Theorem brbtwn2 28160

Description: Alternate characterization of betweenness, with no existential quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
brbtwn2	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗

Proof of Theorem brbtwn2

Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brbtwn 28154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))))
2		fveere 28156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
3	2	3ad2antl2 1186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
4		fveere 28156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
5	4	3ad2antl3 1187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
6	3, 5	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ))
7		resubcl 11523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) ∈ ℝ)
8	7	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
10	9	sqvald 14107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) = (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))))
11	10	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))))
12		elicc01 13442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
13	12	simp1bi 1145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
16		1re 11213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		resubcl 11523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
18	16, 13, 17	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
19	18	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
21	20	negcld 11557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -(1 − 𝑡) ∈ ℂ)
22	15, 9, 21, 9	mul4d 11425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) · (-(1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))))
23		recn 11199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
25		recn 11199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
27	15, 24, 26	subdid 11669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = ((𝑡 · (𝐵‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
28		ax-1cn 11167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		subdir 11647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑖)) = ((1 · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
30	28, 20, 24, 29	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑖)) = ((1 · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
31		nncan 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
32	28, 15, 31	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
33	32	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑖)) = (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))
34	24	mullidd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐵‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖))
35	34	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) = ((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
36	30, 33, 35	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐵‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
37	36	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · (𝐵‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
38		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
39	19, 38	remulcld 11243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
41	13	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
42		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
43	41, 42	remulcld 11243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐶‘𝑖)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
45	24, 40, 44	subsub4d 11601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
46	27, 37, 45	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = ((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
47	20, 9	mulneg1d 11666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = -((1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))))
48	20, 24, 26	subdid 11669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖))))
49		subdir 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = ((1 · (𝐶‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
50	28, 15, 26, 49	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = ((1 · (𝐶‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
51	26	mullidd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐶‘𝑖)) = (𝐶‘𝑖))
52	51	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐶‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
53	50, 52	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
54	53	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) − ((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
55	40, 26, 44	subsub3d 11600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) − ((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) = ((((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − (𝐶‘𝑖)))
56	48, 54, 55	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − (𝐶‘𝑖)))
57	56	negeqd 11453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = -((((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − (𝐶‘𝑖)))
58	39, 43	readdcld 11242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∈ ℝ)
59	58	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∈ ℂ)
60	59, 26	negsubdi2d 11586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − (𝐶‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
61	47, 57, 60	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
62	46, 61	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) · (-(1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))) = (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
63	11, 22, 62	3eqtr2rd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
64	15, 20	mulneg2d 11667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · -(1 − 𝑡)) = -(𝑡 · (1 − 𝑡)))
65	64	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) = (-(𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
66	41, 19	remulcld 11243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (1 − 𝑡)) ∈ ℝ)
67	66	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (1 − 𝑡)) ∈ ℂ)
68	8	resqcld 14089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
69	68	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) ∈ ℂ)
70	67, 69	mulneg1d 11666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) = -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
71	65, 70	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) = -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
72	12	simp2bi 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑡)
73	12	simp3bi 1147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
74		subge0 11726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
75	16, 13, 74	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
76	73, 75	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (1 − 𝑡))
77	13, 18, 72, 76	mulge0d 11790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑡 · (1 − 𝑡)))
78	77	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (𝑡 · (1 − 𝑡)))
79	8	sqge0d 14101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2))
80	66, 68, 78, 79	mulge0d 11790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
81	66, 68	remulcld 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
82	81	le0neg2d 11785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0 ≤ ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) ↔ -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) ≤ 0))
83	80, 82	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
84	71, 83	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
85	63, 84	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0)
86	85	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0)
87	6, 86	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0)
88	87	an32s 650	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0)
89	88	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0)
90		fveecn 28157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
91		fveecn 28157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
92	90, 91	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ))
93	92	anandirs 677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ))
94		fveecn 28157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
95		fveecn 28157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
96	94, 95	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ))
97	96	anandirs 677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ))
98	93, 97	anim12dan 619	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)))
99	98	3adantl1 1166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)))
100		subcl 11458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
101	100	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
102		subcl 11458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
103	102	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
104	103	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
