MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fczfsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fczfsuppd 9324
Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fczfsuppd.b (𝜑𝐵𝑉)
fczfsuppd.z (𝜑𝑍𝑊)
Assertion
Ref Expression
fczfsuppd (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd
StepHypRef Expression
1 fczfsuppd.z . . 3 (𝜑𝑍𝑊)
2 fnconstg 6731 . . 3 (𝑍𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
3 fnfun 6603 . . 3 ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
5 fczsupp0 8125 . . . 4 ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
6 0fin 9116 . . . 4 ∅ ∈ Fin
75, 6eqeltri 2834 . . 3 ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
87a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
9 fczfsuppd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
10 snex 5389 . . . 4 {𝑍} ∈ V
11 xpexg 7685 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ {𝑍} ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
129, 10, 11sylancl 587 . . 3 (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
13 isfsupp 9310 . . 3 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
1412, 1, 13syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
154, 8, 14mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  Vcvv 3446  c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106   × cxp 5632  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  (class class class)co 7358   supp csupp 8093  Fincfn 8884   finSupp cfsupp 9306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-supp 8094  df-en 8885  df-fin 8888  df-fsupp 9307
This theorem is referenced by:  cantnf0  9612  cantnf  9630  dprdsubg  19804  tsms0  23496  tgptsmscls  23504  dchrptlem3  26617  elrspunidl  32206  cantnfresb  41661  naddcnffo  41681  naddcnfid1  41684  naddcnfid2  41685
  Copyright terms: Public domain W3C validator