MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdchr 26825
Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
lgsdchr ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋𝐷𝑋:𝐵⟶ℝ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ,𝑚,𝑦,𝐿   ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(,𝑚)   𝐷(𝑦,,𝑚)   𝐺(𝑦,,𝑚)   𝑋(,𝑚)   𝑍(,𝑚)

Proof of Theorem lgsdchr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 6508 . . . . . 6 (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
21a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦𝐵) → (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V)
3 lgsdchr.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)))))
5 nnnn0 12466 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
65adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 lgsdchr.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8 lgsdchr.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑍)
9 lgsdchr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
107, 8, 9znzrhfo 21076 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto𝐵)
116, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ–onto𝐵)
12 foelrn 7095 . . . . . . 7 ((𝐿:ℤ–onto𝐵𝑥𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎))
1311, 12sylan 581 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎))
14 lgsdchr.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (DChr‘𝑁)
15 lgsdchr.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (Base‘𝐺)
1614, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26824 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
17 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
18 nnz 12566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 lgscl 26781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2117, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2221zred 12653 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℝ)
2316, 22eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑎)) ∈ ℝ)
24 fveq2 6881 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐿𝑎) → (𝑋𝑥) = (𝑋‘(𝐿𝑎)))
2524eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐿𝑎) → ((𝑋𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑋‘(𝐿𝑎)) ∈ ℝ))
2623, 25syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿𝑎) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ))
2726rexlimdva 3156 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ))
2827imp 408 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎)) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
2913, 28syldan 592 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
302, 4, 29fmpt2d 7110 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℝ)
31 ax-resscn 11154 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
32 fss 6724 . . . 4 ((𝑋:𝐵⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
3330, 31, 32sylancl 587 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
34 eqid 2733 . . . . . 6 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
358, 34unitss 20168 . . . . 5 (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
36 foelrn 7095 . . . . . . . . 9 ((𝐿:ℤ–onto𝐵𝑦𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏))
3711, 36sylan 581 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏))
3813, 37anim12dan 620 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏)))
39 reeanv 3227 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏)))
4017adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
41 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
426adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43 lgsdirnn0 26814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
457zncrng 21073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
466, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ CRing)
47 crngring 20050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ Ring)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Ring)
509zrhrhm 21034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
52 zringbas 20997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ = (Base‘ℤring)
53 zringmulr 21000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r‘ℤring)
54 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑍) = (.r𝑍)
5552, 53, 54rhmmul 20242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏)))
5651, 40, 41, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏)))
5756fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))))
58 zmulcl 12598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
5914, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26824 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
6058, 59sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
6157, 60eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
6216adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
6314, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26824 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
6463adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
6562, 64oveq12d 7414 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (𝑋‘(𝐿𝑏))) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
6644, 61, 653eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (𝑋‘(𝐿𝑏))))
67 oveq12 7405 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) = ((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏)))
6867fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))))
69 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐿𝑏) → (𝑋𝑦) = (𝑋‘(𝐿𝑏)))
7024, 69oveqan12d 7415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) = ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (𝑋‘(𝐿𝑏))))
7168, 70eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ↔ (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (𝑋‘(𝐿𝑏)))))
7266, 71syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7372rexlimdvva 3212 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7439, 73biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7574imp 408 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
7638, 75syldan 592 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
7776ralrimivva 3201 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
78 ss2ralv 4050 . . . . 5 ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7935, 77, 78mpsyl 68 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
80 1z 12579 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
8114, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26824 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
8280, 81mpan2 690 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
83 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (1r𝑍)
849, 83zrh1 21035 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑍))
8548, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐿‘1) = (1r𝑍))
8685fveq2d 6885 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
8718adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
88 1lgs 26810 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (1 /L 𝑁) = 1)
8987, 88syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (1 /L 𝑁) = 1)
9082, 86, 893eqtr3d 2781 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
91 lgsne0 26805 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
9217, 19, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
9392biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 → (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
9416neeq1d 3001 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝑎 /L 𝑁) ≠ 0))
957, 34, 9znunit 21092 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
966, 95sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
9793, 94, 963imtr4d 294 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) ≠ 0 → (𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
9824neeq1d 3001 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐿𝑎) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘(𝐿𝑎)) ≠ 0))
99 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐿𝑎) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
10098, 99imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐿𝑎) → (((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) ≠ 0 → (𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍))))
10197, 100syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿𝑎) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
102101rexlimdva 3156 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
103102imp 408 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎)) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
10413, 103syldan 592 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
105104ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
10679, 90, 1053jca 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
107 simpl 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10814, 7, 8, 34, 107, 15dchrelbas3 26708 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))))
10933, 106, 108mpbir2and 712 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋𝐷)
110109, 30jca 513 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋𝐷𝑋:𝐵⟶ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3946   class class class wbr 5144  cmpt 5227  cio 6485  wf 6531  ontowfo 6533  cfv 6535  (class class class)co 7396  cc 11095  cr 11096  0cc0 11097  1c1 11098   · cmul 11102  cn 12199  2c2 12254  0cn0 12459  cz 12545  cdvds 16184   gcd cgcd 16422  Basecbs 17131  .rcmulr 17185  1rcur 19987  Ringcrg 20038  CRingccrg 20039  Unitcui 20147   RingHom crh 20226  ringczring 20991  ℤRHomczrh 21022  ℤ/nczn 21025  DChrcdchr 26702   /L clgs 26764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175  ax-addf 11176  ax-mulf 11177
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-tpos 8198  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8691  df-ec 8693  df-qs 8697  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-inf 9425  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-xnn0 12532  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-q 12920  df-rp 12962  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-mod 13822  df-seq 13954  df-exp 14015  df-hash 14278  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-dvds 16185  df-gcd 16423  df-prm 16596  df-phi 16686  df-pc 16757  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-0g 17374  df-imas 17441  df-qus 17442  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-mhm 18658  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-mulg 18936  df-subg 18988  df-nsg 18989  df-eqg 18990  df-ghm 19075  df-cmn 19634  df-abl 19635  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-cring 20041  df-oppr 20128  df-dvdsr 20149  df-unit 20150  df-rnghom 20229  df-subrg 20338  df-lmod 20450  df-lss 20520  df-lsp 20560  df-sra 20762  df-rgmod 20763  df-lidl 20764  df-rsp 20765  df-2idl 20833  df-cnfld 20919  df-zring 20992  df-zrh 21026  df-zn 21029  df-dchr 26703  df-lgs 26765
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator