Theorem ax5seglem5 28663

Description: Lemma for ax5seg 28668. If 𝐵 is between 𝐴 and 𝐶, and 𝐴 is distinct from 𝐵, then 𝐴 is distinct from 𝐶. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem5	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑇,𝑖   𝑖,𝑁,𝑗

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑗)

Proof of Theorem ax5seglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (𝐴‘𝑖) = (𝐶‘𝑖))
2	1	oveq2d 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (𝑇 · (𝐴‘𝑖)) = (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))
3	2	oveq2d 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))
4	3	eqeq2d 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))))
5	4	ralbidv 3169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))))
6	5	biimparc 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 = 𝐶) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))))
7		simplr1 1212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		simplr2 1213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		eqeefv 28633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
10	7, 8, 9	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
11		fveecn 28632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
12	7, 11	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
13		elicc01 13441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
14	13	simp1bi 1142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
16	15	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
17		ax-1cn 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		npcan 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
19	17, 18	mpan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
20	19	oveq1d 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = (1 · (𝐴‘𝑖)))
21		mullid 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐴‘𝑖)) = (𝐴‘𝑖))
22	20, 21	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = (𝐴‘𝑖))
23		subcl 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
24	17, 23	mpan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
27		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	adddird 11237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))))
29	22, 28	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))))
30	29	eqeq1d 2726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))) = (𝐵‘𝑖)))
31	12, 16, 30	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))) = (𝐵‘𝑖)))
32		eqcom 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖))))
33	31, 32	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖)))))
34	33	ralbidva 3167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖)))))
35	10, 34	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐴‘𝑖)))))
36	6, 35	imbitrrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
37	36	expd 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) → (𝐴 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵)))
38	37	impr 454	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝐴 = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵))
39	38	necon3d 2953	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐶))
40	39	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐶)))
41	40	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → 𝐴 ≠ 𝐶)))
42	41	exp4a 431	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) → 𝐴 ≠ 𝐶))))
43	42	3imp2 1346	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝐴 ≠ 𝐶)
44		simplr1 1212	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
45		simplr3 1214	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
46		eqeelen 28634	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐶 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = 0))
47	44, 45, 46	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝐴 = 𝐶 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) = 0))
48	47	necon3bid 2977	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ≠ 0))
49	43, 48	mpbid 231	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))↑2) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   ≤ cle 11247   − cmin 11442  ℕcn 12210  2c2 12265  [,]cicc 13325  ...cfz 13482  ↑cexp 14025  Σcsu 15630  𝔼cee 28618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-clim 15430  df-sum 15631  df-ee 28621

This theorem is referenced by:  ax5seglem6  28664