MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfm2 23972
Description: An element of a mapping filter. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
elfm2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑌

Proof of Theorem elfm2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfm 23971 . 2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2 ssfg 23896 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
3 elfm2.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
42, 3sseqtrrdi 4047 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵𝐿)
54sselda 3995 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐿)
65adantrr 717 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐿)
763ad2antl2 1185 . . . . . 6 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐿)
8 simprr 773 . . . . . 6 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)
9 imaeq2 6076 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
109sseq1d 4027 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
1110rspcev 3622 . . . . . 6 ((𝑦𝐿 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
127, 8, 11syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
1312rexlimdvaa 3154 . . . 4 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
143eleq2i 2831 . . . . . . . 8 (𝑥𝐿𝑥 ∈ (𝑌filGen𝐵))
15 elfg 23895 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑥 ∈ (𝑌filGen𝐵) ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
1614, 15bitrid 283 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑥𝐿 ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
17163ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑥𝐿 ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
18 imass2 6123 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥))
19 sstr2 4002 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2019com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2120ad2antll 729 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2218, 21syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2322reximdv 3168 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2423expr 456 . . . . . . . 8 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2524com23 86 . . . . . . 7 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑥𝑌) → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2625expimpd 453 . . . . . 6 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2717, 26sylbid 240 . . . . 5 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑥𝐿 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2827rexlimdv 3151 . . . 4 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2913, 28impbid 212 . . 3 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
3029anbi2d 630 . 2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
311, 30bitrd 279 1 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  wss 3963  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  fBascfbas 21370  filGencfg 21371   FilMap cfm 23957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-fm 23962
This theorem is referenced by:  fmfg  23973  elfm3  23974  imaelfm  23975
  Copyright terms: Public domain W3C validator