MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfm2 22845
Description: An element of a mapping filter. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
elfm2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑌

Proof of Theorem elfm2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfm 22844 . 2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2 ssfg 22769 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
3 elfm2.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
42, 3sseqtrrdi 3952 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵𝐿)
54sselda 3901 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐿)
65adantrr 717 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐿)
763ad2antl2 1188 . . . . . 6 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐿)
8 simprr 773 . . . . . 6 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)
9 imaeq2 5925 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
109sseq1d 3932 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
1110rspcev 3537 . . . . . 6 ((𝑦𝐿 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
127, 8, 11syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
1312rexlimdvaa 3204 . . . 4 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
143eleq2i 2829 . . . . . . . 8 (𝑥𝐿𝑥 ∈ (𝑌filGen𝐵))
15 elfg 22768 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑥 ∈ (𝑌filGen𝐵) ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
1614, 15syl5bb 286 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑥𝐿 ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
17163ad2ant2 1136 . . . . . 6 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑥𝐿 ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
18 imass2 5970 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥))
19 sstr2 3908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2019com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2120ad2antll 729 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2218, 21syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2322reximdv 3192 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2423expr 460 . . . . . . . 8 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2524com23 86 . . . . . . 7 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑥𝑌) → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2625expimpd 457 . . . . . 6 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2717, 26sylbid 243 . . . . 5 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑥𝐿 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2827rexlimdv 3202 . . . 4 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2913, 28impbid 215 . . 3 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
3029anbi2d 632 . 2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
311, 30bitrd 282 1 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  wss 3866  cima 5554  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  fBascfbas 20351  filGencfg 20352   FilMap cfm 22830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-fm 22835
This theorem is referenced by:  fmfg  22846  elfm3  22847  imaelfm  22848
  Copyright terms: Public domain W3C validator