Theorem mhp0cl 22091

Description: The zero polynomial is homogeneous. Under df-mhp 22081, it has any (nonnegative integer) degree which loosely corresponds to the value "undefined". The values -∞ and 0 are also used in Metamath (by df-mdeg 26018 and df-dgr 26154 respectively) and the literature: https://math.stackexchange.com/a/1796314/593843 26154. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhp0cl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhp0cl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhp0cl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhp0cl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhp0cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhp0cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhp0cl	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem mhp0cl

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhp0cl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		eqid 2735	. 2 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4		mhp0cl.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mhp0cl.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhp0cl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
8		mhp0cl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		mhp0cl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10	2, 5, 4, 7, 8, 9	mpl0 21963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (𝐷 × { 0 }))
11	2	mplgrp 21974	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp)
12	8, 9, 11	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp)
13	3, 7	grpidcl 18897	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
15	10, 14	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
16		fczsupp0 8135	. . . 4 ⊢ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) = ∅
17		0ss 4351	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
18	16, 17	eqsstri 3979	. . 3 ⊢ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 19	ismhp2 22086	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3398   ⊆ wss 3900  ∅c0 4284  {csn 4579   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8885  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  0_gc0g 17361   Σ_g cgsu 17362  Grpcgrp 18865  ℂ_fldccnfld 21311   mPoly cmpl 21864   mHomP cmhp 22074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-subg 19055  df-psr 21867  df-mpl 21869  df-mhp 22081

This theorem is referenced by:  mhpsubg  22098  mhpind  42874  prjcrv0  42913