Theorem mhp0cl 22126

Description: The zero polynomial is homogeneous. Under df-mhp 22116, it has any (nonnegative integer) degree which loosely corresponds to the value "undefined". The values -∞ and 0 are also used in Metamath (by df-mdeg 26034 and df-dgr 26170 respectively) and the literature: https://math.stackexchange.com/a/1796314/593843 26170. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhp0cl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhp0cl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhp0cl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhp0cl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhp0cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhp0cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhp0cl	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem mhp0cl

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhp0cl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4		mhp0cl.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mhp0cl.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhp0cl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
8		mhp0cl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		mhp0cl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10	2, 5, 4, 7, 8, 9	mpl0 21998	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (𝐷 × { 0 }))
11	2	mplgrp 22009	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp)
12	8, 9, 11	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp)
13	3, 7	grpidcl 18936	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
15	10, 14	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
16		fczsupp0 8138	. . . 4 ⊢ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) = ∅
17		0ss 4341	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
18	16, 17	eqsstri 3969	. . 3 ⊢ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 19	ismhp2 22121	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   × cxp 5624  ^◡ccnv 5625   “ cima 5629  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   supp csupp 8105   ↑_m cmap 8768  Fincfn 8888  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  0_gc0g 17397   Σ_g cgsu 17398  Grpcgrp 18904  ℂ_fldccnfld 21348   mPoly cmpl 21900   mHomP cmhp 22109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-psr 21903  df-mpl 21905  df-mhp 22116

This theorem is referenced by:  mhpsubg  22133  mhpind  43047  prjcrv0  43086