MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0frgp 19798
Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g 𝐺 = (freeGrp‘∅)
0frgp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0frgp 𝐵 ≈ 1o

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5306 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
2 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (freeGrp‘∅)
32frgpgrp 19781 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
41, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ Grp
5 f0 6788 . . . . . . . . . . 11 ∅:∅⟶𝐵
6 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ~FG ‘∅) = ( ~FG ‘∅)
8 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (varFGrp‘∅) = (varFGrp‘∅)
97, 8, 2, 6vrgpf 19787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∈ V → (varFGrp‘∅):∅⟶𝐵)
10 ffn 6735 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((varFGrp‘∅):∅⟶𝐵 → (varFGrp‘∅) Fn ∅)
111, 9, 10mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (varFGrp‘∅) Fn ∅
12 fn0 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((varFGrp‘∅) Fn ∅ ↔ (varFGrp‘∅) = ∅)
1311, 12mpbi 230 . . . . . . . . . . . . 13 (varFGrp‘∅) = ∅
1413eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = (varFGrp‘∅)
152, 6, 14frgpup3 19797 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶𝐵) → ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
164, 1, 5, 15mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
17 reurmo 3382 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ → ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
196idghm 19250 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
204, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
21 tru 1543 . . . . . . . . . 10
2220, 21pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
23 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2423, 60ghm 19249 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
254, 4, 24mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
2625, 21pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
27 co02 6279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∘ ∅) = ∅
2827bitru 1548 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤)
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
3028a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐵 × {(0g𝐺)}) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
3129, 30rmoi 3890 . . . . . . . . 9 ((∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤) ∧ ((𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)) → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g𝐺)}))
3218, 22, 26, 31mp3an 1462 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g𝐺)})
33 mptresid 6068 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵𝑥)
34 fconstmpt 5746 . . . . . . . 8 (𝐵 × {(0g𝐺)}) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺))
3532, 33, 343eqtr3i 2772 . . . . . . 7 (𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺))
36 mpteqb 7034 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 𝑥𝐵 → ((𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺)))
37 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
3836, 37mprg 3066 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺))
3935, 38mpbi 230 . . . . . 6 𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺)
4039rspec 3249 . . . . 5 (𝑥𝐵𝑥 = (0g𝐺))
41 velsn 4641 . . . . 5 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
4240, 41sylibr 234 . . . 4 (𝑥𝐵𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
4342ssriv 3986 . . 3 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}
446, 23grpidcl 18984 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
454, 44ax-mp 5 . . . 4 (0g𝐺) ∈ 𝐵
46 snssi 4807 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝐵 → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
4745, 46ax-mp 5 . . 3 {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵
4843, 47eqssi 3999 . 2 𝐵 = {(0g𝐺)}
49 fvex 6918 . . 3 (0g𝐺) ∈ V
5049ensn1 9062 . 2 {(0g𝐺)} ≈ 1o
5148, 50eqbrtri 5163 1 𝐵 ≈ 1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2107  wral 3060  ∃!wreu 3377  ∃*wrmo 3378  Vcvv 3479  wss 3950  c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  cmpt 5224   I cid 5576   × cxp 5682  cres 5686  ccom 5688   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  1oc1o 8500  cen 8983  Basecbs 17248  0gc0g 17485  Grpcgrp 18952   GrpHom cghm 19231   ~FG cefg 19725  freeGrpcfrgp 19726  varFGrpcvrgp 19727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-word 14554  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-splice 14789  df-reverse 14798  df-s2 14888  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-frmd 18863  df-vrmd 18864  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-ghm 19232  df-efg 19728  df-frgp 19729  df-vrgp 19730
This theorem is referenced by:  frgpcyg  21593
  Copyright terms: Public domain W3C validator