Theorem sconnpi1 35666

Description: A path-connected topological space is simply connected iff its fundamental group is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
sconnpi1.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sconnpi1	⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))

Proof of Theorem sconnpi1

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconntop 35655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Top)
2	1	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ Top)
3		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 π1 𝑌) = (𝐽 π1 𝑌)
5		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 π1 𝑌))
6		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
7		sconnpi1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
8	7	toptopon 23045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9	6, 8	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑋)
11	4, 5, 9, 10	elpi1 25175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
12	2, 3, 11	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
13		phtpcer 25125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
15		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝐽 ∈ SConn)
16		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
17		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = 𝑌)
18		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘1) = 𝑌)
19	17, 18	eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
20		sconnpht 35656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ SConn ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
21	15, 16, 19, 20	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
22	17	sneqd 4606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → {(𝑓‘0)} = {𝑌})
23	22	xpeq2d 5694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
24	21, 23	breqtrd 5141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
25	14, 24	erthi 8753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽))
26	2, 8	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
27		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
28	4, 27	pi1id 25181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
29	26, 3, 28	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
30	29	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
31	25, 30	eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
32		velsn 4610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ 𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
33		eqeq1 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → (𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
34	32, 33	bitrid 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
35	31, 34	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
36	35	expimpd 458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
37	36	rexlimdva 3172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
38	12, 37	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
39	38	ssrdv 3951	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ⊆ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
40	4	pi1grp 25180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
41	26, 3, 40	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
42		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))
43	5, 42	grpidcl 19034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
44	41, 43	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
45	44	snssd 4757	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ⊆ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
46	39, 45	eqssd 3962	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
47		fvex 6897	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ V
48	47	ensn1 9020	. . . 4 ⊢ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ≈ 1o
49	46, 48	eqbrtrdi 5154	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
50	49	adantll 726	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
51		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ PConn)
52		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
53		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
54		simplll 786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ PConn)
55		pconntop 35652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
56	54, 55	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ Top)
57	56, 8	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
58		simprl 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
59		iiuni 25011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
60	59, 7	cnf 23374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
61	58, 60	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
62		0elunit 13498	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
63		ffvelcdm 7079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
64	61, 62, 63	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
65		eqidd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘0))
66		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
67	66	eqcomd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘1) = (𝑓‘0))
68	52, 53, 57, 64, 58, 65, 67	elpi1i 25176	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
69		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝑓‘0)})
70	69	pcoptcl 25151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
71	57, 64, 70	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
72	71	simp1d 1158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽))
73	71	simp2d 1159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0))
74	71	simp3d 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0))
75	52, 53, 57, 64, 72, 73, 74	elpi1i 25176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
76		simpllr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑌 ∈ 𝑋)
77	7, 52, 4, 53, 5	pconnpi1 35664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
78	54, 64, 76, 77	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
79	53, 5	gicen 19350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
80	78, 79	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
81		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
82		entr 9005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
83	80, 81, 82	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
84		en1eqsn 9237	. . . . . . . . 9 ⊢ (([((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ∧ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
85	75, 83, 84	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
86	68, 85	eleqtrd 2871	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
87		elsni 4611	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)} → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽))
88	86, 87	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽))
89	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
90	89, 58	erth 8751	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)))
91	88, 90	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
92	91	expr 461	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
93	92	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
94		issconn 35653	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ SConn ↔ (𝐽 ∈ PConn ∧ ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))))
95	51, 93, 94	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ SConn)
96	50, 95	impbida 812	1 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  {csn 4594  ∪ cuni 4876   class class class wbr 5113   × cxp 5662  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  1_oc1o 8448   Er wer 8693  [cec 8694   ≈ cen 8942  0cc0 11102  1c1 11103  [,]cicc 13377  Basecbs 17271  0_gc0g 17494  Grpcgrp 19002   ≃_𝑔 cgic 19330  Topctop 23021  TopOnctopon 23038   Cn ccn 23352  IIcii 25005   ≃_phcphtpc 25099   π₁ cpi1 25133  PConncpconn 35646  SConncsconn 35647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180  ax-addf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-q 12975  df-rp 13019  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ioo 13378  df-icc 13381  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-unif 17335  df-hom 17336  df-cco 17337  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-pt 17499  df-prds 17502  df-xrs 17558  df-qtop 17563  df-imas 17564  df-qus 17565  df-xps 17566  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-mulg 19136  df-ghm 19286  df-gim 19331  df-gic 19332  df-cntz 19389  df-cmn 19854  df-psmet 21485  df-xmet 21486  df-met 21487  df-bl 21488  df-mopn 21489  df-cnfld 21494  df-top 23022  df-topon 23039  df-topsp 23061  df-bases 23074  df-cld 23147  df-cn 23355  df-cnp 23356  df-tx 23690  df-hmeo 23883  df-xms 24448  df-ms 24449  df-tms 24450  df-ii 25007  df-htpy 25100  df-phtpy 25101  df-phtpc 25122  df-pco 25135  df-om1 25136  df-pi1 25138  df-pconn 35648  df-sconn 35649

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