MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brbtwn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brbtwn2 28921
Description: Alternate characterization of betweenness, with no existential quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
brbtwn2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗

Proof of Theorem brbtwn2
Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brbtwn 28915 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))))
2 fveere 28917 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
323ad2antl2 1186 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
4 fveere 28917 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
543ad2antl3 1187 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
63, 5jca 511 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ))
7 resubcl 11574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
873adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
98recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
109sqvald 14184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) = (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))))
1110oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))))
12 elicc01 13507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
1312simp1bi 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
1413recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
15143ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
16 1re 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
17 resubcl 11574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
1816, 13, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
19183ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
2019recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
2120negcld 11608 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -(1 − 𝑡) ∈ ℂ)
2215, 9, 21, 9mul4d 11474 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) · (-(1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))))
23 recn 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑖) ∈ ℝ → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
24233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
25 recn 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶𝑖) ∈ ℝ → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
26253ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
2715, 24, 26subdid 11720 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝑡 · (𝐵𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
28 ax-1cn 11214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
29 subdir 11698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
3028, 20, 24, 29mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
31 nncan 11539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
3228, 15, 31sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
3332oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = (𝑡 · (𝐵𝑖)))
3424mullidd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
3534oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = ((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
3630, 33, 353eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐵𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
3736oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · (𝐵𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
38 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
3919, 38remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
4039recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
41133ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
42 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
4341, 42remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
4443recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
4524, 40, 44subsub4d 11652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4627, 37, 453eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4720, 9mulneg1d 11717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = -((1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))))
4820, 24, 26subdid 11720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖))))
49 subdir 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
5028, 15, 26, 49mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
5126mullidd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐶𝑖)) = (𝐶𝑖))
5251oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
5350, 52eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
5453oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) − ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
5540, 26, 44subsub3d 11651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) − ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖)))) = ((((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) − (𝐶𝑖)))
5648, 54, 553eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) − (𝐶𝑖)))
5756negeqd 11503 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = -((((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) − (𝐶𝑖)))
5839, 43readdcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∈ ℝ)
5958recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∈ ℂ)
6059, 26negsubdi2d 11637 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) − (𝐶𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
6147, 57, 603eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
6246, 61oveq12d 7450 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) · (-(1 − 𝑡) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
6311, 22, 623eqtr2rd 2783 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
6415, 20mulneg2d 11718 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · -(1 − 𝑡)) = -(𝑡 · (1 − 𝑡)))
6564oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) = (-(𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
6641, 19remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (1 − 𝑡)) ∈ ℝ)
6766recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (1 − 𝑡)) ∈ ℂ)
688resqcld 14166 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℝ)
6968recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2) ∈ ℂ)
7067, 69mulneg1d 11717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) = -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
7165, 70eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) = -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
7212simp2bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑡)
7312simp3bi 1147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
74 subge0 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
7516, 13, 74sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0[,]1) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
7673, 75mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (1 − 𝑡))
7713, 18, 72, 76mulge0d 11841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑡 · (1 − 𝑡)))
78773ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (𝑡 · (1 − 𝑡)))
798sqge0d 14178 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2))
8066, 68, 78, 79mulge0d 11841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)))
8166, 68remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
8281le0neg2d 11836 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0 ≤ ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ↔ -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ≤ 0))
8380, 82mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ≤ 0)
8471, 83eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))↑2)) ≤ 0)
8563, 84eqbrtrd 5164 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
86853expa 1118 . . . . . . . 8 ((((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
876, 86sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
8887an32s 652 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
8988ralrimiva 3145 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0)
90 fveecn 28918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
91 fveecn 28918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
9290, 91anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
9392anandirs 679 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
94 fveecn 28918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
95 fveecn 28918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
9694, 95anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ))
9796anandirs 679 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ))
9893, 97anim12dan 619 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)))
99983adantl1 1166 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)))
100 subcl 11508 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
1011003ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
102 subcl 11508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
103102ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
1041033ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
105101, 104mulcomd 11283 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))))
106 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
107 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
108 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
