Theorem fczsupp0 8209

Description: The support of a constant function with value zero is empty. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fczsupp0	⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Proof of Theorem fczsupp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2727	. . 3 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍}))
2		fnconstg 6792	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
3	2	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
4		snnzg 4783	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → {𝑍} ≠ ∅)
5		simpl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
6		xpexcnv 7935	. . . . 5 ⊢ (({𝑍} ≠ ∅ ∧ (𝐵 × {𝑍}) ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
7	4, 5, 6	syl2an2 684	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
8		simpr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
9		fnsuppeq0 8208	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍})))
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍})))
11	1, 10	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅)
12		supp0prc 8179	. 2 ⊢ (¬ ((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅)
13	11, 12	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  Vcvv 3462  ∅c0 4325  {csn 4633   × cxp 5682   Fn wfn 6551  (class class class)co 7426   supp csupp 8176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pr 5435  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-supp 8177

This theorem is referenced by:  fczfsuppd  9431  cantnf  9738  mhp0cl  22142  cantnfresb  43008