axcontlem7 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axcontlem7		Structured version Visualization version GIF version

Theorem axcontlem7 29117

Description: Lemma for axcont 29123. Given two points in 𝐷, one preceeds the other iff its scaling constant is less than the other point's. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
axcontlem7.1	⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem7.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}

**Assertion**
Ref	Expression
axcontlem7	⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))

Distinct variable groups: 𝑡,𝐷,𝑥 𝑖,𝐹,𝑡 𝑖,𝑝,𝑥,𝑁,𝑡 𝑃,𝑖,𝑡,𝑥 𝑄,𝑖,𝑡,𝑥 𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥 𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑖,𝑝) 𝑃(𝑝) 𝑄(𝑝) 𝐹(𝑥,𝑝)

**Proof of Theorem axcontlem7**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcontlem7.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
2	1	ssrab3 4035	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝔼‘𝑁)
3	2	sseli 3932	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐷 → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
4	3	ad2antrl 738	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpll2 1226	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
6	2	sseli 3932	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐷 → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
7	6	ad2antll 739	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		brbtwn 29046	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖)))))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖)))))
10		axcontlem7.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
11	1, 10	axcontlem6 29116	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
12	1, 10	axcontlem6 29116	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑄 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
13	11, 12	anim12dan 628	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
14		an4 666	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
15		r19.26 3121	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
16	15	anbi2i 632	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
17	14, 16	bitr4i 280	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
18		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) → (𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))
19		oveq2 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) → (𝑡 · (𝑄‘𝑖)) = (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
20	19	oveq2d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
21	18, 20	eqeqan12d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → ((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
22	21	ralimi 3098	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
23		ralbi 3116	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
25	24	rexbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
26		simpll2 1226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
27		fveecn 29049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
28	26, 27	sylan 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
29		simpll3 1227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
30		fveecn 29049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
31	29, 30	sylan 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
32		elicc01 13467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
33	32	simp1bi 1157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
34	33	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
35	34	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑡 ∈ ℂ)
36	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
37		elrege0 13455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑃)))
38	37	simplbi 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
40	39	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
41	40	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
42	41	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
43		elrege0 13455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄)))
44	43	simplbi 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
46	45	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
47	46	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
48	47	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
49		ax-1cn 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		simpr1 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℂ)
51		simpr3 1209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
52	50, 51	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
53		subcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) → (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ)
54	49, 52, 53	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ)
55		subcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
56	49, 55	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
57	56	3ad2ant2 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
58	57	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
59		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ)
60	54, 58, 59	subdird 11641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))))
61		simpr2 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
62		nnncan1 11464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
63	49, 52, 61, 62	mp3an2i 1486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
64	63	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)))
65		subdi 11617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
66	49, 65	mp3an2 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
67		mulrid 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (𝑡 · 1) = 𝑡)
68	67	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · 1) = 𝑡)
69	68	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
70	66, 69	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
71	50, 51, 70	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
72	71	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))) = ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))))
73		npncan 11449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
74	49, 50, 52, 73	mp3an2i 1486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
75	72, 74	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = ((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))))
76	75	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))) · (𝑍‘𝑖)))
77		subcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
78	49, 77	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
79	78	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
80	79	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
81		subcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
82	49, 81	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
83	82	3ad2ant3 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
84	83	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
85	50, 84	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ)
86	80, 85, 59	adddird 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖))))
87	50, 84, 59	mulassd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))))
88	87	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))))
89	76, 86, 88	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))))
90	89	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))))
91	60, 64, 90	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))))
92		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)
93	61, 52, 92	subdird 11641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − ((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) · (𝑈‘𝑖))))
94	50, 51, 92	mulassd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) · (𝑈‘𝑖)) = (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))
95	94	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − ((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) · (𝑈‘𝑖))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
96	93, 95	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
97	91, 96	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
98	58, 59	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
99	61, 92	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ)
100	80, 59	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
101	84, 59	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ)
102	50, 101	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) ∈ ℂ)
103	100, 102	addcld 11198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) ∈ ℂ)
104	51, 92	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ)
105	50, 104	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∈ ℂ)
106	98, 99, 103, 105	addsubeq4d 11590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
107	100, 102, 105	addassd 11201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
108	50, 101, 104	adddid 11203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) = ((𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))
109	108	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
110	107, 109	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))
111	110	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))))
112	97, 106, 111	3bitr2rd 310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖))))
113	28, 31, 36, 42, 48, 112	syl23anc 1395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖))))
114	113	ralbidva 3182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖))))
115	36, 48	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
116	42, 115	subcld 11539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ)
117		mulcan1g 11837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ ∧ (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
118	116, 28, 31, 117	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
119	118	ralbidva 3182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
120		r19.32v 3194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
121		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ≠ 𝑈)
122	121	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ¬ 𝑍 = 𝑈)
123		biorf 947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑍 = 𝑈 → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (𝑍 = 𝑈 ∨ ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0)))
124		orcom 881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑍 = 𝑈 ∨ ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈))
125	123, 124	bitrdi 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑍 = 𝑈 → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈)))
126	122, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈)))
127	35, 47	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ)
128	41, 127	subeq0ad 11549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
129		eqeefv 29050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
130	129	3adant1 1142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
131	130	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
132	131	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
133	132	orbi2d 926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
134	126, 128, 133	3bitr3rd 312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
135	120, 134	bitrid 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
136	114, 119, 135	3bitrd 307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
137	136	anassrs 471	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
138	137	rexbidva 3183	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
139	33	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
140		1red 11179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
141	43	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄)))
142	141	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄)))
143	32	simp3bi 1159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
144	143	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
145		lemul1a 12042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄))) ∧ 𝑡 ≤ 1) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑄)))
146	139, 140, 142, 144, 145	syl31anc 1391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑄)))
147	45	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
148	147	mullidd 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐹‘𝑄)) = (𝐹‘𝑄))
149	146, 148	breqtrd 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (𝐹‘𝑄))
150		breq1 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ↔ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (𝐹‘𝑄)))
151	149, 150	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
152	151	rexlimdva 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
153		0elunit 13470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
154		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) = 0)
155	45	mul02d 11378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (0 · (𝐹‘𝑄)) = 0)
156	155	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (0 · (𝐹‘𝑄)) = 0)
157	154, 156	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) = (0 · (𝐹‘𝑄)))
158		oveq1 7399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) = (0 · (𝐹‘𝑄)))
159	158	rspceeqv 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ (𝐹‘𝑃) = (0 · (𝐹‘𝑄))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
160	153, 157, 159	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
161	160	adantrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
162	161	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
163	162	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = 0 → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))))
164		simp3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))
165	38	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
166	165	3ad2ant2 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
167	37	simprbi 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃))
168	167	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃))
169	168	3ad2ant2 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃))
170	44	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ)
171	170	3ad2ant2 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ)
172		0red 11181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 ∈ ℝ)
173		simp1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≠ 0)
174	166, 169, 173	ne0gt0d 11317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 < (𝐹‘𝑃))
175	172, 166, 171, 174, 164	ltletrd 11340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 < (𝐹‘𝑄))
176		divelunit 13495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑃)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑄))) → (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
177	166, 169, 171, 175, 176	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
178	164, 177	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1))
179	40	3ad2ant2 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ)
180	46	3ad2ant2 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)
181	175	gt0ne0d 11748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑄) ≠ 0)
182	179, 180, 181	divcan1d 11965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄)) = (𝐹‘𝑃))
183	182	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄)))
184		oveq1 7399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = ((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄)))
185	184	rspceeqv 3604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1) ∧ (𝐹‘𝑃) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
186	178, 183, 185	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))
187	186	3exp 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ≠ 0 → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))))
188	163, 187	pm2.61ine 3039	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))
189	152, 188	impbid 214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
190	189	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
191	138, 190	bitrd 281	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
192	25, 191	sylan9bbr 518	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
193	192	anasss 470	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
194	17, 193	sylan2b 603	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
195	13, 194	syldan 600	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))
196	9, 195	bitrd 281	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∨ wo 858 ∧ w3a 1097 = wceq 1559 ∈ wcel 2141 ≠ wne 2956 ∀wral 3075 ∃wrex 3085 {crab 3413 ⟨cop 4587 class class class wbr 5099 {copab 5161 ‘cfv 6517 (class class class)co 7392 ℂcc 11068 ℝcr 11069 0cc0 11070 1c1 11071 + caddc 11073 · cmul 11075 +∞cpnf 11210 < clt 11213 ≤ cle 11214 − cmin 11411 / cdiv 11841 ℕcn 12207 [,)cico 13348 [,]cicc 13349 ...cfz 13509 𝔼cee 29034 Btwn cbtwn 29035

