Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sconnpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sconnpi1 34299
Description: A path-connected topological space is simply connected iff its fundamental group is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sconnpi1.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
sconnpi1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 ∈ SConn ↔ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o))

Proof of Theorem sconnpi1
Dummy variables π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconntop 34288 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ SConn β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantl 482 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 simpl 483 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
4 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝐽 Ο€1 π‘Œ) = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
5 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) = (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))
6 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7 sconnpi1.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = βˆͺ 𝐽
87toptopon 22426 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
96, 8sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
114, 5, 9, 10elpi1 24568 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐽)(((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½))))
122, 3, 11syl2anc 584 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐽)(((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½))))
13 phtpcer 24518 . . . . . . . . . . . . 13 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
15 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ 𝐽 ∈ SConn)
16 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
17 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜0) = π‘Œ)
18 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)
1917, 18eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))
20 sconnpht 34289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ SConn ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1)) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
2115, 16, 19, 20syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
2217sneqd 4640 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ {(π‘“β€˜0)} = {π‘Œ})
2322xpeq2d 5706 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ ((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}) = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ}))
2421, 23breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {π‘Œ}))
2514, 24erthi 8756 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = [((0[,]1) Γ— {π‘Œ})]( ≃phβ€˜π½))
262, 8sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
27 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) Γ— {π‘Œ}) = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
284, 27pi1id 24574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ [((0[,]1) Γ— {π‘Œ})]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
2926, 3, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ [((0[,]1) Γ— {π‘Œ})]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ [((0[,]1) Γ— {π‘Œ})]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
3125, 30eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
32 velsn 4644 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
33 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½) β†’ (π‘₯ = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ↔ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))))
3432, 33bitrid 282 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½) β†’ (π‘₯ ∈ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))} ↔ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))))
3531, 34syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ (π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))}))
3635expimpd 454 . . . . . . . 8 (((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ ((((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))}))
3736rexlimdva 3155 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐽)(((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))}))
3812, 37sylbid 239 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))}))
3938ssrdv 3988 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) βŠ† {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))})
404pi1grp 24573 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 Ο€1 π‘Œ) ∈ Grp)
4126, 3, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (𝐽 Ο€1 π‘Œ) ∈ Grp)
42 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))
435, 42grpidcl 18852 . . . . . . 7 ((𝐽 Ο€1 π‘Œ) ∈ Grp β†’ (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
4441, 43syl 17 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
4544snssd 4812 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))} βŠ† (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
4639, 45eqssd 3999 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) = {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))})
47 fvex 6904 . . . . 5 (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ∈ V
4847ensn1 9019 . . . 4 {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))} β‰ˆ 1o
4946, 48eqbrtrdi 5187 . . 3 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o)
5049adantll 712 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o)
51 simpll 765 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) β†’ 𝐽 ∈ PConn)
52 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) = (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))
53 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) = (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)))
54 simplll 773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝐽 ∈ PConn)
55 pconntop 34285 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ PConn β†’ 𝐽 ∈ Top)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
5756, 8sylib 217 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
58 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
59 iiuni 24404 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) = βˆͺ II
6059, 7cnf 22757 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝑓:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
62 0elunit 13448 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
63 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (π‘“β€˜0) ∈ 𝑋)
6461, 62, 63sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (π‘“β€˜0) ∈ 𝑋)
65 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜0))
66 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))
6766eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (π‘“β€˜1) = (π‘“β€˜0))
6852, 53, 57, 64, 58, 65, 67elpi1i 24569 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))))
69 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}) = ((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})
7069pcoptcl 24544 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘“β€˜0) ∈ 𝑋) β†’ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})β€˜0) = (π‘“β€˜0) ∧ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})β€˜1) = (π‘“β€˜0)))
7157, 64, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})β€˜0) = (π‘“β€˜0) ∧ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})β€˜1) = (π‘“β€˜0)))
7271simp1d 1142 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝐽))
7371simp2d 1143 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})β€˜0) = (π‘“β€˜0))
7471simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})β€˜1) = (π‘“β€˜0))
7552, 53, 57, 64, 72, 73, 74elpi1i 24569 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ [((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))))
76 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
777, 52, 4, 53, 5pconnpi1 34297 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘“β€˜0) ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) ≃𝑔 (𝐽 Ο€1 π‘Œ))
7854, 64, 76, 77syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) ≃𝑔 (𝐽 Ο€1 π‘Œ))
7953, 5gicen 19153 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) ≃𝑔 (𝐽 Ο€1 π‘Œ) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) β‰ˆ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) β‰ˆ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
81 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o)
82 entr 9004 . . . . . . . . . 10 (((Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) β‰ˆ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) β‰ˆ 1o)
8380, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) β‰ˆ 1o)
84 en1eqsn 9276 . . . . . . . . 9 (([((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) β‰ˆ 1o) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) = {[((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½)})
8575, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) = {[((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½)})
8668, 85eleqtrd 2835 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) ∈ {[((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½)})
87 elsni 4645 . . . . . . 7 ([𝑓]( ≃phβ€˜π½) ∈ {[((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½)} β†’ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = [((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½))
8886, 87syl 17 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = [((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½))
8913a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
9089, 58erth 8754 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}) ↔ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = [((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½)))
9188, 90mpbird 256 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
9291expr 457 . . . 4 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ ((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
9392ralrimiva 3146 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (II Cn 𝐽)((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
94 issconn 34286 . . 3 (𝐽 ∈ SConn ↔ (𝐽 ∈ PConn ∧ βˆ€π‘“ ∈ (II Cn 𝐽)((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))))
9551, 93, 94sylanbrc 583 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) β†’ 𝐽 ∈ SConn)
9650, 95impbida 799 1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 ∈ SConn ↔ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1oc1o 8461   Er wer 8702  [cec 8703   β‰ˆ cen 8938  0cc0 11112  1c1 11113  [,]cicc 13329  Basecbs 17146  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821   ≃𝑔 cgic 19134  Topctop 22402  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735  IIcii 24398   ≃phcphtpc 24492   Ο€1 cpi1 24526  PConncpconn 34279  SConncsconn 34280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-qus 17457  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-mulg 18953  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-gic 19136  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-ii 24400  df-htpy 24493  df-phtpy 24494  df-phtpc 24515  df-pco 24528  df-om1 24529  df-pi1 24531  df-pconn 34281  df-sconn 34282
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator