Theorem colinearalg 28695

Description: An algebraic characterization of colinearity. Note the similarity to brbtwn2 28690. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalg	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗

Proof of Theorem colinearalg

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brbtwn2 28690	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
2		brbtwn2 28690	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))))
3	2	3comr 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))))
4		colinearalglem3 28693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
5	4	3comr 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
6	5	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
7	3, 6	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
8		brbtwn2 28690	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))))))
9		colinearalglem2 28692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
10	9	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
11	8, 10	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
12	11	3coml 1125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
13	1, 7, 12	3orbi123d 1432	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))))
14		fveecn 28687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
15		fveecn 28687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
16		subid 11495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ → ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) = 0)
17	16	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · 0))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · 0))
19		subcl 11475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
20	19	mul01d 11429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · 0) = 0)
21	18, 20	eqtrd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = 0)
22	14, 15, 21	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = 0)
23	22	anandirs 678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = 0)
24		0le0 12329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
25	23, 24	eqbrtrdi 5181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
26	25	ralrimiva 3141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
27	26	3adant1 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
28		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → (𝐶‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
29	28	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
30	28	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
31	29, 30	oveq12d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
32	31	breq1d 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
33	32	ralbidv 3172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
34	27, 33	syl5ibcom 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
35		3mix1 1328	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
36	34, 35	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
37	36	a1dd 50	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))))
38		simp3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
39		simp1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40		eqeefv 28688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝)))
41	38, 39, 40	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝)))
42	41	necon3abid 2972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 ≠ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝)))
43		df-ne 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝) ↔ ¬ (𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝))
44	43	rexbii 3089	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝))
45		rexnal 3095	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝))
46	44, 45	bitr2i 276	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))
47	42, 46	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 ≠ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)))
48		ralcom 3281	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
49		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (𝐶‘𝑗) = (𝐶‘𝑝))
50		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑝))
51	49, 50	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))
52	51	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))))
53		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑝))
54	53, 50	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))
55	54	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
56	52, 55	eqeq12d 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
57	56	ralbidv 3172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
58	57	rspcv 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
59	58	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
60		fveere 28686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ)
61	60	3ad2antl1 1183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ)
62		fveere 28686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ)
63	62	3ad2antl2 1184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ)
64		fveere 28686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ)
65	64	3ad2antl3 1185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ)
66	61, 63, 65	3jca 1126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ))
67	66	anim1i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)))
68	67	anasss 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)))
69		fveecn 28687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
70	69	3ad2antl1 1183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
71	14	3ad2antl2 1184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
72	15	3ad2antl3 1185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
73	70, 71, 72	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ))
74	73	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ))
75		recn 11214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
76		recn 11214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑝) ∈ ℝ → (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ)
77		recn 11214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶‘𝑝) ∈ ℝ → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
78	75, 76, 77	3anim123i 1149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ))
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ))
80	79	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ))
81		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))
82		eqcom 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) ↔ (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖))
83		simp12 1202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
84		simp11 1201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
85		simp22 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ)
86		simp21 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
87	85, 86	subcld 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℂ)
88		simp23 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
89	88, 86	subcld 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℂ)
90		simpr3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
91		simpr1 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
92	90, 91	subeq0ad 11597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) = 0 ↔ (𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝)))
93	92	necon3bid 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)))
94	93	biimp3ar 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≠ 0)
95	87, 89, 94	divcld 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ∈ ℂ)
96		simp13 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
97	96, 84	subcld 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
98	95, 97	mulcld 11250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
99		subadd2 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖)))
100	99	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ) → ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖) ↔ ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
101	83, 84, 98, 100	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖) ↔ ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
102	87, 97, 89, 94	div23d 12043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
103	102	eqeq2d 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ↔ ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
104		eqcom 2734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ↔ ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
105	87, 97	mulcld 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
106	83, 84	subcld 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
107	105, 89, 106, 94	divmuld 12028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ↔ (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
108	89, 106	mulcomd 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))))
109	108	eqeq1d 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
110	107, 109	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
111	104, 110	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
112	101, 103, 111	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
113	82, 112	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
114	74, 80, 81, 113	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
115	114	ralbidva 3170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
116		3simpb 1147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
117		simpl2 1190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ)
118		simpl1 1189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ)
119	117, 118	resubcld 11658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℝ)
120		simpl3 1191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ)
121	120, 118	resubcld 11658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℝ)
122		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ)
123	122	recnd 11258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
124	75	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
125	123, 124	subeq0ad 11597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) = 0 ↔ (𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝)))
126	125	necon3bid 2980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)))
127	126	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≠ 0)
128	119, 121, 127	redivcld 12058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ∈ ℝ)
129		colinearalglem4 28694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
130		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)))
131	130	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
132	131	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
133	132	ralimi 3078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
134		ralbi 3098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
136		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
137		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
138	136, 137	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) = (((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))))
139	138	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
140	139	ralimi 3078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
141		ralbi 3098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
142	140, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
143		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) = ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖)))
144	143	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))))
145	144	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
146	145	ralimi 3078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
147		ralbi 3098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
149	135, 142, 148	3orbi123d 1432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
150	129, 149	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
151	116, 128, 150	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
152	115, 151	sylbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
153	68, 152	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
154	59, 153	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
155	48, 154	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
156	155	rexlimdvaa 3151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))))
157	47, 156	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 ≠ 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))))
158	37, 157	pm2.61dne 3023	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
159	158	pm4.71rd 562	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
160		andir 1007	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
161	160	orbi1i 912	. . . 4 ⊢ ((((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
162		df-3or 1086	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
163	162	anbi1i 623	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
164		andir 1007	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
165	163, 164	bitri 275	. . . 4 ⊢ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
166		df-3or 1086	. . . 4 ⊢ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
167	161, 165, 166	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
168	159, 167	bitr2di 288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
169	13, 168	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∨ w3o 1084   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∀wral 3056  ∃wrex 3065  ⟨cop 4630   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   ≤ cle 11265   − cmin 11460   / cdiv 11887  ...cfz 13502  𝔼cee 28673   Btwn cbtwn 28674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-icc 13349  df-fz 13503  df-seq 13985  df-exp 14045  df-ee 28676  df-btwn 28677

This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  28732