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1814 ax-4 1828 ax-5 1929 ax-6 1986 ax-7 2027 ax-8 2143 ax-9 2151 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2211 ax-ext 2733 ax-sep 5245 ax-nul 5255 ax-pow 5321 ax-pr 5389 ax-un 7714 ax-cnex 11126 ax-resscn 11127 ax-1cn 11128 ax-icn 11129 ax-addcl 11130 ax-addrcl 11131 ax-mulcl 11132 ax-mulrcl 11133 ax-mulcom 11134 ax-addass 11135 ax-mulass 11136 ax-distr 11137 ax-i2m1 11138 ax-1ne0 11139 ax-1rid 11140 ax-rnegex 11141 ax-rrecex 11142 ax-cnre 11143 ax-pre-lttri 11144 ax-pre-lttrn 11145 ax-pre-ltadd 11146 ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1098 df-3an 1099 df-tru 1562 df-fal 1572 df-ex 1799 df-nf 1803 df-sb 2090 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3061 df-ral 3076 df-rex 3086 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3455 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4582 df-pr 4584 df-op 4588 df-uni 4865 df-iun 4950 df-br 5100 df-opab 5162 df-mpt 5181 df-tr 5207 df-id 5540 df-eprel 5545 df-po 5553 df-so 5554 df-fr 5598 df-we 5600 df-xp 5651 df-rel 5652 df-cnv 5653 df-co 5654 df-dm 5655 df-rn 5656 df-res 5657 df-ima 5658 df-pred 6284 df-ord 6345 df-on 6346 df-lim 6347 df-suc 6348 df-iota 6473 df-fun 6519 df-fn 6520 df-f 6521 df-f1 6522 df-fo 6523 df-f1o 6524 df-fv 6525 df-riota 7349 df-ov 7395 df-oprab 7396 df-mpo 7397 df-om 7843 df-1st 7966 df-2nd 7967 df-frecs 8257 df-wrecs 8288 df-recs 8337 df-rdg 8376 df-er 8673 df-map 8805 df-en 8924 df-dom 8925 df-sdom 8926 df-pnf 11215 df-mnf 11216 df-xr 11217 df-ltxr 11218 df-le 11219 df-sub 11413 df-neg 11414 df-div 11842 df-nn 12208 df-z 12566 df-uz 12837 df-ico 13352 df-icc 13353 df-fz 13510 df-ee 29037 df-btwn 29038

This theorem is referenced by: axcontlem9 29119

W3C validator