Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhp0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhp0cl 20889
 Description: The zero polynomial is homogeneous. Under df-mhp 20876, it has any (nonnegative integer) degree which loosely corresponds to the value "undefined". The values -∞ and 0 are also used in Metamath (by df-mdeg 24752 and df-dgr 24887 respectively) and the literature: https://math.stackexchange.com/a/1796314/593843 24887. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhp0cl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhp0cl.0 0 = (0g𝑅)
mhp0cl.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mhp0cl.i (𝜑𝐼𝑉)
mhp0cl.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
mhp0cl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
mhp0cl (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻𝑁))
Distinct variable group:   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐷()   𝑅()   𝐻()   𝑁()   𝑉()   0 ()

Proof of Theorem mhp0cl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhp0cl.h . 2 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2 eqid 2758 . 2 (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 eqid 2758 . 2 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4 mhp0cl.0 . 2 0 = (0g𝑅)
5 mhp0cl.d . 2 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 mhp0cl.i . 2 (𝜑𝐼𝑉)
7 mhp0cl.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
8 mhp0cl.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 eqid 2758 . . . 4 (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
102, 5, 4, 9, 6, 7mpl0 20771 . . 3 (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (𝐷 × { 0 }))
112mplgrp 20781 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp) → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp)
126, 7, 11syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp)
133, 9grpidcl 18198 . . . 4 ((𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
1510, 14eqeltrrd 2853 . 2 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
16 fczsupp0 7867 . . . 4 ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) = ∅
17 0ss 4292 . . . 4 ∅ ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
1816, 17eqsstri 3926 . . 3 ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
1918a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 19ismhp2 20885 1 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  {csn 4522   × cxp 5522  ◡ccnv 5523   “ cima 5527  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   supp csupp 7835   ↑m cmap 8416  Fincfn 8527  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934  Basecbs 16541   ↾s cress 16542  0gc0g 16771   Σg cgsu 16772  Grpcgrp 18169  ℂfldccnfld 20166   mPoly cmpl 20668   mHomP cmhp 20872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-tset 16642  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-subg 18343  df-psr 20671  df-mpl 20673  df-mhp 20876 This theorem is referenced by:  mhpsubg  20896  mhpind  39788
 Copyright terms: Public domain W3C validator