Theorem kgenf 23915

Description: The compact generator is a function on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenf	⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top

Proof of Theorem kgenf

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vuniex 7788	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ V
2	1	pwex 5349	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ 𝑗 ∈ V
3	2	rabex 5307	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))} ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ Top) → {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))} ∈ V)
5		df-kgen 23908	. . . 4 ⊢ 𝑘Gen = (𝑗 ∈ Top ↦ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))})
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑘Gen = (𝑗 ∈ Top ↦ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))}))
7		kgenftop 23914	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝑥) ∈ Top)
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝑥) ∈ Top)
9	4, 6, 8	fmpt2d 7157	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑘Gen:Top⟶Top)
10	9	mptru 1577	1 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4872   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↾_t crest 17641  Topctop 23266  Compccmp 23759  𝑘Genckgen 23907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-en 9012  df-fin 9015  df-fi 9440  df-rest 17643  df-topgen 17664  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-cmp 23760  df-kgen 23908

This theorem is used by:  kgentop  23916  kgenidm  23921  iskgen2  23922  kgen2cn  23933