MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brbtwn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brbtwn2 28935
Description: Alternate characterization of betweenness, with no existential quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
brbtwn2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗

Proof of Theorem brbtwn2
Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brbtwn 28929 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))))
2 fveere 28931 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
323ad2antl2 1185 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
4 fveere 28931 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
543ad2antl3 1186 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
63, 5jca 511 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ))
7 resubcl 11571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
873adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
98recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
109sqvald 14180 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) = (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))))
1110oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))))
12 elicc01 13503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
1312simp1bi 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
1413recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
15143ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
16 1re 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
17 resubcl 11571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
1816, 13, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
19183ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
2019recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
2120negcld 11605 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -(1 − 𝑡) ∈ ℂ)
2215, 9, 21, 9mul4d 11471 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) · (-(1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))))
23 recn 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑖) ∈ ℝ → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
24233ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
25 recn 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶𝑖) ∈ ℝ → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
26253ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
2715, 24, 26subdid 11717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝑡 · (𝐵𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
28 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
29 subdir 11695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
3028, 20, 24, 29mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
31 nncan 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
3228, 15, 31sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
3332oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = (𝑡 · (𝐵𝑖)))
3424mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
3534oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = ((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
3630, 33, 353eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐵𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
3736oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · (𝐵𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
38 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
3919, 38remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
4039recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
41133ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
42 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
4341, 42remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
4443recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
4524, 40, 44subsub4d 11649 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4627, 37, 453eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4720, 9mulneg1d 11714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = -((1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))))
4820, 24, 26subdid 11717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖))))
49 subdir 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
5028, 15, 26, 49mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
5126mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐶𝑖)) = (𝐶𝑖))
5251oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
5350, 52eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
5453oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) − ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
5540, 26, 44subsub3d 11648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) − ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖)))) = ((((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) − (𝐶𝑖)))
5648, 54, 553eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) − (𝐶𝑖)))
5756negeqd 11500 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = -((((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) − (𝐶𝑖)))
5839, 43readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∈ ℝ)
5958recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∈ ℂ)
6059, 26negsubdi2d 11634 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) − (𝐶𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
6147, 57, 603eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
6246, 61oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) · (-(1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
6311, 22, 623eqtr2rd 2782 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
6415, 20mulneg2d 11715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · -(1 − 𝑡)) = -(𝑡 · (1 − 𝑡)))
6564oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) = (-(𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
6641, 19remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (1 − 𝑡)) ∈ ℝ)
6766recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (1 − 𝑡)) ∈ ℂ)
688resqcld 14162 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
6968recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℂ)
7067, 69mulneg1d 11714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) = -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
7165, 70eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) = -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
7212simp2bi 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑡)
7312simp3bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
74 subge0 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
7516, 13, 74sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0[,]1) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
7673, 75mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (1 − 𝑡))
7713, 18, 72, 76mulge0d 11838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑡 · (1 − 𝑡)))
78773ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (𝑡 · (1 − 𝑡)))
798sqge0d 14174 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
8066, 68, 78, 79mulge0d 11838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
8166, 68remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
8281le0neg2d 11833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0 ≤ ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ↔ -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ≤ 0))
8380, 82mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ≤ 0)
8471, 83eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ≤ 0)
8563, 84eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
86853expa 1117 . . . . . . . 8 ((((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
876, 86sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
8887an32s 652 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
8988ralrimiva 3144 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
90 fveecn 28932 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
91 fveecn 28932 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
9290, 91anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
9392anandirs 679 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
94 fveecn 28932 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
95 fveecn 28932 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
9694, 95anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ))
9796anandirs 679 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ))
9893, 97anim12dan 619 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)))
99983adantl1 1165 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)))
100 subcl 11505 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
1011003ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
102 subcl 11505 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
103102ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
1041033ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
105101, 104mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))))
106 simp2r 1199 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
107 simp2l 1198 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
108 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
109 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
110 mulsub2 11705 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))))
111106, 107, 108, 109, 110syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))))
112105, 111eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))))
113112oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))) = ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))))
114 simp3 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
115 subcl 11505 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
11628, 115mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
1171163ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
118114, 117, 101, 104mul4d 11471 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))) = ((𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))))
119114, 108, 109subdid 11717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝑡 · (𝐵𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
12028, 117, 108, 29mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
12128, 31mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
1221213ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
123122oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = (𝑡 · (𝐵𝑖)))
124108mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
125124oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = ((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
126120, 123, 1253eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐵𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
