MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdchr 26858
Description: The Legendre symbol function 𝑋(π‘š) = (π‘š /L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
lgsdchr.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
lgsdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
lgsdchr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
lgsdchr.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
lgsdchr.x 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
lgsdchr ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:π΅βŸΆβ„))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   β„Ž,π‘š,𝑦,𝐿   β„Ž,𝑁,π‘š,𝑦   𝑦,𝑋   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(𝑦,β„Ž,π‘š)   𝐺(𝑦,β„Ž,π‘š)   𝑋(β„Ž,π‘š)   𝑍(β„Ž,π‘š)

Proof of Theorem lgsdchr
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 6517 . . . . . 6 (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) ∈ V
21a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) ∈ V)
3 lgsdchr.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)))))
5 nnnn0 12479 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
65adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 lgsdchr.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
8 lgsdchr.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
9 lgsdchr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
107, 8, 9znzrhfo 21103 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–onto→𝐡)
116, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝐿:℀–onto→𝐡)
12 foelrn 7108 . . . . . . 7 ((𝐿:℀–onto→𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž))
1311, 12sylan 581 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž))
14 lgsdchr.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
15 lgsdchr.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
1614, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26857 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘Ž /L 𝑁))
17 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
18 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 lgscl 26814 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘Ž /L 𝑁) ∈ β„€)
2117, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘Ž /L 𝑁) ∈ β„€)
2221zred 12666 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘Ž /L 𝑁) ∈ ℝ)
2316, 22eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) ∈ ℝ)
24 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)))
2524eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) ∈ ℝ))
2623, 25syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
2726rexlimdva 3156 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
2827imp 408 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2913, 28syldan 592 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
302, 4, 29fmpt2d 7123 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„)
31 ax-resscn 11167 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
32 fss 6735 . . . 4 ((𝑋:π΅βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
3330, 31, 32sylancl 587 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
34 eqid 2733 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
358, 34unitss 20190 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘) βŠ† 𝐡
36 foelrn 7108 . . . . . . . . 9 ((𝐿:℀–onto→𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘))
3711, 36sylan 581 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘))
3813, 37anim12dan 620 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)))
39 reeanv 3227 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)))
4017adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
41 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
426adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
43 lgsdirnn0 26847 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁) = ((π‘Ž /L 𝑁) Β· (𝑏 /L 𝑁)))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁) = ((π‘Ž /L 𝑁) Β· (𝑏 /L 𝑁)))
457zncrng 21100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
466, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑍 ∈ CRing)
47 crngring 20068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
509zrhrhm 21061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
52 zringbas 21023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
53 zringmulr 21027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
54 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
5552, 53, 54rhmmul 20264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏)) = ((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘)))
5651, 40, 41, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏)) = ((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘)))
5756fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏))) = (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))))
58 zmulcl 12611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ β„€)
5914, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26857 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏))) = ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁))
6058, 59sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏))) = ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁))
6157, 60eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))) = ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁))
6216adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘Ž /L 𝑁))
6314, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26857 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘)) = (𝑏 /L 𝑁))
6463adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘)) = (𝑏 /L 𝑁))
6562, 64oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘))) = ((π‘Ž /L 𝑁) Β· (𝑏 /L 𝑁)))
6644, 61, 653eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘))))
67 oveq12 7418 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) = ((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘)))
6867fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))))
69 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΏβ€˜π‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘)))
7024, 69oveqan12d 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘))))
7168, 70eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ↔ (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘)))))
7266, 71syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
7372rexlimdvva 3212 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
7439, 73biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
7574imp 408 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
7638, 75syldan 592 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
7776ralrimivva 3201 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
78 ss2ralv 4053 . . . . 5 ((Unitβ€˜π‘) βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
7935, 77, 78mpsyl 68 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
80 1z 12592 . . . . . 6 1 ∈ β„€
8114, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26857 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = (1 /L 𝑁))
8280, 81mpan2 690 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = (1 /L 𝑁))
83 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
849, 83zrh1 21062 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘))
8548, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘))
8685fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
8718adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
88 1lgs 26843 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (1 /L 𝑁) = 1)
8987, 88syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (1 /L 𝑁) = 1)
9082, 86, 893eqtr3d 2781 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
91 lgsne0 26838 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž /L 𝑁) β‰  0 ↔ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
9217, 19, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž /L 𝑁) β‰  0 ↔ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
9392biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž /L 𝑁) β‰  0 β†’ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
9416neeq1d 3001 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) β‰  0 ↔ (π‘Ž /L 𝑁) β‰  0))
957, 34, 9znunit 21119 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
966, 95sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
9793, 94, 963imtr4d 294 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) β‰  0 β†’ (πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
9824neeq1d 3001 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) β‰  0))
99 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ (πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
10098, 99imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) β‰  0 β†’ (πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘))))
10197, 100syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))
102101rexlimdva 3156 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))
103102imp 408 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
10413, 103syldan 592 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
105104ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
10679, 90, 1053jca 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))
107 simpl 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
10814, 7, 8, 34, 107, 15dchrelbas3 26741 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:π΅βŸΆβ„‚ ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))))
10933, 106, 108mpbir2and 712 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
110109, 30jca 513 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:π΅βŸΆβ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β„©cio 6494  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558   βˆ₯ cdvds 16197   gcd cgcd 16435  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  1rcur 20004  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  Unitcui 20169   RingHom crh 20248  β„€ringczring 21017  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052  DChrcdchr 26735   /L clgs 26797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056  df-dchr 26736  df-lgs 26798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator