MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem4 28228
Description: Lemma for ax5seg 28234. Given two distinct points, the scaling constant in a betweenness statement is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–   ๐ต,๐‘–   ๐ถ,๐‘–   ๐‘–,๐‘   ๐‘‡,๐‘–

Proof of Theorem ax5seglem4
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ = 0 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) = (1 โˆ’ 0))
2 1m0e1 12335 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆ’ 0) = 1
31, 2eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ = 0 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) = 1)
43oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ = 0 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = (1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))
5 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ = 0 โ†’ (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)) = (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))
64, 5oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = 0 โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
76eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (๐‘‡ = 0 โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
87ralbidv 3177 . . . . . 6 (๐‘‡ = 0 โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
98biimpac 479 . . . . 5 ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐‘‡ = 0) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
10 eqeefv 28199 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–)))
11103adant1 1130 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–)))
12113adant3r3 1184 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–)))
13 simplr1 1215 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
14 fveecn 28198 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1513, 14sylancom 588 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
16 simplr3 1217 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
17 fveecn 28198 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1816, 17sylancom 588 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
19 mullid 11215 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = (๐ดโ€˜๐‘–))
20 mul02 11394 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)) = 0)
2119, 20oveqan12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = ((๐ดโ€˜๐‘–) + 0))
22 addrid 11396 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) + 0) = (๐ดโ€˜๐‘–))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) + 0) = (๐ดโ€˜๐‘–))
2421, 23eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = (๐ดโ€˜๐‘–))
2515, 18, 24syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = (๐ดโ€˜๐‘–))
2625eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” (๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–)))
27 eqcom 2739 . . . . . . . 8 (((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
2826, 27bitr3di 285 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
2928ralbidva 3175 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
3012, 29bitrd 278 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = ((1 ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (0 ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
319, 30imbitrrid 245 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐‘‡ = 0) โ†’ ๐ด = ๐ต))
3231expdimp 453 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ (๐‘‡ = 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
3332necon3d 2961 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ (๐ด โ‰  ๐ต โ†’ ๐‘‡ โ‰  0))
34333impia 1117 1 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446  โ„•cn 12214  ...cfz 13486  ๐”ผcee 28184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255  df-sub 11448  df-ee 28187
This theorem is referenced by:  ax5seg  28234
  Copyright terms: Public domain W3C validator