Theorem fczfsuppd 9415

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fczfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		snex 5404	. . 3 ⊢ {𝑍} ∈ V
3		xpexg 7796	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ {𝑍} ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
5		fczfsuppd.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
6		fnconstg 6800	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
7		fnfun 6669	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
8	5, 6, 7	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
9		fczsupp0 8248	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
10		0fi 9108	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
13	4, 5, 8, 12	isfsuppd 9396	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5108   × cxp 5656  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561  (class class class)co 7451   supp csupp 8214  Fincfn 9011   finSupp cfsupp 9391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-supp 8215  df-en 9012  df-fin 9015  df-fsupp 9392

This theorem is used by:  cantnf0  9713  cantnf  9731  dprdsubg  20291  tsms0  24516  tgptsmscls  24524  dchrptlem3  27650  elrgspnlem1  33902  elrspunidl  34082  psrmonprod  34295  esplyfval0  34307  extdgfialglem2  34436  cantnfresb  44587  naddcnffo  44627  naddcnfid1  44630  naddcnfid2  44631