Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2a 18811
 Description: A named lemma of Sylow's second and third theorems. If 𝐺 is a finite 𝑃-group that acts on the finite set 𝑌, then the set 𝑍 of all points of 𝑌 fixed by every element of 𝐺 has cardinality equivalent to the cardinality of 𝑌, mod 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2a.m (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
sylow2a.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
sylow2a.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow2a.y (𝜑𝑌 ∈ Fin)
sylow2a.z 𝑍 = {𝑢𝑌 ∣ ∀𝑋 ( 𝑢) = 𝑢}
sylow2a.r = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
Assertion
Ref Expression
sylow2a (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘𝑌) − (♯‘𝑍)))
Distinct variable groups:   ,   𝑔,,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑥,𝑦   ,𝑔,,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,,𝑢,𝑥,𝑦   𝜑,   𝑔,𝑌,,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝐺(𝑢,)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,)

Proof of Theorem sylow2a
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow2a.m . . 3 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
3 sylow2a.p . . 3 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
4 sylow2a.f . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow2a.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
6 sylow2a.z . . 3 𝑍 = {𝑢𝑌 ∣ ∀𝑋 ( 𝑢) = 𝑢}
7 sylow2a.r . . 3 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem2 18810 . 2 (𝜑𝑃 ∥ Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧))
9 inass 4124 . . . . . . 7 (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ((𝑌 / ) ∩ (𝒫 𝑍 ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)))
10 disjdif 4368 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑍 ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ∅
1110ineq2i 4114 . . . . . . 7 ((𝑌 / ) ∩ (𝒫 𝑍 ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍))) = ((𝑌 / ) ∩ ∅)
12 in0 4287 . . . . . . 7 ((𝑌 / ) ∩ ∅) = ∅
139, 11, 123eqtri 2785 . . . . . 6 (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ∅
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ∅)
15 inundif 4375 . . . . . . 7 (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∪ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = (𝑌 / )
1615eqcomi 2767 . . . . . 6 (𝑌 / ) = (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∪ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍))
1716a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 / ) = (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∪ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)))
18 pwfi 8746 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑌 ∈ Fin)
195, 18sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ∈ Fin)
207, 1gaorber 18505 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → Er 𝑌)
212, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 Er 𝑌)
2221qsss 8368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 / ) ⊆ 𝒫 𝑌)
2319, 22ssfid 8778 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 / ) ∈ Fin)
245adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑌 ∈ Fin)
2522sselda 3892 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌)
2625elpwid 4505 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑧𝑌)
2724, 26ssfid 8778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑧 ∈ Fin)
28 hashcl 13767 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ Fin → (♯‘𝑧) ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 11996 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℂ)
3114, 17, 23, 30fsumsplit 15145 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ (𝑌 / )(♯‘𝑧) = (Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)))
3221, 5qshash 15230 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑌) = Σ𝑧 ∈ (𝑌 / )(♯‘𝑧))
33 inss1 4133 . . . . . . . 8 ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ⊆ (𝑌 / )
34 ssfi 8742 . . . . . . . 8 (((𝑌 / ) ∈ Fin ∧ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ⊆ (𝑌 / )) → ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
3523, 33, 34sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
36 ax-1cn 10633 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
37 fsumconst 15193 . . . . . . 7 ((((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)1 = ((♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
3835, 36, 37sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)1 = ((♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
39 elin 3874 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ↔ (𝑧 ∈ (𝑌 / ) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑍))
40 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 / ) = (𝑌 / )
41 sseq1 3917 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑤] = 𝑧 → ([𝑤] 𝑍𝑧𝑍))
42 velpw 4499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑍𝑧𝑍)
4341, 42bitr4di 292 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑤] = 𝑧 → ([𝑤] 𝑍𝑧 ∈ 𝒫 𝑍))
44 breq1 5035 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑤] = 𝑧 → ([𝑤] ≈ 1o𝑧 ≈ 1o))
4543, 44imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑤] = 𝑧 → (([𝑤] 𝑍 → [𝑤] ≈ 1o) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑍𝑧 ≈ 1o)))
4621adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑌) → Er 𝑌)
47 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑌) → 𝑤𝑌)
4846, 47erref 8319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑌) → 𝑤 𝑤)
49 vex 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤 ∈ V
5049, 49elec 8343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ [𝑤] 𝑤 𝑤)
5148, 50sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑌) → 𝑤 ∈ [𝑤] )
52 ssel 3885 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑤] 𝑍 → (𝑤 ∈ [𝑤] 𝑤𝑍))
5351, 52syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑌) → ([𝑤] 𝑍𝑤𝑍))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem1 18809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑍) → [𝑤] = {𝑤})
5549ensn1 8592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑤} ≈ 1o
5654, 55eqbrtrdi 5071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑍) → [𝑤] ≈ 1o)
5756ex 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤𝑍 → [𝑤] ≈ 1o))
5857adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑌) → (𝑤𝑍 → [𝑤] ≈ 1o))
5953, 58syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑌) → ([𝑤] 𝑍 → [𝑤] ≈ 1o))
6040, 45, 59ectocld 8374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → (𝑧 ∈ 𝒫 𝑍𝑧 ≈ 1o))
6160impr 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 / ) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ≈ 1o)
6239, 61sylan2b 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ≈ 1o)
63 en1b 8596 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ≈ 1o𝑧 = { 𝑧})
6462, 63sylib 221 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 = { 𝑧})
6564fveq2d 6662 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (♯‘𝑧) = (♯‘{ 𝑧}))
66 vuniex 7463 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
67 hashsng 13780 . . . . . . . . 9 ( 𝑧 ∈ V → (♯‘{ 𝑧}) = 1)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{ 𝑧}) = 1
