MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0frgp 19569
Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜βˆ…)
0frgp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
0frgp 𝐡 β‰ˆ 1o

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5268 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… ∈ V
2 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (freeGrpβ€˜βˆ…)
32frgpgrp 19552 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ… ∈ V β†’ 𝐺 ∈ Grp)
41, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ Grp
5 f0 6727 . . . . . . . . . . 11 βˆ…:βˆ…βŸΆπ΅
6 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
7 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ~FG β€˜βˆ…) = ( ~FG β€˜βˆ…)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (varFGrpβ€˜βˆ…) = (varFGrpβ€˜βˆ…)
97, 8, 2, 6vrgpf 19558 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ… ∈ V β†’ (varFGrpβ€˜βˆ…):βˆ…βŸΆπ΅)
10 ffn 6672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((varFGrpβ€˜βˆ…):βˆ…βŸΆπ΅ β†’ (varFGrpβ€˜βˆ…) Fn βˆ…)
111, 9, 10mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (varFGrpβ€˜βˆ…) Fn βˆ…
12 fn0 6636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((varFGrpβ€˜βˆ…) Fn βˆ… ↔ (varFGrpβ€˜βˆ…) = βˆ…)
1311, 12mpbi 229 . . . . . . . . . . . . 13 (varFGrpβ€˜βˆ…) = βˆ…
1413eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… = (varFGrpβ€˜βˆ…)
152, 6, 14frgpup3 19568 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ βˆ… ∈ V ∧ βˆ…:βˆ…βŸΆπ΅) β†’ βˆƒ!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…)
164, 1, 5, 15mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 βˆƒ!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…
17 reurmo 3355 . . . . . . . . . 10 (βˆƒ!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… β†’ βˆƒ*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 βˆƒ*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…
196idghm 19031 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
204, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
21 tru 1546 . . . . . . . . . 10 ⊀
2220, 21pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊀)
23 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
2423, 60ghm 19030 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
254, 4, 24mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
2625, 21pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 ((𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊀)
27 co02 6216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…
2827bitru 1551 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… ↔ ⊀)
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… ↔ ⊀))
3028a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) β†’ ((𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… ↔ ⊀))
3129, 30rmoi 3851 . . . . . . . . 9 ((βˆƒ*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… ∧ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊀) ∧ ((𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊀)) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}))
3218, 22, 26, 31mp3an 1462 . . . . . . . 8 ( I β†Ύ 𝐡) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)})
33 mptresid 6008 . . . . . . . 8 ( I β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ π‘₯)
34 fconstmpt 5698 . . . . . . . 8 (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ))
3532, 33, 343eqtr3i 2769 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ π‘₯) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ))
36 mpteqb 6971 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ π‘₯) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ = (0gβ€˜πΊ)))
37 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3836, 37mprg 3067 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ π‘₯) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
3935, 38mpbi 229 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ = (0gβ€˜πΊ)
4039rspec 3232 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
41 velsn 4606 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
4240, 41sylibr 233 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)})
4342ssriv 3952 . . 3 𝐡 βŠ† {(0gβ€˜πΊ)}
446, 23grpidcl 18786 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
454, 44ax-mp 5 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡
46 snssi 4772 . . . 4 ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡 β†’ {(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐡)
4745, 46ax-mp 5 . . 3 {(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐡
4843, 47eqssi 3964 . 2 𝐡 = {(0gβ€˜πΊ)}
49 fvex 6859 . . 3 (0gβ€˜πΊ) ∈ V
5049ensn1 8967 . 2 {(0gβ€˜πΊ)} β‰ˆ 1o
5148, 50eqbrtri 5130 1 𝐡 β‰ˆ 1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒ!wreu 3350  βˆƒ*wrmo 3351  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   I cid 5534   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1oc1o 8409   β‰ˆ cen 8886  Basecbs 17091  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756   GrpHom cghm 19013   ~FG cefg 19496  freeGrpcfrgp 19497  varFGrpcvrgp 19498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-reverse 14656  df-s2 14746  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-imas 17398  df-qus 17399  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-frmd 18667  df-vrmd 18668  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-ghm 19014  df-efg 19499  df-frgp 19500  df-vrgp 19501
This theorem is referenced by:  frgpcyg  21003
  Copyright terms: Public domain W3C validator