Theorem fczfsuppd 9385

Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fczfsuppd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fczfsuppd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fczfsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fczfsuppd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		snex 5397	. . 3 ⊢ {𝑍} ∈ V
3		xpexg 7768	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ {𝑍} ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
5		fczfsuppd.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
6		fnconstg 6775	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
7		fnfun 6644	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
8	5, 6, 7	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
9		fczsupp0 8217	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
10		0fi 9077	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
11	9, 10	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
13	4, 5, 8, 12	isfsuppd 9365	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4277  {csn 4584   class class class wbr 5102   × cxp 5649  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  (class class class)co 7424   supp csupp 8183  Fincfn 8980   finSupp cfsupp 9360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-supp 8184  df-en 8981  df-fin 8984  df-fsupp 9361

This theorem is used by:  cantnf0  9683  cantnf  9701  dprdsubg  20249  tsms0  24470  tgptsmscls  24478  dchrptlem3  27602  elrgspnlem1  33853  elrspunidl  34028  psrmonprod  34234  esplyfval0  34246  extdgfialglem2  34375  cantnfresb  44435  naddcnffo  44475  naddcnfid1  44478  naddcnfid2  44479