Theorem 0frgp 19907

Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
0frgp.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘∅)
0frgp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0frgp	⊢ 𝐵 ≈ 1o

Proof of Theorem 0frgp

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
2		0frgp.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘∅)
3	2	frgpgrp 19890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
5		f0 6760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅:∅⟶𝐵
6		0frgp.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( ~FG ‘∅) = ( ~FG ‘∅)
8		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (varFGrp‘∅) = (varFGrp‘∅)
9	7, 8, 2, 6	vrgpf 19896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∈ V → (varFGrp‘∅):∅⟶𝐵)
10		ffn 6706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((varFGrp‘∅):∅⟶𝐵 → (varFGrp‘∅) Fn ∅)
11	1, 9, 10	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (varFGrp‘∅) Fn ∅
12		fn0 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((varFGrp‘∅) Fn ∅ ↔ (varFGrp‘∅) = ∅)
13	11, 12	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (varFGrp‘∅) = ∅
14	13	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ = (varFGrp‘∅)
15	2, 6, 14	frgpup3 19906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶𝐵) → ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
16	4, 1, 5, 15	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
17		reurmo 3370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ → ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
19	6	idghm 19359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
20	4, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
21		tru 1574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊤
22	20, 21	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
23		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	23, 6	0ghm 19358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
25	4, 4, 24	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
26	25, 21	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
27		co02 6261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∘ ∅) = ∅
28	27	bitru 1579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
30	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
31	29, 30	rmoi 3841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤) ∧ ((𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)) → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g‘𝐺)}))
32	18, 22, 26, 31	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g‘𝐺)})
33		mptresid 6051	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥)
34		fconstmpt 5721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺))
35	32, 33, 34	3eqtr3i 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺))
36		mpteqb 7010	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺)))
37		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐵)
38	36, 37	mprg 3084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺))
39	35, 38	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺)
40	39	rspec 3255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = (0g‘𝐺))
41		velsn 4603	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
42	40, 41	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
43	42	ssriv 3938	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}
44	6, 23	grpidcl 19090	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
45	4, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵
46		snssi 4749	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
47	45, 46	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵
48	43, 47	eqssi 3950	. 2 ⊢ 𝐵 = {(0g‘𝐺)}
49		fvex 6895	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
50	49	ensn1 9030	. 2 ⊢ {(0g‘𝐺)} ≈ 1o
51	48, 50	eqbrtri 5130	1 ⊢ 𝐵 ≈ 1o

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃!wreu 3365  ∃*wrmo 3366  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   I cid 5553   × cxp 5657   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1_oc1o 8451   ≈ cen 8952  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  Grpcgrp 19058   GrpHom cghm 19341   ~_FG cefg 19834  freeGrpcfrgp 19835  var_FGrpcvrgp 19836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-word 14581  df-lsw 14630  df-concat 14638  df-s1 14665  df-substr 14711  df-pfx 14743  df-splice 14821  df-reverse 14830  df-s2 14921  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-imas 17598  df-qus 17599  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-frmd 18959  df-vrmd 18960  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-ghm 19342  df-efg 19837  df-frgp 19838  df-vrgp 19839

This theorem is used by:  frgpcyg  21787