MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fczsupp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fczsupp0 8217
Description: The support of a constant function with value zero is empty. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
fczsupp0 ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Proof of Theorem fczsupp0
StepHypRef Expression
1 eqidd 2736 . . 3 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍}))
2 fnconstg 6797 . . . . 5 (𝑍 ∈ V → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
32adantl 481 . . . 4 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
4 snnzg 4779 . . . . 5 (𝑍 ∈ V → {𝑍} ≠ ∅)
5 simpl 482 . . . . 5 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
6 xpexcnv 7943 . . . . 5 (({𝑍} ≠ ∅ ∧ (𝐵 × {𝑍}) ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
74, 5, 6syl2an2 686 . . . 4 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
8 simpr 484 . . . 4 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
9 fnsuppeq0 8216 . . . 4 (((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵𝐵 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍})))
103, 7, 8, 9syl3anc 1370 . . 3 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍})))
111, 10mpbird 257 . 2 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅)
12 supp0prc 8187 . 2 (¬ ((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅)
1311, 12pm2.61i 182 1 ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  c0 4339  {csn 4631   × cxp 5687   Fn wfn 6558  (class class class)co 7431   supp csupp 8184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-supp 8185
This theorem is referenced by:  fczfsuppd  9424  cantnf  9731  mhp0cl  22168  elrgspnlem4  33235  cantnfresb  43314
  Copyright terms: Public domain W3C validator