Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrgspnlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrgspnlem4 33249
Description: Lemma for elrgspn 33250. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
elrgspn.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspn.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elrgspn.x · = (.g𝑅)
elrgspn.n 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspn.f 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
elrgspn.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
elrgspn.a (𝜑𝐴𝐵)
elrgspnlem1.1 𝑆 = ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
Assertion
Ref Expression
elrgspnlem4 (𝜑 → (𝑁𝐴) = 𝑆)
Distinct variable groups:   · ,𝑓,𝑔,𝑤   𝐴,𝑓,𝑔,𝑤   𝐵,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝐹,𝑔,𝑤   𝑓,𝑀,𝑔,𝑤   𝑅,𝑓,𝑔,𝑤   𝑆,𝑔,𝑤   𝜑,𝑓,𝑔,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑤,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem elrgspnlem4
Dummy variables 𝑒 𝑖 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrgspn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 elrgspn.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
4 elrgspn.a . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
5 elrgspn.n . . . 4 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
7 eqidd 2738 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝐴) = (𝑁𝐴))
81, 3, 4, 6, 7rgspnval 20612 . 2 (𝜑 → (𝑁𝐴) = {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡})
9 sseq2 4010 . . . . 5 (𝑡 = 𝑆 → (𝐴𝑡𝐴𝑆))
10 elrgspn.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11 elrgspn.x . . . . . 6 · = (.g𝑅)
12 elrgspn.f . . . . . 6 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
13 elrgspnlem1.1 . . . . . 6 𝑆 = ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
142, 10, 11, 5, 12, 1, 4, 13elrgspnlem2 33247 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
152, 10, 11, 5, 12, 1, 4, 13elrgspnlem3 33248 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
169, 14, 15elrabd 3694 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡})
17 intss1 4963 . . . 4 (𝑆 ∈ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡} → {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡} ⊆ 𝑆)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑 {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡} ⊆ 𝑆)
19 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑠 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑠 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
20 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) → (𝑔 supp 0) = (𝑔 supp 0))
21 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 supp 0) = (𝑔 supp 0))
2221eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 supp 0) = (𝑔 supp 0) ↔ (𝑔 supp 0) = (𝑔 supp 0)))
23 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑤) = (𝑔𝑤))
2423oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
2524mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
2625oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
2726eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡 ↔ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡))
2822, 27imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 supp 0) = (𝑔 supp 0) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) ↔ ((𝑔 supp 0) = (𝑔 supp 0) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
29 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = ∅ → ((𝑓 supp 0) = 𝑖 ↔ (𝑓 supp 0) = ∅))
3029imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = ∅ → (((𝑓 supp 0) = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) ↔ ((𝑓 supp 0) = ∅ → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
3130ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = ∅ → (∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) ↔ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = ∅ → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
32 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = → ((𝑓 supp 0) = 𝑖 ↔ (𝑓 supp 0) = ))
3332imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = → (((𝑓 supp 0) = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) ↔ ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
3433ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = → (∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) ↔ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
35 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = ( ∪ {𝑥}) → ((𝑓 supp 0) = 𝑖 ↔ (𝑓 supp 0) = ( ∪ {𝑥})))
3635imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = ( ∪ {𝑥}) → (((𝑓 supp 0) = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) ↔ ((𝑓 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
3736ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = ( ∪ {𝑥}) → (∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) ↔ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
38 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑔 supp 0) → ((𝑓 supp 0) = 𝑖 ↔ (𝑓 supp 0) = (𝑔 supp 0)))
3938imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑔 supp 0) → (((𝑓 supp 0) = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) ↔ ((𝑓 supp 0) = (𝑔 supp 0) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
4039ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑔 supp 0) → (∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) ↔ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = (𝑔 supp 0) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
41 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝑅) = (0g𝑅)
421ringcmnd 20281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
4342ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) → 𝑅 ∈ CMnd)
442fvexi 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐵 ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐵 ∈ V)
4645, 4ssexd 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ V)
47 wrdexg 14562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ V → Word 𝐴 ∈ V)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → Word 𝐴 ∈ V)
4948ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) → Word 𝐴 ∈ V)
50 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) → 𝜑)
5112reqabi 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓𝐹 ↔ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑓 finSupp 0))
5251simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓𝐹𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) → 𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
54 zex 12622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℤ ∈ V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ℤ ∈ V)
5655, 48elmapd 8880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ↔ 𝑓:Word 𝐴⟶ℤ))
5756biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴)) → 𝑓:Word 𝐴⟶ℤ)
5850, 53, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) → 𝑓:Word 𝐴⟶ℤ)
5958ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) → 𝑓 Fn Word 𝐴)
6059ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → 𝑓 Fn Word 𝐴)
6149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → Word 𝐴 ∈ V)
62 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → 0 ∈ ℤ)
63 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅))
6463eldifad 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
6563eldifbd 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → ¬ 𝑤 ∈ ∅)
66 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → (𝑓 supp 0) = ∅)
6765, 66neleqtrrd 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑓 supp 0))
6864, 67eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑓 supp 0)))
6960, 61, 62, 68fvdifsupp 8196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → (𝑓𝑤) = 0)
7069oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0 · (𝑀 Σg 𝑤)))
7110ringmgp 20236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
721, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
7372ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → 𝑀 ∈ Mnd)
74 sswrd 14560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴𝐵 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
754, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
7675ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
7776, 64sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
7810, 2mgpbas 20142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐵 = (Base‘𝑀)
7978gsumwcl 18852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
8073, 77, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
812, 41, 11mulg0 19092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
8370, 82eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ ∅)) → ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
84 0fi 9082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ∅ ∈ Fin
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) → ∅ ∈ Fin)
861ringgrpd 20239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
8786ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑅 ∈ Grp)
8858ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑓:Word 𝐴⟶ℤ)
89 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
9088, 89ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑓𝑤) ∈ ℤ)
9172ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑀 ∈ Mnd)
9275ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
9392, 89sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
9491, 93, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
952, 11, 87, 90, 94mulgcld 19114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
96 0ss 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ∅ ⊆ Word 𝐴
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) → ∅ ⊆ Word 𝐴)
982, 41, 43, 49, 83, 85, 95, 97gsummptres2 33056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ ∅ ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
99 mpt0 6710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ∅ ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = ∅
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) → (𝑤 ∈ ∅ ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = ∅)
101100oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ ∅ ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg ∅))
10241gsum0 18697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 Σg ∅) = (0g𝑅)
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) → (𝑅 Σg ∅) = (0g𝑅))
10498, 101, 1033eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (0g𝑅))
105 subrgsubg 20577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑡 ∈ (SubGrp‘𝑅))
10641subg0cl 19152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ 𝑡)
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ 𝑡)
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g𝑅) ∈ 𝑡)
109108ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) → (0g𝑅) ∈ 𝑡)
110104, 109eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) ∧ (𝑓 supp 0) = ∅) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)
111110ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑓𝐹) → ((𝑓 supp 0) = ∅ → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡))
112111ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) → ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = ∅ → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡))
11342ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑅 ∈ CMnd)
11448ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → Word 𝐴 ∈ V)
115 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) → 𝜑)
116 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓 = 𝑒 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑒 finSupp 0))
117116, 12elrab2 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑒𝐹 ↔ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑒 finSupp 0))
118117simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑒𝐹𝑒 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
11955, 48elmapd 8880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ↔ 𝑒:Word 𝐴⟶ℤ))
120119biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑒 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴)) → 𝑒:Word 𝐴⟶ℤ)
121118, 120sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑒𝐹) → 𝑒:Word 𝐴⟶ℤ)
122115, 121sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) → 𝑒:Word 𝐴⟶ℤ)
123122adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) → 𝑒:Word 𝐴⟶ℤ)
124123ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) → 𝑒 Fn Word 𝐴)
125124ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → 𝑒 Fn Word 𝐴)
126114adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → Word 𝐴 ∈ V)
127 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → 0 ∈ ℤ)
128 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0)))
129125, 126, 127, 128fvdifsupp 8196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → (𝑒𝑤) = 0)
