Theorem fczfsuppd 9265

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fczfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
2		fnconstg 6706	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
3		fnfun 6576	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
5		fczsupp0 8118	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
6		0fi 8959	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
7	5, 6	eqeltri 2827	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
9		fczfsuppd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
10		snex 5369	. . . 4 ⊢ {𝑍} ∈ V
11		xpexg 7678	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ {𝑍} ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
13		isfsupp 9244	. . 3 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
14	12, 1, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
15	4, 8, 14	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4278  {csn 4571   class class class wbr 5086   × cxp 5609  Fun wfun 6470   Fn wfn 6471  (class class class)co 7341   supp csupp 8085  Fincfn 8864   finSupp cfsupp 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-supp 8086  df-en 8865  df-fin 8868  df-fsupp 9241

This theorem is referenced by:  cantnf0  9560  cantnf  9578  dprdsubg  19933  tsms0  24052  tgptsmscls  24060  dchrptlem3  27199  elrgspnlem1  33201  elrspunidl  33385  extdgfialglem2  33698  cantnfresb  43357  naddcnffo  43397  naddcnfid1  43400  naddcnfid2  43401