MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2a 19451
Description: A named lemma of Sylow's second and third theorems. If 𝐺 is a finite 𝑃-group that acts on the finite set 𝑌, then the set 𝑍 of all points of 𝑌 fixed by every element of 𝐺 has cardinality equivalent to the cardinality of 𝑌, mod 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2a.m (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
sylow2a.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
sylow2a.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow2a.y (𝜑𝑌 ∈ Fin)
sylow2a.z 𝑍 = {𝑢𝑌 ∣ ∀𝑋 ( 𝑢) = 𝑢}
sylow2a.r = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
Assertion
Ref Expression
sylow2a (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘𝑌) − (♯‘𝑍)))
Distinct variable groups:   ,   𝑔,,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑥,𝑦   ,𝑔,,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,,𝑢,𝑥,𝑦   𝜑,   𝑔,𝑌,,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝐺(𝑢,)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,)

Proof of Theorem sylow2a
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow2a.m . . 3 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
3 sylow2a.p . . 3 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
4 sylow2a.f . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow2a.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
6 sylow2a.z . . 3 𝑍 = {𝑢𝑌 ∣ ∀𝑋 ( 𝑢) = 𝑢}
7 sylow2a.r . . 3 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem2 19450 . 2 (𝜑𝑃 ∥ Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧))
9 inass 4215 . . . . . . 7 (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ((𝑌 / ) ∩ (𝒫 𝑍 ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)))
10 disjdif 4467 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑍 ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ∅
1110ineq2i 4205 . . . . . . 7 ((𝑌 / ) ∩ (𝒫 𝑍 ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍))) = ((𝑌 / ) ∩ ∅)
12 in0 4387 . . . . . . 7 ((𝑌 / ) ∩ ∅) = ∅
139, 11, 123eqtri 2763 . . . . . 6 (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ∅
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ∅)
15 inundif 4474 . . . . . . 7 (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∪ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = (𝑌 / )
1615eqcomi 2740 . . . . . 6 (𝑌 / ) = (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∪ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍))
1716a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 / ) = (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∪ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)))
18 pwfi 9161 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑌 ∈ Fin)
195, 18sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ∈ Fin)
207, 1gaorber 19138 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → Er 𝑌)
212, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 Er 𝑌)
2221qsss 8755 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 / ) ⊆ 𝒫 𝑌)
2319, 22ssfid 9250 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 / ) ∈ Fin)
245adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑌 ∈ Fin)
2522sselda 3978 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌)
2625elpwid 4605 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑧𝑌)
2724, 26ssfid 9250 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑧 ∈ Fin)
28 hashcl 14298 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ Fin → (♯‘𝑧) ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 12516 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℂ)
3114, 17, 23, 30fsumsplit 15669 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ (𝑌 / )(♯‘𝑧) = (Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)))
3221, 5qshash 15755 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑌) = Σ𝑧 ∈ (𝑌 / )(♯‘𝑧))
33 inss1 4224 . . . . . . . 8 ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ⊆ (𝑌 / )
34 ssfi 9156 . . . . . . . 8 (((𝑌 / ) ∈ Fin ∧ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ⊆ (𝑌 / )) → ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
3523, 33, 34sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
36 ax-1cn 11150 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
37 fsumconst 15718 . . . . . . 7 ((((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)1 = ((♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
3835, 36, 37sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)1 = ((♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
39 elin 3960 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ↔ (𝑧 ∈ (𝑌 / ) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑍))
40 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 / ) = (𝑌 / )
41 sseq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑤] = 𝑧 → ([𝑤] 𝑍𝑧𝑍))
42 velpw 4601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑍𝑧𝑍)
4341, 42bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑤] = 𝑧 → ([𝑤] 𝑍𝑧 ∈ 𝒫 𝑍))
44 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑤] = 𝑧 → ([𝑤] ≈ 1o𝑧 ≈ 1o))
4543, 44imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑤] = 𝑧 → (([𝑤] 𝑍 → [𝑤] ≈ 1o) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑍𝑧 ≈ 1o)))
4621adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑌) → Er 𝑌)
47 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑌) → 𝑤𝑌)
4846, 47erref 8706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑌) → 𝑤 𝑤)
49 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤 ∈ V
5049, 49elec 8730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ [𝑤] 𝑤 𝑤)
5148, 50sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑌) → 𝑤 ∈ [𝑤] )
52 ssel 3971 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑤] 𝑍 → (𝑤 ∈ [𝑤] 𝑤𝑍))
5351, 52syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑌) → ([𝑤] 𝑍𝑤𝑍))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem1 19449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑍) → [𝑤] = {𝑤})
5549ensn1 9000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑤} ≈ 1o
5654, 55eqbrtrdi 5180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑍) → [𝑤] ≈ 1o)
5756ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤𝑍 → [𝑤] ≈ 1o))
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑌) → (𝑤𝑍 → [𝑤] ≈ 1o))
5953, 58syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑌) → ([𝑤] 𝑍 → [𝑤] ≈ 1o))
6040, 45, 59ectocld 8761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → (𝑧 ∈ 𝒫 𝑍𝑧 ≈ 1o))
6160impr 455 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 / ) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ≈ 1o)
6239, 61sylan2b 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ≈ 1o)
63 en1b 9006 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ≈ 1o𝑧 = { 𝑧})
6462, 63sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 = { 𝑧})
6564fveq2d 6882 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (♯‘𝑧) = (♯‘{ 𝑧}))
66 vuniex 7712 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