130129oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0 · (𝑀 Σg 𝑤)))
13172ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → 𝑀 ∈ Mnd)
13275ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
133128eldifad 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
134132, 133sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
135131, 134, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
136135, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
137130, 136eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0))) → ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
138117simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑒𝐹𝑒 finSupp 0)
139138ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑒 finSupp 0)
140139fsuppimpd 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑒 supp 0) ∈ Fin)
14186ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑅 ∈ Grp)
142123ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑒:Word 𝐴⟶ℤ)
143 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
144142, 143ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑒𝑤) ∈ ℤ)
14572ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑀 ∈ Mnd)
14675ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
147146sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
148145, 147, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
1492, 11, 141, 144, 148mulgcld 19114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
150 suppssdm 8202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 supp 0) ⊆ dom 𝑒
151123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑒:Word 𝐴⟶ℤ)
152150, 151fssdm 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑒 supp 0) ⊆ Word 𝐴)
1532, 41, 113, 114, 137, 140, 149, 152gsummptres2 33056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ (𝑒 supp 0) ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
154153adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ (𝑒 supp 0) ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
155 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥}))
156155mpteq1d 5237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑤 ∈ (𝑒 supp 0) ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ ( ∪ {𝑥}) ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
157156oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ (𝑒 supp 0) ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ ( ∪ {𝑥}) ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
158 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (+g𝑅) = (+g𝑅)
159 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
160159, 12elrab2 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑔𝐹 ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑔 finSupp 0))
161160simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑔𝐹𝑔 finSupp 0)
162161adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) → 𝑔 finSupp 0)
163162fsuppimpd 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) → (𝑔 supp 0) ∈ Fin)
164163ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑔 supp 0) ∈ Fin)
165 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ⊆ (𝑔 supp 0))
166164, 165ssfid 9301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ∈ Fin)
16786ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) → 𝑅 ∈ Grp)
168151adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) → 𝑒:Word 𝐴⟶ℤ)
169 suppssdm 8202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑔 supp 0) ⊆ dom 𝑔
170 simp-7l 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝜑)
171 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑔𝐹)
172160simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑔𝐹𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
17355, 48elmapd 8880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ↔ 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ))
174173biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴)) → 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ)
175172, 174sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ)
176170, 171, 175syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ)
177169, 176fssdm 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑔 supp 0) ⊆ Word 𝐴)
178165, 177sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ⊆ Word 𝐴)
179178sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
180168, 179ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) → (𝑒𝑤) ∈ ℤ)
181179, 148syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
1822, 11, 167, 180, 181mulgcld 19114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) → ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
183 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ ))
184183eldifbd 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥)
185170, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑅 ∈ Grp)
186183eldifad 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑔 supp 0))
187177, 186sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ Word 𝐴)
188151, 187ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑒𝑥) ∈ ℤ)
189170, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑀 ∈ Mnd)
190146, 187sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ Word 𝐵)
19178gsumwcl 18852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑥) ∈ 𝐵)
192189, 190, 191syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑀 Σg 𝑥) ∈ 𝐵)
1932, 11, 185, 188, 192mulgcld 19114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ((𝑒𝑥) · (𝑀 Σg 𝑥)) ∈ 𝐵)
194 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → (𝑒𝑤) = (𝑒𝑥))
195 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → (𝑀 Σg 𝑤) = (𝑀 Σg 𝑥))
196194, 195oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑒𝑥) · (𝑀 Σg 𝑥)))
1972, 158, 113, 166, 182, 183, 184, 193, 196gsumunsn 19978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ ( ∪ {𝑥}) ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = ((𝑅 Σg (𝑤 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)((𝑒𝑥) · (𝑀 Σg 𝑥))))
198197adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ ( ∪ {𝑥}) ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = ((𝑅 Σg (𝑤 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)((𝑒𝑥) · (𝑀 Σg 𝑥))))
199154, 157, 1983eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = ((𝑅 Σg (𝑤 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)((𝑒𝑥) · (𝑀 Σg 𝑥))))
