Theorem lgsdchr 27426

Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /_L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x	⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
lgsdchr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐵⟶ℝ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ℎ,𝑚,𝑦,𝐿   ℎ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝑦,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(𝑦,ℎ,𝑚)   𝐺(𝑦,ℎ,𝑚)   𝑋(ℎ,𝑚)   𝑍(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem lgsdchr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iotaex 6497	. . . . . 6 ⊢ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V)
3		lgsdchr.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))))
5		nnnn0 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		lgsdchr.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8		lgsdchr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
9		lgsdchr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
10	7, 8, 9	znzrhfo 21606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
12		foelrn 7088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿:ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎))
13	11, 12	sylan 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎))
14		lgsdchr.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
15		lgsdchr.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
16	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
17		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
18		nnz 12599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		lgscl 27382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
21	17, 19, 20	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
22	21	zred 12687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℝ)
23	16, 22	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ∈ ℝ)
24		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘(𝐿‘𝑎)))
25	24	eleq1d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ∈ ℝ))
26	23, 25	syl5ibrcom 249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ))
27	26	rexlimdva 3164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ))
28	27	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
29	13, 28	syldan 600	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
30	2, 4, 29	fmpt2d 7106	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℝ)
31		ax-resscn 11141	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
32		fss 6708	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
33	30, 31, 32	sylancl 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
34		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
35	8, 34	unitss 20435	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
36		foelrn 7088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿:ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏))
37	11, 36	sylan 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏))
38	13, 37	anim12dan 628	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)))
39		reeanv 3235	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)))
40	17	adantrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
41		simprr 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
42	6	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43		lgsdirnn0 27415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
45	7	zncrng 21603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
46	6, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ CRing)
47		crngring 20305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ Ring)
49	48	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Ring)
50	9	zrhrhm 21570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
52		zringbas 21512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
53		zringmulr 21516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
54		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
55	52, 53, 54	rhmmul 20545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏)))
56	51, 40, 41, 55	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏)))
57	56	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))))
58		zmulcl 12630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
59	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
60	58, 59	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
61	57, 60	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
62	16	adantrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
63	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
64	63	adantrl 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
65	62, 64	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏))) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
66	44, 61, 65	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏))))
67		oveq12 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) = ((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏)))
68	67	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))))
69		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝑏) → (𝑋‘𝑦) = (𝑋‘(𝐿‘𝑏)))
70	24, 69	oveqan12d 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏))))
71	68, 70	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏)))))
72	66, 71	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
73	72	rexlimdvva 3220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
74	39, 73	biimtrrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
75	74	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
76	38, 75	syldan 600	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
77	76	ralrimivva 3206	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
78		ss2ralv 4008	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
79	35, 77, 78	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
80		1z 12611	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
81	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27425	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
82	80, 81	mpan2 701	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
83		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
84	9, 83	zrh1 21571	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
85	48, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
86	85	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
87	18	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
88		1lgs 27411	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 /L 𝑁) = 1)
89	87, 88	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (1 /L 𝑁) = 1)
90	82, 86, 89	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
91		lgsne0 27406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
92	17, 19, 91	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
93	92	biimpd 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 → (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
94	16	neeq1d 3017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝑎 /L 𝑁) ≠ 0))
95	7, 34, 9	znunit 21622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
96	6, 95	sylan 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
97	93, 94, 96	3imtr4d 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
98	24	neeq1d 3017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0))
99		eleq1 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
100	98, 99	imbi12d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍))))
101	97, 100	syl5ibrcom 249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
102	101	rexlimdva 3164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
103	102	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎)) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
104	13, 103	syldan 600	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
105	104	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
106	79, 90, 105	3jca 1142	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
107		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
108	14, 7, 8, 34, 107, 15	dchrelbas3 27309	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))))
109	33, 106, 108	mpbir2and 723	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐷)
110	109, 30	jca 519	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐵⟶ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182  ℩cio 6475  ⟶wf 6517  –onto→wfo 6519  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  ℝcr 11083  0cc0 11084  1c1 11085   · cmul 11089  ℕcn 12220  2c2 12282  ℕ₀cn0 12491  ℤcz 12578   ∥ cdvds 16296   gcd cgcd 16538  Basecbs 17255  ._rcmulr 17297  1_rcur 20241  Ringcrg 20293  CRingccrg 20294  Unitcui 20414   RingHom crh 20528  ℤ_ringczring 21505  ℤRHomczrh 21558  ℤ/nℤczn 21561  DChrcdchr 27303   /_L clgs 27365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162  ax-addf 11163  ax-mulf 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-ec 8680  df-qs 8684  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9386  df-inf 9387  df-dju 9871  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-xnn0 12565  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-dvds 16297  df-gcd 16539  df-prm 16716  df-phi 16811  df-pc 16883  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-0g 17480  df-imas 17548  df-qus 17549  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-mulg 19120  df-subg 19175  df-nsg 19176  df-eqg 19177  df-ghm 19264  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-cring 20296  df-oppr 20396  df-dvdsr 20416  df-unit 20417  df-rhm 20531  df-subrng 20606  df-subrg 20630  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-lsp 21046  df-sra 21247  df-rgmod 21248  df-lidl 21285  df-rsp 21286  df-2idl 21327  df-cnfld 21432  df-zring 21506  df-zrh 21562  df-zn 21565  df-dchr 27304  df-lgs 27366

This theorem is referenced by: (None)