Proof of Theorem axcontlem7
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | axcontlem7.1 | . . . . . 6
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} | 
| 2 | 1 | ssrab3 4081 | . . . . 5
⊢ 𝐷 ⊆ (𝔼‘𝑁) | 
| 3 | 2 | sseli 3978 | . . . 4
⊢ (𝑃 ∈ 𝐷 → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) | 
| 4 | 3 | ad2antrl 728 | . . 3
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) | 
| 5 |  | simpll2 1213 | . . 3
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) | 
| 6 | 2 | sseli 3978 | . . . 4
⊢ (𝑄 ∈ 𝐷 → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) | 
| 7 | 6 | ad2antll 729 | . . 3
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) | 
| 8 |  | brbtwn 28915 | . . 3
⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑃 Btwn 〈𝑍, 𝑄〉 ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))))) | 
| 9 | 4, 5, 7, 8 | syl3anc 1372 | . 2
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn 〈𝑍, 𝑄〉 ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))))) | 
| 10 |  | axcontlem7.2 | . . . . 5
⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} | 
| 11 | 1, 10 | axcontlem6 28985 | . . . 4
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) | 
| 12 | 1, 10 | axcontlem6 28985 | . . . 4
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑄 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) | 
| 13 | 11, 12 | anim12dan 619 | . . 3
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 14 |  | an4 656 | . . . . 5
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 15 |  | r19.26 3110 | . . . . . 6
⊢
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) | 
| 16 | 15 | anbi2i 623 | . . . . 5
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 17 | 14, 16 | bitr4i 278 | . . . 4
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 18 |  | id 22 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) → (𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) | 
| 19 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) → (𝑡 · (𝑄‘𝑖)) = (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) | 
| 20 | 19 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 21 | 18, 20 | eqeqan12d 2750 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → ((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))) | 
| 22 | 21 | ralimi 3082 | . . . . . . . 8
⊢
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))) | 
| 23 |  | ralbi 3102 | . . . . . . . 8
⊢
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))) | 
| 24 | 22, 23 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))) | 
| 25 | 24 | rexbidv 3178 | . . . . . 6
⊢
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))) | 
| 26 |  | simpll2 1213 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) | 
| 27 |  | fveecn 28918 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ) | 
| 28 | 26, 27 | sylan 580 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ) | 
| 29 |  | simpll3 1214 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) | 
| 30 |  | fveecn 28918 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) | 
| 31 | 29, 30 | sylan 580 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) | 
| 32 |  | elicc01 13507 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1)) | 
| 33 | 32 | simp1bi 1145 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈
ℝ) | 
| 34 | 33 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈
ℂ) | 
| 35 | 34 | ad2antll 729 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑡 ∈
ℂ) | 
| 36 | 35 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ) | 
| 37 |  | elrege0 13495 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑃))) | 
| 38 | 37 | simplbi 497 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ) | 
| 39 | 38 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) | 
| 40 | 39 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) | 
| 41 | 40 | ad2antrl 728 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) | 
| 42 | 41 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) | 
| 43 |  | elrege0 13495 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 44 | 43 | simplbi 497 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ) | 
| 45 | 44 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) | 
| 46 | 45 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) | 
| 47 | 46 | ad2antrl 728 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) | 
| 48 | 47 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) | 
| 49 |  | ax-1cn 11214 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 1 ∈
ℂ | 
| 50 |  | simpr1 1194 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℂ) | 
| 51 |  | simpr3 1196 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) | 
| 52 | 50, 51 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) | 
| 53 |  | subcl 11508 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝑡
· (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) → (1
− (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ) | 
| 54 | 49, 52, 53 | sylancr 587 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ) | 
| 55 |  | subcl 11508 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ) | 
| 56 | 49, 55 | mpan 690 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ) | 
| 57 | 56 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ) | 
| 58 | 57 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ) | 
| 59 |  | simpll 766 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ) | 
| 60 | 54, 58, 59 | subdird 11721 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 −
(𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)))) | 
| 61 |  | simpr2 1195 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) | 
| 62 |  | nnncan1 11546 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝑡
· (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 63 | 49, 52, 61, 62 | mp3an2i 1467 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 64 | 63 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 −
(𝑡 · (𝐹‘𝑄))) − (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖))) | 
| 65 |  | subdi 11697 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 66 | 49, 65 | mp3an2 1450 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 67 |  | mulrid 11260 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (𝑡 · 1) = 𝑡) | 
| 68 | 67 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · 1) = 𝑡) | 
| 69 | 68 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 70 | 66, 69 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 71 | 50, 51, 70 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 72 | 71 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))) = ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))) | 
| 73 |  | npncan 11531 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 𝑡
∈ ℂ ∧ (𝑡
· (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) → ((1