200105ad8antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑡 ∈ (SubGrp‘𝑅))
201124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑒 Fn Word 𝐴)
202 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 0 ∈ ℤ)
203201, 187, 202fmptunsnop 32709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦))) = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}))
204203adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) → (𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦))) = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}))
205204fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) → ((𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦)))‘𝑤) = (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤))
206 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦))) = (𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦)))
207 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 0 = 0)
208201ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝑒 Fn Word 𝐴)
209114ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → Word 𝐴 ∈ V)
210 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 0 ∈ ℤ)
211 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑤)
212 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝑤 ∈ (Word 𝐴))
213212eldifad 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
214211, 213eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ Word 𝐴)
215 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥}))
216212eldifbd 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → ¬ 𝑤)
217211, 216eqneltrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → ¬ 𝑦)
218 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → ¬ 𝑦 = 𝑥)
219218neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦𝑥)
220 nelsn 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦𝑥 → ¬ 𝑦 ∈ {𝑥})
221219, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ {𝑥})
222 nelun 32532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) → (¬ 𝑦 ∈ (𝑒 supp 0) ↔ (¬ 𝑦 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑥})))
223222biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) ∧ (¬ 𝑦 ∧ ¬ 𝑦 ∈ {𝑥})) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑒 supp 0))
224215, 217, 221, 223syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑒 supp 0))
225214, 224eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ (Word 𝐴 ∖ (𝑒 supp 0)))
226208, 209, 210, 225fvdifsupp 8196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → (𝑒𝑦) = 0)
227207, 226ifeqda 4562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) ∧ 𝑦 = 𝑤) → if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦)) = 0)
228 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) → 𝑤 ∈ (Word 𝐴))
229228eldifad 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) → 𝑤 ∈ Word 𝐴)
230 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) → 0 ∈ ℤ)
231206, 227, 229, 230fvmptd2 7024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) → ((𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦)))‘𝑤) = 0)
232205, 231eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) → (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) = 0)
233232oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) → ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0 · (𝑀 Σg 𝑤)))
234229, 148syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
235234, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) → (0 · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
236233, 235eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ (Word 𝐴)) → ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = (0g𝑅))
237203adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦))) = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}))
238237fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦)))‘𝑤) = (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤))
239 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 0 ∈ ℤ)
240151ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝑒:Word 𝐴⟶ℤ)
241 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ Word 𝐴)
242240, 241ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → (𝑒𝑦) ∈ ℤ)
243239, 242ifclda 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐴) → if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦)) ∈ ℤ)
244243fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦))):Word 𝐴⟶ℤ)
245244ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦)))‘𝑤) ∈ ℤ)
246238, 245eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) ∈ ℤ)
2472, 11, 141, 246, 148mulgcld 19114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
2482, 41, 113, 114, 236, 166, 247, 178gsummptres2 33056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
249248adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
250203adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) → (𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦))) = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}))
251250fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) → ((𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦)))‘𝑤) = (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤))
252 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑦 = 𝑤)
253 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑤)
254252, 253eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑦)
255184ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ¬ 𝑥)
256 nelneq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∧ ¬ 𝑥) → ¬ 𝑦 = 𝑥)
257254, 255, 256syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ¬ 𝑦 = 𝑥)
258257iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) ∧ 𝑦 = 𝑤) → if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦)) = (𝑒𝑦))
259252fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑒𝑦) = (𝑒𝑤))
260258, 259eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) ∧ 𝑦 = 𝑤) → if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦)) = (𝑒𝑤))
261206, 260, 179, 180fvmptd2 7024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) → ((𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦)))‘𝑤) = (𝑒𝑤))
262251, 261eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) → (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) = (𝑒𝑤))
263262oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑤) → ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
