MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2a 19233
Description: A named lemma of Sylow's second and third theorems. If 𝐺 is a finite 𝑃-group that acts on the finite set 𝑌, then the set 𝑍 of all points of 𝑌 fixed by every element of 𝐺 has cardinality equivalent to the cardinality of 𝑌, mod 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2a.m (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
sylow2a.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
sylow2a.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow2a.y (𝜑𝑌 ∈ Fin)
sylow2a.z 𝑍 = {𝑢𝑌 ∣ ∀𝑋 ( 𝑢) = 𝑢}
sylow2a.r = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
Assertion
Ref Expression
sylow2a (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘𝑌) − (♯‘𝑍)))
Distinct variable groups:   ,   𝑔,,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑥,𝑦   ,𝑔,,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,,𝑢,𝑥,𝑦   𝜑,   𝑔,𝑌,,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝐺(𝑢,)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,)

Proof of Theorem sylow2a
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow2a.m . . 3 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
3 sylow2a.p . . 3 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
4 sylow2a.f . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow2a.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
6 sylow2a.z . . 3 𝑍 = {𝑢𝑌 ∣ ∀𝑋 ( 𝑢) = 𝑢}
7 sylow2a.r . . 3 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem2 19232 . 2 (𝜑𝑃 ∥ Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧))
9 inass 4154 . . . . . . 7 (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ((𝑌 / ) ∩ (𝒫 𝑍 ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)))
10 disjdif 4406 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑍 ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ∅
1110ineq2i 4144 . . . . . . 7 ((𝑌 / ) ∩ (𝒫 𝑍 ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍))) = ((𝑌 / ) ∩ ∅)
12 in0 4326 . . . . . . 7 ((𝑌 / ) ∩ ∅) = ∅
139, 11, 123eqtri 2771 . . . . . 6 (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ∅
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ∅)
15 inundif 4413 . . . . . . 7 (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∪ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = (𝑌 / )
1615eqcomi 2748 . . . . . 6 (𝑌 / ) = (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∪ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍))
1716a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 / ) = (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∪ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)))
18 pwfi 8970 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑌 ∈ Fin)
195, 18sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ∈ Fin)
207, 1gaorber 18923 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → Er 𝑌)
212, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 Er 𝑌)
2221qsss 8576 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 / ) ⊆ 𝒫 𝑌)
2319, 22ssfid 9051 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 / ) ∈ Fin)
245adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑌 ∈ Fin)
2522sselda 3922 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌)
2625elpwid 4545 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑧𝑌)
2724, 26ssfid 9051 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑧 ∈ Fin)
28 hashcl 14080 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ Fin → (♯‘𝑧) ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 12304 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℂ)
3114, 17, 23, 30fsumsplit 15462 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ (𝑌 / )(♯‘𝑧) = (Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)))
3221, 5qshash 15548 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑌) = Σ𝑧 ∈ (𝑌 / )(♯‘𝑧))
33 inss1 4163 . . . . . . . 8 ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ⊆ (𝑌 / )
34 ssfi 8965 . . . . . . . 8 (((𝑌 / ) ∈ Fin ∧ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ⊆ (𝑌 / )) → ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
3523, 33, 34sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
36 ax-1cn 10938 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
37 fsumconst 15511 . . . . . . 7 ((((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)1 = ((♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
3835, 36, 37sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)1 = ((♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
39 elin 3904 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ↔ (𝑧 ∈ (𝑌 / ) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑍))
40 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 / ) = (𝑌 / )
41 sseq1 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑤] = 𝑧 → ([𝑤] 𝑍𝑧𝑍))
42 velpw 4539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑍𝑧𝑍)
4341, 42bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑤] = 𝑧 → ([𝑤] 𝑍𝑧 ∈ 𝒫 𝑍))
44 breq1 5078 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑤] = 𝑧 → ([𝑤] ≈ 1o𝑧 ≈ 1o))
4543, 44imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑤] = 𝑧 → (([𝑤] 𝑍 → [𝑤] ≈ 1o) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑍𝑧 ≈ 1o)))
4621adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑌) → Er 𝑌)
47 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑌) → 𝑤𝑌)
4846, 47erref 8527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑌) → 𝑤 𝑤)
49 vex 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤 ∈ V
5049, 49elec 8551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ [𝑤] 𝑤 𝑤)
5148, 50sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑌) → 𝑤 ∈ [𝑤] )
52 ssel 3915 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑤] 𝑍 → (𝑤 ∈ [𝑤] 𝑤𝑍))
5351, 52syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑌) → ([𝑤] 𝑍𝑤𝑍))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem1 19231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑍) → [𝑤] = {𝑤})
5549ensn1 8816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑤} ≈ 1o
5654, 55eqbrtrdi 5114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑍) → [𝑤] ≈ 1o)
5756ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤𝑍 → [𝑤] ≈ 1o))
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑌) → (𝑤𝑍 → [𝑤] ≈ 1o))
5953, 58syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑌) → ([𝑤] 𝑍 → [𝑤] ≈ 1o))
6040, 45, 59ectocld 8582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → (𝑧 ∈ 𝒫 𝑍𝑧 ≈ 1o))
6160impr 455 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 / ) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ≈ 1o)
6239, 61sylan2b 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ≈ 1o)
63 en1b 8822 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ≈ 1o𝑧 = { 𝑧})
6462, 63sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 = { 𝑧})
6564fveq2d 6787 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (♯‘𝑧) = (♯‘{ 𝑧}))
66 vuniex 7601 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
67 hashsng 14093 . . . . . . . . 9 ( 𝑧 ∈ V → (♯‘{ 𝑧}) = 1)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{ 𝑧}) = 1
6965, 68eqtrdi 2795 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (♯‘𝑧) = 1)
7069sumeq2dv 15424 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)1)
716ssrab3 4016 . . . . . . . . . . 11 𝑍𝑌