109 simp1r 1198 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
110 mulsub2 11708 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))))
111106, 107, 108, 109, 110syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))))
112105, 111eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))))
113112oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))) = ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))))
114 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
115 subcl 11508 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
11628, 115mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
1171163ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
118114, 117, 101, 104mul4d 11474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))) = ((𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))))
119114, 108, 109subdid 11720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝑡 · (𝐵𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
12028, 117, 108, 29mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
12128, 31mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
1221213ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
123122oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑖)) = (𝑡 · (𝐵𝑖)))
124108mullidd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
125124oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = ((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
126120, 123, 1253eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐵𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
127126oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (𝐵𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = (((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
128117, 108mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
129114, 109mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
130108, 128, 129subsub4d 11652 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
131119, 127, 1303eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
132117, 106, 107subdid 11720 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
133 subdir 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
13428, 114, 106, 133mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
135106mullidd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶𝑗)) = (𝐶𝑗))
136135oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
137134, 136eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) = ((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
138137oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑡) · (𝐶𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
139132, 138eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
140114, 106mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
141117, 107mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
142106, 140, 141sub32d 11653 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑗) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
143106, 141, 140subsub4d 11652 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
144139, 142, 1433eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
145131, 144oveq12d 7450 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · ((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))))
146118, 145eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑖) − (𝐶𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))))
147 subcl 11508 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
1481473ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
149 subcl 11508 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
150149ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
1511503ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
152114, 117, 148, 151mul4d 11474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))) = ((𝑡 · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))))
153114, 107, 106subdid 11720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) = ((𝑡 · (𝐵𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
154 subdir 11698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑗)) = ((1 · (𝐵𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
15528, 117, 107, 154mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑗)) = ((1 · (𝐵𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
156122oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵𝑗)) = (𝑡 · (𝐵𝑗)))
157107mullidd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐵𝑗)) = (𝐵𝑗))
158157oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) = ((𝐵𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))))
159155, 156, 1583eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) = (𝑡 · (𝐵𝑗)))
160159oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) = ((𝑡 · (𝐵𝑗)) − (𝑡 · (𝐶𝑗))))
161107, 141, 140subsub4d 11652 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗))) − (𝑡 · (𝐶𝑗))) = ((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
162153, 160, 1613eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) = ((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
163117, 109, 108subdid 11720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
16428, 114, 109, 49mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
165109mullidd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶𝑖)) = (𝐶𝑖))
166165oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶𝑖)) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
167164, 166eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
168167oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑡) · (𝐶𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = (((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))))
169109, 129, 128sub32d 11653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = (((𝐶𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))))
170109, 128, 129subsub4d 11652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
171169, 170eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶𝑖) − (𝑡 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
172163, 168, 1713eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖))) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
173162, 172oveq12d 7450 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
174152, 173eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
175113, 146, 1743eqtr3d 2784 . . . . . . . . 9 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
1761753expa 1118 . . . . . . . 8 (((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
17799, 14, 176syl2an 596 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
178177an32s 652 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
179178ralrimivva 3201 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
180 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
181 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
182181oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)))
183 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
184183oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = (𝑡 · (𝐶𝑖)))
185182, 184oveq12d 7450 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))
186180, 185eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
187186rspccva 3620 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))
188 oveq2 7440 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
189 oveq2 7440 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
190188, 189oveq12d 7450 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
191190breq1d 5152 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0))
192187, 191syl 17 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0))
193192ralbidva 3175 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0))
194 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
195 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
196195oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)))
197 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑗))
198197oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = (𝑡 · (𝐶𝑗)))
199196, 198oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))
200194, 199eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
201200rspccva 3620 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))
202 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))) → ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
203188, 202oveqan12d 7451 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))))
204 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))) → ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))))
205204, 189oveqan12rd 7452 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) → (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
206203, 205eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐴𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
207187, 201, 206syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
208207anandis 678 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
2092082ralbidva 3218 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
210193, 209anbi12d 632 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))))