6965, 68eqtrdi 2809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (♯‘𝑧) = 1)
7069sumeq2dv 15108 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)1)
716ssrab3 3986 . . . . . . . . . . 11 𝑍𝑌
72 ssfi 8742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑌) → 𝑍 ∈ Fin)
735, 71, 72sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ Fin)
74 hashcl 13767 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Fin → (♯‘𝑍) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑍) ∈ ℕ0)
7675nn0cnd 11996 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑍) ∈ ℂ)
7776mulid1d 10696 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑍) · 1) = (♯‘𝑍))
786, 5rabexd 5203 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ V)
79 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑍 ↦ {𝑤}) = (𝑤𝑍 ↦ {𝑤})
807relopabi 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel
81 relssdmrn 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Rel ⊆ (dom × ran ))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ⊆ (dom × ran )
83 erdm 8309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( Er 𝑌 → dom = 𝑌)
8421, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom = 𝑌)
8584, 5eqeltrd 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom ∈ Fin)
86 errn 8321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( Er 𝑌 → ran = 𝑌)
8721, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ran = 𝑌)
8887, 5eqeltrd 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ran ∈ Fin)
8985, 88xpexd 7472 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (dom × ran ) ∈ V)
90 ssexg 5193 . . . . . . . . . . . . . 14 (( ⊆ (dom × ran ) ∧ (dom × ran ) ∈ V) → ∈ V)
9182, 89, 90sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 ∈ V)
92 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤𝑍)
9371, 92sseldi 3890 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤𝑌)
94 ecelqsg 8362 . . . . . . . . . . . . 13 (( ∈ V ∧ 𝑤𝑌) → [𝑤] ∈ (𝑌 / ))
9591, 93, 94syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑍) → [𝑤] ∈ (𝑌 / ))
9654, 95eqeltrrd 2853 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑍) → {𝑤} ∈ (𝑌 / ))
97 snelpwi 5305 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑍 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑍)
9897adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑍) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑍)
9996, 98elind 4099 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑍) → {𝑤} ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))
100 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))
101100elin2d 4104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑍)
102101elpwid 4505 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧𝑍)
10364, 102eqsstrrd 3931 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → { 𝑧} ⊆ 𝑍)
10466snss 4676 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑧𝑍 ↔ { 𝑧} ⊆ 𝑍)
105103, 104sylibr 237 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧𝑍)
106 sneq 4532 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑧 → {𝑤} = { 𝑧})
107106eqeq2d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑧 → (𝑧 = {𝑤} ↔ 𝑧 = { 𝑧}))
10864, 107syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤}))
109108adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑍𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤}))
110 unieq 4809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = {𝑤} → 𝑧 = {𝑤})
11149unisn 4820 . . . . . . . . . . . 12 {𝑤} = 𝑤
112110, 111eqtr2di 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = {𝑤} → 𝑤 = 𝑧)
113109, 112impbid1 228 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑍𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤}))
11479, 99, 105, 113f1o2d 7395 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤𝑍 ↦ {𝑤}):𝑍1-1-onto→((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))
11578, 114hasheqf1od 13764 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑍) = (♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)))
116115oveq1d 7165 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑍) · 1) = ((♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
11777, 116eqtr3d 2795 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑍) = ((♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
11838, 70, 1173eqtr4rd 2804 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑍) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧))
119118oveq1d 7165 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑍) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)) = (Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)))
12031, 32, 1193eqtr4rd 2804 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑍) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)) = (♯‘𝑌))
121 hashcl 13767 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Fin → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
1225, 121syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
123122nn0cnd 11996 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑌) ∈ ℂ)
124 diffi 8786 . . . . . 6 ((𝑌 / ) ∈ Fin → ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
12523, 124syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
126 eldifi 4032 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍) → 𝑧 ∈ (𝑌 / ))
127126, 30sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) → (♯‘𝑧) ∈ ℂ)
128125, 127fsumcl 15138 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) ∈ ℂ)
129123, 76, 128subaddd 11053 . . 3 (𝜑 → (((♯‘𝑌) − (♯‘𝑍)) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) ↔ ((♯‘𝑍) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)) = (♯‘𝑌)))
130120, 129mpbird 260 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑌) − (♯‘𝑍)) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧))
1318, 130breqtrrd 5060 1 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘𝑌) − (♯‘𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074  Vcvv 3409   ∖ cdif 3855   ∪ cun 3856   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  𝒫 cpw 4494  {csn 4522  {cpr 4524  ∪ cuni 4798   class class class wbr 5032  {copab 5094   ↦ cmpt 5112   × cxp 5522  dom cdm 5524  ran crn 5525  Rel wrel 5529  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  1oc1o 8105   Er wer 8296  [cec 8297   / cqs 8298   ≈ cen 8524  Fincfn 8527  ℂcc 10573  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580   − cmin 10908  ℕ0cn0 11934  ♯chash 13740  Σcsu 15090   ∥ cdvds 15655  Basecbs 16541   GrpAct cga 18486   pGrp cpgp 18721 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-disj 4998  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-oadd 8116  df-omul 8117  df-er 8299  df-ec 8301  df-qs 8305  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-dju 9363  df-card 9401  df-acn 9404  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-fac 13684  df-bc 13713  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091  df-dvds 15656  df-gcd 15894  df-prm 16068  df-pc 16229  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-eqg 18345  df-ga 18487  df-od 18723  df-pgp 18725 This theorem is referenced by:  sylow2blem3  18814  sylow3lem6  18824
 Copyright terms: Public domain W3C validator