Theorem fczfsuppd 9293

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fczfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
2		fnconstg 6723	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
3		fnfun 6593	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
5		fczsupp0 8137	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
6		0fi 8983	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
7	5, 6	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
9		fczfsuppd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
10		snex 5377	. . . 4 ⊢ {𝑍} ∈ V
11		xpexg 7698	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ {𝑍} ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
13		isfsupp 9272	. . 3 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
14	12, 1, 13	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
15	4, 8, 14	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086   × cxp 5623  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  (class class class)co 7361   supp csupp 8104  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-supp 8105  df-en 8888  df-fin 8891  df-fsupp 9269

This theorem is referenced by:  cantnf0  9590  cantnf  9608  dprdsubg  19995  tsms0  24120  tgptsmscls  24128  dchrptlem3  27246  elrgspnlem1  33321  elrspunidl  33506  psrmonprod  33714  esplyfval0  33726  extdgfialglem2  33856  cantnfresb  43773  naddcnffo  43813  naddcnfid1  43816  naddcnfid2  43817