Theorem 0frgp 20020

Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
0frgp.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘∅)
0frgp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0frgp	⊢ 𝐵 ≈ 1o

Proof of Theorem 0frgp

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
2		0frgp.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘∅)
3	2	frgpgrp 20003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
5		f0 6782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅:∅⟶𝐵
6		0frgp.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( ~FG ‘∅) = ( ~FG ‘∅)
8		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (varFGrp‘∅) = (varFGrp‘∅)
9	7, 8, 2, 6	vrgpf 20009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∈ V → (varFGrp‘∅):∅⟶𝐵)
10		ffn 6728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((varFGrp‘∅):∅⟶𝐵 → (varFGrp‘∅) Fn ∅)
11	1, 9, 10	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (varFGrp‘∅) Fn ∅
12		fn0 6689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((varFGrp‘∅) Fn ∅ ↔ (varFGrp‘∅) = ∅)
13	11, 12	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (varFGrp‘∅) = ∅
14	13	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ = (varFGrp‘∅)
15	2, 6, 14	frgpup3 20019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶𝐵) → ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
16	4, 1, 5, 15	mp3an 1491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
17		reurmo 3372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ → ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
19	6	idghm 19471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
20	4, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
21		tru 1574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊤
22	20, 21	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
23		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	23, 6	0ghm 19470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
25	4, 4, 24	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
26	25, 21	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
27		co02 6276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∘ ∅) = ∅
28	27	bitru 1579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
30	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
31	29, 30	rmoi 3842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤) ∧ ((𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)) → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g‘𝐺)}))
32	18, 22, 26, 31	mp3an 1491	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g‘𝐺)})
33		mptresid 6054	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥)
34		fconstmpt 5717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺))
35	32, 33, 34	3eqtr3i 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺))
36		mpteqb 7033	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺)))
37		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐵)
38	36, 37	mprg 3086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺))
39	35, 38	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺)
40	39	rspec 3257	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = (0g‘𝐺))
41		velsn 4600	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
42	40, 41	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
43	42	ssriv 3917	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}
44	6, 23	grpidcl 19202	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
45	4, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵
46		snssi 4746	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
47	45, 46	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵
48	43, 47	eqssi 3929	. 2 ⊢ 𝐵 = {(0g‘𝐺)}
49		fvex 6918	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
50	49	ensn1 9073	. 2 ⊢ {(0g‘𝐺)} ≈ 1o
51	48, 50	eqbrtri 5129	1 ⊢ 𝐵 ≈ 1o

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃!wreu 3367  ∃*wrmo 3368  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5549   × cxp 5653   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1_oc1o 8494   ≈ cen 8995  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  Grpcgrp 19170   GrpHom cghm 19453   ~_FG cefg 19947  freeGrpcfrgp 19948  var_FGrpcvrgp 19949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-ec 8744  df-qs 8748  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-word 14683  df-lsw 14732  df-concat 14740  df-s1 14767  df-substr 14814  df-pfx 14846  df-splice 14924  df-reverse 14933  df-s2 15024  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-imas 17706  df-qus 17707  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-frmd 19071  df-vrmd 19072  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-ghm 19454  df-efg 19950  df-frgp 19951  df-vrgp 19952

This theorem is used by:  frgpcyg  21906