105	101, 104	mulcomd 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))))
106		simp2r 1200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
107		simp2l 1199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
108		simp1l 1197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
109		simp1r 1198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
110		mulsub2 11657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
111	106, 107, 108, 109, 110	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
112	105, 111	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
113	112	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)))) = ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))
114		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
115		subcl 11458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
116	28, 115	mpan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
117	116	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
118	114, 117, 101, 104	mul4d 11425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)))) = ((𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)))))
119	114, 108, 109	subdid 11669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = ((𝑡 · (𝐵‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
120	28, 117, 108, 29	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑖)) = ((1 · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
121	28, 31	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
122	121	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
123	122	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑖)) = (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))
124	108	mullidd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐵‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖))
125	124	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) = ((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
126	120, 123, 125	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐵‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
127	126	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (𝐵‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
128	117, 108	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
129	114, 109	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
130	108, 128, 129	subsub4d 11601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
131	119, 127, 130	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = ((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
132	117, 106, 107	subdid 11669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
133		subdir 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
134	28, 114, 106, 133	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
135	106	mullidd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶‘𝑗)) = (𝐶‘𝑗))
136	135	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐶‘𝑗) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
137	134, 136	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑗)) = ((𝐶‘𝑗) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
138	137	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
139	132, 138	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
140	114, 106	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
141	117, 107	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
142	106, 140, 141	sub32d 11602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶‘𝑗) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
143	106, 141, 140	subsub4d 11601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶‘𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
144	139, 142, 143	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
145	131, 144	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))))
146	118, 145	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))))
147		subcl 11458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
148	147	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
149		subcl 11458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
150	149	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
151	150	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
152	114, 117, 148, 151	mul4d 11425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))) = ((𝑡 · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))
153	114, 107, 106	subdid 11669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = ((𝑡 · (𝐵‘𝑗)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
154		subdir 11647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑗)) = ((1 · (𝐵‘𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
155	28, 117, 107, 154	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑗)) = ((1 · (𝐵‘𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
156	122	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑗)) = (𝑡 · (𝐵‘𝑗)))
157	107	mullidd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐵‘𝑗)) = (𝐵‘𝑗))
158	157	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵‘𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) = ((𝐵‘𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
159	155, 156, 158	3eqtr3rd 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) = (𝑡 · (𝐵‘𝑗)))
160	159	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝑡 · (𝐵‘𝑗)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
161	107, 141, 140	subsub4d 11601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
162	153, 160, 161	3eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = ((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
163	117, 109, 108	subdid 11669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
164	28, 114, 109, 49	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = ((1 · (𝐶‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
165	109	mullidd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶‘𝑖)) = (𝐶‘𝑖))
166	165	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
167	164, 166	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
168	167	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) = (((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
169	109, 129, 128	sub32d 11602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) = (((𝐶‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
170	109, 128, 129	subsub4d 11601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
171	169, 170	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
172	163, 168, 171	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
173	162, 172	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
174	152, 173	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
175	113, 146, 174	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
176	175	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
177	99, 14, 176	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
178	177	an32s 650	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
179	178	ralrimivva 3200	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
180		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑖))
181		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑖))
182	181	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)))
183		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘𝑖))
184	183	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑡 · (𝐶‘𝑘)) = (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))
185	182, 184	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
186	180, 185	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ (𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
187	186	rspccva 3611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
188		oveq2 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
189		oveq2 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
190	188, 189	oveq12d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
191	190	breq1d 5158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0))
192	187, 191	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0))
193	192	ralbidva 3175	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0))
194		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑗))
195		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑗))
196	195	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)))
197		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘𝑗))
198	197	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑡 · (𝐶‘𝑘)) = (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))
199	196, 198	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
200	194, 199	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ (𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
201	200	rspccva 3611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
202		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) → ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
