MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brbtwn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brbtwn2 27854
Description: Alternate characterization of betweenness, with no existential quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
brbtwn2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗

Proof of Theorem brbtwn2
Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brbtwn 27848 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))))
2 fveere 27850 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
323ad2antl2 1186 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
4 fveere 27850 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
543ad2antl3 1187 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
63, 5jca 512 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ))
7 resubcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
873adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
98recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
109sqvald 14048 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) = (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))))
1110oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))))
12 elicc01 13383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
1312simp1bi 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
1413recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
15143ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
16 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
17 resubcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
1816, 13, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
19183ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
2019recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
2120negcld 11499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -(1 − 𝑡) ∈ ℂ)
2215, 9, 21, 9mul4d 11367 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) · (-(1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))))
23 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑖) ∈ ℝ → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
24233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
25 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶𝑖) ∈ ℝ → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
26253ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
2715, 24, 26subdid 11611 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝑡 · (𝐵𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
28 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
29 subdir 11589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
3028, 20, 24, 29mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
31 nncan 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
3228, 15, 31sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
3332oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = (𝑡 · (𝐵𝑖)))
3424mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
3534oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = ((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
3630, 33, 353eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐵𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
3736oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · (𝐵𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
38 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
3919, 38remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
4039recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
41133ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
42 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
4341, 42remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
4443recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
4524, 40, 44subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4627, 37, 453eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4720, 9mulneg1d 11608 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = -((1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))))
4820, 24, 26subdid 11611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖))))
49 subdir 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
5028, 15, 26, 49mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
5126mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐶𝑖)) = (𝐶𝑖))
5251oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
5350, 52eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
5453oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) − ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
5540, 26, 44subsub3d 11542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) − ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖)))) = ((((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) − (𝐶𝑖)))
5648, 54, 553eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) − (𝐶𝑖)))
5756negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = -((((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) − (𝐶𝑖)))
5839, 43readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∈ ℝ)
5958recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∈ ℂ)
6059, 26negsubdi2d 11528 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) − (𝐶𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
6147, 57, 603eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
6246, 61oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) · (-(1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
6311, 22, 623eqtr2rd 2783 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
6415, 20mulneg2d 11609 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · -(1 − 𝑡)) = -(𝑡 · (1 − 𝑡)))
6564oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) = (-(𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
6641, 19remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (1 − 𝑡)) ∈ ℝ)
6766recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (1 − 𝑡)) ∈ ℂ)
688resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
6968recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℂ)
7067, 69mulneg1d 11608 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) = -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
7165, 70eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) = -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
7212simp2bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑡)
7312simp3bi 1147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
74 subge0 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
7516, 13, 74sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0[,]1) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
7673, 75mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (1 − 𝑡))
7713, 18, 72, 76mulge0d 11732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑡 · (1 − 𝑡)))
78773ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (𝑡 · (1 − 𝑡)))
798sqge0d 14042 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
8066, 68, 78, 79mulge0d 11732 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
8166, 68remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
8281le0neg2d 11727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0 ≤ ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ↔ -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ≤ 0))
8380, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ≤ 0)
8471, 83eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ≤ 0)
8563, 84eqbrtrd 5127 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
86853expa 1118 . . . . . . . 8 ((((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
876, 86sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
8887an32s 650 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
8988ralrimiva 3143 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
90 fveecn 27851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
91 fveecn 27851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
9290, 91anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
9392anandirs 677 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
94 fveecn 27851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
95 fveecn 27851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
9694, 95anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ))
9796anandirs 677 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ))
9893, 97anim12dan 619 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)))
99983adantl1 1166 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)))
100 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
1011003ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
102 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
103102ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
1041033ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
105101, 104mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))))
106 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
107 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
108 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
109 simp1r 1198 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
110 mulsub2 11599 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))))
111106, 107, 108, 109, 110syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))))
112105, 111eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))))
113112oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))) = ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))))
114 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
115 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
11628, 115mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
1171163ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
118114, 117, 101, 104mul4d 11367 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))) = ((𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))))
119114, 108, 109subdid 11611 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝑡 · (𝐵𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
12028, 117, 108, 29mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
12128, 31mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
1221213ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
123122oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = (𝑡 · (𝐵𝑖)))
124108mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
125124oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = ((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
126120, 123, 1253eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐵𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