− 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 74 | 49, 50, 52, 73 | mp3an2i 1467 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 75 | 72, 74 | eqtr2d 2777 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = ((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))))) | 
| 76 | 75 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))) · (𝑍‘𝑖))) | 
| 77 |  | subcl 11508 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 𝑡
∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ) | 
| 78 | 49, 77 | mpan 690 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (1
− 𝑡) ∈
ℂ) | 
| 79 | 78 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈
ℂ) | 
| 80 | 79 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − 𝑡) ∈
ℂ) | 
| 81 |  | subcl 11508 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) | 
| 82 | 49, 81 | mpan 690 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) | 
| 83 | 82 | 3ad2ant3 1135 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) | 
| 84 | 83 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) | 
| 85 | 50, 84 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ) | 
| 86 | 80, 85, 59 | adddird 11287 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄)))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)))) | 
| 87 | 50, 84, 59 | mulassd 11285 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) | 
| 88 | 87 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · (1 − (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))))) | 
| 89 | 76, 86, 88 | 3eqtrd 2780 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))))) | 
| 90 | 89 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 −
(𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)))) | 
| 91 | 60, 64, 90 | 3eqtr3d 2784 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)))) | 
| 92 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) | 
| 93 | 61, 52, 92 | subdird 11721 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − ((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) · (𝑈‘𝑖)))) | 
| 94 | 50, 51, 92 | mulassd 11285 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) · (𝑈‘𝑖)) = (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) | 
| 95 | 94 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − ((𝑡 · (𝐹‘𝑄)) · (𝑈‘𝑖))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) | 
| 96 | 93, 95 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) | 
| 97 | 91, 96 | eqeq12d 2752 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 98 | 58, 59 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ) | 
| 99 | 61, 92 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ) | 
| 100 | 80, 59 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ) | 
| 101 | 84, 59 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ) | 
| 102 | 50, 101 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) ∈ ℂ) | 
| 103 | 100, 102 | addcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) ∈ ℂ) | 
| 104 | 51, 92 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ) | 
| 105 | 50, 104 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∈ ℂ) | 
| 106 | 98, 99, 103, 105 | addsubeq4d 11672 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 −
(𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) − ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 107 | 100, 102,
105 | addassd 11284 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 −
𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 108 | 50, 101, 104 | adddid 11286 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) = ((𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) | 
| 109 | 108 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 110 | 107, 109 | eqtr4d 2779 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 −
𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 111 | 110 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 −
(𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))))) | 
| 112 | 97, 106, 111 | 3bitr2rd 308 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 −
(𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)))) | 
| 113 | 28, 31, 36, 42, 48, 112 | syl23anc 1378 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)))) | 
| 114 | 113 | ralbidva 3175 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) →
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)))) | 
| 115 | 36, 48 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) | 
| 116 | 42, 115 | subcld 11621 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ) | 
| 117 |  | mulcan1g 11917 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) ∈ ℂ ∧ (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))) | 
| 118 | 116, 28, 31, 117 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))) | 
| 119 | 118 | ralbidva 3175 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) →
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑍‘𝑖)) = (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) · (𝑈‘𝑖)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))) | 
| 120 |  | r19.32v 3191 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))) | 
| 121 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ≠ 𝑈) | 
| 122 | 121 | neneqd 2944 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ¬
𝑍 = 𝑈) | 
| 123 |  | biorf 936 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
𝑍 = 𝑈 → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (𝑍 = 𝑈 ∨ ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0))) | 
| 124 |  | orcom 870 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑍 = 𝑈 ∨ ((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈)) | 
| 125 | 123, 124 | bitrdi 287 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
𝑍 = 𝑈 → (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈))) | 
| 126 | 122, 125 | syl 17 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) →
(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈))) | 
| 127 | 35, 47 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) | 
| 128 | 41, 127 | subeq0ad 11631 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) →
(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 129 |  | eqeefv 28919 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))) | 
| 130 | 129 | 3adant1 1130 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))) | 
| 131 | 130 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))) | 
| 132 | 131 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))) | 
| 133 | 132 | orbi2d 915 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) →
((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈) ↔ (((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))) | 
| 134 | 126, 128,
133 | 3bitr3rd 310 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) →
((((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 135 | 120, 134 | bitrid 283 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) →
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(((𝐹‘𝑃) − (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) = 0 ∨ (𝑍‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 136 | 114, 119,
135 | 3bitrd 305 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) →
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 137 | 136 | anassrs 467 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 138 | 137 | rexbidva 3176 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) →
(∃𝑡 ∈
(0[,]1)∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 139 | 33 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈
ℝ) | 
| 140 |  | 1red 11263 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈
ℝ) | 
| 141 | 43 | biimpi 216 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 142 | 141 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 143 | 32 | simp3bi 1147 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1) | 
| 144 | 143 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1) | 
| 145 |  | lemul1a 12122 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄))) ∧ 𝑡 ≤ 1) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑄))) | 
| 146 | 139, 140,
142, 144, 145 | syl31anc 1374 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (1 · (𝐹‘𝑄))) | 
| 147 | 45 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) | 
| 148 | 147 | mullidd 11280 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1
· (𝐹‘𝑄)) = (𝐹‘𝑄)) | 
| 149 | 146, 148 | breqtrd 5168 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (𝐹‘𝑄)) | 
| 150 |  | breq1 5145 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ↔ (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 151 | 149, 150 | syl5ibrcom 247 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 152 | 151 | rexlimdva 3154 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) →
(∃𝑡 ∈
(0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 153 |  | 0elunit 13510 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 ∈
(0[,]1) | 
| 154 |  | simpl 482 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) = 0) | 
| 155 | 45 | mul02d 11460 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (0 ·
(𝐹‘𝑄)) = 0) | 
| 156 | 155 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (0 ·
(𝐹‘𝑄)) = 0) | 
| 157 | 154, 156 | eqtr4d 2779 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) = (0 · (𝐹‘𝑄))) | 
| 158 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) = (0 · (𝐹‘𝑄))) | 
| 159 | 158 | rspceeqv 3644 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0
∈ (0[,]1) ∧ (𝐹‘𝑃) = (0 · (𝐹‘𝑄))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) | 
| 160 | 153, 157,
159 | sylancr 587 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) | 
| 161 | 160 | adantrl 716 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) →
∃𝑡 ∈
(0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) | 
| 162 | 161 | a1d 25 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹‘𝑃) = 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 163 | 162 | ex 412 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐹‘𝑃) = 0 → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))) | 
| 164 |  | simp3 1138 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) | 
| 165 | 38 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ) | 
| 166 | 165 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ) | 
| 167 | 37 | simprbi 496 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃)) | 
| 168 | 167 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤
(𝐹‘𝑃)) | 
| 169 | 168 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃)) | 
| 170 | 44 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ) | 
| 171 | 170 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ) | 
| 172 |  | 0red 11265 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 ∈ ℝ) | 
| 173 |  | simp1 1136 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≠ 0) | 
| 174 | 166, 169,
173 | ne0gt0d 11399 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 < (𝐹‘𝑃)) | 
| 175 | 172, 166,
171, 174, 164 | ltletrd 11422 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → 0 < (𝐹‘𝑄)) | 
| 176 |  | divelunit 13535 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑃)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑄))) → (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 177 | 166, 169,
171, 175, 176 | syl22anc 838 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 178 | 164, 177 | mpbird 257 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1)) | 
| 179 | 40 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) | 
| 180 | 46 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) | 
| 181 | 175 | gt0ne0d 11828 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑄) ≠ 0) | 
| 182 | 179, 180,
181 | divcan1d 12045 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄)) = (𝐹‘𝑃)) | 
| 183 | 182 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → (𝐹‘𝑃) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄))) | 
| 184 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = ((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) → (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄))) | 
| 185 | 184 | rspceeqv 3644 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) ∈ (0[,]1) ∧ (𝐹‘𝑃) = (((𝐹‘𝑃) / (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑄))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) | 
| 186 | 178, 183,
185 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))) | 
| 187 | 186 | 3exp 1119 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐹‘𝑃) ≠ 0 → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄))))) | 
| 188 | 163, 187 | pm2.61ine 3024 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)))) | 
| 189 | 152, 188 | impbid 212 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) →
(∃𝑡 ∈
(0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 190 | 189 | adantl 481 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) →
(∃𝑡 ∈
(0[,]1)(𝐹‘𝑃) = (𝑡 · (𝐹‘𝑄)) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 191 | 138, 190 | bitrd 279 | . . . . . 6
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) →
(∃𝑡 ∈
(0[,]1)∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 192 | 25, 191 | sylan9bbr 510 | . . . . 5
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞))) ∧
∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 193 | 192 | anasss 466 | . . . 4
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 194 | 17, 193 | sylan2b 594 | . . 3
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 195 | 13, 194 | syldan 591 | . 2
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑄‘𝑖))) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) | 
| 196 | 9, 195 | bitrd 279 | 1
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷)) → (𝑃 Btwn 〈𝑍, 𝑄〉 ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) |