Theorem fmfg 23872

Description: The image filter of a filter base is the same as the image filter of its generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfm2.l	⊢ 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmfg	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿))

Proof of Theorem fmfg

Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfm2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
2	1	elfm2 23871	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝑥 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑥)))
3		fgcl 23801	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑌))
4	1, 3	eqeltrid 2837	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
5		filfbas 23771	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
7		elfm 23870	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝑥 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑥)))
8	6, 7	syl3an2 1164	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝑥 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑥)))
9	2, 8	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝑥 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿)))
10	9	eqrdv 2732	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3924   “ cima 5654  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  fBascfbas 21288  filGencfg 21289  Filcfil 23768   FilMap cfm 23856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-id 5545  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-fil 23769  df-fm 23861

This theorem is referenced by:  fmfnfm  23881  cmetcaulem  25225