Theorem fczfsuppd 9076

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fczfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
2		fnconstg 6646	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
3		fnfun 6517	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
5		fczsupp0 7980	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
6		0fin 8916	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
7	5, 6	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
9		fczfsuppd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
10		snex 5349	. . . 4 ⊢ {𝑍} ∈ V
11		xpexg 7578	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ {𝑍} ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
13		isfsupp 9062	. . 3 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
14	12, 1, 13	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
15	4, 8, 14	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070   × cxp 5578  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  (class class class)co 7255   supp csupp 7948  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-supp 7949  df-en 8692  df-fin 8695  df-fsupp 9059

This theorem is referenced by:  cantnf0  9363  cantnf  9381  dprdsubg  19542  tsms0  23201  tgptsmscls  23209  dchrptlem3  26319  elrspunidl  31508