264263mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑤 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
265264adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑤 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
266265oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
267249, 266eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
268 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑒𝐹)
269268resexd 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∈ V)
270 snex 5436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {⟨𝑥, 0⟩} ∈ V
271270a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → {⟨𝑥, 0⟩} ∈ V)
272269, 271, 202suppun2 32693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) supp 0) = (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) supp 0) ∪ ({⟨𝑥, 0⟩} supp 0)))
273114, 202, 201fdifsupp 32694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) supp 0) = ((𝑒 supp 0) ∖ {𝑥}))
274 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥}))
275274difeq1d 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ((𝑒 supp 0) ∖ {𝑥}) = (( ∪ {𝑥}) ∖ {𝑥}))
276 disjsn 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (( ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥)
277 undif5 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (( ∩ {𝑥}) = ∅ → (( ∪ {𝑥}) ∖ {𝑥}) = )
278276, 277sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑥 → (( ∪ {𝑥}) ∖ {𝑥}) = )
279184, 278syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (( ∪ {𝑥}) ∖ {𝑥}) = )
280273, 275, 2793eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) supp 0) = )
281 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑥 ∈ V
282 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 ∈ V
283281, 282xpsn 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ({𝑥} × {0}) = {⟨𝑥, 0⟩}
284283oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (({𝑥} × {0}) supp 0) = ({⟨𝑥, 0⟩} supp 0)
285 fczsupp0 8218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (({𝑥} × {0}) supp 0) = ∅
286284, 285eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ({⟨𝑥, 0⟩} supp 0) = ∅
287286a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ({⟨𝑥, 0⟩} supp 0) = ∅)
288280, 287uneq12d 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) supp 0) ∪ ({⟨𝑥, 0⟩} supp 0)) = ( ∪ ∅))
289 un0 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ( ∪ ∅) =
290289a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ( ∪ ∅) = )
291272, 288, 2903eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) supp 0) = )
292291adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) supp 0) = )
293 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) → (𝑓 supp 0) = (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) supp 0))
294293eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) → ((𝑓 supp 0) = ↔ (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) supp 0) = ))
295 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) → (𝑓𝑤) = (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤))
296295oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) → ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
297296mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
298297oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
299298eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) → ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡 ↔ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡))
300294, 299imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) → (((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) ↔ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
301 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡))
302 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) → (𝑓 finSupp 0 ↔ ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) finSupp 0))
30354a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ℤ ∈ V)
304114adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → Word 𝐴 ∈ V)
305203adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦))) = ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}))
306 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 0 ∈ ℤ)
307 simp-10l 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝜑)
308 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝑒𝐹)
309307, 308, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝑒:Word 𝐴⟶ℤ)
310 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ Word 𝐴)
311309, 310ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑥) → (𝑒𝑦) ∈ ℤ)
312306, 311ifclda 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐴) → if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦)) ∈ ℤ)
313312fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑦 ∈ Word 𝐴 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 0, (𝑒𝑦))):Word 𝐴⟶ℤ)
314305, 313feq1dd 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}):Word 𝐴⟶ℤ)
315303, 304, 314elmapdd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
316 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 0 ∈ ℤ)
317314ffund 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → Fun ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}))
318166adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ∈ Fin)
319292, 318eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) supp 0) ∈ Fin)
320315, 316, 317, 319isfsuppd 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) finSupp 0)
321302, 315, 320elrabd 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) ∈ {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0})
322321, 12eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) ∈ 𝐹)
323300, 301, 322rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩}) supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡))
324292, 323mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((((𝑒 ↾ (Word 𝐴 ∖ {𝑥})) ∪ {⟨𝑥, 0⟩})‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)
325267, 324eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)
32686ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑅 ∈ Grp)
32710subrgsubm 20585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑡 ∈ (SubMnd‘𝑀))
328327ad8antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑡 ∈ (SubMnd‘𝑀))
