MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem7 28208
Description: Lemma for axcont 28214. Given two points in 𝐷, one preceeds the other iff its scaling constant is less than the other point's. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem7.1 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem7.2 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐷,𝑥   𝑖,𝐹,𝑡   𝑖,𝑝,𝑥,𝑁,𝑡   𝑃,𝑖,𝑡,𝑥   𝑄,𝑖,𝑡,𝑥   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝐹(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem7
StepHypRef Expression
1 axcontlem7.1 . . . . . 6 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
21ssrab3 4079 . . . . 5 𝐷 ⊆ (𝔼‘𝑁)
32sseli 3977 . . . 4 (𝑃𝐷𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
43ad2antrl 727 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 simpll2 1214 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
62sseli 3977 . . . 4 (𝑄𝐷𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
76ad2antll 728 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
8 brbtwn 28137 . . 3 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖)))))
94, 5, 7, 8syl3anc 1372 . 2 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖)))))
10 axcontlem7.2 . . . . 5 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
111, 10axcontlem6 28207 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))))
121, 10axcontlem6 28207 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑄𝐷) → ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))
1311, 12anim12dan 620 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))) ∧ ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
14 an4 655 . . . . 5 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))) ∧ ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
15 r19.26 3112 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))
1615anbi2i 624 . . . . 5 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
1714, 16bitr4i 278 . . . 4 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))) ∧ ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
18 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) → (𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))))
19 oveq2 7412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))) → (𝑡 · (𝑄𝑖)) = (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))
2019oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))) → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
2118, 20eqeqan12d 2747 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) → ((𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))))
2221ralimi 3084 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))))
23 ralbi 3104 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))))
2524rexbidv 3179 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))))
26 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
27 fveecn 28140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍𝑖) ∈ ℂ)
2826, 27sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍𝑖) ∈ ℂ)
29 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
30 fveecn 28140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈𝑖) ∈ ℂ)
3129, 30sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈𝑖) ∈ ℂ)
32 elicc01 13439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
3332simp1bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
3433recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑡 ∈ ℂ)
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
37 elrege0 13427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑃)))
3837simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
3938recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹𝑃) ∈ ℂ)
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑃) ∈ ℂ)
4140ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹𝑃) ∈ ℂ)
4241adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑃) ∈ ℂ)
43 elrege0 13427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑄)))
4443simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹𝑄) ∈ ℝ)
4544recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
4746ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
49 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
50 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℂ)
51 simpr3 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
53 subcl 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ) → (1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) ∈ ℂ)
5449, 52, 53sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) ∈ ℂ)
55 subcl 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
5649, 55mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑃) ∈ ℂ → (1 − (𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
57563ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
5857adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
59 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑍𝑖) ∈ ℂ)
6054, 58, 59subdird 11667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) − (1 − (𝐹𝑃))) · (𝑍𝑖)) = (((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) − ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖))))
61 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝐹𝑃) ∈ ℂ)
62 nnncan1 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) − (1 − (𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
6349, 52, 61, 62mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) − (1 − (𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
6463oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) − (1 − (𝐹𝑃))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)))
65 subdi 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) = ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
6649, 65mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) = ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
67 mulrid 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ ℂ → (𝑡 · 1) = 𝑡)
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · 1) = 𝑡)
6968oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
7066, 69eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
7150, 51, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
7271oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄)))) = ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄)))))
73 npncan 11477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
7449, 50, 52, 73mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
7572, 74eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = ((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄)))))
7675oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄)))) · (𝑍𝑖)))
77 subcl 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
7849, 77mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
79783ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
8079adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
81 subcl 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
8249, 81mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑄) ∈ ℂ → (1 − (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
83823ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
8483adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
8550, 84mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) ∈ ℂ)
8680, 85, 59adddird 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄)))) · (𝑍𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖))))
8750, 84, 59mulassd 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖))))
8887oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))))
8976, 86, 883eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))))
9089oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) − ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) − ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖))))
9160, 64, 903eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) − ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖))))
92 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑈𝑖) ∈ ℂ)
9361, 52, 92subdird 11667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖)) = (((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) − ((𝑡 · (𝐹𝑄)) · (𝑈𝑖))))
9450, 51, 92mulassd 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝑡 · (𝐹𝑄)) · (𝑈𝑖)) = (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))
9594oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) − ((𝑡 · (𝐹𝑄)) · (𝑈𝑖))) = (((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))
9693, 95eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖)) = (((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))
9791, 96eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖)) ↔ ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) − ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖))) = (((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
9858, 59mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) ∈ ℂ)
9961, 92mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) ∈ ℂ)
10080, 59mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) ∈ ℂ)
10184, 59mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) ∈ ℂ)
10250, 101mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖))) ∈ ℂ)
103100, 102addcld 11229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) ∈ ℂ)
10451, 92mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)) ∈ ℂ)
10550, 104mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))) ∈ ℂ)
