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Theorem sconnpi1 33833
Description: A path-connected topological space is simply connected iff its fundamental group is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sconnpi1.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
sconnpi1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))

Proof of Theorem sconnpi1
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconntop 33822 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Top)
21adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ Top)
3 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → 𝑌𝑋)
4 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝐽 π1 𝑌) = (𝐽 π1 𝑌)
5 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 π1 𝑌))
6 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
7 sconnpi1.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = 𝐽
87toptopon 22266 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
96, 8sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌𝑋)
114, 5, 9, 10elpi1 24408 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑋) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽))))
122, 3, 11syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽))))
13 phtpcer 24358 . . . . . . . . . . . . 13 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
15 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝐽 ∈ SConn)
16 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
17 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = 𝑌)
18 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘1) = 𝑌)
1917, 18eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
20 sconnpht 33823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ SConn ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1)) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
2115, 16, 19, 20syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
2217sneqd 4598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → {(𝑓‘0)} = {𝑌})
2322xpeq2d 5663 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
2421, 23breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
2514, 24erthi 8699 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽))
262, 8sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
27 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
284, 27pi1id 24414 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
2926, 3, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
3125, 30eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → [𝑓]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
32 velsn 4602 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ 𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)))
33 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽) → (𝑥 = (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ↔ [𝑓]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
3432, 33bitrid 282 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽) → (𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ↔ [𝑓]( ≃ph𝐽) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))))
3531, 34syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) → (𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
3635expimpd 454 . . . . . . . 8 (((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
3736rexlimdva 3152 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝑥 = [𝑓]( ≃ph𝐽)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
3812, 37sylbid 239 . . . . . 6 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) → 𝑥 ∈ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))}))
3938ssrdv 3950 . . . . 5 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ⊆ {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
404pi1grp 24413 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
4126, 3, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp)
42 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) = (0g‘(𝐽 π1 𝑌))
435, 42grpidcl 18778 . . . . . . 7 ((𝐽 π1 𝑌) ∈ Grp → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
4441, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
4544snssd 4769 . . . . 5 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ⊆ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
4639, 45eqssd 3961 . . . 4 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) = {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))})
47 fvex 6855 . . . . 5 (0g‘(𝐽 π1 𝑌)) ∈ V
4847ensn1 8961 . . . 4 {(0g‘(𝐽 π1 𝑌))} ≈ 1o
4946, 48eqbrtrdi 5144 . . 3 ((𝑌𝑋𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
5049adantll 712 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝐽 ∈ SConn) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
51 simpll 765 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ PConn)
52 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
53 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
54 simplll 773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ PConn)
55 pconntop 33819 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ Top)
5756, 8sylib 217 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
58 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
59 iiuni 24244 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) = II
6059, 7cnf 22597 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑋)
62 0elunit 13386 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
63 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
6461, 62, 63sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑋)
65 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘0))
66 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
6766eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘1) = (𝑓‘0))
6852, 53, 57, 64, 58, 65, 67elpi1i 24409 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
69 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝑓‘0)})
7069pcoptcl 24384 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
7157, 64, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
7271simp1d 1142 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐽))
7371simp2d 1143 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0))
7471simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0))
7552, 53, 57, 64, 72, 73, 74elpi1i 24409 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))))
76 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑌𝑋)
777, 52, 4, 53, 5pconnpi1 33831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ PConn ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝑋𝑌𝑋) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
7854, 64, 76, 77syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌))
7953, 5gicen 19067 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) ≃𝑔 (𝐽 π1 𝑌) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)))
81 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o)
82 entr 8946 . . . . . . . . . 10 (((Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
8380, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o)
84 en1eqsn 9218 . . . . . . . . 9 (([((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ∧ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ≈ 1o) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)})
8575, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)})
8668, 85eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)})
87 elsni 4603 . . . . . . 7 ([𝑓]( ≃ph𝐽) ∈ {[((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)} → [𝑓]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽))
8886, 87syl 17 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → [𝑓]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽))
8913a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
9089, 58erth 8697 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ↔ [𝑓]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {(𝑓‘0)})]( ≃ph𝐽)))
9188, 90mpbird 256 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
9291expr 457 . . . 4 ((((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
9392ralrimiva 3143 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
94 issconn 33820 . . 3 (𝐽 ∈ SConn ↔ (𝐽 ∈ PConn ∧ ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))))
9551, 93, 94sylanbrc 583 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) ∧ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o) → 𝐽 ∈ SConn)
9650, 95impbida 799 1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽 ∈ SConn ↔ (Base‘(𝐽 π1 𝑌)) ≈ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {csn 4586   cuni 4865   class class class wbr 5105   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  1oc1o 8405   Er wer 8645  [cec 8646  cen 8880  0cc0 11051  1c1 11052  [,]cicc 13267  Basecbs 17083  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  𝑔 cgic 19048  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575  IIcii 24238  phcphtpc 24332   π1 cpi1 24366  PConncpconn 33813  SConncsconn 33814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-mulg 18873  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-gic 19050  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-ii 24240  df-htpy 24333  df-phtpy 24334  df-phtpc 24355  df-pco 24368  df-om1 24369  df-pi1 24371  df-pconn 33815  df-sconn 33816
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