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Theorem axeuclid 28846
Description: Euclid's axiom. Take an angle 𝐵𝐴𝐶 and a point 𝐷 between 𝐵 and 𝐶. Now, if you extend the segment 𝐴𝐷 to a point 𝑇, then 𝑇 lies between two points 𝑥 and 𝑦 that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
axeuclid ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem axeuclid
Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl21 1248 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 simpl22 1249 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
31, 2jca 510 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4 simpl23 1250 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 simpl3r 1226 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
64, 5jca 510 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7 simprll 777 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝑝 ∈ (0[,]1))
8 simprlr 778 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝑞 ∈ (0[,]1))
9 simp21 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
109ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
11 fveecn 28785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
1210, 11sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
13 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
1413ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
15 fveecn 28785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ)
1614, 15sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ)
17 mullid 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
18 mul02 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑇𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝑇𝑖)) = 0)
1917, 18oveqan12d 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = ((𝐴𝑖) + 0))
20 addrid 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → ((𝐴𝑖) + 0) = (𝐴𝑖))
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑖) + 0) = (𝐴𝑖))
2219, 21eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖))
2312, 16, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖))
24 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 0 → (1 − 𝑝) = (1 − 0))
25 1m0e1 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 − 0) = 1
2624, 25eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 0 → (1 − 𝑝) = 1)
2726oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 0 → ((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) = (1 · (𝐴𝑖)))
28 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 0 → (𝑝 · (𝑇𝑖)) = (0 · (𝑇𝑖)))
2927, 28oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 0 → (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))))
3029eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 0 → ((((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖) ↔ ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖)))
3130ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖) ↔ ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖)))
3223, 31mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖))
3332eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ↔ (𝐷𝑖) = (𝐴𝑖)))
34 eqcom 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷𝑖) = (𝐴𝑖) ↔ (𝐴𝑖) = (𝐷𝑖))
3533, 34bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ↔ (𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) → (𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
3736adantrd 490 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → (𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
3837ralimdva 3156 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
3938impancom 450 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → (𝑝 = 0 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
409ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
41 simp3l 1198 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
43 eqeefv 28786 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐷 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
4440, 42, 43syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → (𝐴 = 𝐷 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
4539, 44sylibrd 258 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → (𝑝 = 0 → 𝐴 = 𝐷))
4645necon3d 2950 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → (𝐴𝐷𝑝 ≠ 0))
4746impr 453 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷)) → 𝑝 ≠ 0)
4847anasss 465 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝑝 ≠ 0)
49 eqtr2 2749 . . . . . . . 8 (((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))
5049ralimi 3072 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))
5150adantr 479 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))
5251ad2antll 727 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))
53 axeuclidlem 28845 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑝 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
543, 6, 7, 8, 48, 52, 53syl231anc 1387 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
5554exp32 419 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))))
5655rexlimdvv 3200 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
57 brbtwn 28782 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖)))))
5841, 9, 13, 57syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖)))))
59 simp22 1204 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
60 simp23 1205 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
61 brbtwn 28782 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
6241, 59, 60, 61syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
6358, 623anbi12d 1433 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴𝐷) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐷)))
64 r19.26 3100 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
65642rexbii 3118 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
66 reeanv 3216 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
6765, 66bitri 274 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
6867anbi1i 622 . . . 4 ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) ↔ ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))
69 r19.41vv 3214 . . . 4 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))
70 df-3an 1086 . . . 4 ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐷) ↔ ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))
7168, 69, 703bitr4i 302 . . 3 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐷))
7263, 71bitr4di 288 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴𝐷) ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷)))
73 simpl22 1249 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
74 simpl21 1248 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
75 simprl 769 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
76 brbtwn 28782 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖)))))
7773, 74, 75, 76syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖)))))
78 simpl23 1250 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
79 simprr 771 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
80 brbtwn 28782 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖)))))
8178, 74, 79, 80syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖)))))
82 simpl3r 1226 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
83 brbtwn 28782 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
8482, 75, 79, 83syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
8577, 81, 843anbi123d 1432 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
86 r19.26-3 3101 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
8786rexbii 3083 . . . . . 6 (∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
88872rexbii 3118 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
89 3reeanv 3217 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
9088, 89bitri 274 . . . 4 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
9185, 90bitr4di 288 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
92912rexbidva 3207 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
9356, 72, 923imtr4d 293 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  cop 4636   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  cmin 11476  cn 12245  [,]cicc 13362  ...cfz 13519  𝔼cee 28771   Btwn cbtwn 28772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-z 12592  df-uz 12856  df-icc 13366  df-fz 13520  df-ee 28774  df-btwn 28775
This theorem is referenced by:  eengtrkge  28870
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