Theorem mhp0cl 22066

Description: The zero polynomial is homogeneous. Under df-mhp 22056, it has any (nonnegative integer) degree which loosely corresponds to the value "undefined". The values -∞ and 0 are also used in Metamath (by df-mdeg 25993 and df-dgr 26129 respectively) and the literature: https://math.stackexchange.com/a/1796314/593843 26129. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhp0cl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhp0cl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhp0cl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhp0cl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhp0cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhp0cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhp0cl	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem mhp0cl

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhp0cl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4		mhp0cl.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mhp0cl.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhp0cl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
8		mhp0cl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		mhp0cl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10	2, 5, 4, 7, 8, 9	mpl0 21948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (𝐷 × { 0 }))
11	2	mplgrp 21959	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp)
12	8, 9, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp)
13	3, 7	grpidcl 18879	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
15	10, 14	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
16		fczsupp0 8149	. . . 4 ⊢ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) = ∅
17		0ss 4359	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
18	16, 17	eqsstri 3990	. . 3 ⊢ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 19	ismhp2 22061	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   supp csupp 8116   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379  Grpcgrp 18847  ℂ_fldccnfld 21296   mPoly cmpl 21848   mHomP cmhp 22049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-subg 19037  df-psr 21851  df-mpl 21853  df-mhp 22056

This theorem is referenced by:  mhpsubg  22073  mhpind  42575  prjcrv0  42614