127126oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (𝐵𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
128117, 108mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
129114, 109mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
130108, 128, 129subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
131119, 127, 1303eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
132117, 106, 107subdid 11611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
133 subdir 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
13428, 114, 106, 133mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
135106mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶𝑗)) = (𝐶𝑗))
136135oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
137134, 136eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) = ((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
138137oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
139132, 138eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
140114, 106mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
141117, 107mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
142106, 140, 141sub32d 11544 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
143106, 141, 140subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
144139, 142, 1433eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
145131, 144oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))))
146118, 145eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))))
147 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
1481473ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
149 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
150149ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
1511503ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
152114, 117, 148, 151mul4d 11367 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))) = ((𝑡 · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))))
153114, 107, 106subdid 11611 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) = ((𝑡 · (𝐵𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
154 subdir 11589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑗)) = ((1 · (𝐵𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
15528, 117, 107, 154mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑗)) = ((1 · (𝐵𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
156122oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑗)) = (𝑡 · (𝐵𝑗)))
157107mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐵𝑗)) = (𝐵𝑗))
158157oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) = ((𝐵𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
159155, 156, 1583eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) = (𝑡 · (𝐵𝑗)))
160159oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) = ((𝑡 · (𝐵𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
161107, 141, 140subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) = ((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
162153, 160, 1613eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) = ((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
163117, 109, 108subdid 11611 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
16428, 114, 109, 49mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
165109mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶𝑖)) = (𝐶𝑖))
166165oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
167164, 166eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
168167oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = (((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
169109, 129, 128sub32d 11544 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = (((𝐶𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
170109, 128, 129subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
171169, 170eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
172163, 168, 1713eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
173162, 172oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
174152, 173eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
175113, 146, 1743eqtr3d 2784 . . . . . . . . 9 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
1761753expa 1118 . . . . . . . 8 (((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
17799, 14, 176syl2an 596 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
178177an32s 650 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
179178ralrimivva 3197 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
180 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
181 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
182181oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)))
183 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
184183oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = (𝑡 · (𝐶𝑖)))
185182, 184oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))
186180, 185eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
187186rspccva 3580 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))
188 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
189 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
190188, 189oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
191190breq1d 5115 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0))
192187, 191syl 17 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0))
193192ralbidva 3172 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0))
194 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
195 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
196195oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)))
197 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑗))
198197oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = (𝑡 · (𝐶𝑗)))
199196, 198oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))
200194, 199eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
201200rspccva 3580 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))
202 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))) → ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
203188, 202oveqan12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))))
204 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))) → ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
205204, 189oveqan12rd 7377 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) → (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
206203, 205eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
207187, 201, 206syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
208207anandis 676 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
2092082ralbidva 3210 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
210193, 209anbi12d 631 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))))
211210biimprcd 249 . . . . 5 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
21289, 179, 211syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
213212rexlimdva 3152 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
214 fveere 27850 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
2152143ad2antl1 1185 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
216 mulsuble0b 12027 . . . . . . 7 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
2173, 215, 5, 216syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
218217ralbidva 3172 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
219218anbi1d 630 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
220 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
221 simpl1 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
222 eqeefv 27852 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (𝐴𝑖)))
223220, 221, 222syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (𝐴𝑖)))
2243adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
225215adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
226224, 225letri3d 11297 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) = (𝐴𝑖) ↔ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))))
227 pm4.25 904 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ∨ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))))
228 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝑖) = (𝐶𝑖))
229228breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖) ↔ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)))
230229anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = 𝐶 → (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖))))
231228breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ↔ (𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖)))
232231anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = 𝐶 → (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))))
233230, 232orbi12d 917 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝐶 → ((((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ∨ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
234233ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ∨ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
235227, 234bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
236226, 235bitrd 278 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) = (𝐴𝑖) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
237236ralbidva 3172 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (𝐴𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
238223, 237bitrd 278 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
239238biimprd 247 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → 𝐵 = 𝐴))
240239adantrd 492 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → 𝐵 = 𝐴))
241240ex 413 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → 𝐵 = 𝐴)))
242 0elunit 13386 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]1)
243 fveecn 27851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2442433ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
245 fveecn 27851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2462453ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
247 fveecn 27851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
2482473ad2antl3 1187 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
249244, 246, 2483jca 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ))
250 mulid2 11154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑘) ∈ ℂ → (1 · (𝐵𝑘)) = (𝐵𝑘))
251 mul02 11333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝑘) ∈ ℂ → (0 · (𝐶𝑘)) = 0)
252250, 251oveqan12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))) = ((𝐵𝑘) + 0))
