MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2a 19528
Description: A named lemma of Sylow's second and third theorems. If ๐บ is a finite ๐‘ƒ-group that acts on the finite set ๐‘Œ, then the set ๐‘ of all points of ๐‘Œ fixed by every element of ๐บ has cardinality equivalent to the cardinality of ๐‘Œ, mod ๐‘ƒ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
sylow2a.m (๐œ‘ โ†’ โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ))
sylow2a.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ pGrp ๐บ)
sylow2a.f (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
sylow2a.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
sylow2a.z ๐‘ = {๐‘ข โˆˆ ๐‘Œ โˆฃ โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ข) = ๐‘ข}
sylow2a.r โˆผ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† ๐‘Œ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Assertion
Ref Expression
sylow2a (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐‘)))
Distinct variable groups:   โˆผ ,โ„Ž   ๐‘”,โ„Ž,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐บ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   โŠ• ,๐‘”,โ„Ž,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐‘‹,โ„Ž,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,โ„Ž   ๐‘”,๐‘Œ,โ„Ž,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”,โ„Ž)   โˆผ (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”)   ๐บ(๐‘ข,โ„Ž)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”,โ„Ž)

Proof of Theorem sylow2a
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.x . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
2 sylow2a.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ))
3 sylow2a.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ pGrp ๐บ)
4 sylow2a.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
5 sylow2a.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
6 sylow2a.z . . 3 ๐‘ = {๐‘ข โˆˆ ๐‘Œ โˆฃ โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ข) = ๐‘ข}
7 sylow2a.r . . 3 โˆผ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† ๐‘Œ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem2 19527 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง))
9 inass 4218 . . . . . . 7 (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆฉ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) = ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ (๐’ซ ๐‘ โˆฉ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)))
10 disjdif 4470 . . . . . . . 8 (๐’ซ ๐‘ โˆฉ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) = โˆ…
1110ineq2i 4208 . . . . . . 7 ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ (๐’ซ ๐‘ โˆฉ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘))) = ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ โˆ…)
12 in0 4390 . . . . . . 7 ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ โˆ…) = โˆ…
139, 11, 123eqtri 2762 . . . . . 6 (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆฉ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) = โˆ…
1413a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆฉ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) = โˆ…)
15 inundif 4477 . . . . . . 7 (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆช ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) = (๐‘Œ / โˆผ )
1615eqcomi 2739 . . . . . 6 (๐‘Œ / โˆผ ) = (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆช ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘))
1716a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ / โˆผ ) = (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆช ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)))
18 pwfi 9180 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
195, 18sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐’ซ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
207, 1gaorber 19213 . . . . . . . 8 ( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โ†’ โˆผ Er ๐‘Œ)
212, 20syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘Œ)
2221qsss 8774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ / โˆผ ) โŠ† ๐’ซ ๐‘Œ)
2319, 22ssfid 9269 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ / โˆผ ) โˆˆ Fin)
245adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
2522sselda 3981 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘Œ)
2625elpwid 4610 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ง โŠ† ๐‘Œ)
2724, 26ssfid 9269 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
28 hashcl 14320 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
3029nn0cnd 12538 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
3114, 17, 23, 30fsumsplit 15691 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘ง) = (ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง) + ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง)))
3221, 5qshash 15777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘ง))
33 inss1 4227 . . . . . . . 8 ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โŠ† (๐‘Œ / โˆผ )
34 ssfi 9175 . . . . . . . 8 (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โŠ† (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆˆ Fin)
3523, 33, 34sylancl 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆˆ Fin)
36 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
37 fsumconst 15740 . . . . . . 7 ((((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)1 = ((โ™ฏโ€˜((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) ยท 1))
3835, 36, 37sylancl 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)1 = ((โ™ฏโ€˜((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) ยท 1))
39 elin 3963 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โ†” (๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘))
40 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ / โˆผ ) = (๐‘Œ / โˆผ )
41 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ ([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†” ๐‘ง โŠ† ๐‘))
42 velpw 4606 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘ โ†” ๐‘ง โŠ† ๐‘)
4341, 42bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . 14 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ ([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†” ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘))
44 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . 14 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ ([๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o โ†” ๐‘ง โ‰ˆ 1o))
4543, 44imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ (([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†’ [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o) โ†” (๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘ โ†’ ๐‘ง โ‰ˆ 1o)))
4621adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ โˆผ Er ๐‘Œ)
47 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ)
4846, 47erref 8725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ค โˆผ ๐‘ค)
49 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ค โˆˆ V
5049, 49elec 8749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ค โˆˆ [๐‘ค] โˆผ โ†” ๐‘ค โˆผ ๐‘ค)
5148, 50sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ [๐‘ค] โˆผ )
52 ssel 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ [๐‘ค] โˆผ โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘))
5351, 52syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem1 19526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ [๐‘ค] โˆผ = {๐‘ค})
5549ensn1 9019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {๐‘ค} โ‰ˆ 1o
5654, 55eqbrtrdi 5186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o)
5756ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o))
