MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0tsms2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tsms2 24214
Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is convergent. This is a rather unique property of the set [0, +∞]; a similar theorem is not true for * or or [0, +∞). It is true for 0 ∪ {+∞}, however, or more generally any additive submonoid of [0, +∞) with +∞ adjoined. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0tsms2.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0tsms2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)

Proof of Theorem xrge0tsms2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0tsms2.g . . 3 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
2 simpl 484 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → 𝐴𝑉)
3 simpr 486 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
4 eqid 2733 . . 3 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑥))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑥))), ℝ*, < )
51, 2, 3, 4xrge0tsms 24213 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) = {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑥))), ℝ*, < )})
6 xrltso 13066 . . . 4 < Or ℝ*
76supex 9404 . . 3 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑥))), ℝ*, < ) ∈ V
87ensn1 8964 . 2 {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑥))), ℝ*, < )} ≈ 1o
95, 8eqbrtrdi 5145 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3910  𝒫 cpw 4561  {csn 4587   class class class wbr 5106  cmpt 5189  ran crn 5635  cres 5636  wf 6493  (class class class)co 7358  1oc1o 8406  cen 8883  Fincfn 8886  supcsup 9381  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  *cxr 11193   < clt 11194  [,]cicc 13273  s cress 17117   Σg cgsu 17327  *𝑠cxrs 17387   tsums ctsu 23493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-xadd 13039  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-ordt 17388  df-xrs 17389  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-cn 22594  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494
This theorem is referenced by:  xrge0tsmsbi  31949  xrge0tsmseq  31950
  Copyright terms: Public domain W3C validator