253 addid1 11335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑘) ∈ ℂ → ((𝐵𝑘) + 0) = (𝐵𝑘))
254253adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑘) + 0) = (𝐵𝑘))
255252, 254eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))) = (𝐵𝑘))
2562553adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))) = (𝐵𝑘))
257256adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))) = (𝐵𝑘))
258 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵𝑘) = (𝐴𝑘))
259258ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → (𝐵𝑘) = (𝐴𝑘))
260257, 259eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → (𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
261249, 260sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → (𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
262261an32s 650 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
263262ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
264 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
265 1m0e1 12274 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 0) = 1
266264, 265eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
267266oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) = (1 · (𝐵𝑘)))
268 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = (0 · (𝐶𝑘)))
269267, 268oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
270269eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → ((𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘)))))
271270ralbidv 3174 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘)))))
272271rspcev 3581 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))
273242, 263, 272sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))
274273exp32 421 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 = 𝐴 → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))))
275241, 274syldd 72 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))))
276 eqeefv 27852 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝)))
2772763adant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝)))
278277necon3abid 2980 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝)))
279 df-ne 2944 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝) ↔ ¬ (𝐵𝑝) = (𝐶𝑝))
280279rexbii 3097 . . . . . . . 8 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐵𝑝) = (𝐶𝑝))
281 rexnal 3103 . . . . . . . 8 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐵𝑝) = (𝐶𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝))
282280, 281bitri 274 . . . . . . 7 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝))
283278, 282bitr4di 288 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵𝐶 ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)))
284 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑝 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑝))
285 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑝 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑝))
286284, 285breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ↔ (𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝)))
287 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑝 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑝))
288285, 287breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖) ↔ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)))
289286, 288anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ↔ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))))
290287, 285breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ↔ (𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝)))
291285, 284breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖) ↔ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
292290, 291anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))))
293289, 292orbi12d 917 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑝 → ((((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))))
294293rspcv 3577 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))))
295294ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))))
296 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))
297 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
298 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
299 fveere 27850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑝) ∈ ℝ)
300297, 298, 299syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐴𝑝) ∈ ℝ)
301 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
302 fveere 27850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
303301, 298, 302syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
304 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
305 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
306 fveere 27850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ∈ ℝ)
307304, 305, 306syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ∈ ℝ)
308300, 303, 307lesub1d 11762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝) ↔ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
309308adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝) ↔ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
310296, 309mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))
311300, 307resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ)
312311adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ)
313 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝))
314300, 307subge0d 11745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (0 ≤ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ↔ (𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝)))
315314adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (0 ≤ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ↔ (𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝)))
316313, 315mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → 0 ≤ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)))
317303, 307resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ)
318317adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ)
319 letr 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) → (𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝)))
320307, 300, 303, 319syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) → (𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝)))
321320imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝))
322 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))
323322necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))
324307, 303ltlend 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) < (𝐶𝑝) ↔ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))))
325324adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) < (𝐶𝑝) ↔ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))))
326321, 323, 325mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) < (𝐶𝑝))
327307, 303posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) < (𝐶𝑝) ↔ 0 < ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
328327adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) < (𝐶𝑝) ↔ 0 < ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
329326, 328mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → 0 < ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))
330 divelunit 13411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) ∧ (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) → ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
331312, 316, 318, 329, 330syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
332310, 331mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1))
333300recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
334307recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
335303recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
336 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))
337336necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))
338333, 334, 335, 334, 337div2subd 11981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
339338adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
340 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝))
341303, 300, 307lesub2d 11763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ↔ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
342341adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ↔ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
343340, 342mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)))
344307, 300resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ)
345344adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ)
346 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))
347307, 300subge0d 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (0 ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ↔ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
348347adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (0 ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ↔ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
349346, 348mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → 0 ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)))
350307, 303resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)) ∈ ℝ)
351350adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)) ∈ ℝ)
352 letr 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐶𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)) → (𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
353303, 300, 307, 352syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)) → (𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
354353imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝))
355 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))
356303, 307ltlend 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) < (𝐵𝑝) ↔ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))))
357356adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐶𝑝) < (𝐵𝑝) ↔ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))))
358354, 355, 357mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐶𝑝) < (𝐵𝑝))
359303, 307posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) < (𝐵𝑝) ↔ 0 < ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
360359adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐶𝑝) < (𝐵𝑝) ↔ 0 < ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
361358, 360mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → 0 < ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)))
362 divelunit 13411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝))) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
363345, 349, 351, 361, 362syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
