Theorem 0frgp 19821

Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
0frgp.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘∅)
0frgp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0frgp	⊢ 𝐵 ≈ 1o

Proof of Theorem 0frgp

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
2		0frgp.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘∅)
3	2	frgpgrp 19804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
5		f0 6747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅:∅⟶𝐵
6		0frgp.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( ~FG ‘∅) = ( ~FG ‘∅)
8		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (varFGrp‘∅) = (varFGrp‘∅)
9	7, 8, 2, 6	vrgpf 19810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∈ V → (varFGrp‘∅):∅⟶𝐵)
10		ffn 6693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((varFGrp‘∅):∅⟶𝐵 → (varFGrp‘∅) Fn ∅)
11	1, 9, 10	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (varFGrp‘∅) Fn ∅
12		fn0 6654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((varFGrp‘∅) Fn ∅ ↔ (varFGrp‘∅) = ∅)
13	11, 12	mpbi 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (varFGrp‘∅) = ∅
14	13	eqcomi 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ = (varFGrp‘∅)
15	2, 6, 14	frgpup3 19820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶𝐵) → ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
16	4, 1, 5, 15	mp3an 1484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
17		reurmo 3372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ → ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
19	6	idghm 19273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
20	4, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
21		tru 1566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊤
22	20, 21	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
23		eqid 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	23, 6	0ghm 19272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
25	4, 4, 24	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
26	25, 21	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
27		co02 6250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∘ ∅) = ∅
28	27	bitru 1571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
30	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
31	29, 30	rmoi 3846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤) ∧ ((𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)) → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g‘𝐺)}))
32	18, 22, 26, 31	mp3an 1484	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g‘𝐺)})
33		mptresid 6042	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥)
34		fconstmpt 5711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺))
35	32, 33, 34	3eqtr3i 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺))
36		mpteqb 6997	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺)))
37		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐵)
38	36, 37	mprg 3084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺))
39	35, 38	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺)
40	39	rspec 3255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = (0g‘𝐺))
41		velsn 4600	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
42	40, 41	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
43	42	ssriv 3942	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}
44	6, 23	grpidcl 19009	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
45	4, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵
46		snssi 4746	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
47	45, 46	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵
48	43, 47	eqssi 3954	. 2 ⊢ 𝐵 = {(0g‘𝐺)}
49		fvex 6882	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
50	49	ensn1 9004	. 2 ⊢ {(0g‘𝐺)} ≈ 1o
51	48, 50	eqbrtri 5123	1 ⊢ 𝐵 ≈ 1o

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562  ⊤wtru 1563   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∃!wreu 3367  ∃*wrmo 3368  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   I cid 5543   × cxp 5647   ↾ cres 5651   ∘ ccom 5653   Fn wfn 6518  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  1_oc1o 8432   ≈ cen 8926  Basecbs 17247  0_gc0g 17470  Grpcgrp 18977   GrpHom cghm 19255   ~_FG cefg 19748  freeGrpcfrgp 19749  var_FGrpcvrgp 19750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-ec 8682  df-qs 8686  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-hash 14346  df-word 14529  df-lsw 14578  df-concat 14586  df-s1 14612  df-substr 14657  df-pfx 14687  df-splice 14765  df-reverse 14774  df-s2 14863  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-imas 17540  df-qus 17541  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-submnd 18820  df-frmd 18885  df-vrmd 18886  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-ghm 19256  df-efg 19751  df-frgp 19752  df-vrgp 19753

This theorem is referenced by:  frgpcyg  21627