Theorem xrge0tsms2 24883

Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is convergent. This is a rather unique property of the set [0, +∞]; a similar theorem is not true for ℝ^* or ℝ or [0, +∞). It is true for ℕ₀ ∪ {+∞}, however, or more generally any additive submonoid of [0, +∞) with +∞ adjoined. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0tsms2.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsms2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)

Proof of Theorem xrge0tsms2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsms2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < )
5	1, 2, 3, 4	xrge0tsms 24882	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) = {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < )})
6		xrltso 13136	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
7	6	supex 9403	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) ∈ V
8	7	ensn1 8995	. 2 ⊢ {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < )} ≈ 1o
9	5, 8	eqbrtrdi 5136	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3901  𝒫 cpw 4552  {csn 4579   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ran crn 5644   ↾ cres 5645  ⟶wf 6511  (class class class)co 7390  1_oc1o 8423   ≈ cen 8917  Fincfn 8920  supcsup 9379  0cc0 11066  +∞cpnf 11206  ℝ^*cxr 11208   < clt 11209  [,]cicc 13345   ↾_s cress 17256   Σ_g cgsu 17459  ℝ^*_𝑠cxrs 17520   tsums ctsu 24173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-q 12943  df-xadd 13108  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-hash 14337  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-ordt 17521  df-xrs 17522  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-ps 18588  df-tsr 18589  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-ntr 23067  df-nei 23145  df-cn 23274  df-haus 23362  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-tsms 24174

This theorem is referenced by:  xrge0tsmsbi  33214  xrge0tsmseq  33215