329 sswrd 14560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴𝑡 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝑡)
330329ad7antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝑡)
331187adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ Word 𝐴)
332330, 331sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ Word 𝑡)
333 gsumwsubmcl 18850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑡 ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑡) → (𝑀 Σg 𝑥) ∈ 𝑡)
334328, 332, 333syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑀 Σg 𝑥) ∈ 𝑡)
335123ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → 𝑒:Word 𝐴⟶ℤ)
336335, 331ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑒𝑥) ∈ ℤ)
3372, 11, 326, 334, 200, 336subgmulgcld 33048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ((𝑒𝑥) · (𝑀 Σg 𝑥)) ∈ 𝑡)
338158, 200, 325, 337subgcld 33046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → ((𝑅 Σg (𝑤 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))(+g𝑅)((𝑒𝑥) · (𝑀 Σg 𝑥))) ∈ 𝑡)
339199, 338eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) ∧ (𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥})) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)
340339ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) ∧ 𝑒𝐹) → ((𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡))
341340ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) ∧ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)) → ∀𝑒𝐹 ((𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡))
342341ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ⊆ (𝑔 supp 0)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ )) → (∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) → ∀𝑒𝐹 ((𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
343342anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ( ⊆ (𝑔 supp 0) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ ))) → (∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) → ∀𝑒𝐹 ((𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
344 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝑓 → (𝑒 supp 0) = (𝑓 supp 0))
345344eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = 𝑓 → ((𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) ↔ (𝑓 supp 0) = ( ∪ {𝑥})))
346 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑓 → (𝑒𝑤) = (𝑓𝑤))
347346oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑓 → ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
348347mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝑓 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
349348oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝑓 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
350349eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = 𝑓 → ((𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡 ↔ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡))
351345, 350imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = 𝑓 → (((𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) ↔ ((𝑓 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
352351cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑒𝐹 ((𝑒 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑒𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) ↔ ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡))
353343, 352imbitrdi 251 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) ∧ ( ⊆ (𝑔 supp 0) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑔 supp 0) ∖ ))) → (∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡) → ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = ( ∪ {𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)))
35431, 34, 37, 40, 112, 353, 163findcard2d 9206 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) → ∀𝑓𝐹 ((𝑓 supp 0) = (𝑔 supp 0) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑓𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡))
355 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) → 𝑔𝐹)
35628, 354, 355rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝑔 supp 0) = (𝑔 supp 0) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡))
35720, 356mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑔𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)
358357ad4ant13 751 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑠 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝑡)
35919, 358eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔𝐹) ∧ 𝑠 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑠𝑡)
360 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
36113eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝑆𝑠 ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
362361biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝑆𝑠 ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
363362adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠 ∈ ran (𝑔𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
364360, 363elrnmpt2d 5977 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑔𝐹 𝑠 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
365359, 364r19.29a 3162 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠𝑡)
366365ex 412 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) → (𝑠𝑆𝑠𝑡))
367366ssrdv 3989 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝐴𝑡) → 𝑆𝑡)
368367ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐴𝑡𝑆𝑡))
369368ralrimiva 3146 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)(𝐴𝑡𝑆𝑡))
370 ssintrab 4971 . . . 4 (𝑆 {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)(𝐴𝑡𝑆𝑡))
371369, 370sylibr 234 . . 3 (𝜑𝑆 {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡})
37218, 371eqssd 4001 . 2 (𝜑 {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡} = 𝑆)
3738, 372eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝑁𝐴) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  cop 4632   cint 4946   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  0cc0 11155  cz 12613  Word cword 14552  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  Grpcgrp 18951  .gcmg 19085  SubGrpcsubg 19138  CMndccmn 19798  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  SubRingcsubrg 20569  RingSpancrgspn 20610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rgspn 20611  df-cnfld 21365  df-zring 21458
This theorem is referenced by:  elrgspn  33250
  Copyright terms: Public domain W3C validator