Theorem kgenf 23519

Description: The compact generator is a function on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenf	⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top

Proof of Theorem kgenf

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vuniex 7687	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ V
2	1	pwex 5318	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ 𝑗 ∈ V
3	2	rabex 5277	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))} ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ Top) → {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))} ∈ V)
5		df-kgen 23512	. . . 4 ⊢ 𝑘Gen = (𝑗 ∈ Top ↦ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))})
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑘Gen = (𝑗 ∈ Top ↦ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))}))
7		kgenftop 23518	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝑥) ∈ Top)
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝑥) ∈ Top)
9	4, 6, 8	fmpt2d 7072	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑘Gen:Top⟶Top)
10	9	mptru 1549	1 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430   ∩ cin 3889  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↾_t crest 17377  Topctop 22871  Compccmp 23364  𝑘Genckgen 23511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-en 8888  df-fin 8891  df-fi 9318  df-rest 17379  df-topgen 17400  df-top 22872  df-topon 22889  df-bases 22924  df-cmp 23365  df-kgen 23512

This theorem is referenced by:  kgentop  23520  kgenidm  23525  iskgen2  23526  kgen2cn  23537