Theorem mhp0cl 22375

Description: The zero polynomial is homogeneous. Under df-mhp 22365, it has any (nonnegative integer) degree which loosely corresponds to the value "undefined". The values -∞ and 0 are also used in Metamath (by df-mdeg 26282 and df-dgr 26418 respectively) and the literature: https://math.stackexchange.com/a/1796314/593843 26418. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhp0cl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhp0cl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhp0cl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhp0cl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhp0cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhp0cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhp0cl	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem mhp0cl

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhp0cl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4		mhp0cl.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mhp0cl.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhp0cl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
8		mhp0cl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		mhp0cl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10	2, 5, 4, 7, 8, 9	mpl0 22221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (𝐷 × { 0 }))
11	2	mplgrp 22232	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp)
12	8, 9, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp)
13	3, 7	grpidcl 19090	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
15	10, 14	eqeltrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
16		fczsupp0 8194	. . . 4 ⊢ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) = ∅
17		0ss 4353	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
18	16, 17	eqsstri 3980	. . 3 ⊢ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 19	ismhp2 22370	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   supp csupp 8161   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  0_gc0g 17528   Σ_g cgsu 17529  Grpcgrp 19058  ℂ_fldccnfld 21586   mPoly cmpl 22122   mHomP cmhp 22362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-subg 19247  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-mhp 22365

This theorem is used by:  mhpsubg  22382  mhpind  43427  prjcrv0  43466