MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem5 28962
Description: Lemma for ax5seg 28967. If 𝐵 is between 𝐴 and 𝐶, and 𝐴 is distinct from 𝐵, then 𝐴 is distinct from 𝐶. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝐵𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑇,𝑖   𝑖,𝑁,𝑗
Allowed substitution hint:   𝑇(𝑗)

Proof of Theorem ax5seglem5
StepHypRef Expression
1 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = 𝐶 → (𝐴𝑖) = (𝐶𝑖))
21oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = 𝐶 → (𝑇 · (𝐴𝑖)) = (𝑇 · (𝐶𝑖)))
32oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 𝐶 → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))
43eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝐶 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))))
54ralbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐶 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))))
65biimparc 479 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴 = 𝐶) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖))))
7 simplr1 1214 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
8 simplr2 1215 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 eqeefv 28932 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
107, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
11 fveecn 28931 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
127, 11sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
13 elicc01 13502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
1413simp1bi 1144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
1514recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
1615ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
17 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
18 npcan 11514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
1917, 18mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
2019oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ∈ ℂ → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (𝐴𝑖)) = (1 · (𝐴𝑖)))
21 mullid 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
2220, 21sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
23 subcl 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
2417, 23mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
27 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
2825, 26, 27adddird 11283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖))))
2922, 28eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖))))
3029eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑖) = (𝐵𝑖) ↔ (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖))) = (𝐵𝑖)))
3112, 16, 30syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) = (𝐵𝑖) ↔ (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖))) = (𝐵𝑖)))
32 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖))) = (𝐵𝑖) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖))))
3331, 32bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) = (𝐵𝑖) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖)))))
3433ralbidva 3173 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖)))))
3510, 34bitrd 279 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐴𝑖)))))
366, 35imbitrrid 246 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
3736expd 415 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) → (𝐴 = 𝐶𝐴 = 𝐵)))
3837impr 454 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (𝐴 = 𝐶𝐴 = 𝐵))
3938necon3d 2958 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
4039ex 412 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
4140com23 86 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴𝐵 → ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → 𝐴𝐶)))
4241exp4a 431 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴𝐵 → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) → 𝐴𝐶))))
43423imp2 1348 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝐵𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → 𝐴𝐶)
44 simplr1 1214 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝐵𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
45 simplr3 1216 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝐵𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
46 eqeelen 28933 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐶 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = 0))
4744, 45, 46syl2anc 584 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝐵𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (𝐴 = 𝐶 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = 0))
4847necon3bid 2982 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝐵𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (𝐴𝐶 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ≠ 0))
4943, 48mpbid 232 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝐵𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  2c2 12318  [,]cicc 13386  ...cfz 13543  cexp 14098  Σcsu 15718  𝔼cee 28917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-ee 28920
This theorem is referenced by:  ax5seglem6  28963
  Copyright terms: Public domain W3C validator