Theorem kgenf 23860

Description: The compact generator is a function on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenf	⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top

Proof of Theorem kgenf

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vuniex 7756	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ V
2	1	pwex 5342	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ 𝑗 ∈ V
3	2	rabex 5300	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))} ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ Top) → {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))} ∈ V)
5		df-kgen 23853	. . . 4 ⊢ 𝑘Gen = (𝑗 ∈ Top ↦ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))})
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑘Gen = (𝑗 ∈ Top ↦ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝑗((𝑗 ↾t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥 ∩ 𝑘) ∈ (𝑗 ↾t 𝑘))}))
7		kgenftop 23859	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝑥) ∈ Top)
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝑥) ∈ Top)
9	4, 6, 8	fmpt2d 7125	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑘Gen:Top⟶Top)
10	9	mptru 1577	1 ⊢ 𝑘Gen:Top⟶Top

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   ∩ cin 3898  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17591  Topctop 23211  Compccmp 23704  𝑘Genckgen 23852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-en 8974  df-fin 8977  df-fi 9403  df-rest 17593  df-topgen 17614  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cmp 23705  df-kgen 23853

This theorem is used by:  kgentop  23861  kgenidm  23866  iskgen2  23867  kgen2cn  23878