Theorem sconnpi1 35266

Description: A path-connected topological space is simply connected iff its fundamental group is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
sconnpi1.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sconnpi1	⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))

Proof of Theorem sconnpi1

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconntop 35255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Top)
2	1	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ Top)
3		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 π1 𝑌) = (𝐽 π1 𝑌)
5		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 π1 𝑌))
6		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
7		sconnpi1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
8	7	toptopon 22860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9	6, 8	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑋)
11	4, 5, 9, 10	elpi1 25001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
12	2, 3, 11	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
13		phtpcer 24950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
15		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝐽 ∈ SConn)
16		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
17		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = 𝑌)
18		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘1) = 𝑌)
19	17, 18	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
20		sconnpht 35256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ SConn ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
21	15, 16, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
22	17	sneqd 4618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → {(𝑓‘0)} = {𝑌})
23	22	xpeq2d 5689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
24	21, 23	breqtrd 5150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
25	14, 24	erthi 8777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽))
26	2, 8	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
27		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
28	4, 27	pi1id 25007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
29	26, 3, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
31	25, 30	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
32		velsn 4622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ 𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
33		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → (𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
34	32, 33	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
35	31, 34	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
36	35	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
37	36	rexlimdva 3142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
38	12, 37	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
39	38	ssrdv 3969	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ⊆ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
40	4	pi1grp 25006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
41	26, 3, 40	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
42		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))
43	5, 42	grpidcl 18953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
44	41, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
45	44	snssd 4790	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ⊆ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
46	39, 45	eqssd 3981	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
47		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ V
48	47	ensn1 9040	. . . 4 ⊢ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ≈ 1o
49	46, 48	eqbrtrdi 5163	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
50	49	adantll 714	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
51		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ PConn)
52		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
53		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
54		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ PConn)
55		pconntop 35252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ Top)
57	56, 8	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
58		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
59		iiuni 24830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
60	59, 7	cnf 23189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
61	58, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
62		0elunit 13491	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
63		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
64	61, 62, 63	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
65		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘0))
66		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
67	66	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘1) = (𝑓‘0))
68	52, 53, 57, 64, 58, 65, 67	elpi1i 25002	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
69		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝑓‘0)})
70	69	pcoptcl 24977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
71	57, 64, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
72	71	simp1d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽))
73	71	simp2d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0))
74	71	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0))
75	52, 53, 57, 64, 72, 73, 74	elpi1i 25002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
76		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑌 ∈ 𝑋)
77	7, 52, 4, 53, 5	pconnpi1 35264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
78	54, 64, 76, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
79	53, 5	gicen 19266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
81		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
82		entr 9025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
83	80, 81, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
84		en1eqsn 9285	. . . . . . . . 9 ⊢ (([((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ∧ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
85	75, 83, 84	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
86	68, 85	eleqtrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
87		elsni 4623	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)} → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽))
88	86, 87	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽))
89	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
90	89, 58	erth 8775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)))
91	88, 90	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
92	91	expr 456	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
93	92	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
94		issconn 35253	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ SConn ↔ (𝐽 ∈ PConn ∧ ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))))
95	51, 93, 94	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ SConn)
96	50, 95	impbida 800	1 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  {csn 4606  ∪ cuni 4888   class class class wbr 5124   × cxp 5657  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8478   Er wer 8721  [cec 8722   ≈ cen 8961  0cc0 11134  1c1 11135  [,]cicc 13370  Basecbs 17233  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921   ≃_𝑔 cgic 19246  Topctop 22836  TopOnctopon 22853   Cn ccn 23167  IIcii 24824   ≃_phcphtpc 24924   π₁ cpi1 24959  PConncpconn 35246  SConncsconn 35247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-qus 17528  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-mulg 19056  df-ghm 19201  df-gim 19247  df-gic 19248  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-ii 24826  df-htpy 24925  df-phtpy 24926  df-phtpc 24947  df-pco 24961  df-om1 24962  df-pi1 24964  df-pconn 35248  df-sconn 35249

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