Theorem ax5seglem4 29429

Description: Lemma for ax5seg 29435. Given two distinct points, the scaling constant in a betweenness statement is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ax5seglem4	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑇 ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝑁   𝑇,𝑖

Proof of Theorem ax5seglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 − 0))
2		1m0e1 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − 0) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1)
4	3	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) = (1 · (𝐴‘𝑖)))
5		oveq1 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝐶‘𝑖)) = (0 · (𝐶‘𝑖)))
6	4, 5	oveq12d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = 0 → (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))))
7	6	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = 0 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
8	7	ralbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
9	8	biimpac 484	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝑇 = 0) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))))
10		eqeefv 29400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
11	10	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
12	11	3adant3r3 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
13		simplr1 1234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		fveecn 29399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
15	13, 14	sylancom 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
16		simplr3 1236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		fveecn 29399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
18	16, 17	sylancom 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
19		mullid 11264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐴‘𝑖)) = (𝐴‘𝑖))
20		mul02 11445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝐶‘𝑖)) = 0)
21	19, 20	oveqan12d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐴‘𝑖) + 0))
22		addrid 11447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ → ((𝐴‘𝑖) + 0) = (𝐴‘𝑖))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) + 0) = (𝐴‘𝑖))
24	21, 23	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖))
25	15, 18, 24	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = (𝐴‘𝑖))
26	25	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
27		eqcom 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖))))
28	26, 27	bitr3di 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
29	28	ralbidva 3183	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
30	12, 29	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = ((1 · (𝐴‘𝑖)) + (0 · (𝐶‘𝑖)))))
31	9, 30	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝑇 = 0) → 𝐴 = 𝐵))
32	31	expdimp 458	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → (𝑇 = 0 → 𝐴 = 𝐵))
33	32	necon3d 2976	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖)))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑇 ≠ 0))
34	33	3impia 1135	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑇 · (𝐶‘𝑖))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑇 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160   · cmul 11162   − cmin 11498  ℕcn 12290  ...cfz 13594  𝔼cee 29384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-ltxr 11305  df-sub 11500  df-ee 29387

This theorem is used by:  ax5seg  29435