MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfm2 23956
Description: An element of a mapping filter. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
elfm2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑌

Proof of Theorem elfm2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfm 23955 . 2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2 ssfg 23880 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
3 elfm2.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
42, 3sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵𝐿)
54sselda 3983 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐿)
65adantrr 717 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐿)
763ad2antl2 1187 . . . . . 6 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐿)
8 simprr 773 . . . . . 6 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)
9 imaeq2 6074 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
109sseq1d 4015 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
1110rspcev 3622 . . . . . 6 ((𝑦𝐿 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
127, 8, 11syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
1312rexlimdvaa 3156 . . . 4 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
143eleq2i 2833 . . . . . . . 8 (𝑥𝐿𝑥 ∈ (𝑌filGen𝐵))
15 elfg 23879 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑥 ∈ (𝑌filGen𝐵) ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
1614, 15bitrid 283 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑥𝐿 ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
17163ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑥𝐿 ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
18 imass2 6120 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥))
19 sstr2 3990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2019com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2120ad2antll 729 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2218, 21syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2322reximdv 3170 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2423expr 456 . . . . . . . 8 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2524com23 86 . . . . . . 7 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑥𝑌) → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2625expimpd 453 . . . . . 6 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2717, 26sylbid 240 . . . . 5 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑥𝐿 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2827rexlimdv 3153 . . . 4 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2913, 28impbid 212 . . 3 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
3029anbi2d 630 . 2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
311, 30bitrd 279 1 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  wss 3951  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  fBascfbas 21352  filGencfg 21353   FilMap cfm 23941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-fm 23946
This theorem is referenced by:  fmfg  23957  elfm3  23958  imaelfm  23959
  Copyright terms: Public domain W3C validator