203	188, 202	oveqan12d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))))
204		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) → ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
205	204, 189	oveqan12rd 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) → (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
206	203, 205	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))))
207	187, 201, 206	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))))
208	207	anandis 676	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))))
209	208	2ralbidva 3216	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))))
210	193, 209	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))))
211	210	biimprcd 249	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
212	89, 179, 211	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
213	212	rexlimdva 3155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
214		fveere 28156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
215	214	3ad2antl1 1185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
216		mulsuble0b 12085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
217	3, 215, 5, 216	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
218	217	ralbidva 3175	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
219	218	anbi1d 630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
220		simpl2 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
221		simpl1 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
222		eqeefv 28158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (𝐴‘𝑖)))
223	220, 221, 222	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (𝐴‘𝑖)))
224	3	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
225	215	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
226	224, 225	letri3d 11355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐴‘𝑖) ↔ ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))))
227		pm4.25 904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ∨ ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))))
228		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵‘𝑖) = (𝐶‘𝑖))
229	228	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)))
230	229	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ↔ ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖))))
231	228	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ↔ (𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖)))
232	231	anbi1d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ↔ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))))
233	230, 232	orbi12d 917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ∨ ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
234	233	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ∨ ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
235	227, 234	bitrid 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
236	226, 235	bitrd 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐴‘𝑖) ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
237	236	ralbidva 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (𝐴‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
238	223, 237	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
239	238	biimprd 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) → 𝐵 = 𝐴))
240	239	adantrd 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → 𝐵 = 𝐴))
241	240	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → 𝐵 = 𝐴)))
242		0elunit 13445	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
243		fveecn 28157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
244	243	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
245		fveecn 28157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ)
246	245	3ad2antl2 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ)
247		fveecn 28157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ)
248	247	3ad2antl3 1187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ)
249	244, 246, 248	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ))
250		mullid 11212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑘) ∈ ℂ → (1 · (𝐵‘𝑘)) = (𝐵‘𝑘))
251		mul02 11391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶‘𝑘) ∈ ℂ → (0 · (𝐶‘𝑘)) = 0)
252	250, 251	oveqan12d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))) = ((𝐵‘𝑘) + 0))
253		addrid 11393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑘) ∈ ℂ → ((𝐵‘𝑘) + 0) = (𝐵‘𝑘))
254	253	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑘) + 0) = (𝐵‘𝑘))
255	252, 254	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))) = (𝐵‘𝑘))
256	255	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))) = (𝐵‘𝑘))
257	256	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) → ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))) = (𝐵‘𝑘))
258		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
259	258	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐵‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
260	257, 259	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))))
261	249, 260	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))))
262	261	an32s 650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))))
263	262	ralrimiva 3146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))))
264		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
265		1m0e1 12332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − 0) = 1
266	264, 265	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
267	266	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) = (1 · (𝐵‘𝑘)))
268		oveq1 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝐶‘𝑘)) = (0 · (𝐶‘𝑘)))
269	267, 268	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))))
270	269	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 0 → ((𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ (𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘)))))
271	270	ralbidv 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 0 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘)))))
272	271	rspcev 3612	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))
273	242, 263, 272	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))
274	273	exp32 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 = 𝐴 → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))))
275	241, 274	syldd 72	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))))
276		eqeefv 28158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝)))
277	276	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝)))
278	277	necon3abid 2977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝)))
279		df-ne 2941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝) ↔ ¬ (𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝))
280	279	rexbii 3094	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝))
281		rexnal 3100	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝))
282	280, 281	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝))
283	278, 282	bitr4di 288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)))
284		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑝))
285		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑝))
286	284, 285	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ↔ (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝)))
287		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (𝐶‘𝑖) = (𝐶‘𝑝))
288	285, 287	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖) ↔ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)))
289	286, 288	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ↔ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))))
290	287, 285	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ↔ (𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝)))
291	285, 284	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))
292	290, 291	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ↔ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))))
293	289, 292	orbi12d 917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) ∨ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))))
294	293	rspcv 3608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) → (((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) ∨ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))))
295	294	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) → (((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) ∨ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))))
296		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))
297		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
298		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
299		fveere 28156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ)
300	297, 298, 299	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ)
301		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
