axcontlem7 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axcontlem7		Structured version Visualization version GIF version

Theorem axcontlem7 29553

Description: Lemma for axcont 29559. Given two points in 𝐷, one preceeds the other iff its scaling constant is less than the other point's. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
axcontlem7.1	⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem7.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}

**Assertion**
Ref	Expression
axcontlem7	⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))

Distinct variable groups: 𝑡,𝐷,𝑥 𝑖,𝐹,𝑡 𝑖,𝑝,𝑥,𝑁,𝑡 𝑃,𝑖,𝑡,𝑥 𝑄,𝑖,𝑡,𝑥 𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥 𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑖, 𝑝) 𝑃(𝑝) 𝑄(𝑝) 𝐹(𝑥, 𝑝)

**Proof of Theorem axcontlem7**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcontlem7.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
2	1	ssrab3 4007	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝔼‘𝑁)
3	2	sseli 3904	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐷 → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
4	3	ad2antrl 741	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpll2 1232	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
6	2	sseli 3904	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐷 → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
7	6	ad2antll 742	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		brbtwn 29482	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖)))))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖)))))
10		axcontlem7.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
11	1, 10	axcontlem6 29552	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
12	1, 10	axcontlem6 29552	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑄 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
13	11, 12	anim12dan 631	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
14		an4 669	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
15		r19.26 3122	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
16	15	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
17	14, 16	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
18		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) → (𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))
19		oveq2 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) → (𝑡 · (𝑄‘𝑖)) = (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
20	19	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
21	18, 20	eqeqan12d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → ((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
22	21	ralimi 3099	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
23		ralbi 3117	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
24	22, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
25	24	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
26		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
27		fveecn 29485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
28	26, 27	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
29		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
30		fveecn 29485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
31	29, 30	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
32		elicc01 13600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
33	32	simp1bi 1163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
34	33	recnd 11340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
35	34	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑡 ∈ ℂ)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
37		elrege0 13588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑃)))
38	37	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
41	40	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
43		elrege0 13588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄)))
44	43	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
46	45	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
47	46	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
49		ax-1cn 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℂ)
51		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
52	50, 51	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
53		subcl 11559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) → (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ)
54	49, 52, 53	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ)
55		subcl 11559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
56	49, 55	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
57	56	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
58	57	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
59		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
60	54, 58, 59	subdird 11776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))))
61		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
62		nnncan1 11597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
63	49, 52, 61, 62	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
64	63	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)))
65		subdi 11752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
66	49, 65	mp3an2 1478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
67		mulrid 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (𝑡 · 1) = 𝑡)
68	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · 1) = 𝑡)
69	68	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
70	66, 69	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
71	50, 51, 70	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
72	71	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))) = ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))))
73		npncan 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
74	49, 50, 52, 73	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
75	72, 74	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = ((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))))
76	75	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))) · (𝑍‘𝑖)))
77		subcl 11559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
78	49, 77	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
79	78	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
80	79	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
81		subcl 11559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
82	49, 81	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
83	82	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
84	83	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
85	50, 84	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ)
86	80, 85, 59	adddird 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖))))
87	50, 84, 59	mulassd 11335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))))
88	87	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))))
89	76, 86, 88	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))))
90	89	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))))
91	60, 64, 90	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))))
92		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
93	61, 52, 92	subdird 11776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − ((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) · (𝑈‘𝑖))))
94	50, 51, 92	mulassd 11335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) · (𝑈‘𝑖)) = (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))
95	94	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − ((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) · (𝑈‘𝑖))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
96	93, 95	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
97	91, 96	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
98	58, 59	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
99	61, 92	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ)
100	80, 59	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
101	84, 59	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
102	50, 101	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) ∈ ℂ)
103	100, 102	addcld 11331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) ∈ ℂ)
104	51, 92	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ)
105	50, 104	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∈ ℂ)
106	98, 99, 103, 105	addsubeq4d 11723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
107	100, 102, 105	addassd 11334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
108	50, 101, 104	adddid 11336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) = ((𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
109	108	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
110	107, 109	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
111	110	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
112	97, 106, 111	3bitr2rd 311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖))))
113	28, 31, 36, 42, 48, 112	syl23anc 1404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖))))
114	113	ralbidva 3183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖))))
115	36, 48	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
116	42, 115	subcld 11672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ)
117		mulcan1g 11972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ ∧ (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
118	116, 28, 31, 117	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
119	118	ralbidva 3183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
120		r19.32v 3195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
121		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ≠ 𝑈)
122	121	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ¬ 𝑍 = 𝑈)
123		biorf 950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑍 = 𝑈 → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (𝑍 = 𝑈 ∨ ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0)))
124		orcom 884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑍 = 𝑈 ∨ ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈))
125	123, 124	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑍 = 𝑈 → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈)))
126	122, 125	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈)))
127	35, 47	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
128	41, 127	subeq0ad 11680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
129		eqeefv 29486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
130	129	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
131	130	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
132	131	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
133	132	orbi2d 929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
134	126, 128, 133	3bitr3rd 313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
135	120, 134	bitrid 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
136	114, 119, 135	3bitrd 308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
137	136	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
138	137	rexbidva 3184	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
139	33	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
140		1red 11312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
141	43	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄)))
142	141	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄)))
143	32	simp3bi 1165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
144	143	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
145		lemul1a 12174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄))) ∧ 𝑡 ≤ 1) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑄)))
146	139, 140, 142, 144, 145	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑄)))
147	45	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
148	147	mullidd 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐹‘𝑄)) = (𝐹‘𝑄))
149	146, 148	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (𝐹‘𝑄))
150		breq1 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ↔ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (𝐹‘𝑄)))
151	149, 150	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
152	151	rexlimdva 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
153		0elunit 13603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
154		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) = 0)
155	45	mul02d 11511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (0 · (𝐹‘𝑄)) = 0)
156	155	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (0 · (𝐹‘𝑄)) = 0)
157	154, 156	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) = (0 · (𝐹‘𝑄)))
158		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) = (0 · (𝐹‘𝑄)))
159	158	rspceeqv 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ (𝐹‘𝑃) = (0 · (𝐹‘𝑄))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
160	153, 157, 159	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
161	160	adantrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
162	161	a1d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
163	162	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = 0 → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))))
164		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))
165	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
166	165	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
167	37	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃))
168	167	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃))
169	168	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃))
170	44	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ)
171	170	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ)
172		0red 11314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 ∈ ℝ)
173		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≠ 0)
174	166, 169, 173	ne0gt0d 11450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 < (𝐹‘𝑃))
175	172, 166, 171, 174, 164	ltletrd 11473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 < (𝐹‘𝑄))
176		divelunit 13628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑃)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑄))) → (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
177	166, 169, 171, 175, 176	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
178	164, 177	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1))
179	40	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
180	46	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
181	175	gt0ne0d 11883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑄) ≠ 0)
182	179, 180, 181	divcan1d 12097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄)) = (𝐹‘𝑃))
183	182	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄)))
184		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = ((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄)))
185	184	rspceeqv 3598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1) ∧ (𝐹‘𝑃) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
186	178, 183, 185	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
187	186	3exp 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ≠ 0 → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))))
188	163, 187	pm2.61ine 3038	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
189	152, 188	impbid 215	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
190	189	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
191	138, 190	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
192	25, 191	sylan9bbr 520	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
193	192	anasss 472	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
194	17, 193	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
195	13, 194	syldan 603	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
196	9, 195	bitrd 282	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2955 ∀wral 3076 ∃wrex 3086 {crab 3412 ⟨cop 4834 class class class wbr 5102 {copab 5166 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ℂcc 11201 ℝcr 11202 0cc0 11203 1c1 11204 + caddc 11206 · cmul 11208 +∞cpnf 11343 < clt 11346 ≤ cle 11347 − cmin 11544 / cdiv 11976 ℕcn 12338 [,)cico 13481 [,]cicc 13482 ...cfz 13642 𝔼cee 29470 Btwn cbtwn 29471

