Theorem 0frgp 19798

Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
0frgp.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘∅)
0frgp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0frgp	⊢ 𝐵 ≈ 1o

Proof of Theorem 0frgp

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
2		0frgp.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘∅)
3	2	frgpgrp 19781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
5		f0 6788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅:∅⟶𝐵
6		0frgp.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( ~FG ‘∅) = ( ~FG ‘∅)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (varFGrp‘∅) = (varFGrp‘∅)
9	7, 8, 2, 6	vrgpf 19787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∈ V → (varFGrp‘∅):∅⟶𝐵)
10		ffn 6735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((varFGrp‘∅):∅⟶𝐵 → (varFGrp‘∅) Fn ∅)
11	1, 9, 10	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (varFGrp‘∅) Fn ∅
12		fn0 6698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((varFGrp‘∅) Fn ∅ ↔ (varFGrp‘∅) = ∅)
13	11, 12	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (varFGrp‘∅) = ∅
14	13	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ = (varFGrp‘∅)
15	2, 6, 14	frgpup3 19797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶𝐵) → ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
16	4, 1, 5, 15	mp3an 1462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
17		reurmo 3382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ → ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
19	6	idghm 19250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
20	4, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
21		tru 1543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊤
22	20, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
23		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	23, 6	0ghm 19249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
25	4, 4, 24	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
26	25, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
27		co02 6279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∘ ∅) = ∅
28	27	bitru 1548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
30	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
31	29, 30	rmoi 3890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤) ∧ ((𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)) → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g‘𝐺)}))
32	18, 22, 26, 31	mp3an 1462	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g‘𝐺)})
33		mptresid 6068	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥)
34		fconstmpt 5746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺))
35	32, 33, 34	3eqtr3i 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺))
36		mpteqb 7034	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺)))
37		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐵)
38	36, 37	mprg 3066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺))
39	35, 38	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺)
40	39	rspec 3249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = (0g‘𝐺))
41		velsn 4641	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
42	40, 41	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
43	42	ssriv 3986	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}
44	6, 23	grpidcl 18984	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
45	4, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵
46		snssi 4807	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
47	45, 46	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵
48	43, 47	eqssi 3999	. 2 ⊢ 𝐵 = {(0g‘𝐺)}
49		fvex 6918	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
50	49	ensn1 9062	. 2 ⊢ {(0g‘𝐺)} ≈ 1o
51	48, 50	eqbrtri 5163	1 ⊢ 𝐵 ≈ 1o

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃!wreu 3377  ∃*wrmo 3378  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224   I cid 5576   × cxp 5682   ↾ cres 5686   ∘ ccom 5688   Fn wfn 6555  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  1_oc1o 8500   ≈ cen 8983  Basecbs 17248  0_gc0g 17485  Grpcgrp 18952   GrpHom cghm 19231   ~_FG cefg 19725  freeGrpcfrgp 19726  var_FGrpcvrgp 19727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-word 14554  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-splice 14789  df-reverse 14798  df-s2 14888  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-frmd 18863  df-vrmd 18864  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-ghm 19232  df-efg 19728  df-frgp 19729  df-vrgp 19730

This theorem is referenced by:  frgpcyg  21593