axeuclid - Metamath Proof Explorer

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Theorem axeuclid 26442

Description: Euclid's axiom. Take an angle 𝐵𝐴𝐶 and a point 𝐷 between 𝐵 and 𝐶. Now, if you extend the segment 𝐴𝐷 to a point 𝑇, then 𝑇 lies between two points 𝑥 and 𝑦 that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
axeuclid	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴,𝑦 𝑥,𝐵,𝑦 𝑥,𝐶,𝑦 𝑥,𝐷,𝑦 𝑥,𝑁,𝑦 𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem axeuclid Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl21 1231	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		simpl22 1232	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
3	1, 2	jca 504	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4		simpl23 1233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpl3r 1209	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
6	4, 5	jca 504	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7		simprll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))) → 𝑝 ∈ (0[,]1))
8		simprlr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))) → 𝑞 ∈ (0[,]1))
9		simp21 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
10	9	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		fveecn 26381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
12	10, 11	sylan 572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
13		simp3r 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
14	13	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		fveecn 26381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇‘𝑖) ∈ ℂ)
16	14, 15	sylan 572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇‘𝑖) ∈ ℂ)
17		mulid2 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐴‘𝑖)) = (𝐴‘𝑖))
18		mul02 10610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑇‘𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝑇‘𝑖)) = 0)
19	17, 18	oveqan12d 6989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝑇‘𝑖))) = ((𝐴‘𝑖) + 0))
20		addid1 10612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ → ((𝐴‘𝑖) + 0) = (𝐴‘𝑖))
21	20	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) + 0) = (𝐴‘𝑖))
22	19, 21	eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝑇‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖))
23	12, 16, 22	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝑇‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖))
24		oveq2 6978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 0 → (1 − 𝑝) = (1 − 0))
25		1m0e1 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 − 0) = 1
26	24, 25	syl6eq 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 0 → (1 − 𝑝) = 1)
27	26	oveq1d 6985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 0 → ((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) = (1 · (𝐴‘𝑖)))
28		oveq1 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 0 → (𝑝 · (𝑇‘𝑖)) = (0 · (𝑇‘𝑖)))
29	27, 28	oveq12d 6988	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 0 → (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝑇‘𝑖))))
30	29	eqeq1d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 0 → ((((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖) ↔ ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝑇‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖)))
31	30	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖) ↔ ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝑇‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖)))
32	23, 31	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖))
33	32	eqeq2d 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ↔ (𝐷‘𝑖) = (𝐴‘𝑖)))
34		eqcom 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷‘𝑖) = (𝐴‘𝑖) ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐷‘𝑖))
35	33, 34	syl6bb 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐷‘𝑖)))
36	35	biimpd 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) → (𝐴‘𝑖) = (𝐷‘𝑖)))
37	36	adantrd 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) → (𝐴‘𝑖) = (𝐷‘𝑖)))
38	37	ralimdva 3121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐷‘𝑖)))
39	38	impancom 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑝 = 0 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐷‘𝑖)))
40	9	ad2antrr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
41		simp3l 1181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
42	41	ad2antrr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
43		eqeefv 26382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐷 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐷‘𝑖)))
44	40, 42, 43	syl2anc 576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝐴 = 𝐷 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐷‘𝑖)))
45	39, 44	sylibrd 251	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝑝 = 0 → 𝐴 = 𝐷))
46	45	necon3d 2982	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝐴 ≠ 𝐷 → 𝑝 ≠ 0))
47	46	impr 447	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)) → 𝑝 ≠ 0)
48	47	anasss 459	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))) → 𝑝 ≠ 0)
49		eqtr2 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) → (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))))
50	49	ralimi 3104	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))))
51	50	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))))
52	51	ad2antll 716	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))))
53		axeuclidlem 26441	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑝 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))))
54	3, 6, 7, 8, 48, 52, 53	syl231anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))))
55	54	exp32 413	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))))))
56	55	rexlimdvv 3232	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖))))))
57		brbtwn 26378	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖)))))
58	41, 9, 13, 57	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖)))))
59		simp22 1187	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
60		simp23 1188	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
61		brbtwn 26378	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))))
62	41, 59, 60, 61	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))))
63	58, 62	3anbi12d 1416	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
64		r19.26 3114	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))))
65	64	2rexbii 3189	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))))
66		reeanv 3302	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))))
67	65, 66	bitri 267	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))))
68	67	anbi1i 614	. . . 4 ⊢ ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))
69		r19.41vv 3284	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))
70		df-3an 1070	. . . 4 ⊢ ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))
71	68, 69, 70	3bitr4i 295	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))
72	63, 71	syl6bbr 281	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑝 · (𝑇‘𝑖))) ∧ (𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐶‘𝑖)))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
73		simpl22 1232	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
74		simpl21 1231	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
75		simprl 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
76		brbtwn 26378	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖)))))
77	73, 74, 75, 76	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖)))))
78		simpl23 1233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
79		simprr 760	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
80		brbtwn 26378	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖)))))
81	78, 74, 79, 80	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖)))))
82		simpl3r 1209	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
83		brbtwn 26378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))))
84	82, 75, 79, 83	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))))
85	77, 81, 84	3anbi123d 1415	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖))))))
86		r19.26-3 3116	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))))
87	86	rexbii 3188	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))) ↔ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))))
88	87	2rexbii 3189	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))))
89		3reeanv 3303	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))))
90	88, 89	bitri 267	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖)))))
91	85, 90	syl6bbr 281	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖))))))
92	91	2rexbidva 3238	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝑥‘𝑖))) ∧ (𝐶‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑠 · (𝑦‘𝑖))) ∧ (𝑇‘𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑢 · (𝑦‘𝑖))))))
93	56, 72, 92	3imtr4d 286	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 387 ∧ w3a 1068 = wceq 1507 ∈ wcel 2048 ≠ wne 2961 ∀wral 3082 ∃wrex 3083 ⟨cop 4441 class class class wbr 4923 ‘cfv 6182 (class class class)co 6970 ℂcc 10325 0cc0 10327 1c1 10328 + caddc 10330 · cmul 10332 − cmin 10662 ℕcn 11431 [,]cicc 12550 ...cfz 12701 𝔼cee 26367 Btwn cbtwn 26368

