Theorem fdifsupp 32889

Description: Express the support of a function 𝐹 outside of 𝐵 in two different ways. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdifsupp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fdifsupp.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fdifsupp.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fdifsupp	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) = ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵))

Proof of Theorem fdifsupp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdifsupp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		difssd 4092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
3	1, 2	fnssresd 6647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) Fn (𝐴 ∖ 𝐵))
4		fdifsupp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	4	difexd 5289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
6		fdifsupp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
7		elsuppfn 8152	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) Fn (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍)))
9		eldif 3916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	anbi1i 633	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
12		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
13	12	fvresd 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
14	13	neeq1d 3018	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
15	14	pm5.32da 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
16		an32 656	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
18	11, 15, 17	3bitr4d 313	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
19		eldif 3916	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
20	4	elexd 3479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
21		elsuppfn 8152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
22	1, 20, 6, 21	syl3anc 1392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
23	22	anbi1d 640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
24	19, 23	bitr2id 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵)))
25	8, 18, 24	3bitrd 307	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵)))
26	25	eqrdv 2762	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) = ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  Vcvv 3456   ∖ cdif 3903   ↾ cres 5651   Fn wfn 6518  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   supp csupp 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-supp 8143

This theorem is referenced by:  elrgspnlem4  33428