Theorem fdifsupp 33039

Description: Express the support of a function 𝐹 outside of 𝐵 in two different ways. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdifsupp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fdifsupp.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fdifsupp.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fdifsupp	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) = ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵))

Proof of Theorem fdifsupp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdifsupp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		difssd 4091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
3	1, 2	fnssresd 6659	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) Fn (𝐴 ∖ 𝐵))
4		fdifsupp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	4	difexd 5302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
6		fdifsupp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
7		elsuppfn 8162	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) Fn (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍)))
9		eldif 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	anbi1i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
12		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
13	12	fvresd 6901	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
14	13	neeq1d 3017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
15	14	pm5.32da 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
16		an32 658	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
18	11, 15, 17	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵))‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
19		eldif 3915	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
20	4	elexd 3478	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
21		elsuppfn 8162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
22	1, 20, 6, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
23	22	anbi1d 642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
24	19, 23	bitr2id 287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵)))
25	8, 18, 24	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵)))
26	25	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ 𝐵)) supp 𝑍) = ((𝐹 supp 𝑍) ∖ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ↾ cres 5663   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-supp 8153

This theorem is used by:  elrgspnlem4  33574