302		fveere 28156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ)
303	301, 298, 302	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ)
304		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
305		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
306		fveere 28156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ)
307	304, 305, 306	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ)
308	300, 303, 307	lesub1d 11820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝) ↔ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ≤ ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
309	308	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝) ↔ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ≤ ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
310	296, 309	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ≤ ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))
311	300, 307	resubcld 11641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ)
312	311	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ)
313		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝))
314	300, 307	subge0d 11803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (0 ≤ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ↔ (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝)))
315	314	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (0 ≤ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ↔ (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝)))
316	313, 315	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → 0 ≤ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))
317	303, 307	resubcld 11641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ)
318	317	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ)
319		letr 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) → (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)))
320	307, 300, 303, 319	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) → (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)))
321	320	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))
322		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))
323	322	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝))
324	307, 303	ltlend 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) < (𝐶‘𝑝) ↔ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝))))
325	324	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) < (𝐶‘𝑝) ↔ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝))))
326	321, 323, 325	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) < (𝐶‘𝑝))
327	307, 303	posdifd 11800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) < (𝐶‘𝑝) ↔ 0 < ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
328	327	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) < (𝐶‘𝑝) ↔ 0 < ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
329	326, 328	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → 0 < ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))
330		divelunit 13470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∧ (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) → ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ≤ ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
331	312, 316, 318, 329, 330	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ≤ ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
332	310, 331	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1))
333	300	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
334	307	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ)
335	303	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
336		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))
337	336	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝))
338	333, 334, 335, 334, 337	div2subd 12039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
339	338	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
340		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝))
341	303, 300, 307	lesub2d 11821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ↔ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
342	341	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ↔ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
343	340, 342	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝)))
344	307, 300	resubcld 11641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℝ)
345	344	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℝ)
346		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))
347	307, 300	subge0d 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (0 ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ↔ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))
348	347	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (0 ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ↔ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))
349	346, 348	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → 0 ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))
350	307, 303	resubcld 11641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝)) ∈ ℝ)
351	350	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝)) ∈ ℝ)
352		letr 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐶‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)) → (𝐶‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))
353	303, 300, 307, 352	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)) → (𝐶‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))
354	353	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))
355		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))
356	303, 307	ltlend 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) < (𝐵‘𝑝) ↔ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))))
357	356	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) < (𝐵‘𝑝) ↔ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))))
358	354, 355, 357	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) < (𝐵‘𝑝))
359	303, 307	posdifd 11800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) < (𝐵‘𝑝) ↔ 0 < ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
360	359	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) < (𝐵‘𝑝) ↔ 0 < ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
361	358, 360	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → 0 < ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝)))
362		divelunit 13470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
363	345, 349, 351, 361, 362	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
364	343, 363	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))) ∈ (0[,]1))
365	339, 364	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1))
366	332, 365	jaodan 956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ (((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) ∨ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1))
367	366	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) ∨ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1)))
368	295, 367	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1)))
369		simp2l 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
370		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
371	284, 285	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))
372	371	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))))
373	287, 285	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))
374	373	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))))
375	372, 374	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))))
376		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶‘𝑗) = (𝐶‘𝑘))
377		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑘))
378	376, 377	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
379	378	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))))
380		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑘))
381	380, 377	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
382	381	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))))
383	379, 382	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ↔ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))))
384	375, 383	rspc2v 3622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))))
385	369, 370, 384	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))))
386		simp11 1203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
387	386, 370, 243	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
388		simp12 1204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
389	388, 370, 245	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ)
390		simp13 1205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
391	390, 370, 247	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ)
392	333	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
393	334	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ)
