Theorem kgenf 23869

Description: The compact generator is a function on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenf	⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top

Proof of Theorem kgenf

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vuniex 7760	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ V
2	1	pwex 5342	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ 𝑗 ∈ V
3	2	rabex 5300	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))} ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ Top) → {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))} ∈ V)
5		df-kgen 23862	. . . 4 ⊢ 𝑘Gen = (𝑗 ∈ Top ↦ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))})
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑘Gen = (𝑗 ∈ Top ↦ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))}))
7		kgenftop 23868	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝑥) ∈ Top)
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝑥) ∈ Top)
9	4, 6, 8	fmpt2d 7130	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑘Gen:Top⟶Top)
10	9	mptru 1576	1 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 4088  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↾_t crest 17600  Topctop 23220  Compccmp 23713  𝑘Genckgen 23861

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-en 8982  df-fin 8985  df-fi 9410  df-rest 17602  df-topgen 17623  df-top 23221  df-topon 23238  df-bases 23273  df-cmp 23714  df-kgen 23862

This theorem is used by:  kgentop  23870  kgenidm  23875  iskgen2  23876  kgen2cn  23887