5857adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o))
5953, 58syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†’ [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o))
6040, 45, 59ectocld 8780 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘ โ†’ ๐‘ง โ‰ˆ 1o))
6160impr 453 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โ‰ˆ 1o)
6239, 61sylan2b 592 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โ‰ˆ 1o)
63 en1b 9025 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โ‰ˆ 1o โ†” ๐‘ง = {โˆช ๐‘ง})
6462, 63sylib 217 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง = {โˆช ๐‘ง})
6564fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) = (โ™ฏโ€˜{โˆช ๐‘ง}))
66 vuniex 7731 . . . . . . . . 9 โˆช ๐‘ง โˆˆ V
67 hashsng 14333 . . . . . . . . 9 (โˆช ๐‘ง โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{โˆช ๐‘ง}) = 1)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜{โˆช ๐‘ง}) = 1
6965, 68eqtrdi 2786 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) = 1)
7069sumeq2dv 15653 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)1)
716ssrab3 4079 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ โŠ† ๐‘Œ
72 ssfi 9175 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Œ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โŠ† ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
735, 71, 72sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
74 hashcl 14320 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
7675nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
7776mulridd 11235 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐‘))
786, 5rabexd 5332 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
79 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†ฆ {๐‘ค}) = (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†ฆ {๐‘ค})
807relopabiv 5819 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel โˆผ
81 relssdmrn 6266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Rel โˆผ โ†’ โˆผ โŠ† (dom โˆผ ร— ran โˆผ ))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 โˆผ โŠ† (dom โˆผ ร— ran โˆผ )
83 erdm 8715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( โˆผ Er ๐‘Œ โ†’ dom โˆผ = ๐‘Œ)
8421, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ dom โˆผ = ๐‘Œ)
8584, 5eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ dom โˆผ โˆˆ Fin)
86 errn 8727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( โˆผ Er ๐‘Œ โ†’ ran โˆผ = ๐‘Œ)
8721, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ran โˆผ = ๐‘Œ)
8887, 5eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ran โˆผ โˆˆ Fin)
8985, 88xpexd 7740 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (dom โˆผ ร— ran โˆผ ) โˆˆ V)
90 ssexg 5322 . . . . . . . . . . . . . 14 (( โˆผ โŠ† (dom โˆผ ร— ran โˆผ ) โˆง (dom โˆผ ร— ran โˆผ ) โˆˆ V) โ†’ โˆผ โˆˆ V)
9182, 89, 90sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆผ โˆˆ V)
92 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘)
9371, 92sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ)
94 ecelqsg 8768 . . . . . . . . . . . . 13 (( โˆผ โˆˆ V โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ [๐‘ค] โˆผ โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ))
9591, 93, 94syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ [๐‘ค] โˆผ โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ))
9654, 95eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ {๐‘ค} โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ))
97 snelpwi 5442 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ {๐‘ค} โˆˆ ๐’ซ ๐‘)
9897adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ {๐‘ค} โˆˆ ๐’ซ ๐‘)
9996, 98elind 4193 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ {๐‘ค} โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘))
100 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘))
101100elin2d 4198 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘)
102101elpwid 4610 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โŠ† ๐‘)
10364, 102eqsstrrd 4020 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ {โˆช ๐‘ง} โŠ† ๐‘)
10466snss 4788 . . . . . . . . . . 11 (โˆช ๐‘ง โˆˆ ๐‘ โ†” {โˆช ๐‘ง} โŠ† ๐‘)
105103, 104sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ โˆช ๐‘ง โˆˆ ๐‘)
106 sneq 4637 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ค = โˆช ๐‘ง โ†’ {๐‘ค} = {โˆช ๐‘ง})
107106eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค = โˆช ๐‘ง โ†’ (๐‘ง = {๐‘ค} โ†” ๐‘ง = {โˆช ๐‘ง}))
10864, 107syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ (๐‘ค = โˆช ๐‘ง โ†’ ๐‘ง = {๐‘ค}))
109108adantrl 712 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘))) โ†’ (๐‘ค = โˆช ๐‘ง โ†’ ๐‘ง = {๐‘ค}))
110 unieq 4918 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = {๐‘ค} โ†’ โˆช ๐‘ง = โˆช {๐‘ค})
111 unisnv 4930 . . . . . . . . . . . 12 โˆช {๐‘ค} = ๐‘ค
112110, 111eqtr2di 2787 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = {๐‘ค} โ†’ ๐‘ค = โˆช ๐‘ง)
113109, 112impbid1 224 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘))) โ†’ (๐‘ค = โˆช ๐‘ง โ†” ๐‘ง = {๐‘ค}))
11479, 99, 105, 113f1o2d 7662 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†ฆ {๐‘ค}):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘))
11578, 114hasheqf1od 14317 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = (โ™ฏโ€˜((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)))
116115oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) ยท 1) = ((โ™ฏโ€˜((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) ยท 1))
11777, 116eqtr3d 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) ยท 1))
11838, 70, 1173eqtr4rd 2781 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง))
119118oveq1d 7426 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) = (ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง) + ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง)))
12031, 32, 1193eqtr4rd 2781 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) = (โ™ฏโ€˜๐‘Œ))
121 hashcl 14320 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
1225, 121syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
123122nn0cnd 12538 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
124 diffi 9181 . . . . . 6 ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆˆ Fin โ†’ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘) โˆˆ Fin)
12523, 124syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘) โˆˆ Fin)
126 eldifi 4125 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ))
127126, 30sylan2 591 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
128125, 127fsumcl 15683 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
129123, 76, 128subaddd 11593 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) = (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
130120, 129mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง))
1318, 130breqtrrd 5175 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3944   โˆช cun 3945   โˆฉ cin 3946   โŠ† wss 3947  โˆ…c0 4321  ๐’ซ cpw 4601  {csn 4627  {cpr 4629  โˆช cuni 4907   class class class wbr 5147  {copab 5209   โ†ฆ cmpt 5230   ร— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676  Rel wrel 5680  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1oc1o 8461   Er wer 8702  [cec 8703   / cqs 8704   โ‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„•0cn0 12476  โ™ฏchash 14294  ฮฃcsu 15636   โˆฅ cdvds 16201  Basecbs 17148   GrpAct cga 19194   pGrp cpgp 19435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-eqg 19041  df-ga 19195  df-od 19437  df-pgp 19439
This theorem is referenced by:  sylow2blem3  19531  sylow3lem6  19541
  Copyright terms: Public domain W3C validator