211210biimprcd 250 . . . . 5 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) · ((𝐶𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗))))) = (((𝐵𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑗)) + (𝑡 · (𝐶𝑗)))) · ((𝐶𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
21289, 179, 211syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
213212rexlimdva 3154 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
214 fveere 28917 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
2152143ad2antl1 1185 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
216 mulsuble0b 12141 . . . . . . 7 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℝ) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
2173, 215, 5, 216syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
218217ralbidva 3175 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
219218anbi1d 631 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
220 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
221 simpl1 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
222 eqeefv 28919 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (𝐴𝑖)))
223220, 221, 222syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (𝐴𝑖)))
2243adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
225215adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
226224, 225letri3d 11404 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) = (𝐴𝑖) ↔ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))))
227 pm4.25 905 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ∨ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))))
228 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝑖) = (𝐶𝑖))
229228breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖) ↔ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)))
230229anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = 𝐶 → (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖))))
231228breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ↔ (𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖)))
232231anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = 𝐶 → (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))))
233230, 232orbi12d 918 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝐶 → ((((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ∨ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
234233ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ∨ ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
235227, 234bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
236226, 235bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) = (𝐴𝑖) ↔ (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
237236ralbidva 3175 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (𝐴𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
238223, 237bitrd 279 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)))))
239238biimprd 248 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → 𝐵 = 𝐴))
240239adantrd 491 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → 𝐵 = 𝐴))
241240ex 412 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → 𝐵 = 𝐴)))
242 0elunit 13510 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]1)
243 fveecn 28918 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2442433ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
245 fveecn 28918 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2462453ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
247 fveecn 28918 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
2482473ad2antl3 1187 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
249244, 246, 2483jca 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ))
250 mullid 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑘) ∈ ℂ → (1 · (𝐵𝑘)) = (𝐵𝑘))
251 mul02 11440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝑘) ∈ ℂ → (0 · (𝐶𝑘)) = 0)
252250, 251oveqan12d 7451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))) = ((𝐵𝑘) + 0))
253 addrid 11442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑘) ∈ ℂ → ((𝐵𝑘) + 0) = (𝐵𝑘))
254253adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑘) + 0) = (𝐵𝑘))
255252, 254eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))) = (𝐵𝑘))
2562553adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))) = (𝐵𝑘))
257256adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))) = (𝐵𝑘))
258 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵𝑘) = (𝐴𝑘))
259258ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → (𝐵𝑘) = (𝐴𝑘))
260257, 259eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → (𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
261249, 260sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → (𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
262261an32s 652 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
263262ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
264 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
265 1m0e1 12388 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 0) = 1
266264, 265eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
267266oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) = (1 · (𝐵𝑘)))
268 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = (0 · (𝐶𝑘)))
269267, 268oveq12d 7450 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘))))
270269eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → ((𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘)))))
271270ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘)))))
272271rspcev 3621 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = ((1 · (𝐵𝑘)) + (0 · (𝐶𝑘)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))
273242, 263, 272sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶𝐵 = 𝐴)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))
274273exp32 420 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 = 𝐴 → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))))
275241, 274syldd 72 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))))
276 eqeefv 28919 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝)))
2772763adant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝)))
278277necon3abid 2976 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝)))
279 df-ne 2940 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝) ↔ ¬ (𝐵𝑝) = (𝐶𝑝))
280279rexbii 3093 . . . . . . . 8 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐵𝑝) = (𝐶𝑝))
281 rexnal 3099 . . . . . . . 8 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐵𝑝) = (𝐶𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝))
282280, 281bitri 275 . . . . . . 7 (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) = (𝐶𝑝))
283278, 282bitr4di 289 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵𝐶 ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)))
284 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑝 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑝))
285 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑝 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑝))
286284, 285breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ↔ (𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝)))
287 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑝 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑝))
288285, 287breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖) ↔ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)))
289286, 288anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ↔ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))))
290287, 285breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ↔ (𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝)))
291285, 284breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖) ↔ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
292290, 291anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖)) ↔ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))))
293289, 292orbi12d 918 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑝 → ((((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))))
294293rspcv 3617 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))))
295294ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))))
296 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))
297 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
298 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
299 fveere 28917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑝) ∈ ℝ)
300297, 298, 299syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐴𝑝) ∈ ℝ)
301 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
302 fveere 28917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
303301, 298, 302syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐶𝑝) ∈ ℝ)
304 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
305 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
306 fveere 28917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ∈ ℝ)
307304, 305, 306syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ∈ ℝ)
308300, 303, 307lesub1d 11871 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝) ↔ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
