Theorem axcgrid 28154

Description: If there is no distance between 𝐴 and 𝐵, then 𝐴 = 𝐵. Axiom A3 of [Schwabhauser] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcgrid	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem axcgrid

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveecn 28140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
2		subid 11475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ → ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) = 0)
3	2	sq0id 14154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ → (((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) = 0)
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) = 0)
5	4	sumeq2dv 15645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)0)
6		fzfid 13934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
7		sumz 15664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑁) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)0 = 0)
8	7	olcs 875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)0 = 0)
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)0 = 0)
10	5, 9	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) = 0)
11	10	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) = 0)
12	11	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0))
13		fzfid 13934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
14		fveere 28139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
16		fveere 28139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
17	16	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
18	15, 17	resubcld 11638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
19	18	resqcld 14086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
20	18	sqge0d 14098	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2))
21	13, 19, 20	fsum00 15740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0))
22		fveecn 28140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
23		fveecn 28140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
24		subcl 11455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
25		sqeq0 14081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = 0))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = 0))
27		subeq0 11482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = 0 ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
28	26, 27	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
29	22, 23, 28	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
30	29	anandirs 678	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
31	30	ralbidva 3176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
32	21, 31	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
33	32	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
34	12, 33	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
35		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
36		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
37		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
38		brcgr 28138	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
39	35, 36, 37, 37, 38	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
40		eqeefv 28141	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
41	40	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
42	34, 39, 41	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ ↔ 𝐴 = 𝐵))
43	42	biimpd 228	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐴 = 𝐵))
44	43	adantl 483	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3947  ⟨cop 4633   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Fincfn 8935  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   − cmin 11440  ℕcn 12208  2c2 12263  ℤ_≥cuz 12818  ...cfz 13480  ↑cexp 14023  Σcsu 15628  𝔼cee 28126  Cgrccgr 28128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-ee 28129  df-cgr 28131

This theorem is referenced by:  eengtrkg  28224  cgrtriv  34912  cgrid2  34913  cgrdegen  34914  segconeq  34920  btwntriv2  34922  btwnconn1lem7  35003  btwnconn1lem11  35007  btwnconn1lem12  35008