Theorem axbtwnid 29026

Description: Points are indivisible. That is, if 𝐴 lies between 𝐵 and 𝐵, then 𝐴 = 𝐵. Axiom A6 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axbtwnid	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐵⟩ → 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem axbtwnid

Dummy variables 𝑡 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		simp3 1144	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		brbtwn 28986	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))))
4	1, 2, 2, 3	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))))
5		elicc01 13410	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
6	5	simp1bi 1151	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
8		eqeefv 28990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
9	8	3adant1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
10	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖)))
11		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		npcan 11393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) + 𝑡) = 1)
13	11, 12	mpan 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → ((1 − 𝑡) + 𝑡) = 1)
14	13	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) + 𝑡) = 1)
15	14	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) + 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) = (1 · (𝐵‘𝑖)))
16		subcl 11383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
17	11, 16	mpan 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
18	17	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
19		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
20		simpll3 1221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		fveecn 28989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
22	20, 21	sylancom 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
23	18, 19, 22	adddird 11161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) + 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖))))
24	22	mullidd 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 · (𝐵‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖))
25	15, 23, 24	3eqtr3rd 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖))))
26	25	eqeq2d 2750	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))))
27	26	ralbidva 3160	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))))
28	10, 27	bitrd 280	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))))
29	28	biimprd 249	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖))) → 𝐴 = 𝐵))
30	7, 29	sylan2 599	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖))) → 𝐴 = 𝐵))
31	30	rexlimdva 3140	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐵‘𝑖))) → 𝐴 = 𝐵))
32	4, 31	sylbid 241	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐵⟩ → 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  [,]cicc 13292  ...cfz 13452  𝔼cee 28974   Btwn cbtwn 28975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-z 12516  df-uz 12780  df-icc 13296  df-fz 13453  df-ee 28977  df-btwn 28978

This theorem is referenced by:  eengtrkg  29073  btwncomim  36241  btwnswapid  36245  btwnintr  36247  btwnexch3  36248  ifscgr  36272  idinside  36312  btwnconn1lem12  36326  outsideofrflx  36355