Theorem ax5seglem4 28169

Description: Lemma for ax5seg 28175. Given two distinct points, the scaling constant in a betweenness statement is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem4	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑇 ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝑁   𝑇,𝑖

Proof of Theorem ax5seglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 − 0))
2		1m0e1 12328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − 0) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1)
4	3	oveq1d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = (1 · (𝐴‘𝑖)))
5		oveq1 7410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝐶‘𝑖)) = (0 · (𝐶‘𝑖)))
6	4, 5	oveq12d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = 0 → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))))
7	6	eqeq2d 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = 0 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
8	7	ralbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
9	8	biimpac 480	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝑇 = 0) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))))
10		eqeefv 28140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
11	10	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
12	11	3adant3r3 1185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
13		simplr1 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		fveecn 28139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
15	13, 14	sylancom 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
16		simplr3 1218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		fveecn 28139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
18	16, 17	sylancom 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
19		mullid 11208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐴‘𝑖)) = (𝐴‘𝑖))
20		mul02 11387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝐶‘𝑖)) = 0)
21	19, 20	oveqan12d 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐴‘𝑖) + 0))
22		addrid 11389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ → ((𝐴‘𝑖) + 0) = (𝐴‘𝑖))
23	22	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) + 0) = (𝐴‘𝑖))
24	21, 23	eqtrd 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖))
25	15, 18, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖))
26	25	eqeq1d 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
27		eqcom 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))))
28	26, 27	bitr3di 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
29	28	ralbidva 3176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
30	12, 29	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
31	9, 30	imbitrrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝑇 = 0) → 𝐴 = 𝐵))
32	31	expdimp 454	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → (𝑇 = 0 → 𝐴 = 𝐵))
33	32	necon3d 2962	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑇 ≠ 0))
34	33	3impia 1118	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑇 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  ℂcc 11103  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110   − cmin 11439  ℕcn 12207  ...cfz 13479  𝔼cee 28125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11441  df-ee 28128

This theorem is referenced by:  ax5seg  28175