MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2a 19487
Description: A named lemma of Sylow's second and third theorems. If ๐บ is a finite ๐‘ƒ-group that acts on the finite set ๐‘Œ, then the set ๐‘ of all points of ๐‘Œ fixed by every element of ๐บ has cardinality equivalent to the cardinality of ๐‘Œ, mod ๐‘ƒ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
sylow2a.m (๐œ‘ โ†’ โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ))
sylow2a.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ pGrp ๐บ)
sylow2a.f (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
sylow2a.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
sylow2a.z ๐‘ = {๐‘ข โˆˆ ๐‘Œ โˆฃ โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ข) = ๐‘ข}
sylow2a.r โˆผ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† ๐‘Œ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Assertion
Ref Expression
sylow2a (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐‘)))
Distinct variable groups:   โˆผ ,โ„Ž   ๐‘”,โ„Ž,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐บ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   โŠ• ,๐‘”,โ„Ž,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐‘‹,โ„Ž,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,โ„Ž   ๐‘”,๐‘Œ,โ„Ž,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”,โ„Ž)   โˆผ (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”)   ๐บ(๐‘ข,โ„Ž)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”,โ„Ž)

Proof of Theorem sylow2a
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.x . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
2 sylow2a.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ))
3 sylow2a.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ pGrp ๐บ)
4 sylow2a.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
5 sylow2a.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
6 sylow2a.z . . 3 ๐‘ = {๐‘ข โˆˆ ๐‘Œ โˆฃ โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ข) = ๐‘ข}
7 sylow2a.r . . 3 โˆผ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† ๐‘Œ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem2 19486 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง))
9 inass 4220 . . . . . . 7 (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆฉ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) = ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ (๐’ซ ๐‘ โˆฉ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)))
10 disjdif 4472 . . . . . . . 8 (๐’ซ ๐‘ โˆฉ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) = โˆ…
1110ineq2i 4210 . . . . . . 7 ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ (๐’ซ ๐‘ โˆฉ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘))) = ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ โˆ…)
12 in0 4392 . . . . . . 7 ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ โˆ…) = โˆ…
139, 11, 123eqtri 2765 . . . . . 6 (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆฉ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) = โˆ…
1413a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆฉ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) = โˆ…)
15 inundif 4479 . . . . . . 7 (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆช ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) = (๐‘Œ / โˆผ )
1615eqcomi 2742 . . . . . 6 (๐‘Œ / โˆผ ) = (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆช ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘))
1716a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ / โˆผ ) = (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆช ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)))
18 pwfi 9178 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
195, 18sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐’ซ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
207, 1gaorber 19172 . . . . . . . 8 ( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โ†’ โˆผ Er ๐‘Œ)
212, 20syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘Œ)
2221qsss 8772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ / โˆผ ) โŠ† ๐’ซ ๐‘Œ)
2319, 22ssfid 9267 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ / โˆผ ) โˆˆ Fin)
245adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
2522sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘Œ)
2625elpwid 4612 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ง โŠ† ๐‘Œ)
2724, 26ssfid 9267 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
28 hashcl 14316 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
3029nn0cnd 12534 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
3114, 17, 23, 30fsumsplit 15687 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘ง) = (ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง) + ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง)))
3221, 5qshash 15773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘ง))
33 inss1 4229 . . . . . . . 8 ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โŠ† (๐‘Œ / โˆผ )
34 ssfi 9173 . . . . . . . 8 (((๐‘Œ / โˆผ ) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โŠ† (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆˆ Fin)
3523, 33, 34sylancl 587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆˆ Fin)
36 ax-1cn 11168 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
37 fsumconst 15736 . . . . . . 7 ((((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)1 = ((โ™ฏโ€˜((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) ยท 1))
3835, 36, 37sylancl 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)1 = ((โ™ฏโ€˜((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) ยท 1))
39 elin 3965 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘) โ†” (๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘))
40 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ / โˆผ ) = (๐‘Œ / โˆผ )
41 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ ([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†” ๐‘ง โŠ† ๐‘))
42 velpw 4608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘ โ†” ๐‘ง โŠ† ๐‘)
4341, 42bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . 14 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ ([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†” ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘))
44 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ ([๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o โ†” ๐‘ง โ‰ˆ 1o))
4543, 44imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ (([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†’ [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o) โ†” (๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘ โ†’ ๐‘ง โ‰ˆ 1o)))
4621adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ โˆผ Er ๐‘Œ)
47 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ)
4846, 47erref 8723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ค โˆผ ๐‘ค)
49 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ค โˆˆ V
5049, 49elec 8747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ค โˆˆ [๐‘ค] โˆผ โ†” ๐‘ค โˆผ ๐‘ค)
5148, 50sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ [๐‘ค] โˆผ )
52 ssel 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ [๐‘ค] โˆผ โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘))
5351, 52syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem1 19485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ [๐‘ค] โˆผ = {๐‘ค})
5549ensn1 9017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {๐‘ค} โ‰ˆ 1o
5654, 55eqbrtrdi 5188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o)
5756ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o))
5857adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o))
5953, 58syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†’ [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o))
6040, 45, 59ectocld 8778 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘ โ†’ ๐‘ง โ‰ˆ 1o))
6160impr 456 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โ‰ˆ 1o)
6239, 61sylan2b 595 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โ‰ˆ 1o)
63 en1b 9023 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โ‰ˆ 1o โ†” ๐‘ง = {โˆช ๐‘ง})
6462, 63sylib 217 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง = {โˆช ๐‘ง})
6564fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) = (โ™ฏโ€˜{โˆช ๐‘ง}))
66 vuniex 7729 . . . . . . . . 9 โˆช ๐‘ง โˆˆ V
67 hashsng 14329 . . . . . . . . 9 (โˆช ๐‘ง โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{โˆช ๐‘ง}) = 1)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜{โˆช ๐‘ง}) = 1
6965, 68eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) = 1)
7069sumeq2dv 15649 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)1)
716ssrab3 4081 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ โŠ† ๐‘Œ
72 ssfi 9173 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Œ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โŠ† ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
735, 71, 72sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
74 hashcl 14316 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
7675nn0cnd 12534 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
7776mulridd 11231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐‘))
786, 5rabexd 5334 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
79 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†ฆ {๐‘ค}) = (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†ฆ {๐‘ค})
807relopabiv 5821 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel โˆผ
81 relssdmrn 6268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Rel โˆผ โ†’ โˆผ โŠ† (dom โˆผ ร— ran โˆผ ))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 โˆผ โŠ† (dom โˆผ ร— ran โˆผ )
83 erdm 8713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( โˆผ Er ๐‘Œ โ†’ dom โˆผ = ๐‘Œ)
8421, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ dom โˆผ = ๐‘Œ)
8584, 5eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ dom โˆผ โˆˆ Fin)
86 errn 8725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( โˆผ Er ๐‘Œ โ†’ ran โˆผ = ๐‘Œ)
8721, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ran โˆผ = ๐‘Œ)
8887, 5eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ran โˆผ โˆˆ Fin)
8985, 88xpexd 7738 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (dom โˆผ ร— ran โˆผ ) โˆˆ V)
90 ssexg 5324 . . . . . . . . . . . . . 14 (( โˆผ โŠ† (dom โˆผ ร— ran โˆผ ) โˆง (dom โˆผ ร— ran โˆผ ) โˆˆ V) โ†’ โˆผ โˆˆ V)
9182, 89, 90sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆผ โˆˆ V)
92 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘)
9371, 92sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ)
94 ecelqsg 8766 . . . . . . . . . . . . 13 (( โˆผ โˆˆ V โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ [๐‘ค] โˆผ โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ))
9591, 93, 94syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ [๐‘ค] โˆผ โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ))
9654, 95eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ {๐‘ค} โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ))
97 snelpwi 5444 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ {๐‘ค} โˆˆ ๐’ซ ๐‘)
9897adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ {๐‘ค} โˆˆ ๐’ซ ๐‘)
9996, 98elind 4195 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ {๐‘ค} โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘))
100 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘))
101100elin2d 4200 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘)
102101elpwid 4612 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โŠ† ๐‘)
10364, 102eqsstrrd 4022 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ {โˆช ๐‘ง} โŠ† ๐‘)
10466snss 4790 . . . . . . . . . . 11 (โˆช ๐‘ง โˆˆ ๐‘ โ†” {โˆช ๐‘ง} โŠ† ๐‘)
105103, 104sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ โˆช ๐‘ง โˆˆ ๐‘)
106 sneq 4639 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ค = โˆช ๐‘ง โ†’ {๐‘ค} = {โˆช ๐‘ง})
107106eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค = โˆช ๐‘ง โ†’ (๐‘ง = {๐‘ค} โ†” ๐‘ง = {โˆช ๐‘ง}))
10864, 107syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ (๐‘ค = โˆช ๐‘ง โ†’ ๐‘ง = {๐‘ค}))
109108adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘))) โ†’ (๐‘ค = โˆช ๐‘ง โ†’ ๐‘ง = {๐‘ค}))
110 unieq 4920 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = {๐‘ค} โ†’ โˆช ๐‘ง = โˆช {๐‘ค})
111 unisnv 4932 . . . . . . . . . . . 12 โˆช {๐‘ค} = ๐‘ค
112110, 111eqtr2di 2790 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = {๐‘ค} โ†’ ๐‘ค = โˆช ๐‘ง)
113109, 112impbid1 224 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘))) โ†’ (๐‘ค = โˆช ๐‘ง โ†” ๐‘ง = {๐‘ค}))
11479, 99, 105, 113f1o2d 7660 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†ฆ {๐‘ค}):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘))
11578, 114hasheqf1od 14313 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = (โ™ฏโ€˜((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)))
116115oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) ยท 1) = ((โ™ฏโ€˜((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) ยท 1))
11777, 116eqtr3d 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)) ยท 1))
11838, 70, 1173eqtr4rd 2784 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง))
119118oveq1d 7424 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) = (ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆฉ ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง) + ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง)))
12031, 32, 1193eqtr4rd 2784 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) = (โ™ฏโ€˜๐‘Œ))
121 hashcl 14316 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
1225, 121syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
123122nn0cnd 12534 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
124 diffi 9179 . . . . . 6 ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆˆ Fin โ†’ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘) โˆˆ Fin)
12523, 124syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘) โˆˆ Fin)
126 eldifi 4127 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ))
127126, 30sylan2 594 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
128125, 127fsumcl 15679 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
129123, 76, 128subaddd 11589 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘) + ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง)) = (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
130120, 129mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง))
1318, 130breqtrrd 5177 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  ๐’ซ cpw 4603  {csn 4629  {cpr 4631  โˆช cuni 4909   class class class wbr 5149  {copab 5211   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678  Rel wrel 5682  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1oc1o 8459   Er wer 8700  [cec 8701   / cqs 8702   โ‰ˆ cen 8936  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  โ„•0cn0 12472  โ™ฏchash 14290  ฮฃcsu 15632   โˆฅ cdvds 16197  Basecbs 17144   GrpAct cga 19153   pGrp cpgp 19394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-eqg 19005  df-ga 19154  df-od 19396  df-pgp 19398
This theorem is referenced by:  sylow2blem3  19490  sylow3lem6  19500
  Copyright terms: Public domain W3C validator