Theorem ax5seglem4 28895

Description: Lemma for ax5seg 28901. Given two distinct points, the scaling constant in a betweenness statement is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem4	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑇 ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝑁   𝑇,𝑖

Proof of Theorem ax5seglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 − 0))
2		1m0e1 12262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − 0) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1)
4	3	oveq1d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = (1 · (𝐴‘𝑖)))
5		oveq1 7360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝐶‘𝑖)) = (0 · (𝐶‘𝑖)))
6	4, 5	oveq12d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = 0 → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))))
7	6	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = 0 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
8	7	ralbidv 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
9	8	biimpac 478	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝑇 = 0) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))))
10		eqeefv 28866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
11	10	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
12	11	3adant3r3 1185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
13		simplr1 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		fveecn 28865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
15	13, 14	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
16		simplr3 1218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		fveecn 28865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
18	16, 17	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
19		mullid 11133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐴‘𝑖)) = (𝐴‘𝑖))
20		mul02 11312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝐶‘𝑖)) = 0)
21	19, 20	oveqan12d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐴‘𝑖) + 0))
22		addrid 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ → ((𝐴‘𝑖) + 0) = (𝐴‘𝑖))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) + 0) = (𝐴‘𝑖))
24	21, 23	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖))
25	15, 18, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖))
26	25	eqeq1d 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
27		eqcom 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))))
28	26, 27	bitr3di 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
29	28	ralbidva 3150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
30	12, 29	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
31	9, 30	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝑇 = 0) → 𝐴 = 𝐵))
32	31	expdimp 452	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → (𝑇 = 0 → 𝐴 = 𝐵))
33	32	necon3d 2946	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑇 ≠ 0))
34	33	3impia 1117	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑇 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365  ℕcn 12146  ...cfz 13428  𝔼cee 28851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367  df-ee 28854

This theorem is referenced by:  ax5seg  28901