MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0frgp 19733
Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜βˆ…)
0frgp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
0frgp 𝐡 β‰ˆ 1o

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5307 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… ∈ V
2 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (freeGrpβ€˜βˆ…)
32frgpgrp 19716 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ… ∈ V β†’ 𝐺 ∈ Grp)
41, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ Grp
5 f0 6778 . . . . . . . . . . 11 βˆ…:βˆ…βŸΆπ΅
6 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
7 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ~FG β€˜βˆ…) = ( ~FG β€˜βˆ…)
8 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (varFGrpβ€˜βˆ…) = (varFGrpβ€˜βˆ…)
97, 8, 2, 6vrgpf 19722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ… ∈ V β†’ (varFGrpβ€˜βˆ…):βˆ…βŸΆπ΅)
10 ffn 6722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((varFGrpβ€˜βˆ…):βˆ…βŸΆπ΅ β†’ (varFGrpβ€˜βˆ…) Fn βˆ…)
111, 9, 10mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (varFGrpβ€˜βˆ…) Fn βˆ…
12 fn0 6686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((varFGrpβ€˜βˆ…) Fn βˆ… ↔ (varFGrpβ€˜βˆ…) = βˆ…)
1311, 12mpbi 229 . . . . . . . . . . . . 13 (varFGrpβ€˜βˆ…) = βˆ…
1413eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… = (varFGrpβ€˜βˆ…)
152, 6, 14frgpup3 19732 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ βˆ… ∈ V ∧ βˆ…:βˆ…βŸΆπ΅) β†’ βˆƒ!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…)
164, 1, 5, 15mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 βˆƒ!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…
17 reurmo 3376 . . . . . . . . . 10 (βˆƒ!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… β†’ βˆƒ*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 βˆƒ*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…
196idghm 19184 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
204, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
21 tru 1538 . . . . . . . . . 10 ⊀
2220, 21pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊀)
23 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
2423, 60ghm 19183 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
254, 4, 24mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
2625, 21pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊀)
27 co02 6264 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…
2827bitru 1543 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… ↔ ⊀)
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… ↔ ⊀))
3028a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) β†’ ((𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… ↔ ⊀))
3129, 30rmoi 3884 . . . . . . . . 9 ((βˆƒ*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… ∧ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊀) ∧ ((𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊀)) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}))
3218, 22, 26, 31mp3an 1458 . . . . . . . 8 ( I β†Ύ 𝐡) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)})
33 mptresid 6054 . . . . . . . 8 ( I β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ π‘₯)
34 fconstmpt 5740 . . . . . . . 8 (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ))
3532, 33, 343eqtr3i 2764 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ π‘₯) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ))
36 mpteqb 7024 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ π‘₯) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ = (0gβ€˜πΊ)))
37 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3836, 37mprg 3064 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ π‘₯) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
3935, 38mpbi 229 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ = (0gβ€˜πΊ)
4039rspec 3244 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
41 velsn 4645 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
4240, 41sylibr 233 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)})
4342ssriv 3984 . . 3 𝐡 βŠ† {(0gβ€˜πΊ)}
446, 23grpidcl 18921 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
454, 44ax-mp 5 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡
46 snssi 4812 . . . 4 ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡 β†’ {(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐡)
4745, 46ax-mp 5 . . 3 {(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐡
4843, 47eqssi 3996 . 2 𝐡 = {(0gβ€˜πΊ)}
49 fvex 6910 . . 3 (0gβ€˜πΊ) ∈ V
5049ensn1 9041 . 2 {(0gβ€˜πΊ)} β‰ˆ 1o
5148, 50eqbrtri 5169 1 𝐡 β‰ˆ 1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  βŠ€wtru 1535   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒ!wreu 3371  βˆƒ*wrmo 3372  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5575   Γ— cxp 5676   β†Ύ cres 5680   ∘ ccom 5682   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  1oc1o 8479   β‰ˆ cen 8960  Basecbs 17179  0gc0g 17420  Grpcgrp 18889   GrpHom cghm 19166   ~FG cefg 19660  freeGrpcfrgp 19661  varFGrpcvrgp 19662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-splice 14732  df-reverse 14741  df-s2 14831  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-imas 17489  df-qus 17490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-frmd 18800  df-vrmd 18801  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-ghm 19167  df-efg 19663  df-frgp 19664  df-vrgp 19665
This theorem is referenced by:  frgpcyg  21506
  Copyright terms: Public domain W3C validator