Theorem fczfsuppd 9371

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fczfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		snex 5397	. . 3 ⊢ {𝑍} ∈ V
3		xpexg 7762	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ {𝑍} ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
5		fczfsuppd.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
6		fnconstg 6768	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
7		fnfun 6637	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
8	5, 6, 7	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
9		fczsupp0 8203	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
10		0fi 9063	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
13	4, 5, 8, 12	isfsuppd 9351	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  (class class class)co 7418   supp csupp 8170  Fincfn 8966   finSupp cfsupp 9346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-supp 8171  df-en 8967  df-fin 8970  df-fsupp 9347

This theorem is used by:  cantnf0  9669  cantnf  9687  dprdsubg  20233  tsms0  24454  tgptsmscls  24462  dchrptlem3  27586  elrgspnlem1  33796  elrspunidl  33971  psrmonprod  34177  esplyfval0  34189  extdgfialglem2  34318  cantnfresb  44310  naddcnffo  44350  naddcnfid1  44353  naddcnfid2  44354