Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0frgp 18900
 Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g 𝐺 = (freeGrp‘∅)
0frgp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0frgp 𝐵 ≈ 1o

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5178 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
2 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (freeGrp‘∅)
32frgpgrp 18883 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
41, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ Grp
5 f0 6538 . . . . . . . . . . 11 ∅:∅⟶𝐵
6 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ~FG ‘∅) = ( ~FG ‘∅)
8 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (varFGrp‘∅) = (varFGrp‘∅)
97, 8, 2, 6vrgpf 18889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∈ V → (varFGrp‘∅):∅⟶𝐵)
10 ffn 6491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((varFGrp‘∅):∅⟶𝐵 → (varFGrp‘∅) Fn ∅)
111, 9, 10mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (varFGrp‘∅) Fn ∅
12 fn0 6455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((varFGrp‘∅) Fn ∅ ↔ (varFGrp‘∅) = ∅)
1311, 12mpbi 233 . . . . . . . . . . . . 13 (varFGrp‘∅) = ∅
1413eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = (varFGrp‘∅)
152, 6, 14frgpup3 18899 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶𝐵) → ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
164, 1, 5, 15mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
17 reurmo 3381 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ → ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
196idghm 18368 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
204, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
21 tru 1542 . . . . . . . . . 10
2220, 21pm3.2i 474 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
23 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2423, 60ghm 18367 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
254, 4, 24mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
2625, 21pm3.2i 474 . . . . . . . . 9 ((𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
27 co02 6084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∘ ∅) = ∅
2827bitru 1547 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤)
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
3028a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐵 × {(0g𝐺)}) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
3129, 30rmoi 3823 . . . . . . . . 9 ((∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤) ∧ ((𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)) → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g𝐺)}))
3218, 22, 26, 31mp3an 1458 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g𝐺)})
33 mptresid 5889 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵𝑥)
34 fconstmpt 5582 . . . . . . . 8 (𝐵 × {(0g𝐺)}) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺))
3532, 33, 343eqtr3i 2832 . . . . . . 7 (𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺))
36 mpteqb 6768 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 𝑥𝐵 → ((𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺)))
37 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
3836, 37mprg 3123 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺))
3935, 38mpbi 233 . . . . . 6 𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺)
4039rspec 3175 . . . . 5 (𝑥𝐵𝑥 = (0g𝐺))
41 velsn 4544 . . . . 5 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
4240, 41sylibr 237 . . . 4 (𝑥𝐵𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
4342ssriv 3922 . . 3 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}
446, 23grpidcl 18126 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
454, 44ax-mp 5 . . . 4 (0g𝐺) ∈ 𝐵
46 snssi 4704 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝐵 → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
4745, 46ax-mp 5 . . 3 {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵
4843, 47eqssi 3934 . 2 𝐵 = {(0g𝐺)}
49 fvex 6662 . . 3 (0g𝐺) ∈ V
5049ensn1 8560 . 2 {(0g𝐺)} ≈ 1o
5148, 50eqbrtri 5054 1 𝐵 ≈ 1o
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃!wreu 3111  ∃*wrmo 3112  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  {csn 4528   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   I cid 5427   × cxp 5521   ↾ cres 5525   ∘ ccom 5527   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1oc1o 8082   ≈ cen 8493  Basecbs 16478  0gc0g 16708  Grpcgrp 18098   GrpHom cghm 18350   ~FG cefg 18827  freeGrpcfrgp 18828  varFGrpcvrgp 18829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-reverse 14116  df-s2 14205  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-imas 16776  df-qus 16777  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-frmd 18009  df-vrmd 18010  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-ghm 18351  df-efg 18830  df-frgp 18831  df-vrgp 18832 This theorem is referenced by:  frgpcyg  20268
 Copyright terms: Public domain W3C validator