72 ssfi 8965 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑌) → 𝑍 ∈ Fin)
735, 71, 72sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ Fin)
74 hashcl 14080 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Fin → (♯‘𝑍) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑍) ∈ ℕ0)
7675nn0cnd 12304 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑍) ∈ ℂ)
7776mulid1d 11001 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑍) · 1) = (♯‘𝑍))
786, 5rabexd 5258 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ V)
79 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑍 ↦ {𝑤}) = (𝑤𝑍 ↦ {𝑤})
807relopabiv 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel
81 relssdmrn 6176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Rel ⊆ (dom × ran ))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ⊆ (dom × ran )
83 erdm 8517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( Er 𝑌 → dom = 𝑌)
8421, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom = 𝑌)
8584, 5eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom ∈ Fin)
86 errn 8529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( Er 𝑌 → ran = 𝑌)
8721, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ran = 𝑌)
8887, 5eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ran ∈ Fin)
8985, 88xpexd 7610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (dom × ran ) ∈ V)
90 ssexg 5248 . . . . . . . . . . . . . 14 (( ⊆ (dom × ran ) ∧ (dom × ran ) ∈ V) → ∈ V)
9182, 89, 90sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 ∈ V)
92 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤𝑍)
9371, 92sselid 3920 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤𝑌)
94 ecelqsg 8570 . . . . . . . . . . . . 13 (( ∈ V ∧ 𝑤𝑌) → [𝑤] ∈ (𝑌 / ))
9591, 93, 94syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑍) → [𝑤] ∈ (𝑌 / ))
9654, 95eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑍) → {𝑤} ∈ (𝑌 / ))
97 snelpwi 5361 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑍 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑍)
9897adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑍) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑍)
9996, 98elind 4129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑍) → {𝑤} ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))
100 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))
101100elin2d 4134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑍)
102101elpwid 4545 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧𝑍)
10364, 102eqsstrrd 3961 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → { 𝑧} ⊆ 𝑍)
10466snss 4720 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑧𝑍 ↔ { 𝑧} ⊆ 𝑍)
105103, 104sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧𝑍)
106 sneq 4572 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑧 → {𝑤} = { 𝑧})
107106eqeq2d 2750 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑧 → (𝑧 = {𝑤} ↔ 𝑧 = { 𝑧}))
10864, 107syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤}))
109108adantrl 713 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑍𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤}))
110 unieq 4851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = {𝑤} → 𝑧 = {𝑤})
11149unisn 4862 . . . . . . . . . . . 12 {𝑤} = 𝑤
112110, 111eqtr2di 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = {𝑤} → 𝑤 = 𝑧)
113109, 112impbid1 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑍𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤}))
11479, 99, 105, 113f1o2d 7532 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤𝑍 ↦ {𝑤}):𝑍1-1-onto→((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))
11578, 114hasheqf1od 14077 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑍) = (♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)))
116115oveq1d 7299 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑍) · 1) = ((♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
11777, 116eqtr3d 2781 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑍) = ((♯‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
11838, 70, 1173eqtr4rd 2790 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑍) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧))
119118oveq1d 7299 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑍) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)) = (Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)))
12031, 32, 1193eqtr4rd 2790 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑍) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)) = (♯‘𝑌))
121 hashcl 14080 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Fin → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
1225, 121syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
123122nn0cnd 12304 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑌) ∈ ℂ)
124 diffi 8971 . . . . . 6 ((𝑌 / ) ∈ Fin → ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
12523, 124syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
126 eldifi 4062 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍) → 𝑧 ∈ (𝑌 / ))
127126, 30sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) → (♯‘𝑧) ∈ ℂ)
128125, 127fsumcl 15454 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) ∈ ℂ)
129123, 76, 128subaddd 11359 . . 3 (𝜑 → (((♯‘𝑌) − (♯‘𝑍)) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧) ↔ ((♯‘𝑍) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧)) = (♯‘𝑌)))
130120, 129mpbird 256 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑌) − (♯‘𝑍)) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(♯‘𝑧))
1318, 130breqtrrd 5103 1 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘𝑌) − (♯‘𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3065  wrex 3066  {crab 3069  Vcvv 3433  cdif 3885  cun 3886  cin 3887  wss 3888  c0 4257  𝒫 cpw 4534  {csn 4562  {cpr 4564   cuni 4840   class class class wbr 5075  {copab 5137  cmpt 5158   × cxp 5588  dom cdm 5590  ran crn 5591  Rel wrel 5595  cfv 6437  (class class class)co 7284  1oc1o 8299   Er wer 8504  [cec 8505   / cqs 8506  cen 8739  Fincfn 8742  cc 10878  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885  cmin 11214  0cn0 12242  chash 14053  Σcsu 15406  cdvds 15972  Basecbs 16921   GrpAct cga 18904   pGrp cpgp 19143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-disj 5041  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-oadd 8310  df-omul 8311  df-er 8507  df-ec 8509  df-qs 8513  df-map 8626  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-dju 9668  df-card 9706  df-acn 9709  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-n0 12243  df-xnn0 12315  df-z 12329  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-mod 13599  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-bc 14026  df-hash 14054  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-clim 15206  df-sum 15407  df-dvds 15973  df-gcd 16211  df-prm 16386  df-pc 16547  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-0g 17161  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-grp 18589  df-minusg 18590  df-sbg 18591  df-mulg 18710  df-subg 18761  df-eqg 18763  df-ga 18905  df-od 19145  df-pgp 19147
This theorem is referenced by:  sylow2blem3  19236  sylow3lem6  19246
  Copyright terms: Public domain W3C validator