Theorem axcgrid 28931

Description: If there is no distance between 𝐴 and 𝐵, then 𝐴 = 𝐵. Axiom A3 of [Schwabhauser] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcgrid	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem axcgrid

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveecn 28917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
2		subid 11528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ → ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) = 0)
3	2	sq0id 14233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ → (((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) = 0)
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) = 0)
5	4	sumeq2dv 15738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)0)
6		fzfid 14014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
7		sumz 15758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑁) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)0 = 0)
8	7	olcs 877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)0 = 0)
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)0 = 0)
10	5, 9	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) = 0)
11	10	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) = 0)
12	11	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0))
13		fzfid 14014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
14		fveere 28916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
16		fveere 28916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
17	16	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
18	15, 17	resubcld 11691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
19	18	resqcld 14165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
20	18	sqge0d 14177	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2))
21	13, 19, 20	fsum00 15834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0))
22		fveecn 28917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
23		fveecn 28917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
24		subcl 11507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
25		sqeq0 14160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = 0))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = 0))
27		subeq0 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = 0 ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
28	26, 27	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
29	22, 23, 28	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
30	29	anandirs 679	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
31	30	ralbidva 3176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
32	21, 31	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
33	32	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
34	12, 33	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
35		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
36		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
37		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
38		brcgr 28915	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
39	35, 36, 37, 37, 38	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
40		eqeefv 28918	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
41	40	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
42	34, 39, 41	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ ↔ 𝐴 = 𝐵))
43	42	biimpd 229	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐴 = 𝐵))
44	43	adantl 481	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  Σcsu 15722  𝔼cee 28903  Cgrccgr 28905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-ee 28906  df-cgr 28908

This theorem is referenced by:  eengtrkg  29001  cgrtriv  36003  cgrid2  36004  cgrdegen  36005  segconeq  36011  btwntriv2  36013  btwnconn1lem7  36094  btwnconn1lem11  36098  btwnconn1lem12  36099