MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0frgp 19695
Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜βˆ…)
0frgp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
0frgp 𝐡 β‰ˆ 1o

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5298 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… ∈ V
2 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (freeGrpβ€˜βˆ…)
32frgpgrp 19678 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ… ∈ V β†’ 𝐺 ∈ Grp)
41, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ Grp
5 f0 6763 . . . . . . . . . . 11 βˆ…:βˆ…βŸΆπ΅
6 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
7 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ~FG β€˜βˆ…) = ( ~FG β€˜βˆ…)
8 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (varFGrpβ€˜βˆ…) = (varFGrpβ€˜βˆ…)
97, 8, 2, 6vrgpf 19684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ… ∈ V β†’ (varFGrpβ€˜βˆ…):βˆ…βŸΆπ΅)
10 ffn 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((varFGrpβ€˜βˆ…):βˆ…βŸΆπ΅ β†’ (varFGrpβ€˜βˆ…) Fn βˆ…)
111, 9, 10mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (varFGrpβ€˜βˆ…) Fn βˆ…
12 fn0 6672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((varFGrpβ€˜βˆ…) Fn βˆ… ↔ (varFGrpβ€˜βˆ…) = βˆ…)
1311, 12mpbi 229 . . . . . . . . . . . . 13 (varFGrpβ€˜βˆ…) = βˆ…
1413eqcomi 2733 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… = (varFGrpβ€˜βˆ…)
152, 6, 14frgpup3 19694 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ βˆ… ∈ V ∧ βˆ…:βˆ…βŸΆπ΅) β†’ βˆƒ!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…)
164, 1, 5, 15mp3an 1457 . . . . . . . . . 10 βˆƒ!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…
17 reurmo 3371 . . . . . . . . . 10 (βˆƒ!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… β†’ βˆƒ*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 βˆƒ*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…
196idghm 19152 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
204, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
21 tru 1537 . . . . . . . . . 10 ⊀
2220, 21pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊀)
23 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
2423, 60ghm 19151 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
254, 4, 24mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
2625, 21pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊀)
27 co02 6250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ…
2827bitru 1542 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… ↔ ⊀)
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… ↔ ⊀))
3028a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) β†’ ((𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… ↔ ⊀))
3129, 30rmoi 3878 . . . . . . . . 9 ((βˆƒ*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ βˆ…) = βˆ… ∧ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊀) ∧ ((𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊀)) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}))
3218, 22, 26, 31mp3an 1457 . . . . . . . 8 ( I β†Ύ 𝐡) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)})
33 mptresid 6041 . . . . . . . 8 ( I β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ π‘₯)
34 fconstmpt 5729 . . . . . . . 8 (𝐡 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ))
3532, 33, 343eqtr3i 2760 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ π‘₯) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ))
36 mpteqb 7008 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ π‘₯) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ = (0gβ€˜πΊ)))
37 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3836, 37mprg 3059 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ π‘₯) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (0gβ€˜πΊ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
3935, 38mpbi 229 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 π‘₯ = (0gβ€˜πΊ)
4039rspec 3239 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
41 velsn 4637 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
4240, 41sylibr 233 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)})
4342ssriv 3979 . . 3 𝐡 βŠ† {(0gβ€˜πΊ)}
446, 23grpidcl 18891 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
454, 44ax-mp 5 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡
46 snssi 4804 . . . 4 ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡 β†’ {(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐡)
4745, 46ax-mp 5 . . 3 {(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐡
4843, 47eqssi 3991 . 2 𝐡 = {(0gβ€˜πΊ)}
49 fvex 6895 . . 3 (0gβ€˜πΊ) ∈ V
5049ensn1 9014 . 2 {(0gβ€˜πΊ)} β‰ˆ 1o
5148, 50eqbrtri 5160 1 𝐡 β‰ˆ 1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒ!wreu 3366  βˆƒ*wrmo 3367  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  {csn 4621   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222   I cid 5564   Γ— cxp 5665   β†Ύ cres 5669   ∘ ccom 5671   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  1oc1o 8455   β‰ˆ cen 8933  Basecbs 17149  0gc0g 17390  Grpcgrp 18859   GrpHom cghm 19134   ~FG cefg 19622  freeGrpcfrgp 19623  varFGrpcvrgp 19624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-reverse 14711  df-s2 14801  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-imas 17459  df-qus 17460  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-frmd 18770  df-vrmd 18771  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-ghm 19135  df-efg 19625  df-frgp 19626  df-vrgp 19627
This theorem is referenced by:  frgpcyg  21457
  Copyright terms: Public domain W3C validator