Theorem fdifsupp 32694

Description: Express the support of a function 𝐹 outside of 𝐵 in two different ways. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdifsupp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fdifsupp.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fdifsupp.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fdifsupp	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) = ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵))

Proof of Theorem fdifsupp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdifsupp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		difssd 4137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
3	1, 2	fnssresd 6692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) Fn (𝐴 ∖ 𝐵))
4		fdifsupp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	4	difexd 5331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
6		fdifsupp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
7		elsuppfn 8195	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) Fn (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍)))
9		eldif 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
13	12	fvresd 6926	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
14	13	neeq1d 3000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
15	14	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
16		an32 646	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
18	11, 15, 17	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
19		eldif 3961	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
20	4	elexd 3504	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
21		elsuppfn 8195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
22	1, 20, 6, 21	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
23	22	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
24	19, 23	bitr2id 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵)))
25	8, 18, 24	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵)))
26	25	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) = ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ↾ cres 5687   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-supp 8186

This theorem is referenced by:  elrgspnlem4  33249