Theorem sconnpi1 35467

Description: A path-connected topological space is simply connected iff its fundamental group is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
sconnpi1.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sconnpi1	⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))

Proof of Theorem sconnpi1

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconntop 35456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Top)
2	1	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ Top)
3		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 π1 𝑌) = (𝐽 π1 𝑌)
5		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 π1 𝑌))
6		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
7		sconnpi1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
8	7	toptopon 22900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9	6, 8	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑋)
11	4, 5, 9, 10	elpi1 25030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
12	2, 3, 11	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
13		phtpcer 24980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
15		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝐽 ∈ SConn)
16		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
17		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = 𝑌)
18		simprr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘1) = 𝑌)
19	17, 18	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
20		sconnpht 35457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ SConn ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
21	15, 16, 19, 20	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
22	17	sneqd 4567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → {(𝑓‘0)} = {𝑌})
23	22	xpeq2d 5648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
24	21, 23	breqtrd 5098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
25	14, 24	erthi 8690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽))
26	2, 8	sylib 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
27		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
28	4, 27	pi1id 25036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
29	26, 3, 28	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
30	29	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
31	25, 30	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
32		velsn 4571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ 𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
33		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → (𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
34	32, 33	bitrid 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
35	31, 34	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
36	35	expimpd 454	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
37	36	rexlimdva 3140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
38	12, 37	sylbid 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
39	38	ssrdv 3921	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ⊆ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
40	4	pi1grp 25035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
41	26, 3, 40	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
42		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))
43	5, 42	grpidcl 18932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
44	41, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
45	44	snssd 4718	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ⊆ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
46	39, 45	eqssd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
47		fvex 6840	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ V
48	47	ensn1 8958	. . . 4 ⊢ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ≈ 1o
49	46, 48	eqbrtrdi 5111	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
50	49	adantll 720	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
51		simpll 772	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ PConn)
52		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
53		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
54		simplll 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ PConn)
55		pconntop 35453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ Top)
57	56, 8	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
58		simprl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
59		iiuni 24866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
60	59, 7	cnf 23229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
61	58, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
62		0elunit 13413	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
63		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
64	61, 62, 63	sylancl 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
65		eqidd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘0))
66		simprr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
67	66	eqcomd 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘1) = (𝑓‘0))
68	52, 53, 57, 64, 58, 65, 67	elpi1i 25031	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
69		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝑓‘0)})
70	69	pcoptcl 25006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
71	57, 64, 70	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
72	71	simp1d 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽))
73	71	simp2d 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0))
74	71	simp3d 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0))
75	52, 53, 57, 64, 72, 73, 74	elpi1i 25031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
76		simpllr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑌 ∈ 𝑋)
77	7, 52, 4, 53, 5	pconnpi1 35465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
78	54, 64, 76, 77	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
79	53, 5	gicen 19244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
81		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
82		entr 8943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
83	80, 81, 82	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
84		en1eqsn 9175	. . . . . . . . 9 ⊢ (([((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ∧ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
85	75, 83, 84	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
86	68, 85	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
87		elsni 4572	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)} → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽))
88	86, 87	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽))
89	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
90	89, 58	erth 8688	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)))
91	88, 90	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
92	91	expr 457	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
93	92	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
94		issconn 35454	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ SConn ↔ (𝐽 ∈ PConn ∧ ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))))
95	51, 93, 94	sylanbrc 589	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ SConn)
96	50, 95	impbida 806	1 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {csn 4555  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5072   × cxp 5616  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388   Er wer 8630  [cec 8631   ≈ cen 8880  0cc0 11029  1c1 11030  [,]cicc 13292  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900   ≃_𝑔 cgic 19224  Topctop 22876  TopOnctopon 22893   Cn ccn 23207  IIcii 24860   ≃_phcphtpc 24954   π₁ cpi1 24988  PConncpconn 35447  SConncsconn 35448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-mulg 19035  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-gic 19226  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-ii 24862  df-htpy 24955  df-phtpy 24956  df-phtpc 24977  df-pco 24990  df-om1 24991  df-pi1 24993  df-pconn 35449  df-sconn 35450

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