394	335	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
395		simp2r 1200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))
396	395	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝))
397		simpl23 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
398		simpl21 1251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
399	397, 398	subcld 11570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℂ)
400		simpl12 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ)
401	399, 400	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) ∈ ℂ)
402		simpl22 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ)
403	398, 402	subcld 11570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℂ)
404		simpl13 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ)
405	403, 404	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) ∈ ℂ)
406	397, 402	subcld 11570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℂ)
407		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝))
408	397, 402, 407	subne0d 11579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ≠ 0)
409	401, 405, 406, 408	divdird 12027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))))
410		npncan2 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) + ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = 0)
411	402, 398, 410	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) + ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = 0)
412	411	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) + ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)) = (0 · (𝐶‘𝑘)))
413	402, 398	subcld 11570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℂ)
414	413, 403, 404	adddird 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) + ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
415	404	mul02d 11411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (0 · (𝐶‘𝑘)) = 0)
416	412, 414, 415	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) = 0)
417	416	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (0 + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
418	413, 404	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) ∈ ℂ)
419		simpl11 1248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
420	406, 419	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
421	418, 405, 420	add32d 11440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
422	420	addlidd 11414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (0 + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)))
423	417, 421, 422	3eqtr3rd 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
424	399, 419	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
425	413, 419	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
426	418, 424, 425	addsubd 11591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
427	397, 402, 398	nnncan2d 11605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) − ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))
428	427	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) − ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · (𝐴‘𝑘)) = (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)))
429	399, 413, 419	subdird 11670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) − ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · (𝐴‘𝑘)) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
430	428, 429	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
431	430	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)))))
432	418, 424, 425	addsubassd 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)))))
433	431, 432	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
434	413, 404, 419	subdid 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
435	434	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
436	426, 433, 435	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
437	436	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
438	423, 437	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
439		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))))
440	439	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
441	440	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) = (((((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
442	400, 419	subcld 11570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
443	442, 399	mulcomd 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))))
444	443	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
445	399, 442, 419	adddid 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
446	400, 419	npcand 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (𝐴‘𝑘)) = (𝐵‘𝑘))
447	446	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (𝐴‘𝑘))) = (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)))
448	444, 445, 447	3eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)))
449	448	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
450	438, 441, 449	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
451	401, 405	addcld 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) ∈ ℂ)
452	451, 406, 419, 408	divmuld 12011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (𝐴‘𝑘) ↔ (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)))))
453	450, 452	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (𝐴‘𝑘))
454	399, 400, 406, 408	div23d 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐵‘𝑘)))
455	406, 403, 406, 408	divsubdird 12028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) − ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))))
456	397, 398, 402	nnncan2d 11605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) − ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))
457	456	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) − ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
458	406, 408	dividd 11987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = 1)
459	458	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) = (1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))))
460	455, 457, 459	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))))
461	460	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐵‘𝑘)) = ((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)))
462	454, 461	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = ((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)))
463	403, 404, 406, 408	div23d 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))
464	462, 463	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘))))
465	409, 453, 464	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘))))
466	465	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) → (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))))
467	387, 389, 391, 392, 393, 394, 396, 466	syl331anc 1395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) → (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))))
468	385, 467	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))))
469	468	3expia 1121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘))))))
470	469	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘))))))
471	470	ralrimdv 3152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))))
472	368, 471	anim12d 609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘))))))
473		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))))
474	473	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) = ((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)))
475		oveq1 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) → (𝑡 · (𝐶‘𝑘)) = ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))
476	474, 475	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘))))
477	476	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) → ((𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))))
478	477	ralbidv 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))))
479	478	rspcev 3612	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))
480	472, 479	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))))
481	480	rexlimdvaa 3156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))))
482	283, 481	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ≠ 𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))))
483	275, 482	pm2.61dne 3028	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))))
484	219, 483	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))))
485	213, 484	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
486	1, 485	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11247   ≤ cle 11248   − cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  2c2 12266  [,]cicc 13326  ...cfz 13483  ↑cexp 14026  𝔼cee 28143   Btwn cbtwn 28144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-icc 13330  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-ee 28146  df-btwn 28147

This theorem is referenced by:  colinearalg  28165