67 hashsng 14311 . . . . . . . . 9 ( 𝑧 ∈ V → (♯‘{ 𝑧}) = 1)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{ 𝑧}) = 1
6965, 68eqtrdi 2787 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (♯‘𝑧) = 1)
7069sumeq2dv 15631 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)1)
716ssrab3 4076 . . . . . . . . . . 11 𝑍𝑌
72 ssfi 9156 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑌) → 𝑍 ∈ Fin)
735, 71, 72sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ Fin)
74 hashcl 14298 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Fin → (♯‘𝑍) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑍) ∈ ℕ0)
7675nn0cnd 12516 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑍) ∈ ℂ)
7776mulridd 11213 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑍) · 1) = (♯‘𝑍))
786, 5rabexd 5326 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ V)
79 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑍 ↦ {𝑤}) = (𝑤𝑍 ↦ {𝑤})
807relopabiv 5812 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel
81 relssdmrn 6256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Rel ⊆ (dom × ran ))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ⊆ (dom × ran )
83 erdm 8696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( Er 𝑌 → dom = 𝑌)
8421, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom = 𝑌)
8584, 5eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom ∈ Fin)
86 errn 8708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( Er 𝑌 → ran = 𝑌)
8721, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ran = 𝑌)
8887, 5eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ran ∈ Fin)
8985, 88xpexd 7721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (dom × ran ) ∈ V)
90 ssexg 5316 . . . . . . . . . . . . . 14 (( ⊆ (dom × ran ) ∧ (dom × ran ) ∈ V) → ∈ V)
9182, 89, 90sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 ∈ V)
92 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤𝑍)
9371, 92sselid 3976 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤𝑌)
94 ecelqsg 8749 . . . . . . . . . . . . 13 (( ∈ V ∧ 𝑤𝑌) → [𝑤] ∈ (𝑌 / ))
9591, 93, 94syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑍) → [𝑤] ∈ (𝑌 / ))
9654, 95eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑍) → {𝑤} ∈ (𝑌 / ))
97 snelpwi 5436 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑍 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑍)
9897adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑍) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑍)
9996, 98elind 4190 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑍) → {𝑤} ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))
100 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))
101100elin2d 4195 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑍)
102101elpwid 4605 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧𝑍)
10364, 102eqsstrrd 4017 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → { 𝑧} ⊆ 𝑍)
10466snss 4782 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑧𝑍 ↔ { 𝑧} ⊆ 𝑍)
105103, 104sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧𝑍)
106 sneq 4632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑧 → {𝑤} = { 𝑧})
107106eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑧 → (𝑧 = {𝑤} ↔ 𝑧 = { 𝑧}))
10864, 107syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤}))
109108adantrl 714 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑍𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤}))
110 unieq 4912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = {𝑤} → 𝑧 = {𝑤})
111 unisnv 4924 . . . . . . . . . . . 12 {𝑤} = 𝑤
112110, 111eqtr2di 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = {𝑤} → 𝑤 = 𝑧)
113109, 112impbid1 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑍𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤}))
11479, 99, 105, 113f1o2d 7643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤𝑍 ↦ {𝑤}):𝑍1-1-onto→((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))
11578, 114hasheqf1od 14295 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑍) = (♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)))
116115oveq1d 7408 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑍) · 1) = ((♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
11777, 116eqtr3d 2773 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑍) = ((♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
11838, 70, 1173eqtr4rd 2782 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑍) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧))
119118oveq1d 7408 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑍) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)) = (Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)))
12031, 32, 1193eqtr4rd 2782 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑍) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)) = (♯‘𝑌))
121 hashcl 14298 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Fin → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
1225, 121syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
123122nn0cnd 12516 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑌) ∈ ℂ)
124 diffi 9162 . . . . . 6 ((𝑌 / ) ∈ Fin → ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
12523, 124syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
126 eldifi 4122 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍) → 𝑧 ∈ (𝑌 / ))
127126, 30sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) → (♯‘𝑧) ∈ ℂ)
128125, 127fsumcl 15661 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) ∈ ℂ)
129123, 76, 128subaddd 11571 . . 3 (𝜑 → (((♯‘𝑌) − (♯‘𝑍)) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) ↔ ((♯‘𝑍) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)) = (♯‘𝑌)))
130120, 129mpbird 256 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑌) − (♯‘𝑍)) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧))
1318, 130breqtrrd 5169 1 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘𝑌) − (♯‘𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4318  𝒫 cpw 4596  {csn 4622  {cpr 4624   cuni 4901   class class class wbr 5141  {copab 5203  cmpt 5224   × cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670  Rel wrel 5674  cfv 6532  (class class class)co 7393  1oc1o 8441   Er wer 8683  [cec 8684   / cqs 8685  cen 8919  Fincfn 8922  cc 11090  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097  cmin 11426  0cn0 12454  chash 14272  Σcsu 15614  cdvds 16179  Basecbs 17126   GrpAct cga 19119   pGrp cpgp 19358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-omul 8453  df-er 8686  df-ec 8688  df-qs 8692  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-dju 9878  df-card 9916  df-acn 9919  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-sum 15615  df-dvds 16180  df-gcd 16418  df-prm 16591  df-pc 16752  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-eqg 18977  df-ga 19120  df-od 19360  df-pgp 19362
This theorem is referenced by:  sylow2blem3  19454  sylow3lem6  19464
  Copyright terms: Public domain W3C validator