Theorem fczfsuppd 9003

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fczfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
2		fnconstg 6607	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
3		fnfun 6479	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
5		fczsupp0 7935	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
6		0fin 8849	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
7	5, 6	eqeltri 2834	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
9		fczfsuppd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
10		snex 5324	. . . 4 ⊢ {𝑍} ∈ V
11		xpexg 7535	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ {𝑍} ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
13		isfsupp 8989	. . 3 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
14	12, 1, 13	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
15	4, 8, 14	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408  ∅c0 4237  {csn 4541   class class class wbr 5053   × cxp 5549  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  (class class class)co 7213   supp csupp 7903  Fincfn 8626   finSupp cfsupp 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-supp 7904  df-en 8627  df-fin 8630  df-fsupp 8986

This theorem is referenced by:  cantnf0  9290  cantnf  9308  dprdsubg  19411  tsms0  23039  tgptsmscls  23047  dchrptlem3  26147  elrspunidl  31320