Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgenf 22241
 Description: The compact generator is a function on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenf 𝑘Gen:Top⟶Top

Proof of Theorem kgenf
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vuniex 7463 . . . . . 6 𝑗 ∈ V
21pwex 5249 . . . . 5 𝒫 𝑗 ∈ V
32rabex 5202 . . . 4 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑗((𝑗t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝑗t 𝑘))} ∈ V
43a1i 11 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ Top) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑗((𝑗t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝑗t 𝑘))} ∈ V)
5 df-kgen 22234 . . . 4 𝑘Gen = (𝑗 ∈ Top ↦ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑗((𝑗t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝑗t 𝑘))})
65a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝑘Gen = (𝑗 ∈ Top ↦ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑗((𝑗t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝑗t 𝑘))}))
7 kgenftop 22240 . . . 4 (𝑥 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝑥) ∈ Top)
87adantl 485 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝑥) ∈ Top)
94, 6, 8fmpt2d 6878 . 2 (⊤ → 𝑘Gen:Top⟶Top)
109mptru 1545 1 𝑘Gen:Top⟶Top
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  {crab 3074  Vcvv 3409   ∩ cin 3857  𝒫 cpw 4494  ∪ cuni 4798   ↦ cmpt 5112  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ↾t crest 16752  Topctop 21593  Compccmp 22086  𝑘Genckgen 22233 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-en 8528  df-fin 8531  df-fi 8908  df-rest 16754  df-topgen 16775  df-top 21594  df-topon 21611  df-bases 21646  df-cmp 22087  df-kgen 22234 This theorem is referenced by:  kgentop  22242  kgenidm  22247  iskgen2  22248  kgen2cn  22259
 Copyright terms: Public domain W3C validator