Theorem fdifsupp 33278

Description: Express the support of a function 𝐹 outside of 𝐵 in two different ways. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdifsupp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fdifsupp.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fdifsupp.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fdifsupp	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) = ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵))

Proof of Theorem fdifsupp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdifsupp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		difssd 4073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
3	1, 2	fnssresd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) Fn (𝐴 ∖ 𝐵))
4		fdifsupp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	4	difexd 5292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
6		fdifsupp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
7		elsuppfn 8187	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) Fn (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍)))
9		eldif 4049	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
12		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
13	12	fvresd 6905	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
14	13	neeq1d 3014	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
15	14	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
16		an32 659	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
18	11, 15, 17	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
19		eldif 4049	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
20	4	elexd 3473	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
21		elsuppfn 8187	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
22	1, 20, 6, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
23	22	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
24	19, 23	bitr2id 287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵)))
25	8, 18, 24	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵)))
26	25	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) = ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045   ↾ cres 5652   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-supp 8178

This theorem is used by:  elrgspnlem4  33806