MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0frgp 18393
Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g 𝐺 = (freeGrp‘∅)
0frgp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0frgp 𝐵 ≈ 1𝑜

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptresid 5668 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵𝑥) = ( I ↾ 𝐵)
2 0ex 4984 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
3 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (freeGrp‘∅)
43frgpgrp 18376 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
52, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ Grp
6 f0 6301 . . . . . . . . . . 11 ∅:∅⟶𝐵
7 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ~FG ‘∅) = ( ~FG ‘∅)
9 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (varFGrp‘∅) = (varFGrp‘∅)
108, 9, 3, 7vrgpf 18382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∈ V → (varFGrp‘∅):∅⟶𝐵)
11 ffn 6256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((varFGrp‘∅):∅⟶𝐵 → (varFGrp‘∅) Fn ∅)
122, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (varFGrp‘∅) Fn ∅
13 fn0 6222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((varFGrp‘∅) Fn ∅ ↔ (varFGrp‘∅) = ∅)
1412, 13mpbi 221 . . . . . . . . . . . . 13 (varFGrp‘∅) = ∅
1514eqcomi 2815 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = (varFGrp‘∅)
163, 7, 15frgpup3 18392 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶𝐵) → ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
175, 2, 6, 16mp3an 1578 . . . . . . . . . 10 ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
18 reurmo 3350 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ → ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
207idghm 17877 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
215, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
22 tru 1642 . . . . . . . . . 10
2321, 22pm3.2i 458 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
24 eqid 2806 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2524, 70ghm 17876 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
265, 5, 25mp2an 675 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
2726, 22pm3.2i 458 . . . . . . . . 9 ((𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
28 co02 5863 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∘ ∅) = ∅
2928bitru 1647 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤)
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
3129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐵 × {(0g𝐺)}) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
3230, 31rmoi 3725 . . . . . . . . 9 ((∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤) ∧ ((𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)) → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g𝐺)}))
3319, 23, 27, 32mp3an 1578 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g𝐺)})
34 fconstmpt 5363 . . . . . . . 8 (𝐵 × {(0g𝐺)}) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺))
351, 33, 343eqtri 2832 . . . . . . 7 (𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺))
36 mpteqb 6520 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 𝑥𝐵 → ((𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺)))
37 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
3836, 37mprg 3114 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺))
3935, 38mpbi 221 . . . . . 6 𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺)
4039rspec 3119 . . . . 5 (𝑥𝐵𝑥 = (0g𝐺))
41 velsn 4386 . . . . 5 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
4240, 41sylibr 225 . . . 4 (𝑥𝐵𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
4342ssriv 3802 . . 3 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}
447, 24grpidcl 17655 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
455, 44ax-mp 5 . . . 4 (0g𝐺) ∈ 𝐵
46 snssi 4529 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝐵 → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
4745, 46ax-mp 5 . . 3 {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵
4843, 47eqssi 3814 . 2 𝐵 = {(0g𝐺)}
49 fvex 6421 . . 3 (0g𝐺) ∈ V
5049ensn1 8256 . 2 {(0g𝐺)} ≈ 1𝑜
5148, 50eqbrtri 4865 1 𝐵 ≈ 1𝑜
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wtru 1638  wcel 2156  wral 3096  ∃!wreu 3098  ∃*wrmo 3099  Vcvv 3391  wss 3769  c0 4116  {csn 4370   class class class wbr 4844  cmpt 4923   I cid 5218   × cxp 5309  cres 5313  ccom 5315   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  1𝑜c1o 7789  cen 8189  Basecbs 16068  0gc0g 16305  Grpcgrp 17627   GrpHom cghm 17859   ~FG cefg 18320  freeGrpcfrgp 18321  varFGrpcvrgp 18322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-ot 4379  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-ec 7981  df-qs 7985  df-map 8094  df-pm 8095  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-sup 8587  df-inf 8588  df-card 9048  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-xnn0 11630  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-hash 13338  df-word 13510  df-lsw 13511  df-concat 13512  df-s1 13513  df-substr 13514  df-splice 13515  df-reverse 13516  df-s2 13817  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-imas 16373  df-qus 16374  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-mhm 17540  df-submnd 17541  df-frmd 17591  df-vrmd 17592  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-ghm 17860  df-efg 18323  df-frgp 18324  df-vrgp 18325
This theorem is referenced by:  frgpcyg  20129
  Copyright terms: Public domain W3C validator