Theorem eqeelen 28877

Description: Two points are equal iff the square of the distance between them is zero. (Contributed by Scott Fenton, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eqeelen	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem eqeelen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveere 28874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
2	1	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
3		fveere 28874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
4	3	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 11540	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11135	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
7		sqeq0 14022	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = 0))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = 0))
9	2	recnd 11135	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
10	4	recnd 11135	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
11	9, 10	subeq0ad 11477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = 0 ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
12	8, 11	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
13	12	ralbidva 3153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
14		fzfid 13875	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
15	5	resqcld 14027	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
16	5	sqge0d 14039	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2))
17	14, 15, 16	fsum00 15700	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0))
18		eqeefv 28876	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
19	13, 17, 18	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   − cmin 11339  2c2 12175  ...cfz 13402  ↑cexp 13963  Σcsu 15588  𝔼cee 28861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-ico 13246  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-sum 15589  df-ee 28864

This theorem is referenced by:  axsegconlem6  28895  ax5seglem5  28906