Theorem fczsupp0 8173

Description: The support of a constant function with value zero is empty. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fczsupp0	⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Proof of Theorem fczsupp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2763	. . 3 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍}))
2		fnconstg 6752	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
3	2	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
4		snnzg 4733	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → {𝑍} ≠ ∅)
5		simpl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
6		xpexcnv 7901	. . . . 5 ⊢ (({𝑍} ≠ ∅ ∧ (𝐵 × {𝑍}) ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
7	4, 5, 6	syl2an2 696	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
8		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
9		fnsuppeq0 8172	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍})))
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍})))
11	1, 10	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅)
12		supp0prc 8143	. 2 ⊢ (¬ ((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅)
13	11, 12	pm2.61i 183	1 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454  ∅c0 4285  {csn 4582   × cxp 5645   Fn wfn 6516  (class class class)co 7396   supp csupp 8140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-supp 8141

This theorem is referenced by:  fczfsuppd  9332  cantnf  9648  mhp0cl  22208  elrgspnlem4  33423  extvfvcl  33830  cantnfresb  43898