MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfm2 23245
Description: An element of a mapping filter. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
elfm2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑌

Proof of Theorem elfm2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfm 23244 . 2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2 ssfg 23169 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
3 elfm2.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
42, 3sseqtrrdi 3993 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵𝐿)
54sselda 3942 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐿)
65adantrr 715 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐿)
763ad2antl2 1186 . . . . . 6 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐿)
8 simprr 771 . . . . . 6 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)
9 imaeq2 6007 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
109sseq1d 3973 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
1110rspcev 3579 . . . . . 6 ((𝑦𝐿 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
127, 8, 11syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
1312rexlimdvaa 3151 . . . 4 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
143eleq2i 2829 . . . . . . . 8 (𝑥𝐿𝑥 ∈ (𝑌filGen𝐵))
15 elfg 23168 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑥 ∈ (𝑌filGen𝐵) ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
1614, 15bitrid 282 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑥𝐿 ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
17163ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑥𝐿 ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
18 imass2 6052 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥))
19 sstr2 3949 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2019com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2120ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2218, 21syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2322reximdv 3165 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2423expr 457 . . . . . . . 8 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2524com23 86 . . . . . . 7 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑥𝑌) → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2625expimpd 454 . . . . . 6 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2717, 26sylbid 239 . . . . 5 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑥𝐿 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2827rexlimdv 3148 . . . 4 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2913, 28impbid 211 . . 3 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
3029anbi2d 629 . 2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
311, 30bitrd 278 1 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  wss 3908  cima 5634  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  fBascfbas 20731  filGencfg 20732   FilMap cfm 23230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-fbas 20740  df-fg 20741  df-fm 23235
This theorem is referenced by:  fmfg  23246  elfm3  23247  imaelfm  23248
  Copyright terms: Public domain W3C validator