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7751 ax-cnex 11259 ax-resscn 11260 ax-1cn 11261 ax-icn 11262 ax-addcl 11263 ax-addrcl 11264 ax-mulcl 11265 ax-mulrcl 11266 ax-mulcom 11267 ax-addass 11268 ax-mulass 11269 ax-distr 11270 ax-i2m1 11271 ax-1ne0 11272 ax-1rid 11273 ax-rnegex 11274 ax-rrecex 11275 ax-cnre 11276 ax-pre-lttri 11277 ax-pre-lttrn 11278 ax-pre-ltadd 11279 ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-ss 3896 df-pss 4014 df-dif 4047 df-in 4091 df-un 4151 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4835 df-uni 4867 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5545 df-eprel 5550 df-po 5558 df-so 5559 df-fr 5603 df-we 5605 df-xp 5656 df-rel 5657 df-cnv 5658 df-co 5659 df-dm 5660 df-rn 5661 df-res 5662 df-ima 5663 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8302 df-wrecs 8333 df-recs 8382 df-rdg 8421 df-er 8720 df-map 8852 df-en 8977 df-dom 8978 df-sdom 8979 df-pnf 11348 df-mnf 11349 df-xr 11350 df-ltxr 11351 df-le 11352 df-sub 11546 df-neg 11547 df-div 11977 df-nn 12339 df-z 12697 df-uz 12969 df-ico 13485 df-icc 13486 df-fz 13643 df-ee 29473 df-btwn 29474

This theorem is used by: axcontlem9 29555

W3C validator