Theorem gex1 19111

Description: A group or monoid has exponent 1 iff it is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gex1	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1o))

Proof of Theorem gex1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 = 1)
2	1	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐸(.g‘𝐺)𝑥) = (1(.g‘𝐺)𝑥))
3		gexcl2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		gexcl2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	gexid 19101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝐸(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐸(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
9	3, 5	mulg1 18626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
11	2, 8, 10	3eqtr3rd 2787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 = (0g‘𝐺))
12		velsn 4574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
13	11, 12	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
14	13	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
15	14	ssrdv 3923	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ⊆ {(0g‘𝐺)})
16	3, 6	mndidcl 18315	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
18	17	snssd 4739	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝑋)
19	15, 18	eqssd 3934	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 = {(0g‘𝐺)})
20		fvex 6769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
21	20	ensn1 8761	. . 3 ⊢ {(0g‘𝐺)} ≈ 1o
22	19, 21	eqbrtrdi 5109	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ≈ 1o)
23		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Mnd)
24		1nn 11914	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 1 ∈ ℕ)
26	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
27		en1eqsn 8977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝑋 = {(0g‘𝐺)})
28	16, 27	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝑋 = {(0g‘𝐺)})
29	28	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
30	29	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
31	30, 12	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 = (0g‘𝐺))
32	26, 31	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
33	32	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (1(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
34	3, 4, 5, 6	gexlem2 19102	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (1(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...1))
35	23, 25, 33, 34	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐸 ∈ (1...1))
36		elfz1eq 13196	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (1...1) → 𝐸 = 1)
37	35, 36	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1o) → 𝐸 = 1)
38	22, 37	impbida 797	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1_oc1o 8260   ≈ cen 8688  1c1 10803  ℕcn 11903  ...cfz 13168  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Mndcmnd 18300  ._gcmg 18615  gExcgex 19048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mulg 18616  df-gex 19052

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3a  19594  pgpfaclem3  19601