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1758 ax-4 1772 ax-5 1869 ax-6 1928 ax-7 1964 ax-8 2050 ax-9 2057 ax-10 2077 ax-11 2091 ax-12 2104 ax-13 2299 ax-ext 2745 ax-sep 5054 ax-nul 5061 ax-pow 5113 ax-pr 5180 ax-un 7273 ax-cnex 10383 ax-resscn 10384 ax-1cn 10385 ax-icn 10386 ax-addcl 10387 ax-addrcl 10388 ax-mulcl 10389 ax-mulrcl 10390 ax-mulcom 10391 ax-addass 10392 ax-mulass 10393 ax-distr 10394 ax-i2m1 10395 ax-1ne0 10396 ax-1rid 10397 ax-rnegex 10398 ax-rrecex 10399 ax-cnre 10400 ax-pre-lttri 10401 ax-pre-lttrn 10402 ax-pre-ltadd 10403 ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 834 df-3or 1069 df-3an 1070 df-tru 1510 df-ex 1743 df-nf 1747 df-sb 2014 df-mo 2544 df-eu 2580 df-clab 2754 df-cleq 2765 df-clel 2840 df-nfc 2912 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3087 df-rex 3088 df-reu 3089 df-rmo 3090 df-rab 3091 df-v 3411 df-sbc 3678 df-csb 3783 df-dif 3828 df-un 3830 df-in 3832 df-ss 3839 df-pss 3841 df-nul 4174 df-if 4345 df-pw 4418 df-sn 4436 df-pr 4438 df-tp 4440 df-op 4442 df-uni 4707 df-iun 4788 df-br 4924 df-opab 4986 df-mpt 5003 df-tr 5025 df-id 5305 df-eprel 5310 df-po 5319 df-so 5320 df-fr 5359 df-we 5361 df-xp 5406 df-rel 5407 df-cnv 5408 df-co 5409 df-dm 5410 df-rn 5411 df-res 5412 df-ima 5413 df-pred 5980 df-ord 6026 df-on 6027 df-lim 6028 df-suc 6029 df-iota 6146 df-fun 6184 df-fn 6185 df-f 6186 df-f1 6187 df-fo 6188 df-f1o 6189 df-fv 6190 df-riota 6931 df-ov 6973 df-oprab 6974 df-mpo 6975 df-om 7391 df-1st 7494 df-2nd 7495 df-wrecs 7743 df-recs 7805 df-rdg 7843 df-er 8081 df-map 8200 df-en 8299 df-dom 8300 df-sdom 8301 df-pnf 10468 df-mnf 10469 df-xr 10470 df-ltxr 10471 df-le 10472 df-sub 10664 df-neg 10665 df-div 11091 df-nn 11432 df-z 11787 df-uz 12052 df-icc 12554 df-fz 12702 df-ee 26370 df-btwn 26371

This theorem is referenced by: eengtrkge 26466

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