127126oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (𝐵𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
128117, 108mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
129114, 109mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
130108, 128, 129subsub4d 11649 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
131119, 127, 1303eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
132117, 106, 107subdid 11717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
133 subdir 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
13428, 114, 106, 133mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
135106mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶𝑗)) = (𝐶𝑗))
136135oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
137134, 136eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) = ((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
138137oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
139132, 138eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
140114, 106mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
141117, 107mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
142106, 140, 141sub32d 11650 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
143106, 141, 140subsub4d 11649 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
144139, 142, 1433eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
145131, 144oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))))
146118, 145eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))))
147 subcl 11505 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
1481473ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
149 subcl 11505 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
150149ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
1511503ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
152114, 117, 148, 151mul4d 11471 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))) = ((𝑡 · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))))
153114, 107, 106subdid 11717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) = ((𝑡 · (𝐵𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
154 subdir 11695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑗)) = ((1 · (𝐵𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
15528, 117, 107, 154mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑗)) = ((1 · (𝐵𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
156122oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑗)) = (𝑡 · (𝐵𝑗)))
157107mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐵𝑗)) = (𝐵𝑗))
158157oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) = ((𝐵𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
159155, 156, 1583eqtr3rd 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) = (𝑡 · (𝐵𝑗)))
160159oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) = ((𝑡 · (𝐵𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
161107, 141, 140subsub4d 11649 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) = ((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
162153, 160, 1613eqtr2d 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) = ((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
163117, 109, 108subdid 11717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
16428, 114, 109, 49mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
165109mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶𝑖)) = (𝐶𝑖))
166165oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
167164, 166eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
168167oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = (((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
169109, 129, 128sub32d 11650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = (((𝐶𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
170109, 128, 129subsub4d 11649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
171169, 170eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
172163, 168, 1713eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
173162, 172oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
174152, 173eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
175113, 146, 1743eqtr3d 2783 . . . . . . . . 9 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
1761753expa 1117 . . . . . . . 8 (((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
17799, 14, 176syl2an 596 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
178177an32s 652 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
179178ralrimivva 3200 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
180 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
181 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
182181oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)))
183 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
184183oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = (𝑡 · (𝐶𝑖)))
185182, 184oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))
186180, 185eqeq12d 2751 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
187186rspccva 3621 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))
188 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
189 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
190188, 189oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
191190breq1d 5158 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0))
192187, 191syl 17 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0))
193192ralbidva 3174 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0))
194 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
195 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
196195oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)))
197 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑗))
198197oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = (𝑡 · (𝐶𝑗)))
199196, 198oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))
200194, 199eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
201200rspccva 3621 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))
202 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))) → ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
203188, 202oveqan12d 7450 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))))
204 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))) → ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
205204, 189oveqan12rd 7451 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) → (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
206203, 205eqeq12d 2751 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
207187, 201, 206syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
208207anandis 678 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
2092082ralbidva 3217 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
210193, 209anbi12d 632 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))))
211210biimprcd 250 . . . . 5 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
21289, 179, 211syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
213212rexlimdva 3153 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
214 fveere 28931 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
2152143ad2antl1 1184 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
216 mulsuble0b 12138 . . . . . . 7 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
2173, 215, 5, 216syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
218217ralbidva 3174 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
219218anbi1d 631 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
220 simpl2 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
221 simpl1 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
222 eqeefv 28933 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (𝐴𝑖)))
223220, 221, 222syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (𝐴𝑖)))
2243adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
225215adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
226224, 225letri3d 11401 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) = (𝐴𝑖) ↔ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))))
227 pm4.25 905 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ∨ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))))
228 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝑖) = (𝐶𝑖))
229228breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖) ↔ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)))
230229anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = 𝐶 → (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖))))
231228breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ↔ (𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖)))
232231anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = 𝐶 → (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))))
233230, 232orbi12d 918 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝐶 → ((((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ∨ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
234233ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ∨ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
235227, 234bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
236226, 235bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) = (𝐴𝑖) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
237236ralbidva 3174 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (𝐴𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
238223, 237bitrd 279 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
239238biimprd 248 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → 𝐵 = 𝐴))
240239adantrd 491 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → 𝐵 = 𝐴))
241240ex 412 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → 𝐵 = 𝐴)))
242 0elunit 13506 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]1)
243 fveecn 28932 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2442433ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
245 fveecn 28932 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2462453ad2antl2 1185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
247 fveecn 28932 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
2482473ad2antl3 1186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
249244, 246, 2483jca 1127 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ))
250 mullid 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑘) ∈ ℂ → (1 · (𝐵𝑘)) = (𝐵𝑘))
251 mul02 11437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝑘) ∈ ℂ → (0 · (𝐶𝑘)) = 0)
252250, 251oveqan12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))) = ((𝐵𝑘) + 0))
253 addrid 11439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑘) ∈ ℂ → ((𝐵𝑘) + 0) = (𝐵𝑘))
254253adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑘) + 0) = (𝐵𝑘))
255252, 254eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))) = (𝐵𝑘))
2562553adant1 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))) = (𝐵𝑘))
257256adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))) = (𝐵𝑘))
258 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵𝑘) = (𝐴𝑘))
259258ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → (𝐵𝑘) = (𝐴𝑘))
260257, 259eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → (𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
261249, 260sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → (𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
262261an32s 652 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
263262ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
264 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
265 1m0e1 12385 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 0) = 1
266264, 265eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
267266oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) = (1 · (𝐵𝑘)))
268 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = (0 · (𝐶𝑘)))
269267, 268oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
270269eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → ((𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘)))))
271270ralbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘)))))
272271rspcev 3622 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))
273242, 263, 272sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))
274273exp32 420 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 = 𝐴 → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))))
275241, 274syldd 72 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))))
276 eqeefv 28933 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝)))
2772763adant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝)))
278277necon3abid 2975 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝)))
279 df-ne 2939 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝) ↔ ¬ (𝐵𝑝) = (𝐶𝑝))
280279rexbii 3092 . . . . . . . 8 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐵𝑝) = (𝐶𝑝))
281 rexnal 3098 . . . . . . . 8 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐵𝑝) = (𝐶𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝))
282280, 281bitri 275 . . . . . . 7 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝))
283278, 282bitr4di 289 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵𝐶 ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)))
284 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑝 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑝))
285 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑝 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑝))
286284, 285breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ↔ (𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝)))
287 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑝 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑝))
288285, 287breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖) ↔ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)))
289286, 288anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ↔ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))))
290287, 285breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ↔ (𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝)))
291285, 284breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖) ↔ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
292290, 291anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))))
293289, 292orbi12d 918 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑝 → ((((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))))
294293rspcv 3618 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))))
295294ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))))
296 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))
297 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
298 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
299 fveere 28931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑝) ∈ ℝ)
300297, 298, 299syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐴𝑝) ∈ ℝ)
301 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
302 fveere 28931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
303301, 298, 302syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
304 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
305 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
306 fveere 28931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ∈ ℝ)
307304, 305, 306syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ∈ ℝ)
308300, 303, 307lesub1d 11868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝) ↔ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
309308adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝) ↔ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
310296, 309mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))
311300, 307resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ)
312311adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ)
313 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝))
314300, 307subge0d 11851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (0 ≤ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ↔ (𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝)))
315314adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (0 ≤ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ↔ (𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝)))
316313, 315mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → 0 ≤ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)))
317303, 307resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ)
318317adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ)
319 letr 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) → (𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝)))
320307, 300, 303, 319syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) → (𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝)))
321320imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝))
322 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))
323322necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))
324307, 303ltlend 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) < (𝐶𝑝) ↔ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))))
325324adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) < (𝐶𝑝) ↔ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))))
326321, 323, 325mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) < (𝐶𝑝))
327307, 303posdifd 11848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) < (𝐶𝑝) ↔ 0 < ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
328327adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) < (𝐶𝑝) ↔ 0 < ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
329326, 328mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → 0 < ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))
330 divelunit 13531 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) ∧ (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) → ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
331312, 316, 318, 329, 330syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
332310, 331mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1))
333300recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
334307recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
335303recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
336 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))
337336necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))
338333, 334, 335, 334, 337div2subd 12091 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
339338adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
340 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝))
341303, 300, 307lesub2d 11869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ↔ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
342341adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ↔ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
343340, 342mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)))
344307, 300resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ)
345344adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ)
346 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))
347307, 300subge0d 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (0 ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ↔ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
348347adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (0 ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ↔ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
349346, 348mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → 0 ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)))
350307, 303resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)) ∈ ℝ)
351350adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)) ∈ ℝ)
352 letr 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐶𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)) → (𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
353303, 300, 307, 352syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)) → (𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
354353imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝))
355 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))
356303, 307ltlend 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) < (𝐵𝑝) ↔ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))))
357356adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐶𝑝) < (𝐵𝑝) ↔ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))))
358354, 355, 357mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐶𝑝) < (𝐵𝑝))
359303, 307posdifd 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) < (𝐵𝑝) ↔ 0 < ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
360359adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐶𝑝) < (𝐵𝑝) ↔ 0 < ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
361358, 360mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → 0 < ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)))
362 divelunit 13531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝))) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
363345, 349, 351, 361, 362syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