10698, 99, 103, 105addsubeq4d 11618 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) ↔ ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) − ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖))) = (((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
107100, 102, 105addassd 11232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
10850, 101, 104adddid 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) = ((𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))
109108oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
110107, 109eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
111110eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) ↔ (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))))
11297, 106, 1113bitr2rd 308 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖))))
11328, 31, 36, 42, 48, 112syl23anc 1378 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖))))
114113ralbidva 3176 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖))))
11536, 48mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
11642, 115subcld 11567 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) ∈ ℂ)
117 mulcan1g 11863 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) ∈ ℂ ∧ (𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖)) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ (𝑍𝑖) = (𝑈𝑖))))
118116, 28, 31, 117syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖)) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ (𝑍𝑖) = (𝑈𝑖))))
119118ralbidva 3176 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ (𝑍𝑖) = (𝑈𝑖))))
120 r19.32v 3192 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ (𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
121 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑍𝑈)
122121neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ¬ 𝑍 = 𝑈)
123 biorf 936 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = 𝑈 → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ↔ (𝑍 = 𝑈 ∨ ((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0)))
124 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 = 𝑈 ∨ ((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈))
125123, 124bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = 𝑈 → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈)))
126122, 125syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈)))
12735, 47mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
12841, 127subeq0ad 11577 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ↔ (𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
129 eqeefv 28141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
1301293adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
131130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
132131adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
133132orbi2d 915 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖))))
134126, 128, 1333bitr3rd 310 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)) ↔ (𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
135120, 134bitrid 283 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ (𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)) ↔ (𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
136114, 119, 1353bitrd 305 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
137136anassrs 469 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
138137rexbidva 3177 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
13933adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
140 1red 11211 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
14143biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) → ((𝐹𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑄)))
142141ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑄)))
14332simp3bi 1148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
144143adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
145 lemul1a 12064 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑄))) ∧ 𝑡 ≤ 1) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) ≤ (1 · (𝐹𝑄)))
146139, 140, 142, 144, 145syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) ≤ (1 · (𝐹𝑄)))
14745ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
148147mullidd 11228 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐹𝑄)) = (𝐹𝑄))
149146, 148breqtrd 5173 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) ≤ (𝐹𝑄))
150 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)) → ((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄) ↔ (𝑡 · (𝐹𝑄)) ≤ (𝐹𝑄)))
151149, 150syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
152151rexlimdva 3156 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
153 0elunit 13442 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ (0[,]1)
154 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) = 0 ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑃) = 0)
15545mul02d 11408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (0 · (𝐹𝑄)) = 0)
156155adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) = 0 ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (0 · (𝐹𝑄)) = 0)
157154, 156eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) = 0 ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑃) = (0 · (𝐹𝑄)))
158 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝐹𝑄)) = (0 · (𝐹𝑄)))
159158rspceeqv 3632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ (𝐹𝑃) = (0 · (𝐹𝑄))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))
160153, 157, 159sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑃) = 0 ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))
161160adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑃) = 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))
162161a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑃) = 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → ((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
163162ex 414 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑃) = 0 → (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))))
164 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄))
16538adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
1661653ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
16737simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑃))
168167adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑃))
1691683ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → 0 ≤ (𝐹𝑃))
17044adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑄) ∈ ℝ)
1711703ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑄) ∈ ℝ)
172 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → 0 ∈ ℝ)
173 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) ≠ 0)
174166, 169, 173ne0gt0d 11347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → 0 < (𝐹𝑃))
175172, 166, 171, 174, 164ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → 0 < (𝐹𝑄))
176 divelunit 13467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑃)) ∧ ((𝐹𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑄))) → (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
177166, 169, 171, 175, 176syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
178164, 177mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → ((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) ∈ (0[,]1))
179403ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) ∈ ℂ)
180463ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
181175gt0ne0d 11774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑄) ≠ 0)
182179, 180, 181divcan1d 11987 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) · (𝐹𝑄)) = (𝐹𝑃))
183182eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) = (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) · (𝐹𝑄)))
184 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = ((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) = (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) · (𝐹𝑄)))
185184rspceeqv 3632 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) ∈ (0[,]1) ∧ (𝐹𝑃) = (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) · (𝐹𝑄))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))
186178, 183, 185syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))
1871863exp 1120 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑃) ≠ 0 → (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))))
188163, 187pm2.61ine 3026 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
189152, 188impbid 211 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
190189adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
191138, 190bitrd 279 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
19225, 191sylan9bbr 512 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
193192anasss 468 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
19417, 193sylan2b 595 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))) ∧ ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
19513, 194syldan 592 . 2 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
1969, 195bitrd 279 1 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  cop 4633   class class class wbr 5147  {copab 5209  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  +∞cpnf 11241   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440   / cdiv 11867  cn 12208  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  𝔼cee 28126   Btwn cbtwn 28127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-z 12555  df-uz 12819  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-ee 28129  df-btwn 28130
This theorem is referenced by:  axcontlem9  28210
  Copyright terms: Public domain W3C validator