Theorem fczfsuppd 9301

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fczfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
2		fnconstg 6730	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
3		fnfun 6600	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
5		fczsupp0 8145	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
6		0fi 8991	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
7	5, 6	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
9		fczfsuppd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
10		snex 5385	. . . 4 ⊢ {𝑍} ∈ V
11		xpexg 7705	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ {𝑍} ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
13		isfsupp 9280	. . 3 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
14	12, 1, 13	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
15	4, 8, 14	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5630  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  (class class class)co 7368   supp csupp 8112  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-supp 8113  df-en 8896  df-fin 8899  df-fsupp 9277

This theorem is referenced by:  cantnf0  9596  cantnf  9614  dprdsubg  19967  tsms0  24098  tgptsmscls  24106  dchrptlem3  27245  elrgspnlem1  33336  elrspunidl  33521  psrmonprod  33729  esplyfval0  33741  extdgfialglem2  33871  cantnfresb  43681  naddcnffo  43721  naddcnfid1  43724  naddcnfid2  43725