Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgenf 21821
 Description: The compact generator is a function on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenf 𝑘Gen:Top⟶Top

Proof of Theorem kgenf
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vuniex 7315 . . . . . 6 𝑗 ∈ V
21pwex 5165 . . . . 5 𝒫 𝑗 ∈ V
32rabex 5119 . . . 4 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑗((𝑗t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝑗t 𝑘))} ∈ V
43a1i 11 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ Top) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑗((𝑗t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝑗t 𝑘))} ∈ V)
5 df-kgen 21814 . . . 4 𝑘Gen = (𝑗 ∈ Top ↦ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑗((𝑗t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝑗t 𝑘))})
65a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝑘Gen = (𝑗 ∈ Top ↦ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑗 ∣ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝑗((𝑗t 𝑘) ∈ Comp → (𝑥𝑘) ∈ (𝑗t 𝑘))}))
7 kgenftop 21820 . . . 4 (𝑥 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝑥) ∈ Top)
87adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝑥) ∈ Top)
94, 6, 8fmpt2d 6741 . 2 (⊤ → 𝑘Gen:Top⟶Top)
109mptru 1527 1 𝑘Gen:Top⟶Top
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1520  ⊤wtru 1521   ∈ wcel 2079  ∀wral 3103  {crab 3107  Vcvv 3432   ∩ cin 3853  𝒫 cpw 4447  ∪ cuni 4739   ↦ cmpt 5035  ⟶wf 6213  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007   ↾t crest 16511  Topctop 21173  Compccmp 21666  𝑘Genckgen 21813 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-oadd 7948  df-er 8130  df-en 8348  df-fin 8351  df-fi 8711  df-rest 16513  df-topgen 16534  df-top 21174  df-topon 21191  df-bases 21226  df-cmp 21667  df-kgen 21814 This theorem is referenced by:  kgentop  21822  kgenidm  21827  iskgen2  21828  kgen2cn  21839
 Copyright terms: Public domain W3C validator