364343, 363mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))) ∈ (0[,]1))
365339, 364eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1))
366332, 365jaodan 959 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1))
367366ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1)))
368295, 367syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1)))
369 simp2l 1198 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
370 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
371284, 285oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)))
372371oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))))
373287, 285oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))
374373oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
375372, 374eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑝 → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))))
376 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶𝑗) = (𝐶𝑘))
377 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
378376, 377oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘)))
379378oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))))
380 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
381380, 377oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
382381oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
383379, 382eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ↔ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))))
384375, 383rspc2v 3633 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))))
385369, 370, 384syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))))
386 simp11 1202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
387386, 370, 243syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
388 simp12 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
389388, 370, 245syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
390 simp13 1204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
391390, 370, 247syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
3923333adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
3933343adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
3943353adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
395 simp2r 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))
396395necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))
397 simpl23 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
398 simpl21 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
399397, 398subcld 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℂ)
400 simpl12 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
401399, 400mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
402 simpl22 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
403398, 402subcld 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℂ)
404 simpl13 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
405403, 404mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
406397, 402subcld 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℂ)
407 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))
408397, 402, 407subne0d 11627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ≠ 0)
409401, 405, 406, 408divdird 12079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
410 npncan2 11534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑝) ∈ ℂ) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) + ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) = 0)
411402, 398, 410syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) + ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) = 0)
412411oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) + ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)) = (0 · (𝐶𝑘)))
413402, 398subcld 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℂ)
414413, 403, 404adddird 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) + ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
415404mul02d 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (0 · (𝐶𝑘)) = 0)
416412, 414, 4153eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) = 0)
417416oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (0 + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))))
418413, 404mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
419 simpl11 1247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
420406, 419mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
421418, 405, 420add32d 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
422420addlidd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (0 + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)))
423417, 421, 4223eqtr3rd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
424399, 419mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
425413, 419mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
426418, 424, 425addsubd 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
427397, 402, 398nnncan2d 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) − ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝))) = ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))
428427oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) − ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝))) · (𝐴𝑘)) = (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)))
429399, 413, 419subdird 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) − ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝))) · (𝐴𝑘)) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
430428, 429eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
431430oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)))))
432418, 424, 425addsubassd 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)))))
433431, 432eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
434413, 404, 419subdid 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
435434oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
436426, 433, 4353eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
437436oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
438423, 437eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
439 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
440439oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
441440oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) = (((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
442400, 419subcld 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
443442, 399mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
444443oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
445399, 442, 419adddid 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑘))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
446400, 419npcand 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑘)) = (𝐵𝑘))
447446oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑘))) = (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)))
448444, 445, 4473eqtr2d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)))
449448oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
450438, 441, 4493eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
451401, 405addcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) ∈ ℂ)
452451, 406, 419, 408divmuld 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (𝐴𝑘) ↔ (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)))))
453450, 452mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (𝐴𝑘))
454399, 400, 406, 408div23d 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐵𝑘)))
455406, 403, 406, 408divsubdird 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) − ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
456397, 398, 402nnncan2d 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) − ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))
457456oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) − ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
458406, 408dividd 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = 1)
459458oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) = (1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
460455, 457, 4593eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
461460oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐵𝑘)) = ((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)))
462454, 461eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)))
463403, 404, 406, 408div23d 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))
464462, 463oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))
465409, 453, 4643eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))
466465ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
467387, 389, 391, 392, 393, 394, 396, 466syl331anc 1394 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
468385, 467syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
4694683expia 1120 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))))
470469com23 86 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))))
471470ralrimdv 3150 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
472368, 471anim12d 609 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))))
473 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
474473oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) = ((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)))
475 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))
476474, 475oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))
477476eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → ((𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
478477ralbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
479478rspcev 3622 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))
480472, 479syl6 35 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))))
481480rexlimdvaa 3154 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))))
482283, 481sylbid 240 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))))
483275, 482pm2.61dne 3026 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))))
484219, 483sylbid 240 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))))
485213, 484impbid 212 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
4861, 485bitrd 279 1 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cop 4637   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  cexp 14099  𝔼cee 28918   Btwn cbtwn 28919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-icc 13391  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-ee 28921  df-btwn 28922
This theorem is referenced by:  colinearalg  28940
  Copyright terms: Public domain W3C validator