MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem5 28699
Description: Lemma for ax5seg 28704. If ๐ต is between ๐ด and ๐ถ, and ๐ด is distinct from ๐ต, then ๐ด is distinct from ๐ถ. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โ‰  0)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–,๐‘—   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐ถ,๐‘–,๐‘—   ๐‘‡,๐‘–   ๐‘–,๐‘,๐‘—
Allowed substitution hint:   ๐‘‡(๐‘—)

Proof of Theorem ax5seglem5
StepHypRef Expression
1 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด = ๐ถ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ถโ€˜๐‘–))
21oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด = ๐ถ โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))
32oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด = ๐ถ โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
43eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด = ๐ถ โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
54ralbidv 3171 . . . . . . . . . . 11 (๐ด = ๐ถ โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
65biimparc 479 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐ด = ๐ถ) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–))))
7 simplr1 1212 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
8 simplr2 1213 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
9 eqeefv 28669 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–)))
107, 8, 9syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–)))
11 fveecn 28668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
127, 11sylan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
13 elicc01 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โ‰ค 1))
1413simp1bi 1142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
1514recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
1615ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
17 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„‚
18 npcan 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) + ๐‘‡) = 1)
1917, 18mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) + ๐‘‡) = 1)
2019oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) + ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = (1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))
21 mullid 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = (๐ดโ€˜๐‘–))
2220, 21sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) + ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = (๐ดโ€˜๐‘–))
23 subcl 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
2417, 23mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
27 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
2825, 26, 27adddird 11243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) + ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–))))
2922, 28eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–))))
3029eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) = (๐ตโ€˜๐‘–)))
3112, 16, 30syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) = (๐ตโ€˜๐‘–)))
32 eqcom 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–))))
3331, 32bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))))
3433ralbidva 3169 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))))
3510, 34bitrd 279 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))))
366, 35imbitrrid 245 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐ด = ๐ถ) โ†’ ๐ด = ๐ต))
3736expd 415 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†’ (๐ด = ๐ถ โ†’ ๐ด = ๐ต)))
3837impr 454 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐ด = ๐ถ โ†’ ๐ด = ๐ต))
3938necon3d 2955 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐ด โ‰  ๐ต โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ))
4039ex 412 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ (๐ด โ‰  ๐ต โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ)))
4140com23 86 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด โ‰  ๐ต โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ)))
4241exp4a 431 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด โ‰  ๐ต โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ))))
43423imp2 1346 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ)
44 simplr1 1212 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
45 simplr3 1214 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
46 eqeelen 28670 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ด = ๐ถ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) = 0))
4744, 45, 46syl2anc 583 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐ด = ๐ถ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) = 0))
4847necon3bid 2979 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ (๐ด โ‰  ๐ถ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โ‰  0))
4943, 48mpbid 231 1 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14032  ฮฃcsu 15638  ๐”ผcee 28654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-ee 28657
This theorem is referenced by:  ax5seglem6  28700
  Copyright terms: Public domain W3C validator