Theorem colinearalg 28951

Description: An algebraic characterization of colinearity. Note the similarity to brbtwn2 28946. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalg	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗

Proof of Theorem colinearalg

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brbtwn2 28946	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
2		brbtwn2 28946	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))))
3	2	3comr 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))))
4		colinearalglem3 28949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
5	4	3comr 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
6	5	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
7	3, 6	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
8		brbtwn2 28946	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))))))
9		colinearalglem2 28948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
10	9	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
11	8, 10	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
12	11	3coml 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
13	1, 7, 12	3orbi123d 1436	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))))
14		fveecn 28943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
15		fveecn 28943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
16		subid 11535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ → ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) = 0)
17	16	oveq2d 7454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · 0))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · 0))
19		subcl 11514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
20	19	mul01d 11467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · 0) = 0)
21	18, 20	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = 0)
22	14, 15, 21	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = 0)
23	22	anandirs 679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = 0)
24		0le0 12374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
25	23, 24	eqbrtrdi 5190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
26	25	ralrimiva 3146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
27	26	3adant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)
28		fveq1 6913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → (𝐶‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
29	28	oveq2d 7454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
30	28	oveq2d 7454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
31	29, 30	oveq12d 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
32	31	breq1d 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
33	32	ralbidv 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
34	27, 33	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
35		3mix1 1331	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
36	34, 35	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
37	36	a1dd 50	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))))
38		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
39		simp1 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40		eqeefv 28944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝)))
41	38, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 = 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝)))
42	41	necon3abid 2977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 ≠ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝)))
43		df-ne 2941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝) ↔ ¬ (𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝))
44	43	rexbii 3094	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝))
45		rexnal 3100	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝))
46	44, 45	bitr2i 276	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))
47	42, 46	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 ≠ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)))
48		ralcom 3289	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
49		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (𝐶‘𝑗) = (𝐶‘𝑝))
50		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑝))
51	49, 50	oveq12d 7456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))
52	51	oveq2d 7454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))))
53		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑝))
54	53, 50	oveq12d 7456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))
55	54	oveq1d 7453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
56	52, 55	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
57	56	ralbidv 3178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
58	57	rspcv 3621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
59	58	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
60		fveere 28942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ)
61	60	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ)
62		fveere 28942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ)
63	62	3ad2antl2 1187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ)
64		fveere 28942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ)
65	64	3ad2antl3 1188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ)
66	61, 63, 65	3jca 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ))
67	66	anim1i 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)))
68	67	anasss 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)))
69		fveecn 28943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
70	69	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
71	14	3ad2antl2 1187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
72	15	3ad2antl3 1188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
73	70, 71, 72	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ))
74	73	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ))
75		recn 11252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
76		recn 11252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑝) ∈ ℝ → (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ)
77		recn 11252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶‘𝑝) ∈ ℝ → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
78	75, 76, 77	3anim123i 1152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ))
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ))
80	79	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ))
81		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))
82		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) ↔ (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖))
83		simp12 1205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
84		simp11 1204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
85		simp22 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ)
86		simp21 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
87	85, 86	subcld 11627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℂ)
88		simp23 1209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
89	88, 86	subcld 11627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℂ)
90		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
91		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
92	90, 91	subeq0ad 11637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) = 0 ↔ (𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝)))
93	92	necon3bid 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)))
94	93	biimp3ar 1471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≠ 0)
95	87, 89, 94	divcld 12050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ∈ ℂ)
96		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
97	96, 84	subcld 11627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
98	95, 97	mulcld 11288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
99		subadd2 11519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖)))
100	99	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ) → ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖) ↔ ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
101	83, 84, 98, 100	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖) ↔ ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
102	87, 97, 89, 94	div23d 12087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
103	102	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ↔ ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
104		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ↔ ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))
105	87, 97	mulcld 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
106	83, 84	subcld 11627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
107	105, 89, 106, 94	divmuld 12072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ↔ (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
108	89, 106	mulcomd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))))
109	108	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
110	107, 109	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
111	104, 110	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
112	101, 103, 111	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
113	82, 112	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
114	74, 80, 81, 113	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
115	114	ralbidva 3176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
116		3simpb 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
117		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ)
118		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ)
119	117, 118	resubcld 11698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℝ)
120		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ)
121	120, 118	resubcld 11698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℝ)
122		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ)
123	122	recnd 11296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
124	75	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
125	123, 124	subeq0ad 11637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) = 0 ↔ (𝐶‘𝑝) = (𝐴‘𝑝)))
126	125	necon3bid 2985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)))
127	126	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≠ 0)
128	119, 121, 127	redivcld 12102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝)) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ∈ ℝ)
129		colinearalglem4 28950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
130		oveq1 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)))
131	130	oveq1d 7453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))
132	131	breq1d 5161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
133	132	ralimi 3083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
134		ralbi 3103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0))
136		oveq2 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
137		oveq2 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))))
138	136, 137	oveq12d 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) = (((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))))
139	138	breq1d 5161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
140	139	ralimi 3083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
141		ralbi 3103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
142	140, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0))
143		oveq1 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) = ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖)))
144	143	oveq2d 7454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))))
145	144	breq1d 5161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
146	145	ralimi 3083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
147		ralbi 3103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
149	135, 142, 148	3orbi123d 1436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖))) · ((𝐴‘𝑖) − (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
150	129, 149	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ∈ ℝ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
151	116, 128, 150	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) + (𝐴‘𝑖)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
152	115, 151	sylbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
153	68, 152	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
154	59, 153	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
155	48, 154	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
156	155	rexlimdvaa 3156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐶‘𝑝) ≠ (𝐴‘𝑝) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))))
157	47, 156	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 ≠ 𝐴 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))))
158	37, 157	pm2.61dne 3028	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0)))
159	158	pm4.71rd 562	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
160		andir 1011	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
161	160	orbi1i 914	. . . 4 ⊢ ((((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
162		df-3or 1088	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0))
163	162	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
164		andir 1011	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
165	163, 164	bitri 275	. . . 4 ⊢ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
166		df-3or 1088	. . . 4 ⊢ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))) ↔ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
167	161, 165, 166	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
168	159, 167	bitr2di 288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ∨ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))
169	13, 168	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ⟨cop 4640   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  ℂcc 11160  ℝcr 11161  0cc0 11162  1c1 11163   + caddc 11165   · cmul 11167   ≤ cle 11303   − cmin 11499   / cdiv 11927  ...cfz 13553  𝔼cee 28929   Btwn cbtwn 28930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-icc 13400  df-fz 13554  df-seq 14049  df-exp 14109  df-ee 28932  df-btwn 28933

This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  28988