MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcgrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcgrid 26016
Description: If there is no distance between 𝐴 and 𝐵, then 𝐴 = 𝐵. Axiom A3 of [Schwabhauser] p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcgrid ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem axcgrid
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveecn 26002 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
2 subid 10588 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝑖) ∈ ℂ → ((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖)) = 0)
32sq0id 13183 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑖) ∈ ℂ → (((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) = 0)
41, 3syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) = 0)
54sumeq2dv 14659 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)0)
6 fzfid 12999 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
7 sumz 14679 . . . . . . . . . 10 (((1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝑁) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)0 = 0)
87olcs 894 . . . . . . . . 9 ((1...𝑁) ∈ Fin → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)0 = 0)
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)0 = 0)
105, 9eqtrd 2847 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) = 0)
11103ad2ant3 1158 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) = 0)
1211eqeq2d 2823 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 0))
13 fzfid 12999 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
14 fveere 26001 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
1514adantlr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
16 fveere 26001 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1716adantll 696 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1815, 17resubcld 10746 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
1918resqcld 13261 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ ℝ)
2018sqge0d 13262 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2))
2113, 19, 20fsum00 14755 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 0))
22 fveecn 26002 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
23 fveecn 26002 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
24 subcl 10568 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
25 sqeq0 13153 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ → ((((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 0 ↔ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) = 0))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) → ((((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 0 ↔ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) = 0))
27 subeq0 10595 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) = 0 ↔ (𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
2826, 27bitrd 270 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) → ((((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 0 ↔ (𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
2922, 23, 28syl2an 585 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 0 ↔ (𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
3029anandirs 661 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 0 ↔ (𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
3130ralbidva 3180 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
3221, 31bitrd 270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
33323adant3 1155 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
3412, 33bitrd 270 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
35 simp1 1159 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
36 simp2 1160 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
37 simp3 1161 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
38 brcgr 26000 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
3935, 36, 37, 37, 38syl22anc 858 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
40 eqeefv 26003 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
41403adant3 1155 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
4234, 39, 413bitr4d 302 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ ↔ 𝐴 = 𝐵))
4342biimpd 220 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐴 = 𝐵))
4443adantl 469 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wral 3103  wss 3776  cop 4383   class class class wbr 4851  cfv 6104  (class class class)co 6877  Fincfn 8195  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225  cmin 10554  cn 11308  2c2 11359  cuz 11907  ...cfz 12552  cexp 13086  Σcsu 14642  𝔼cee 25988  Cgrccgr 25990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-rp 12050  df-ico 12402  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-seq 13028  df-exp 13087  df-hash 13341  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-clim 14445  df-sum 14643  df-ee 25991  df-cgr 25993
This theorem is referenced by:  eengtrkg  26085  cgrtriv  32435  cgrid2  32436  cgrdegen  32437  segconeq  32443  btwntriv2  32445  btwnconn1lem7  32526  btwnconn1lem11  32530  btwnconn1lem12  32531
  Copyright terms: Public domain W3C validator