Theorem fmpt2d 7110

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by NM, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt2d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
fmpt2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt2d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fmpt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt2d.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2	1	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	fnmpt 6665	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
6		fmpt2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
7	6	fneq1d 6618	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴))
8	5, 7	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
9		fmpt2d.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐶)
10	9	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐶)
11		ffnfv 7104	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐶))
12	8, 10, 11	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533

This theorem is referenced by:  cantnff  9631  limsupgre  15522  idaf  18110  curfcl  18278  ghmqusnsg  19343  ghmquskerlem3  19347  ghmqusker  19348  mat2pmatf  22846  m2cpmf  22860  pm2mpf  22916  clsf  23166  kgenf  23659  lgamf  27164  vmaf  27241  lgsdchr  27477  mirf  28891  suppovss  32938  selvply1rhmlema  33825  extvfvcl  33843  extvfvalf  33844  omsf  34603  erdszelem6  35559  cdleme50f  41178  dochfN  41992  binomcxplemdvsum  44929