Theorem sconnpi1 36004

Description: A path-connected topological space is simply connected iff its fundamental group is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
sconnpi1.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sconnpi1	⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))

Proof of Theorem sconnpi1

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconntop 35993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Top)
2	1	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ Top)
3		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 π1 𝑌) = (𝐽 π1 𝑌)
5		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 π1 𝑌))
6		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
7		sconnpi1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
8	7	toptopon 23235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9	6, 8	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑋)
11	4, 5, 9, 10	elpi1 25366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
12	2, 3, 11	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
13		phtpcer 25316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
15		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝐽 ∈ SConn)
16		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
17		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = 𝑌)
18		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘1) = 𝑌)
19	17, 18	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
20		sconnpht 35994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ SConn ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
21	15, 16, 19, 20	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
22	17	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → {(𝑓‘0)} = {𝑌})
23	22	xpeq2d 5681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
24	21, 23	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
25	14, 24	erthi 8774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽))
26	2, 8	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
27		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
28	4, 27	pi1id 25372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
29	26, 3, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
30	29	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
31	25, 30	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
32		velsn 4600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ 𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
33		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → (𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
34	32, 33	bitrid 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
35	31, 34	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
36	35	expimpd 459	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
37	36	rexlimdva 3164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
38	12, 37	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
39	38	ssrdv 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ⊆ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
40	4	pi1grp 25371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
41	26, 3, 40	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
42		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))
43	5, 42	grpidcl 19176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
44	41, 43	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
45	44	snssd 4747	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ⊆ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
46	39, 45	eqssd 3948	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
47		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ V
48	47	ensn1 9048	. . . 4 ⊢ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ≈ 1o
49	46, 48	eqbrtrdi 5144	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
50	49	adantll 727	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
51		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ PConn)
52		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
53		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
54		simplll 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ PConn)
55		pconntop 35990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
56	54, 55	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ Top)
57	56, 8	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
58		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
59		iiuni 25202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
60	59, 7	cnf 23564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
61	58, 60	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
62		0elunit 13600	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
63		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
64	61, 62, 63	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
65		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘0))
66		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
67	66	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘1) = (𝑓‘0))
68	52, 53, 57, 64, 58, 65, 67	elpi1i 25367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
69		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝑓‘0)})
70	69	pcoptcl 25342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
71	57, 64, 70	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
72	71	simp1d 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽))
73	71	simp2d 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0))
74	71	simp3d 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0))
75	52, 53, 57, 64, 72, 73, 74	elpi1i 25367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
76		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑌 ∈ 𝑋)
77	7, 52, 4, 53, 5	pconnpi1 36002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
78	54, 64, 76, 77	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
79	53, 5	gicen 19492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
80	78, 79	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
81		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
82		entr 9033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
83	80, 81, 82	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
84		en1eqsn 9266	. . . . . . . . 9 ⊢ (([((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ∧ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
85	75, 83, 84	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
86	68, 85	eleqtrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
87		elsni 4601	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)} → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽))
88	86, 87	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽))
89	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
90	89, 58	erth 8772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)))
91	88, 90	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
92	91	expr 462	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
93	92	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
94		issconn 35991	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ SConn ↔ (𝐽 ∈ PConn ∧ ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))))
95	51, 93, 94	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ SConn)
96	50, 95	impbida 813	1 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {csn 4584  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   × cxp 5649  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469   Er wer 8714  [cec 8715   ≈ cen 8970  0cc0 11200  1c1 11201  [,]cicc 13479  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144   ≃_𝑔 cgic 19472  Topctop 23211  TopOnctopon 23228   Cn ccn 23542  IIcii 25196   ≃_phcphtpc 25290   π₁ cpi1 25324  PConncpconn 35984  SConncsconn 35985

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-qus 17681  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-mulg 19278  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-gic 19474  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-ii 25198  df-htpy 25291  df-phtpy 25292  df-phtpc 25313  df-pco 25326  df-om1 25327  df-pi1 25329  df-pconn 35986  df-sconn 35987

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