309308adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝) ↔ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
310296, 309mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))
311300, 307resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ)
312311adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ)
313 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝))
314300, 307subge0d 11854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (0 ≤ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ↔ (𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝)))
315314adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (0 ≤ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ↔ (𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝)))
316313, 315mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → 0 ≤ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)))
317303, 307resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ)
318317adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ)
319 letr 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) → (𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝)))
320307, 300, 303, 319syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) → (𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝)))
321320imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝))
322 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))
323322necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))
324307, 303ltlend 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) < (𝐶𝑝) ↔ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))))
325324adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) < (𝐶𝑝) ↔ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐶𝑝) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))))
326321, 323, 325mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) < (𝐶𝑝))
327307, 303posdifd 11851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) < (𝐶𝑝) ↔ 0 < ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
328327adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) < (𝐶𝑝) ↔ 0 < ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
329326, 328mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → 0 < ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))
330 divelunit 13535 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) ∧ (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) → ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
331312, 316, 318, 329, 330syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ≤ ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
332310, 331mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1))
333300recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
334307recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
335303recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
336 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))
337336necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))
338333, 334, 335, 334, 337div2subd 12094 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
339338adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
340 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝))
341303, 300, 307lesub2d 11872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ↔ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
342341adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ↔ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
343340, 342mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)))
344307, 300resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ)
345344adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ)
346 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))
347307, 300subge0d 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (0 ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ↔ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
348347adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (0 ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ↔ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
349346, 348mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → 0 ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)))
350307, 303resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)) ∈ ℝ)
351350adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)) ∈ ℝ)
352 letr 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐶𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)) → (𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
353303, 300, 307, 352syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)) → (𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))
354353imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝))
355 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))
356303, 307ltlend 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) < (𝐵𝑝) ↔ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))))
357356adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐶𝑝) < (𝐵𝑝) ↔ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐵𝑝) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))))
358354, 355, 357mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (𝐶𝑝) < (𝐵𝑝))
359303, 307posdifd 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((𝐶𝑝) < (𝐵𝑝) ↔ 0 < ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
360359adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((𝐶𝑝) < (𝐵𝑝) ↔ 0 < ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
361358, 360mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → 0 < ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)))
362 divelunit 13535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝))) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
363345, 349, 351, 361, 362syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ≤ ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))))
364343, 363mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐵𝑝) − (𝐶𝑝))) ∈ (0[,]1))
365339, 364eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1))
366332, 365jaodan 959 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) ∧ (((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝)))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1))
367366ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((((𝐵𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐶𝑝)) ∨ ((𝐶𝑝) ≤ (𝐴𝑝) ∧ (𝐴𝑝) ≤ (𝐵𝑝))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1)))
368295, 367syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1)))
369 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
370 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
371284, 285oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)))
372371oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))))
373287, 285oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)) = ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))
374373oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
375372, 374eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑝 → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))))
376 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶𝑗) = (𝐶𝑘))
377 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
378376, 377oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘)))
379378oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))))
380 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
381380, 377oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
382381oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
383379, 382eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) ↔ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))))
384375, 383rspc2v 3632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))))
385369, 370, 384syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))))
386 simp11 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
387386, 370, 243syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
388 simp12 1204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
389388, 370, 245syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
390 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
391390, 370, 247syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
3923333adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
3933343adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
3943353adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
395 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))
396395necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))
397 simpl23 1253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐶𝑝) ∈ ℂ)
398 simpl21 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐴𝑝) ∈ ℂ)
399397, 398subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℂ)
400 simpl12 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
401399, 400mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
402 simpl22 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐵𝑝) ∈ ℂ)
403398, 402subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℂ)
404 simpl13 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
