MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdchr 26706
Description: The Legendre symbol function 𝑋(π‘š) = (π‘š /L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
lgsdchr.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
lgsdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
lgsdchr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
lgsdchr.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
lgsdchr.x 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
lgsdchr ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:π΅βŸΆβ„))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   β„Ž,π‘š,𝑦,𝐿   β„Ž,𝑁,π‘š,𝑦   𝑦,𝑋   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(𝑦,β„Ž,π‘š)   𝐺(𝑦,β„Ž,π‘š)   𝑋(β„Ž,π‘š)   𝑍(β„Ž,π‘š)

Proof of Theorem lgsdchr
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 6470 . . . . . 6 (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) ∈ V
21a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) ∈ V)
3 lgsdchr.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)))))
5 nnnn0 12421 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
65adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 lgsdchr.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
8 lgsdchr.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
9 lgsdchr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
107, 8, 9znzrhfo 20957 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–onto→𝐡)
116, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝐿:℀–onto→𝐡)
12 foelrn 7057 . . . . . . 7 ((𝐿:℀–onto→𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž))
1311, 12sylan 581 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž))
14 lgsdchr.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
15 lgsdchr.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
1614, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26705 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘Ž /L 𝑁))
17 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
18 nnz 12521 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 lgscl 26662 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘Ž /L 𝑁) ∈ β„€)
2117, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘Ž /L 𝑁) ∈ β„€)
2221zred 12608 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘Ž /L 𝑁) ∈ ℝ)
2316, 22eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) ∈ ℝ)
24 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)))
2524eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) ∈ ℝ))
2623, 25syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
2726rexlimdva 3153 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
2827imp 408 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2913, 28syldan 592 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
302, 4, 29fmpt2d 7072 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„)
31 ax-resscn 11109 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
32 fss 6686 . . . 4 ((𝑋:π΅βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
3330, 31, 32sylancl 587 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
34 eqid 2737 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
358, 34unitss 20090 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘) βŠ† 𝐡
36 foelrn 7057 . . . . . . . . 9 ((𝐿:℀–onto→𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘))
3711, 36sylan 581 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘))
3813, 37anim12dan 620 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)))
39 reeanv 3218 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)))
4017adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
41 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
426adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
43 lgsdirnn0 26695 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁) = ((π‘Ž /L 𝑁) Β· (𝑏 /L 𝑁)))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁) = ((π‘Ž /L 𝑁) Β· (𝑏 /L 𝑁)))
457zncrng 20954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
466, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑍 ∈ CRing)
47 crngring 19977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
509zrhrhm 20915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
52 zringbas 20878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
53 zringmulr 20881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
54 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
5552, 53, 54rhmmul 20160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏)) = ((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘)))
5651, 40, 41, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏)) = ((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘)))
5756fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏))) = (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))))
58 zmulcl 12553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ β„€)
5914, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏))) = ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁))
6058, 59sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏))) = ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁))
6157, 60eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))) = ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁))
6216adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘Ž /L 𝑁))
6314, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘)) = (𝑏 /L 𝑁))
6463adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘)) = (𝑏 /L 𝑁))
6562, 64oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘))) = ((π‘Ž /L 𝑁) Β· (𝑏 /L 𝑁)))
6644, 61, 653eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘))))
67 oveq12 7367 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) = ((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘)))
6867fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))))
69 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΏβ€˜π‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘)))
7024, 69oveqan12d 7377 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘))))
7168, 70eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ↔ (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘)))))
7266, 71syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
7372rexlimdvva 3206 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
7439, 73biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
7574imp 408 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
7638, 75syldan 592 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
7776ralrimivva 3198 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
78 ss2ralv 4013 . . . . 5 ((Unitβ€˜π‘) βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
7935, 77, 78mpsyl 68 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
80 1z 12534 . . . . . 6 1 ∈ β„€
8114, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26705 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = (1 /L 𝑁))
8280, 81mpan2 690 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = (1 /L 𝑁))
83 eqid 2737 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
849, 83zrh1 20916 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘))
8548, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘))
8685fveq2d 6847 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
8718adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
88 1lgs 26691 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (1 /L 𝑁) = 1)
8987, 88syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (1 /L 𝑁) = 1)
9082, 86, 893eqtr3d 2785 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
91 lgsne0 26686 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž /L 𝑁) β‰  0 ↔ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
9217, 19, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž /L 𝑁) β‰  0 ↔ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
9392biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž /L 𝑁) β‰  0 β†’ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
9416neeq1d 3004 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) β‰  0 ↔ (π‘Ž /L 𝑁) β‰  0))
957, 34, 9znunit 20973 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
966, 95sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
9793, 94, 963imtr4d 294 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) β‰  0 β†’ (πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
9824neeq1d 3004 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) β‰  0))
99 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ (πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
10098, 99imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) β‰  0 β†’ (πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘))))
10197, 100syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))
102101rexlimdva 3153 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))
103102imp 408 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
10413, 103syldan 592 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
105104ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
10679, 90, 1053jca 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))
107 simpl 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
10814, 7, 8, 34, 107, 15dchrelbas3 26589 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:π΅βŸΆβ„‚ ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))))
10933, 106, 108mpbir2and 712 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
110109, 30jca 513 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:π΅βŸΆβ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β„©cio 6447  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  β„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   Β· cmul 11057  β„•cn 12154  2c2 12209  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500   βˆ₯ cdvds 16137   gcd cgcd 16375  Basecbs 17084  .rcmulr 17135  1rcur 19914  Ringcrg 19965  CRingccrg 19966  Unitcui 20069   RingHom crh 20144  β„€ringczring 20872  β„€RHomczrh 20903  β„€/nβ„€czn 20906  DChrcdchr 26583   /L clgs 26645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-pc 16710  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-0g 17324  df-imas 17391  df-qus 17392  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-mulg 18874  df-subg 18926  df-nsg 18927  df-eqg 18928  df-ghm 19007  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-rnghom 20147  df-subrg 20223  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-lidl 20638  df-rsp 20639  df-2idl 20705  df-cnfld 20800  df-zring 20873  df-zrh 20907  df-zn 20910  df-dchr 26584  df-lgs 26646
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator