MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem4 28454
Description: Lemma for ax5seg 28460. Given two distinct points, the scaling constant in a betweenness statement is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–   ๐ต,๐‘–   ๐ถ,๐‘–   ๐‘–,๐‘   ๐‘‡,๐‘–

Proof of Theorem ax5seglem4
StepHypRef Expression
1 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ = 0 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) = (1 โˆ’ 0))
2 1m0e1 12338 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆ’ 0) = 1
31, 2eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ = 0 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) = 1)
43oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ = 0 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = (1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))
5 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ = 0 โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)) = (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))
64, 5oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = 0 โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
76eqeq2d 2742 . . . . . . 7 (๐‘‡ = 0 โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
87ralbidv 3176 . . . . . 6 (๐‘‡ = 0 โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
98biimpac 478 . . . . 5 ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐‘‡ = 0) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
10 eqeefv 28425 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–)))
11103adant1 1129 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–)))
12113adant3r3 1183 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–)))
13 simplr1 1214 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
14 fveecn 28424 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1513, 14sylancom 587 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
16 simplr3 1216 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
17 fveecn 28424 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1816, 17sylancom 587 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
19 mullid 11218 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = (๐ดโ€˜๐‘–))
20 mul02 11397 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)) = 0)
2119, 20oveqan12d 7431 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = ((๐ดโ€˜๐‘–) + 0))
22 addrid 11399 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) + 0) = (๐ดโ€˜๐‘–))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) + 0) = (๐ดโ€˜๐‘–))
2421, 23eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = (๐ดโ€˜๐‘–))
2515, 18, 24syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = (๐ดโ€˜๐‘–))
2625eqeq1d 2733 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” (๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–)))
27 eqcom 2738 . . . . . . . 8 (((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
2826, 27bitr3di 285 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
2928ralbidva 3174 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
3012, 29bitrd 278 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
319, 30imbitrrid 245 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐‘‡ = 0) โ†’ ๐ด = ๐ต))
3231expdimp 452 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ (๐‘‡ = 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
3332necon3d 2960 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ (๐ด โ‰  ๐ต โ†’ ๐‘‡ โ‰  0))
34333impia 1116 1 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆ€wral 3060  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   โˆ’ cmin 11449  โ„•cn 12217  ...cfz 13489  ๐”ผcee 28410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-sub 11451  df-ee 28413
This theorem is referenced by:  ax5seg  28460
  Copyright terms: Public domain W3C validator