Theorem xrge0tsms2 24993

Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is convergent. This is a rather unique property of the set [0, +∞]; a similar theorem is not true for ℝ^* or ℝ or [0, +∞). It is true for ℕ₀ ∪ {+∞}, however, or more generally any additive submonoid of [0, +∞) with +∞ adjoined. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0tsms2.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsms2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)

Proof of Theorem xrge0tsms2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsms2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < )
5	1, 2, 3, 4	xrge0tsms 24992	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) = {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < )})
6		xrltso 13161	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
7	6	supex 9420	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) ∈ V
8	7	ensn1 9014	. 2 ⊢ {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < )} ≈ 1o
9	5, 8	eqbrtrdi 5150	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904  𝒫 cpw 4562  {csn 4589   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410  1_oc1o 8442   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  supcsup 9396  0cc0 11095  +∞cpnf 11235  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238  [,]cicc 13370   ↾_s cress 17285   Σ_g cgsu 17488  ℝ^*_𝑠cxrs 17549   tsums ctsu 24283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-xadd 13133  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-ordt 17550  df-xrs 17551  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-ps 18617  df-tsr 18618  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-ntr 23177  df-nei 23255  df-cn 23384  df-haus 23472  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-tsms 24284

This theorem is referenced by:  xrge0tsmsbi  33394  xrge0tsmseq  33395