MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fczsupp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fczsupp0 7935
Description: The support of a constant function with value zero is empty. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
fczsupp0 ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Proof of Theorem fczsupp0
StepHypRef Expression
1 eqidd 2738 . . 3 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍}))
2 fnconstg 6607 . . . . 5 (𝑍 ∈ V → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
32adantl 485 . . . 4 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
4 snnzg 4690 . . . . 5 (𝑍 ∈ V → {𝑍} ≠ ∅)
5 simpl 486 . . . . 5 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
6 xpexcnv 7698 . . . . 5 (({𝑍} ≠ ∅ ∧ (𝐵 × {𝑍}) ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
74, 5, 6syl2an2 686 . . . 4 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
8 simpr 488 . . . 4 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
9 fnsuppeq0 7934 . . . 4 (((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵𝐵 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍})))
103, 7, 8, 9syl3anc 1373 . . 3 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍})))
111, 10mpbird 260 . 2 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅)
12 supp0prc 7906 . 2 (¬ ((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅)
1311, 12pm2.61i 185 1 ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  Vcvv 3408  c0 4237  {csn 4541   × cxp 5549   Fn wfn 6375  (class class class)co 7213   supp csupp 7903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-supp 7904
This theorem is referenced by:  fczfsuppd  9003  cantnf  9308  mhp0cl  21086
  Copyright terms: Public domain W3C validator