Theorem mhp0cl 21246

Description: The zero polynomial is homogeneous. Under df-mhp 21233, it has any (nonnegative integer) degree which loosely corresponds to the value "undefined". The values -∞ and 0 are also used in Metamath (by df-mdeg 25122 and df-dgr 25257 respectively) and the literature: https://math.stackexchange.com/a/1796314/593843 25257. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhp0cl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhp0cl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhp0cl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhp0cl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhp0cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhp0cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
mhp0cl	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝑁(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem mhp0cl

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhp0cl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2738	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4		mhp0cl.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mhp0cl.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhp0cl.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		mhp0cl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		mhp0cl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
10	2, 5, 4, 9, 6, 7	mpl0 21122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (𝐷 × { 0 }))
11	2	mplgrp 21132	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp)
12	6, 7, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp)
13	3, 9	grpidcl 18522	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPoly 𝑅) ∈ Grp → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
15	10, 14	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
16		fczsupp0 7980	. . . 4 ⊢ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) = ∅
17		0ss 4327	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
18	16, 17	eqsstri 3951	. . 3 ⊢ ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 19	ismhp2 21242	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   supp csupp 7948   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Grpcgrp 18492  ℂ_fldccnfld 20510   mPoly cmpl 21019   mHomP cmhp 21229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-psr 21022  df-mpl 21024  df-mhp 21233

This theorem is referenced by:  mhpsubg  21253  mhpind  40206