: A group or monoid has exponent 1 iff it is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gex1	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1o))

Proof of Theorem gex1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 = 1)
2	1	oveq1d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐸(.g‘𝐺)𝑥) = (1(.g‘𝐺)𝑥))
3		gexcl2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		gexcl2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	gexid 19495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝐸(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐸(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
9	3, 5	mulg1 18996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
11	2, 8, 10	3eqtr3rd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 = (0g‘𝐺))
12		velsn 4591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
13	11, 12	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
14	13	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
15	14	ssrdv 3936	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ⊆ {(0g‘𝐺)})
16	3, 6	mndidcl 18659	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
18	17	snssd 4760	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑋)
19	15, 18	eqssd 3948	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 = {(0g‘𝐺)})
20		fvex 6841	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
21	20	ensn1 8950	. . 3 ⊢ {(0g‘𝐺)} ≈ 1o
22	19, 21	eqbrtrdi 5132	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ≈ 1o)
23		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Mnd)
24		1nn 12143	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 1 ∈ ℕ)
26	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
27		en1eqsn 9166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝑋 = {(0g‘𝐺)})
28	16, 27	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝑋 = {(0g‘𝐺)})
29	28	eleq2d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
30	29	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
31	30, 12	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 = (0g‘𝐺))
32	26, 31	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
33	32	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (1(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
34	3, 4, 5, 6	gexlem2 19496	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (1(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...1))
35	23, 25, 33, 34	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐸 ∈ (1...1))
36		elfz1eq 13437	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (1...1) → 𝐸 = 1)
37	35, 36	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐸 = 1)
38	22, 37	impbida 800	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  {csn 4575   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  1_oc1o 8384   ≈ cen 8872  1c1 11014  ℕcn 12132  ...cfz 13409  Basecbs 17122  0_gc0g 17345  Mndcmnd 18644  ._gcmg 18982  gExcgex 19439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-seq 13911  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mulg 18983  df-gex 19443

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3a  19992  pgpfaclem3  19999