Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sconnpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sconnpi1 34230
Description: A path-connected topological space is simply connected iff its fundamental group is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sconnpi1.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
sconnpi1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 ∈ SConn ↔ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o))

Proof of Theorem sconnpi1
Dummy variables π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconntop 34219 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ SConn β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantl 483 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 simpl 484 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
4 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝐽 Ο€1 π‘Œ) = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
5 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) = (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))
6 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7 sconnpi1.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = βˆͺ 𝐽
87toptopon 22419 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
96, 8sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
114, 5, 9, 10elpi1 24561 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐽)(((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½))))
122, 3, 11syl2anc 585 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐽)(((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½))))
13 phtpcer 24511 . . . . . . . . . . . . 13 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
15 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ 𝐽 ∈ SConn)
16 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
17 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜0) = π‘Œ)
18 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)
1917, 18eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))
20 sconnpht 34220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ SConn ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1)) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
2115, 16, 19, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
2217sneqd 4641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ {(π‘“β€˜0)} = {π‘Œ})
2322xpeq2d 5707 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ ((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}) = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ}))
2421, 23breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {π‘Œ}))
2514, 24erthi 8754 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = [((0[,]1) Γ— {π‘Œ})]( ≃phβ€˜π½))
262, 8sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) Γ— {π‘Œ}) = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
284, 27pi1id 24567 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ [((0[,]1) Γ— {π‘Œ})]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
2926, 3, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ [((0[,]1) Γ— {π‘Œ})]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ [((0[,]1) Γ— {π‘Œ})]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
3125, 30eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
32 velsn 4645 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
33 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½) β†’ (π‘₯ = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ↔ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))))
3432, 33bitrid 283 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½) β†’ (π‘₯ ∈ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))} ↔ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))))
3531, 34syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)) β†’ (π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))}))
3635expimpd 455 . . . . . . . 8 (((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ ((((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))}))
3736rexlimdva 3156 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐽)(((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ) ∧ π‘₯ = [𝑓]( ≃phβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))}))
3812, 37sylbid 239 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))}))
3938ssrdv 3989 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) βŠ† {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))})
404pi1grp 24566 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 Ο€1 π‘Œ) ∈ Grp)
4126, 3, 40syl2anc 585 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (𝐽 Ο€1 π‘Œ) ∈ Grp)
42 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) = (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))
435, 42grpidcl 18850 . . . . . . 7 ((𝐽 Ο€1 π‘Œ) ∈ Grp β†’ (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
4441, 43syl 17 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
4544snssd 4813 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))} βŠ† (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
4639, 45eqssd 4000 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) = {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))})
47 fvex 6905 . . . . 5 (0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ∈ V
4847ensn1 9017 . . . 4 {(0gβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ))} β‰ˆ 1o
4946, 48eqbrtrdi 5188 . . 3 ((π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o)
5049adantll 713 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ 𝐽 ∈ SConn) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o)
51 simpll 766 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) β†’ 𝐽 ∈ PConn)
52 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) = (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))
53 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) = (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)))
54 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝐽 ∈ PConn)
55 pconntop 34216 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ PConn β†’ 𝐽 ∈ Top)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
5756, 8sylib 217 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
58 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
59 iiuni 24397 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) = βˆͺ II
6059, 7cnf 22750 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ 𝑓:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
62 0elunit 13446 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
63 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (π‘“β€˜0) ∈ 𝑋)
6461, 62, 63sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (π‘“β€˜0) ∈ 𝑋)
65 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜0))
66 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))
6766eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (π‘“β€˜1) = (π‘“β€˜0))
6852, 53, 57, 64, 58, 65, 67elpi1i 24562 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))))
69 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}) = ((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})
7069pcoptcl 24537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (π‘“β€˜0) ∈ 𝑋) β†’ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})β€˜0) = (π‘“β€˜0) ∧ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})β€˜1) = (π‘“β€˜0)))
7157, 64, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})β€˜0) = (π‘“β€˜0) ∧ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})β€˜1) = (π‘“β€˜0)))
7271simp1d 1143 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝐽))
7371simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})β€˜0) = (π‘“β€˜0))
7471simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})β€˜1) = (π‘“β€˜0))
7552, 53, 57, 64, 72, 73, 74elpi1i 24562 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ [((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))))
76 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
777, 52, 4, 53, 5pconnpi1 34228 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (π‘“β€˜0) ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) ≃𝑔 (𝐽 Ο€1 π‘Œ))
7854, 64, 76, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) ≃𝑔 (𝐽 Ο€1 π‘Œ))
7953, 5gicen 19151 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) ≃𝑔 (𝐽 Ο€1 π‘Œ) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) β‰ˆ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) β‰ˆ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)))
81 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o)
82 entr 9002 . . . . . . . . . 10 (((Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) β‰ˆ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) β‰ˆ 1o)
8380, 81, 82syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) β‰ˆ 1o)
84 en1eqsn 9274 . . . . . . . . 9 (([((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) β‰ˆ 1o) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) = {[((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½)})
8575, 83, 84syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) = {[((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½)})
8668, 85eleqtrd 2836 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) ∈ {[((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½)})
87 elsni 4646 . . . . . . 7 ([𝑓]( ≃phβ€˜π½) ∈ {[((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½)} β†’ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = [((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½))
8886, 87syl 17 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = [((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½))
8913a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
9089, 58erth 8752 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}) ↔ [𝑓]( ≃phβ€˜π½) = [((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})]( ≃phβ€˜π½)))
9188, 90mpbird 257 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
9291expr 458 . . . 4 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ ((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
9392ralrimiva 3147 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (II Cn 𝐽)((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
94 issconn 34217 . . 3 (𝐽 ∈ SConn ↔ (𝐽 ∈ PConn ∧ βˆ€π‘“ ∈ (II Cn 𝐽)((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))))
9551, 93, 94sylanbrc 584 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o) β†’ 𝐽 ∈ SConn)
9650, 95impbida 800 1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 ∈ SConn ↔ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 π‘Œ)) β‰ˆ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1oc1o 8459   Er wer 8700  [cec 8701   β‰ˆ cen 8936  0cc0 11110  1c1 11111  [,]cicc 13327  Basecbs 17144  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819   ≃𝑔 cgic 19132  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  IIcii 24391   ≃phcphtpc 24485   Ο€1 cpi1 24519  PConncpconn 34210  SConncsconn 34211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-qus 17455  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-mulg 18951  df-ghm 19090  df-gim 19133  df-gic 19134  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-ii 24393  df-htpy 24486  df-phtpy 24487  df-phtpc 24508  df-pco 24521  df-om1 24522  df-pi1 24524  df-pconn 34212  df-sconn 34213
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator