Theorem xrge0tsms2 23440

Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is convergent. This is a rather unique property of the set [0, +∞]; a similar theorem is not true for ℝ^* or ℝ or [0, +∞). It is true for ℕ₀ ∪ {+∞}, however, or more generally any additive submonoid of [0, +∞) with +∞ adjoined. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0tsms2.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsms2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)

Proof of Theorem xrge0tsms2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsms2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
4		eqid 2798	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < )
5	1, 2, 3, 4	xrge0tsms 23439	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) = {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < )})
6		xrltso 12522	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
7	6	supex 8911	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) ∈ V
8	7	ensn1 8556	. 2 ⊢ {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < )} ≈ 1o
9	5, 8	eqbrtrdi 5069	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135  1_oc1o 8078   ≈ cen 8489  Fincfn 8492  supcsup 8888  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664  [,]cicc 12729   ↾_s cress 16476   Σ_g cgsu 16706  ℝ^*_𝑠cxrs 16765   tsums ctsu 22731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-ordt 16766  df-xrs 16767  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-ntr 21625  df-nei 21703  df-cn 21832  df-haus 21920  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-tsms 22732

This theorem is referenced by:  xrge0tsmsbi  30743  xrge0tsmseq  30744