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Theorem axeuclid 26067
Description: Euclid's axiom. Take an angle 𝐵𝐴𝐶 and a point 𝐷 between 𝐵 and 𝐶. Now, if you extend the segment 𝐴𝐷 to a point 𝑇, then 𝑇 lies between two points 𝑥 and 𝑦 that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
axeuclid ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem axeuclid
Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl21 1328 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 simpl22 1330 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
31, 2jca 503 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4 simpl23 1332 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 simpl3r 1296 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
64, 5jca 503 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7 simprll 788 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝑝 ∈ (0[,]1))
8 simprlr 789 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝑞 ∈ (0[,]1))
9 simp21 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
109ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
11 fveecn 26006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
1210, 11sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
13 simp3r 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
1413ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
15 fveecn 26006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ)
1614, 15sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ)
17 mulid2 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
18 mul02 10506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑇𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝑇𝑖)) = 0)
1917, 18oveqan12d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = ((𝐴𝑖) + 0))
20 addid1 10508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → ((𝐴𝑖) + 0) = (𝐴𝑖))
2120adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑖) + 0) = (𝐴𝑖))
2219, 21eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖))
2312, 16, 22syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖))
24 oveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 0 → (1 − 𝑝) = (1 − 0))
25 1m0e1 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 − 0) = 1
2624, 25syl6eq 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 0 → (1 − 𝑝) = 1)
2726oveq1d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 0 → ((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) = (1 · (𝐴𝑖)))
28 oveq1 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 0 → (𝑝 · (𝑇𝑖)) = (0 · (𝑇𝑖)))
2927, 28oveq12d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 0 → (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))))
3029eqeq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 0 → ((((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖) ↔ ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖)))
3130ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖) ↔ ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖)))
3223, 31mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖))
3332eqeq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ↔ (𝐷𝑖) = (𝐴𝑖)))
34 eqcom 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷𝑖) = (𝐴𝑖) ↔ (𝐴𝑖) = (𝐷𝑖))
3533, 34syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ↔ (𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
3635biimpd 220 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) → (𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
3736adantrd 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → (𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
3837ralimdva 3161 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
3938impancom 441 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → (𝑝 = 0 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
409ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
41 simp3l 1251 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
4241ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
43 eqeefv 26007 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐷 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
4440, 42, 43syl2anc 575 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → (𝐴 = 𝐷 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
4539, 44sylibrd 250 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → (𝑝 = 0 → 𝐴 = 𝐷))
4645necon3d 3010 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → (𝐴𝐷𝑝 ≠ 0))
4746impr 444 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷)) → 𝑝 ≠ 0)
4847anasss 454 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝑝 ≠ 0)
49 eqtr2 2837 . . . . . . . 8 (((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))
5049ralimi 3151 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))
5150adantr 468 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))
5251ad2antll 711 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))
53 axeuclidlem 26066 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑝 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
543, 6, 7, 8, 48, 52, 53syl231anc 1502 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
5554exp32 409 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))))
5655rexlimdvv 3236 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
57 brbtwn 26003 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖)))))
5841, 9, 13, 57syl3anc 1483 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖)))))
59 simp22 1257 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
60 simp23 1258 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
61 brbtwn 26003 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
6241, 59, 60, 61syl3anc 1483 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
6358, 623anbi12d 1554 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴𝐷) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐷)))
64 r19.26 3263 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
65642rexbii 3241 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
66 reeanv 3306 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
6765, 66bitri 266 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
6867anbi1i 612 . . . 4 ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) ↔ ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))
69 r19.41vv 3290 . . . 4 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))
70 df-3an 1102 . . . 4 ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐷) ↔ ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))
7168, 69, 703bitr4i 294 . . 3 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐷))
7263, 71syl6bbr 280 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴𝐷) ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷)))
73 simpl22 1330 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
74 simpl21 1328 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
75 simprl 778 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
76 brbtwn 26003 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖)))))
7773, 74, 75, 76syl3anc 1483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖)))))
78 simpl23 1332 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
79 simprr 780 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
80 brbtwn 26003 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖)))))
8178, 74, 79, 80syl3anc 1483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖)))))
82 simpl3r 1296 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
83 brbtwn 26003 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
8482, 75, 79, 83syl3anc 1483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
8577, 81, 843anbi123d 1553 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
86 r19.26-3 3265 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
8786rexbii 3240 . . . . . 6 (∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
88872rexbii 3241 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
89 3reeanv 3307 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
9088, 89bitri 266 . . . 4 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
9185, 90syl6bbr 280 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
92912rexbidva 3255 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
9356, 72, 923imtr4d 285 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wral 3107  wrex 3108  cop 4387   class class class wbr 4855  cfv 6108  (class class class)co 6881  cc 10226  0cc0 10228  1c1 10229   + caddc 10231   · cmul 10233  cmin 10558  cn 11312  [,]cicc 12403  ...cfz 12556  𝔼cee 25992   Btwn cbtwn 25993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-er 7986  df-map 8101  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-z 11651  df-uz 11912  df-icc 12407  df-fz 12557  df-ee 25995  df-btwn 25996
This theorem is referenced by:  eengtrkge  26090
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