Theorem 0frgp 19821

Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
0frgp.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘∅)
0frgp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0frgp	⊢ 𝐵 ≈ 1o

Proof of Theorem 0frgp

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
2		0frgp.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘∅)
3	2	frgpgrp 19804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
5		f0 6802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅:∅⟶𝐵
6		0frgp.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( ~FG ‘∅) = ( ~FG ‘∅)
8		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (varFGrp‘∅) = (varFGrp‘∅)
9	7, 8, 2, 6	vrgpf 19810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∈ V → (varFGrp‘∅):∅⟶𝐵)
10		ffn 6747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((varFGrp‘∅):∅⟶𝐵 → (varFGrp‘∅) Fn ∅)
11	1, 9, 10	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (varFGrp‘∅) Fn ∅
12		fn0 6711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((varFGrp‘∅) Fn ∅ ↔ (varFGrp‘∅) = ∅)
13	11, 12	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (varFGrp‘∅) = ∅
14	13	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ = (varFGrp‘∅)
15	2, 6, 14	frgpup3 19820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶𝐵) → ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
16	4, 1, 5, 15	mp3an 1461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
17		reurmo 3391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ → ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
19	6	idghm 19271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
20	4, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
21		tru 1541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊤
22	20, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
23		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	23, 6	0ghm 19270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
25	4, 4, 24	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
26	25, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
27		co02 6291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∘ ∅) = ∅
28	27	bitru 1546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
30	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
31	29, 30	rmoi 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤) ∧ ((𝐵 × {(0g‘𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)) → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g‘𝐺)}))
32	18, 22, 26, 31	mp3an 1461	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g‘𝐺)})
33		mptresid 6080	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥)
34		fconstmpt 5762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 × {(0g‘𝐺)}) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺))
35	32, 33, 34	3eqtr3i 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺))
36		mpteqb 7048	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺)))
37		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐵)
38	36, 37	mprg 3073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺))
39	35, 38	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = (0g‘𝐺)
40	39	rspec 3256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = (0g‘𝐺))
41		velsn 4664	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
42	40, 41	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
43	42	ssriv 4012	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}
44	6, 23	grpidcl 19005	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
45	4, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵
46		snssi 4833	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
47	45, 46	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵
48	43, 47	eqssi 4025	. 2 ⊢ 𝐵 = {(0g‘𝐺)}
49		fvex 6933	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
50	49	ensn1 9082	. 2 ⊢ {(0g‘𝐺)} ≈ 1o
51	48, 50	eqbrtri 5187	1 ⊢ 𝐵 ≈ 1o

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃!wreu 3386  ∃*wrmo 3387  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   I cid 5592   × cxp 5698   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1_oc1o 8515   ≈ cen 9000  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973   GrpHom cghm 19252   ~_FG cefg 19748  freeGrpcfrgp 19749  var_FGrpcvrgp 19750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-splice 14798  df-reverse 14807  df-s2 14897  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-frmd 18884  df-vrmd 18885  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-ghm 19253  df-efg 19751  df-frgp 19752  df-vrgp 19753

This theorem is referenced by:  frgpcyg  21615