Theorem xrge0tsms2 24780

Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is convergent. This is a rather unique property of the set [0, +∞]; a similar theorem is not true for ℝ^* or ℝ or [0, +∞). It is true for ℕ₀ ∪ {+∞}, however, or more generally any additive submonoid of [0, +∞) with +∞ adjoined. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0tsms2.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsms2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)

Proof of Theorem xrge0tsms2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsms2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < )
5	1, 2, 3, 4	xrge0tsms 24779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) = {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < )})
6		xrltso 13055	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
7	6	supex 9367	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) ∈ V
8	7	ensn1 8958	. 2 ⊢ {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < )} ≈ 1o
9	5, 8	eqbrtrdi 5137	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900  𝒫 cpw 4554  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358  1_oc1o 8390   ≈ cen 8880  Fincfn 8883  supcsup 9343  0cc0 11026  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166  [,]cicc 13264   ↾_s cress 17157   Σ_g cgsu 17360  ℝ^*_𝑠cxrs 17421   tsums ctsu 24070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-xadd 13027  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-ordt 17422  df-xrs 17423  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-ps 18489  df-tsr 18490  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-ntr 22964  df-nei 23042  df-cn 23171  df-haus 23259  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-tsms 24071

This theorem is referenced by:  xrge0tsmsbi  33156  xrge0tsmseq  33157