405403, 404mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
406397, 402subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ∈ ℂ)
407 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝))
408397, 402, 407subne0d 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) ≠ 0)
409401, 405, 406, 408divdird 12082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
410 npncan2 11537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑝) ∈ ℂ) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) + ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) = 0)
411402, 398, 410syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) + ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) = 0)
412411oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) + ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)) = (0 · (𝐶𝑘)))
413402, 398subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) ∈ ℂ)
414413, 403, 404adddird 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) + ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
415404mul02d 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (0 · (𝐶𝑘)) = 0)
416412, 414, 4153eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) = 0)
417416oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (0 + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))))
418413, 404mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
419 simpl11 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
420406, 419mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
421418, 405, 420add32d 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
422420addlidd 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (0 + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)))
423417, 421, 4223eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
424399, 419mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
425413, 419mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
426418, 424, 425addsubd 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
427397, 402, 398nnncan2d 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) − ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝))) = ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))
428427oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) − ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝))) · (𝐴𝑘)) = (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)))
429399, 413, 419subdird 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) − ((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝))) · (𝐴𝑘)) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
430428, 429eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
431430oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)))))
432418, 424, 425addsubassd 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘)))))
433431, 432eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
434413, 404, 419subdid 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
435434oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) − (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
436426, 433, 4353eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
437436oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐶𝑘)) + (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
438423, 437eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
439 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))))
440439oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
441440oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) = (((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
442400, 419subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
443442, 399mulcomd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) = (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
444443oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
445399, 442, 419adddid 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑘))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))))
446400, 419npcand 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑘)) = (𝐵𝑘))
447446oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (𝐴𝑘))) = (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)))
448444, 445, 4473eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) = (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)))
449448oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) + (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐴𝑘))) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
450438, 441, 4493eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))))
451401, 405addcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) ∈ ℂ)
452451, 406, 419, 408divmuld 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (𝐴𝑘) ↔ (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐴𝑘)) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)))))
453450, 452mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) + (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (𝐴𝑘))
454399, 400, 406, 408div23d 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐵𝑘)))
455406, 403, 406, 408divsubdird 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) − ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
456397, 398, 402nnncan2d 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) − ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))
457456oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) − ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))))
458406, 408dividd 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = 1)
459458oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) = (1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
460455, 457, 4593eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = (1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
461460oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐵𝑘)) = ((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)))
462454, 461eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)))
463403, 404, 406, 408div23d 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) = ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))
464462, 463oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (((((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)) · (𝐵𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) · (𝐶𝑘)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))
465409, 453, 4643eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) ∧ (((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝)))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))
466465ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝑝) ≠ (𝐵𝑝)) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
467387, 389, 391, 392, 393, 394, 396, 466syl331anc 1396 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵𝑝) − (𝐴𝑝)) · ((𝐶𝑘) − (𝐴𝑘))) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) · ((𝐶𝑝) − (𝐴𝑝))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
468385, 467syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
4694683expia 1121 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))))
470469com23 86 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))))
471470ralrimdv 3151 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
472368, 471anim12d 609 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))))
473 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))))
474473oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) = ((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)))
475 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))
476474, 475oveq12d 7450 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘))))
477476eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → ((𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
478477ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))))
479478rspcev 3621 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝)))) · (𝐵𝑘)) + ((((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)) / ((𝐶𝑝) − (𝐵𝑝))) · (𝐶𝑘)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))
480472, 479syl6 35 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))))
481480rexlimdvaa 3155 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑝) ≠ (𝐶𝑝) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))))
482283, 481sylbid 240 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))))))
483275, 482pm2.61dne 3027 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐶𝑖)) ∨ ((𝐶𝑖) ≤ (𝐴𝑖) ∧ (𝐴𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))))
484219, 483sylbid 240 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))))
485213, 484impbid 212 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
4861, 485bitrd 279 1 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  cop 4631   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  [,]cicc 13391  ...cfz 13548  cexp 14103  𝔼cee 28904   Btwn cbtwn 28905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-icc 13395  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-ee 28907  df-btwn 28908
This theorem is referenced by:  colinearalg  28926
  Copyright terms: Public domain W3C validator