Theorem lgsdchr 27306

Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /_L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x	⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
lgsdchr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐵⟶ℝ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ℎ,𝑚,𝑦,𝐿   ℎ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝑦,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(𝑦,ℎ,𝑚)   𝐺(𝑦,ℎ,𝑚)   𝑋(ℎ,𝑚)   𝑍(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem lgsdchr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iotaex 6466	. . . . . 6 ⊢ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V)
3		lgsdchr.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))))
5		nnnn0 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		lgsdchr.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8		lgsdchr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
9		lgsdchr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
10	7, 8, 9	znzrhfo 21504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
12		foelrn 7051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿:ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎))
13	11, 12	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎))
14		lgsdchr.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
15		lgsdchr.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
16	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
18		nnz 12510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		lgscl 27262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
21	17, 19, 20	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
22	21	zred 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℝ)
23	16, 22	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ∈ ℝ)
24		fveq2 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘(𝐿‘𝑎)))
25	24	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ∈ ℝ))
26	23, 25	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ))
27	26	rexlimdva 3139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ))
28	27	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
29	13, 28	syldan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
30	2, 4, 29	fmpt2d 7069	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℝ)
31		ax-resscn 11084	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
32		fss 6676	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
33	30, 31, 32	sylancl 587	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
34		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
35	8, 34	unitss 20314	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
36		foelrn 7051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿:ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏))
37	11, 36	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏))
38	13, 37	anim12dan 620	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)))
39		reeanv 3210	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)))
40	17	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
41		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
42	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43		lgsdirnn0 27295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
45	7	zncrng 21501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
46	6, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ CRing)
47		crngring 20184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ Ring)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Ring)
50	9	zrhrhm 21468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
52		zringbas 21410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
53		zringmulr 21414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
54		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
55	52, 53, 54	rhmmul 20423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏)))
56	51, 40, 41, 55	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏)))
57	56	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))))
58		zmulcl 12541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
59	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
60	58, 59	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
61	57, 60	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
62	16	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
63	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
64	63	adantrl 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
65	62, 64	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏))) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
66	44, 61, 65	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏))))
67		oveq12 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) = ((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏)))
68	67	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))))
69		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝑏) → (𝑋‘𝑦) = (𝑋‘(𝐿‘𝑏)))
70	24, 69	oveqan12d 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏))))
71	68, 70	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏)))))
72	66, 71	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
73	72	rexlimdvva 3195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
74	39, 73	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
75	74	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
76	38, 75	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
77	76	ralrimivva 3181	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
78		ss2ralv 3993	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
79	35, 77, 78	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
80		1z 12522	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
81	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27305	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
82	80, 81	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
83		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
84	9, 83	zrh1 21469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
85	48, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
86	85	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
87	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
88		1lgs 27291	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 /L 𝑁) = 1)
89	87, 88	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (1 /L 𝑁) = 1)
90	82, 86, 89	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
91		lgsne0 27286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
92	17, 19, 91	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
93	92	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 → (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
94	16	neeq1d 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝑎 /L 𝑁) ≠ 0))
95	7, 34, 9	znunit 21520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
96	6, 95	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
97	93, 94, 96	3imtr4d 294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
98	24	neeq1d 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0))
99		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
100	98, 99	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍))))
101	97, 100	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
102	101	rexlimdva 3139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
103	102	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎)) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
104	13, 103	syldan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
105	104	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
106	79, 90, 105	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
107		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
108	14, 7, 8, 34, 107, 15	dchrelbas3 27189	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))))
109	33, 106, 108	mpbir2and 714	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐷)
110	109, 30	jca 511	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐵⟶ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ℩cio 6444  ⟶wf 6486  –onto→wfo 6488  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032  ℕcn 12146  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489   ∥ cdvds 16180   gcd cgcd 16422  Basecbs 17137  ._rcmulr 17179  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  Unitcui 20293   RingHom crh 20407  ℤ_ringczring 21403  ℤRHomczrh 21456  ℤ/nℤczn 21459  DChrcdchr 27183   /_L clgs 27245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-ec 8636  df-qs 8640  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-dvds 16181  df-gcd 16423  df-prm 16600  df-phi 16694  df-pc 16766  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-0g 17362  df-imas 17430  df-qus 17431  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-ghm 19146  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-lidl 21165  df-rsp 21166  df-2idl 21207  df-cnfld 21312  df-zring 21404  df-zrh 21460  df-zn 21463  df-dchr 27184  df-lgs 27246

This theorem is referenced by: (None)