MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axbtwnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axbtwnid 26175
Description: Points are indivisible. That is, if 𝐴 lies between 𝐵 and 𝐵, then 𝐴 = 𝐵. Axiom A6 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axbtwnid ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐵⟩ → 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem axbtwnid
Dummy variables 𝑡 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1168 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 simp3 1169 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
3 brbtwn 26135 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐵𝑖)))))
41, 2, 2, 3syl3anc 1491 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐵𝑖)))))
5 elicc01 12540 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
65simp1bi 1176 . . . . 5 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
76recnd 10358 . . . 4 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
8 eqeefv 26139 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
983adant1 1161 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
109adantr 473 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
11 ax-1cn 10283 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
12 npcan 10583 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) + 𝑡) = 1)
1311, 12mpan 682 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ ℂ → ((1 − 𝑡) + 𝑡) = 1)
1413ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) + 𝑡) = 1)
1514oveq1d 6894 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) + 𝑡) · (𝐵𝑖)) = (1 · (𝐵𝑖)))
16 subcl 10572 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
1711, 16mpan 682 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
1817ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
19 simplr 786 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
20 simpll3 1274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
21 fveecn 26138 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
2220, 21sylancom 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
2318, 19, 22adddird 10355 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) + 𝑡) · (𝐵𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐵𝑖))))
2422mulid2d 10348 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
2515, 23, 243eqtr3rd 2843 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐵𝑖))))
2625eqeq2d 2810 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) = (𝐵𝑖) ↔ (𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐵𝑖)))))
2726ralbidva 3167 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐵𝑖)))))
2810, 27bitrd 271 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐵𝑖)))))
2928biimprd 240 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐵𝑖))) → 𝐴 = 𝐵))
307, 29sylan2 587 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐵𝑖))) → 𝐴 = 𝐵))
3130rexlimdva 3213 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐵𝑖))) → 𝐴 = 𝐵))
324, 31sylbid 232 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐵⟩ → 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3090  wrex 3091  cop 4375   class class class wbr 4844  cfv 6102  (class class class)co 6879  cc 10223  cr 10224  0cc0 10225  1c1 10226   + caddc 10228   · cmul 10230  cle 10365  cmin 10557  cn 11313  [,]cicc 12426  ...cfz 12579  𝔼cee 26124   Btwn cbtwn 26125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-z 11666  df-uz 11930  df-icc 12430  df-fz 12580  df-ee 26127  df-btwn 26128
This theorem is referenced by:  eengtrkg  26221  btwncomim  32632  btwnswapid  32636  btwnintr  32638  btwnexch3  32639  ifscgr  32663  idinside  32703  btwnconn1lem12  32717  outsideofrflx  32746
  Copyright terms: Public domain W3C validator