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Theorem sconnpi1 35224
Description: A path-connected topological space is simply connected iff its fundamental group is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sconnpi1.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
sconnpi1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))

Proof of Theorem sconnpi1
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconntop 35213 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Top)
21adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ Top)
3 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → 𝑌𝑋)
4 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝐽 π1 𝑌) = (𝐽 π1 𝑌)
5 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 π1 𝑌))
6 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
7 sconnpi1.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = 𝐽
87toptopon 22939 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
96, 8sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌𝑋)
114, 5, 9, 10elpi1 25092 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑋) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽))))
122, 3, 11syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽))))
13 phtpcer 25041 . . . . . . . . . . . . 13 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
15 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝐽 ∈ SConn)
16 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
17 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = 𝑌)
18 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘1) = 𝑌)
1917, 18eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
20 sconnpht 35214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ SConn ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1)) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
2115, 16, 19, 20syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
2217sneqd 4643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → {(𝑓‘0)} = {𝑌})
2322xpeq2d 5719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
2421, 23breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
2514, 24erthi 8797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽))
262, 8sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
27 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
284, 27pi1id 25098 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
2926, 3, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
3125, 30eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
32 velsn 4647 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ 𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
33 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽) → (𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ [𝑓]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
3432, 33bitrid 283 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽) → (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ [𝑓]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
3531, 34syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
3635expimpd 453 . . . . . . . 8 (((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
3736rexlimdva 3153 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
3812, 37sylbid 240 . . . . . 6 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
3938ssrdv 4001 . . . . 5 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ⊆ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
404pi1grp 25097 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
4126, 3, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
42 eqid 2735 . . . . . . . 8 (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))
435, 42grpidcl 18996 . . . . . . 7 ((𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
4441, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
4544snssd 4814 . . . . 5 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ⊆ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
4639, 45eqssd 4013 . . . 4 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
47 fvex 6920 . . . . 5 (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ V
4847ensn1 9060 . . . 4 {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ≈ 1o
4946, 48eqbrtrdi 5187 . . 3 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
5049adantll 714 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
51 simpll 767 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ PConn)
52 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
53 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
54 simplll 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ PConn)
55 pconntop 35210 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ Top)
5756, 8sylib 218 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
58 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
59 iiuni 24921 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) = II
6059, 7cnf 23270 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
62 0elunit 13506 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
63 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
6461, 62, 63sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
65 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘0))
66 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
6766eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘1) = (𝑓‘0))
6852, 53, 57, 64, 58, 65, 67elpi1i 25093 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
69 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝑓‘0)})
7069pcoptcl 25068 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
7157, 64, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
7271simp1d 1141 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽))
7371simp2d 1142 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0))
7471simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0))
7552, 53, 57, 64, 72, 73, 74elpi1i 25093 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
76 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑌𝑋)
777, 52, 4, 53, 5pconnpi1 35222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋𝑌𝑋) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
7854, 64, 76, 77syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
7953, 5gicen 19309 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
81 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
82 entr 9045 . . . . . . . . . 10 (((Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
8380, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
84 en1eqsn 9306 . . . . . . . . 9 (([((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ∧ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)})
8575, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)})
8668, 85eleqtrd 2841 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)})
87 elsni 4648 . . . . . . 7 ([𝑓]( ≃ph𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)} → [𝑓]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽))
8886, 87syl 17 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽))
8913a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
9089, 58erth 8795 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ↔ [𝑓]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)))
9188, 90mpbird 257 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
9291expr 456 . . . 4 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
9392ralrimiva 3144 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
94 issconn 35211 . . 3 (𝐽 ∈ SConn ↔ (𝐽 ∈ PConn ∧ ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))))
9551, 93, 94sylanbrc 583 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ SConn)
9650, 95impbida 801 1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1oc1o 8498   Er wer 8741  [cec 8742  cen 8981  0cc0 11153  1c1 11154  [,]cicc 13387  Basecbs 17245  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  𝑔 cgic 19289  Topctop 22915  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248  IIcii 24915  phcphtpc 25015   π1 cpi1 25050  PConncpconn 35204  SConncsconn 35205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-qus 17556  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-mulg 19099  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-gic 19291  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-ii 24917  df-htpy 25016  df-phtpy 25017  df-phtpc 25038  df-pco 25052  df-om1 25053  df-pi1 25055  df-pconn 35206  df-sconn 35207
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