Theorem fczsupp0 8175

Description: The support of a constant function with value zero is empty. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fczsupp0	⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Proof of Theorem fczsupp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍}))
2		fnconstg 6751	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
4		snnzg 4741	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → {𝑍} ≠ ∅)
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
6		xpexcnv 7899	. . . . 5 ⊢ (({𝑍} ≠ ∅ ∧ (𝐵 × {𝑍}) ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
7	4, 5, 6	syl2an2 686	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
9		fnsuppeq0 8174	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍})))
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝐵 × {𝑍}) = (𝐵 × {𝑍})))
11	1, 10	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅)
12		supp0prc 8145	. 2 ⊢ (¬ ((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅)
13	11, 12	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  ∅c0 4299  {csn 4592   × cxp 5639   Fn wfn 6509  (class class class)co 7390   supp csupp 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-supp 8143

This theorem is referenced by:  fczfsuppd  9344  cantnf  9653  mhp0cl  22040  elrgspnlem4  33203  cantnfresb  43320