Theorem lgsdchr 27589

Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /_L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x	⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
lgsdchr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐵⟶ℝ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ℎ,𝑚,𝑦,𝐿   ℎ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝑦,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ, 𝑚)   𝐷(𝑦, ℎ, 𝑚)   𝐺(𝑦, ℎ, 𝑚)   𝑋(ℎ, 𝑚)   𝑍(ℎ, 𝑚)

Proof of Theorem lgsdchr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iotaex 6513	. . . . . 6 ⊢ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V)
3		lgsdchr.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))))
5		nnnn0 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		lgsdchr.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8		lgsdchr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
9		lgsdchr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
10	7, 8, 9	znzrhfo 21761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
11	6, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
12		foelrn 7103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿:ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎))
13	11, 12	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎))
14		lgsdchr.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
15		lgsdchr.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
16	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
17		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
18		nnz 12639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		lgscl 27545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
21	17, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
22	21	zred 12728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℝ)
23	16, 22	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ∈ ℝ)
24		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘(𝐿‘𝑎)))
25	24	eleq1d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ∈ ℝ))
26	23, 25	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ))
27	26	rexlimdva 3165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ))
28	27	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
29	13, 28	syldan 603	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
30	2, 4, 29	fmpt2d 7121	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℝ)
31		ax-resscn 11184	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
32		fss 6723	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
33	30, 31, 32	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
34		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
35	8, 34	unitss 20518	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
36		foelrn 7103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿:ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏))
37	11, 36	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏))
38	13, 37	anim12dan 631	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)))
39		reeanv 3236	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)))
40	17	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
41		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
42	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43		lgsdirnn0 27578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
45	7	zncrng 21758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
46	6, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ CRing)
47		crngring 20385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ Ring)
49	48	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Ring)
50	9	zrhrhm 21725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
51	49, 50	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
52		zringbas 21667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
53		zringmulr 21671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
54		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
55	52, 53, 54	rhmmul 20632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏)))
56	51, 40, 41, 55	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏)))
57	56	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))))
58		zmulcl 12670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
59	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
60	58, 59	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
61	57, 60	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
62	16	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
63	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
64	63	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
65	62, 64	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏))) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
66	44, 61, 65	3eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏))))
67		oveq12 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) = ((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏)))
68	67	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))))
69		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝑏) → (𝑋‘𝑦) = (𝑋‘(𝐿‘𝑏)))
70	24, 69	oveqan12d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏))))
71	68, 70	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏)))))
72	66, 71	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
73	72	rexlimdvva 3221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
74	39, 73	biimtrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
75	74	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
76	38, 75	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
77	76	ralrimivva 3207	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
78		ss2ralv 4005	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
79	35, 77, 78	mpsyl 69	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
80		1z 12651	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
81	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
82	80, 81	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
83		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
84	9, 83	zrh1 21726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
85	48, 84	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
86	85	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
87	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
88		1lgs 27574	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 /L 𝑁) = 1)
89	87, 88	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (1 /L 𝑁) = 1)
90	82, 86, 89	3eqtr3d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
91		lgsne0 27569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
92	17, 19, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
93	92	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 → (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
94	16	neeq1d 3016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝑎 /L 𝑁) ≠ 0))
95	7, 34, 9	znunit 21777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
96	6, 95	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
97	93, 94, 96	3imtr4d 297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
98	24	neeq1d 3016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0))
99		eleq1 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
100	98, 99	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍))))
101	97, 100	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
102	101	rexlimdva 3165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
103	102	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎)) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
104	13, 103	syldan 603	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
105	104	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
106	79, 90, 105	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
107		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
108	14, 7, 8, 34, 107, 15	dchrelbas3 27472	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))))
109	33, 106, 108	mpbir2and 726	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐷)
110	109, 30	jca 521	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐵⟶ℝ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ℩cio 6491  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  ℕcn 12260  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618   ∥ cdvds 16346   gcd cgcd 16588  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374  Unitcui 20497   RingHom crh 20611  ℤ_ringczring 21660  ℤRHomczrh 21713  ℤ/nℤczn 21716  DChrcdchr 27466   /_L clgs 27528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-prm 16766  df-phi 16861  df-pc 16933  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-0g 17530  df-imas 17598  df-qus 17599  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-nsg 19248  df-eqg 19249  df-ghm 19342  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397  df-2idl 21453  df-cnfld 21587  df-zring 21661  df-zrh 21717  df-zn 21720  df-dchr 27467  df-lgs 27529

This theorem is used by: (None)