Theorem axbtwnid 28923

Description: Points are indivisible. That is, if 𝐴 lies between 𝐵 and 𝐵, then 𝐴 = 𝐵. Axiom A6 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axbtwnid	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐵⟩ → 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem axbtwnid

Dummy variables 𝑡 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		brbtwn 28883	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))))
4	1, 2, 2, 3	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))))
5		elicc01 13488	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
6	5	simp1bi 1145	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11268	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
8		eqeefv 28887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
9	8	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
11		ax-1cn 11192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		npcan 11496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) + 𝑡) = 1)
13	11, 12	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → ((1 − 𝑡) + 𝑡) = 1)
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) + 𝑡) = 1)
15	14	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) + 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) = (1 · (𝐵‘𝑖)))
16		subcl 11486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
17	11, 16	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
18	17	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
19		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
20		simpll3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		fveecn 28886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
22	20, 21	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
23	18, 19, 22	adddird 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) + 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖))))
24	22	mullidd 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 · (𝐵‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖))
25	15, 23, 24	3eqtr3rd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖))))
26	25	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))))
27	26	ralbidva 3162	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))))
28	10, 27	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))))
29	28	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖))) → 𝐴 = 𝐵))
30	7, 29	sylan2 593	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖))) → 𝐴 = 𝐵))
31	30	rexlimdva 3142	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖))) → 𝐴 = 𝐵))
32	4, 31	sylbid 240	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐵⟩ → 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℕcn 12245  [,]cicc 13370  ...cfz 13529  𝔼cee 28872   Btwn cbtwn 28873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-z 12594  df-uz 12858  df-icc 13374  df-fz 13530  df-ee 28875  df-btwn 28876

This theorem is referenced by:  eengtrkg  28970  btwncomim  36036  btwnswapid  36040  btwnintr  36042  btwnexch3  36043  ifscgr  36067  idinside  36107  btwnconn1lem12  36121  outsideofrflx  36150