364343, 363mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))) ∈ (0[,]1))
365339, 364eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1))
366332, 365jaodan 956 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1))
367366ex 413 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1)))
368295, 367syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1)))
369 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
370 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
371284, 285oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)))
372371oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))))
373287, 285oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))
374373oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
375372, 374eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑝 → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))))
376 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶𝑗) = (𝐶𝑘))
377 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
378376, 377oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘)))
379378oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))))
380 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
381380, 377oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
382381oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
383379, 382eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ↔ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))))
384375, 383rspc2v 3590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))))
385369, 370, 384syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))))
386 simp11 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
387386, 370, 243syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
388 simp12 1204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
389388, 370, 245syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
390 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
391390, 370, 247syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
3923333adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
3933343adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
3943353adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
395 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))
396395necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))
397 simpl23 1253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
398 simpl21 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
399397, 398subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℂ)
400 simpl12 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
401399, 400mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
402 simpl22 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
403398, 402subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℂ)
404 simpl13 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
405403, 404mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
406397, 402subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℂ)
407 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))
408397, 402, 407subne0d 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ≠ 0)
409401, 405, 406, 408divdird 11969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
410 npncan2 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑝) ∈ ℂ) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) + ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) = 0)
411402, 398, 410syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) + ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) = 0)
412411oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) + ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)) = (0 · (𝐶𝑘)))
413402, 398subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℂ)
414413, 403, 404adddird 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) + ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
415404mul02d 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (0 · (𝐶𝑘)) = 0)
416412, 414, 4153eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) = 0)
417416oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (0 + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))))
418413, 404mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
419 simpl11 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
420406, 419mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
421418, 405, 420add32d 11382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
422420addid2d 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (0 + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)))
423417, 421, 4223eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
424399, 419mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
425413, 419mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
426418, 424, 425addsubd 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
427397, 402, 398nnncan2d 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) − ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝))) = ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))
428427oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) − ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝))) · (𝐴𝑘)) = (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)))
429399, 413, 419subdird 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) − ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝))) · (𝐴𝑘)) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
430428, 429eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
431430oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)))))
432418, 424, 425addsubassd 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)))))
433431, 432eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
434413, 404, 419subdid 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
435434oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
436426, 433, 4353eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
437436oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
438423, 437eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
439 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
440439oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
441440oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) = (((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
442400, 419subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
443442, 399mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
444443oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
445399, 442, 419adddid 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑘))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
446400, 419npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑘)) = (𝐵𝑘))
447446oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑘))) = (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)))
448444, 445, 4473eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)))
449448oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
450438, 441, 4493eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
451401, 405addcld 11174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) ∈ ℂ)
452451, 406, 419, 408divmuld 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (𝐴𝑘) ↔ (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)))))
453450, 452mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (𝐴𝑘))
454399, 400, 406, 408div23d 11968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐵𝑘)))
455406, 403, 406, 408divsubdird 11970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) − ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
456397, 398, 402nnncan2d 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) − ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))
457456oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) − ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
458406, 408dividd 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = 1)
459458oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) = (1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
460455, 457, 4593eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
461460oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐵𝑘)) = ((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)))
462454, 461eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)))
463403, 404, 406, 408div23d 11968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))
464462, 463oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))
465409, 453, 4643eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))
466465ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
467387, 389, 391, 392, 393, 394, 396, 466syl331anc 1395 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
468385, 467syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
4694683expia 1121 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))))
470469com23 86 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))))
471470ralrimdv 3149 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
472368, 471anim12d 609 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))))
473 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
474473oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) = ((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)))
475 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))
476474, 475oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))
477476eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → ((𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
478477ralbidv 3174 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
479478rspcev 3581 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))
480472, 479syl6 35 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))))
481480rexlimdvaa 3153 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))))
482283, 481sylbid 239 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))))
483275, 482pm2.61dne 3031 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))))
484219, 483sylbid 239 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))))
485213, 484impbid 211 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
4861, 485bitrd 278 1 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cop 4592   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  cexp 13967  𝔼cee 27837   Btwn cbtwn 27838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-ee 27840  df-btwn 27841
This theorem is referenced by:  colinearalg  27859
  Copyright terms: Public domain W3C validator