Theorem lgsdchr 27299

Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /_L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x	⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
lgsdchr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐵⟶ℝ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ℎ,𝑚,𝑦,𝐿   ℎ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝑦,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(𝑦,ℎ,𝑚)   𝐺(𝑦,ℎ,𝑚)   𝑋(ℎ,𝑚)   𝑍(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem lgsdchr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iotaex 6463	. . . . . 6 ⊢ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V)
3		lgsdchr.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))))
5		nnnn0 12394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		lgsdchr.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8		lgsdchr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
9		lgsdchr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
10	7, 8, 9	znzrhfo 21490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
12		foelrn 7046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿:ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎))
13	11, 12	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎))
14		lgsdchr.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
15		lgsdchr.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
16	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
18		nnz 12495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		lgscl 27255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
21	17, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
22	21	zred 12583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℝ)
23	16, 22	eqeltrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ∈ ℝ)
24		fveq2 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘(𝐿‘𝑎)))
25	24	eleq1d 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ∈ ℝ))
26	23, 25	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ))
27	26	rexlimdva 3133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ))
28	27	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
29	13, 28	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
30	2, 4, 29	fmpt2d 7063	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℝ)
31		ax-resscn 11069	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
32		fss 6673	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
33	30, 31, 32	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
34		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
35	8, 34	unitss 20300	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
36		foelrn 7046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿:ℤ–onto→𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏))
37	11, 36	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏))
38	13, 37	anim12dan 619	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)))
39		reeanv 3204	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)))
40	17	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
41		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
42	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43		lgsdirnn0 27288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
45	7	zncrng 21487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
46	6, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ CRing)
47		crngring 20169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ Ring)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Ring)
50	9	zrhrhm 21454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
52		zringbas 21396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
53		zringmulr 21400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
54		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
55	52, 53, 54	rhmmul 20409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏)))
56	51, 40, 41, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏)))
57	56	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))))
58		zmulcl 12527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
59	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
60	58, 59	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
61	57, 60	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
62	16	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
63	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
64	63	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
65	62, 64	oveq12d 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏))) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
66	44, 61, 65	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏))))
67		oveq12 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) = ((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏)))
68	67	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))))
69		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝑏) → (𝑋‘𝑦) = (𝑋‘(𝐿‘𝑏)))
70	24, 69	oveqan12d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏))))
71	68, 70	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ (𝑋‘((𝐿‘𝑎)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑏)))))
72	66, 71	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
73	72	rexlimdvva 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
74	39, 73	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
75	74	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿‘𝑏))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
76	38, 75	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
77	76	ralrimivva 3175	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
78		ss2ralv 4000	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
79	35, 77, 78	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
80		1z 12508	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
81	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 27298	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
82	80, 81	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
83		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
84	9, 83	zrh1 21455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
85	48, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑍))
86	85	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
87	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
88		1lgs 27284	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 /L 𝑁) = 1)
89	87, 88	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (1 /L 𝑁) = 1)
90	82, 86, 89	3eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
91		lgsne0 27279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
92	17, 19, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
93	92	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 → (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
94	16	neeq1d 2987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝑎 /L 𝑁) ≠ 0))
95	7, 34, 9	znunit 21506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
96	6, 95	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
97	93, 94, 96	3imtr4d 294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
98	24	neeq1d 2987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0))
99		eleq1 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
100	98, 99	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) ≠ 0 → (𝐿‘𝑎) ∈ (Unit‘𝑍))))
101	97, 100	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
102	101	rexlimdva 3133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
103	102	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿‘𝑎)) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
104	13, 103	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
105	104	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
106	79, 90, 105	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
107		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
108	14, 7, 8, 34, 107, 15	dchrelbas3 27182	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))))
109	33, 106, 108	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐷)
110	109, 30	jca 511	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐵⟶ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ℩cio 6441  ⟶wf 6483  –onto→wfo 6485  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  ℝcr 11011  0cc0 11012  1c1 11013   · cmul 11017  ℕcn 12131  2c2 12186  ℕ₀cn0 12387  ℤcz 12474   ∥ cdvds 16169   gcd cgcd 16411  Basecbs 17126  ._rcmulr 17168  1_rcur 20105  Ringcrg 20157  CRingccrg 20158  Unitcui 20279   RingHom crh 20393  ℤ_ringczring 21389  ℤRHomczrh 21442  ℤ/nℤczn 21445  DChrcdchr 27176   /_L clgs 27238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091  ax-mulf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-inf 9333  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-mod 13780  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-dvds 16170  df-gcd 16412  df-prm 16589  df-phi 16683  df-pc 16755  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-0g 17351  df-imas 17418  df-qus 17419  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-nsg 19043  df-eqg 19044  df-ghm 19131  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20261  df-dvdsr 20281  df-unit 20282  df-rhm 20396  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-lidl 21151  df-rsp 21152  df-2idl 21193  df-cnfld 21298  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-zn 21449  df-dchr 27177  df-lgs 27239

This theorem is referenced by: (None)