Theorem sconnpi1 35382

Description: A path-connected topological space is simply connected iff its fundamental group is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
sconnpi1.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
sconnpi1	⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))

Proof of Theorem sconnpi1

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconntop 35371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Top)
2	1	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ Top)
3		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 π1 𝑌) = (𝐽 π1 𝑌)
5		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 π1 𝑌))
6		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
7		sconnpi1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
8	7	toptopon 22859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9	6, 8	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑋)
11	4, 5, 9, 10	elpi1 24999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
12	2, 3, 11	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
13		phtpcer 24948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
15		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝐽 ∈ SConn)
16		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
17		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = 𝑌)
18		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘1) = 𝑌)
19	17, 18	eqtr4d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
20		sconnpht 35372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ SConn ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
21	15, 16, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
22	17	sneqd 4590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → {(𝑓‘0)} = {𝑌})
23	22	xpeq2d 5652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
24	21, 23	breqtrd 5122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
25	14, 24	erthi 8689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽))
26	2, 8	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
27		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
28	4, 27	pi1id 25005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
29	26, 3, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
31	25, 30	eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
32		velsn 4594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ 𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
33		eqeq1 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → (𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
34	32, 33	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
35	31, 34	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
36	35	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
37	36	rexlimdva 3135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
38	12, 37	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
39	38	ssrdv 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ⊆ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
40	4	pi1grp 25004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
41	26, 3, 40	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
42		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))
43	5, 42	grpidcl 18893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
44	41, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
45	44	snssd 4763	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ⊆ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
46	39, 45	eqssd 3949	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
47		fvex 6845	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ V
48	47	ensn1 8956	. . . 4 ⊢ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ≈ 1o
49	46, 48	eqbrtrdi 5135	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
50	49	adantll 714	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
51		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ PConn)
52		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
53		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
54		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ PConn)
55		pconntop 35368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ Top)
57	56, 8	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
58		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
59		iiuni 24828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
60	59, 7	cnf 23188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
61	58, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
62		0elunit 13383	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
63		ffvelcdm 7024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
64	61, 62, 63	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
65		eqidd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘0))
66		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
67	66	eqcomd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘1) = (𝑓‘0))
68	52, 53, 57, 64, 58, 65, 67	elpi1i 25000	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
69		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝑓‘0)})
70	69	pcoptcl 24975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
71	57, 64, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
72	71	simp1d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽))
73	71	simp2d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0))
74	71	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0))
75	52, 53, 57, 64, 72, 73, 74	elpi1i 25000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
76		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑌 ∈ 𝑋)
77	7, 52, 4, 53, 5	pconnpi1 35380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
78	54, 64, 76, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
79	53, 5	gicen 19205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
81		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
82		entr 8941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
83	80, 81, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
84		en1eqsn 9173	. . . . . . . . 9 ⊢ (([((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ∧ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
85	75, 83, 84	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
86	68, 85	eleqtrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)})
87		elsni 4595	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)} → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽))
88	86, 87	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽))
89	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
90	89, 58	erth 8687	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ↔ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph‘𝐽)))
91	88, 90	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
92	91	expr 456	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
93	92	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
94		issconn 35369	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ SConn ↔ (𝐽 ∈ PConn ∧ ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))))
95	51, 93, 94	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ SConn)
96	50, 95	impbida 800	1 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  {csn 4578  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5096   × cxp 5620  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388   Er wer 8630  [cec 8631   ≈ cen 8878  0cc0 11024  1c1 11025  [,]cicc 13262  Basecbs 17134  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861   ≃_𝑔 cgic 19185  Topctop 22835  TopOnctopon 22852   Cn ccn 23166  IIcii 24822   ≃_phcphtpc 24922   π₁ cpi1 24957  PConncpconn 35362  SConncsconn 35363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-qus 17428  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-mulg 18996  df-ghm 19140  df-gim 19186  df-gic 19187  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-ii 24824  df-htpy 24923  df-phtpy 24924  df-phtpc 24945  df-pco 24959  df-om1 24960  df-pi1 24962  df-pconn 35364  df-sconn 35365

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