Theorem fdifsupp 32666

Description: Express the support of a function 𝐹 outside of 𝐵 in two different ways. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdifsupp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fdifsupp.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fdifsupp.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fdifsupp	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) = ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵))

Proof of Theorem fdifsupp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdifsupp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		difssd 4084	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
3	1, 2	fnssresd 6605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) Fn (𝐴 ∖ 𝐵))
4		fdifsupp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	4	difexd 5267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
6		fdifsupp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
7		elsuppfn 8100	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) Fn (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍)))
9		eldif 3907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
13	12	fvresd 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
14	13	neeq1d 2987	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
15	14	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
16		an32 646	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
18	11, 15, 17	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
19		eldif 3907	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
20	4	elexd 3460	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
21		elsuppfn 8100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
22	1, 20, 6, 21	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
23	22	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
24	19, 23	bitr2id 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵)))
25	8, 18, 24	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵)))
26	25	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) = ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ↾ cres 5616   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   supp csupp 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-supp 8091

This theorem is referenced by:  elrgspnlem4  33212