Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdchr 25493
 Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
lgsdchr ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋𝐷𝑋:𝐵⟶ℝ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ,𝑚,𝑦,𝐿   ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(,𝑚)   𝐷(𝑦,,𝑚)   𝐺(𝑦,,𝑚)   𝑋(,𝑚)   𝑍(,𝑚)

Proof of Theorem lgsdchr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 6103 . . . . . 6 (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
21a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦𝐵) → (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V)
3 lgsdchr.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)))))
5 nnnn0 11626 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
65adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 lgsdchr.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8 lgsdchr.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑍)
9 lgsdchr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
107, 8, 9znzrhfo 20255 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto𝐵)
116, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ–onto𝐵)
12 foelrn 6627 . . . . . . 7 ((𝐿:ℤ–onto𝐵𝑥𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎))
1311, 12sylan 577 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎))
14 lgsdchr.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (DChr‘𝑁)
15 lgsdchr.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (Base‘𝐺)
1614, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 25492 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
17 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
18 nnz 11727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1918ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 lgscl 25449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2117, 19, 20syl2anc 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2221zred 11810 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℝ)
2316, 22eqeltrd 2906 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑎)) ∈ ℝ)
24 fveq2 6433 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐿𝑎) → (𝑋𝑥) = (𝑋‘(𝐿𝑎)))
2524eleq1d 2891 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐿𝑎) → ((𝑋𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑋‘(𝐿𝑎)) ∈ ℝ))
2623, 25syl5ibrcom 239 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿𝑎) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ))
2726rexlimdva 3240 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ))
2827imp 397 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎)) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
2913, 28syldan 587 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
302, 4, 29fmpt2d 6642 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℝ)
31 ax-resscn 10309 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
32 fss 6291 . . . 4 ((𝑋:𝐵⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
3330, 31, 32sylancl 582 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
34 eqid 2825 . . . . . 6 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
358, 34unitss 19014 . . . . 5 (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
36 foelrn 6627 . . . . . . . . 9 ((𝐿:ℤ–onto𝐵𝑦𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏))
3711, 36sylan 577 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏))
3813, 37anim12dan 614 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏)))
39 reeanv 3317 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏)))
4017adantrr 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
41 simprr 791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
426adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43 lgsdirnn0 25482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
457zncrng 20252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
466, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ CRing)
47 crngring 18912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ Ring)
4948adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Ring)
509zrhrhm 20220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
52 zringbas 20184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ = (Base‘ℤring)
53 zringmulr 20187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r‘ℤring)
54 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑍) = (.r𝑍)
5552, 53, 54rhmmul 19083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏)))
5651, 40, 41, 55syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏)))
5756fveq2d 6437 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))))
58 zmulcl 11754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
5914, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 25492 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
6058, 59sylan2 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
6157, 60eqtr3d 2863 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
6216adantrr 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
6314, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 25492 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
6463adantrl 709 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
6562, 64oveq12d 6923 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (𝑋‘(𝐿𝑏))) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
6644, 61, 653eqtr4d 2871 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (𝑋‘(𝐿𝑏))))
67 oveq12 6914 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) = ((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏)))
6867fveq2d 6437 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))))
69 fveq2 6433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐿𝑏) → (𝑋𝑦) = (𝑋‘(𝐿𝑏)))
7024, 69oveqan12d 6924 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) = ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (𝑋‘(𝐿𝑏))))
7168, 70eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ↔ (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (𝑋‘(𝐿𝑏)))))
7266, 71syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7372rexlimdvva 3248 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7439, 73syl5bir 235 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7574imp 397 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
7638, 75syldan 587 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
7776ralrimivva 3180 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
78 ssralv 3891 . . . . . . 7 ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) → ∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7978ralimdv 3172 . . . . . 6 ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) → ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
80 ssralv 3891 . . . . . 6 ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑥𝐵𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
8179, 80syld 47 . . . . 5 ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
8235, 77, 81mpsyl 68 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
83 1z 11735 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
8414, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 25492 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
8583, 84mpan2 684 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
86 eqid 2825 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (1r𝑍)
879, 86zrh1 20221 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑍))
8848, 87syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐿‘1) = (1r𝑍))
8988fveq2d 6437 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
9018adantr 474 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
91 1lgs 25478 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (1 /L 𝑁) = 1)
9290, 91syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (1 /L 𝑁) = 1)
9385, 89, 923eqtr3d 2869 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
94 lgsne0 25473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
9517, 19, 94syl2anc 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
9695biimpd 221 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 → (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
9716neeq1d 3058 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝑎 /L 𝑁) ≠ 0))
987, 34, 9znunit 20271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
996, 98sylan 577 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
10096, 97, 993imtr4d 286 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) ≠ 0 → (𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
10124neeq1d 3058 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐿𝑎) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘(𝐿𝑎)) ≠ 0))
102 eleq1 2894 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐿𝑎) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
103101, 102imbi12d 336 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐿𝑎) → (((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) ≠ 0 → (𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍))))
104100, 103syl5ibrcom 239 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿𝑎) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
105104rexlimdva 3240 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
106105imp 397 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎)) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
10713, 106syldan 587 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
108107ralrimiva 3175 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
10982, 93, 1083jca 1164 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
110 simpl 476 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
11114, 7, 8, 34, 110, 15dchrelbas3 25376 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))))
11233, 109, 111mpbir2and 706 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋𝐷)
113112, 30jca 509 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋𝐷𝑋:𝐵⟶ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4873   ↦ cmpt 4952  ℩cio 6084  ⟶wf 6119  –onto→wfo 6121  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   · cmul 10257  ℕcn 11350  2c2 11406  ℕ0cn0 11618  ℤcz 11704   ∥ cdvds 15357   gcd cgcd 15589  Basecbs 16222  .rcmulr 16306  1rcur 18855  Ringcrg 18901  CRingccrg 18902  Unitcui 18993   RingHom crh 19068  ℤringzring 20178  ℤRHomczrh 20208  ℤ/nℤczn 20211  DChrcdchr 25370   /L clgs 25432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-ec 8011  df-qs 8015  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-dvds 15358  df-gcd 15590  df-prm 15758  df-phi 15842  df-pc 15913  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-0g 16455  df-imas 16521  df-qus 16522  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-nsg 17943  df-eqg 17944  df-ghm 18009  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-cring 18904  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-rnghom 19071  df-subrg 19134  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-sra 19533  df-rgmod 19534  df-lidl 19535  df-rsp 19536  df-2idl 19593  df-cnfld 20107  df-zring 20179  df-zrh 20212  df-zn 20215  df-dchr 25371  df-lgs 25433 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator