MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdchr 26865
Description: The Legendre symbol function 𝑋(π‘š) = (π‘š /L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
lgsdchr.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
lgsdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
lgsdchr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
lgsdchr.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
lgsdchr.x 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
lgsdchr ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:π΅βŸΆβ„))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   β„Ž,π‘š,𝑦,𝐿   β„Ž,𝑁,π‘š,𝑦   𝑦,𝑋   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(𝑦,β„Ž,π‘š)   𝐺(𝑦,β„Ž,π‘š)   𝑋(β„Ž,π‘š)   𝑍(β„Ž,π‘š)

Proof of Theorem lgsdchr
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 6516 . . . . . 6 (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) ∈ V
21a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) ∈ V)
3 lgsdchr.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)))))
5 nnnn0 12481 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
65adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 lgsdchr.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
8 lgsdchr.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
9 lgsdchr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
107, 8, 9znzrhfo 21109 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–onto→𝐡)
116, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝐿:℀–onto→𝐡)
12 foelrn 7108 . . . . . . 7 ((𝐿:℀–onto→𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž))
1311, 12sylan 580 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž))
14 lgsdchr.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
15 lgsdchr.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
1614, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26864 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘Ž /L 𝑁))
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
18 nnz 12581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 lgscl 26821 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘Ž /L 𝑁) ∈ β„€)
2117, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘Ž /L 𝑁) ∈ β„€)
2221zred 12668 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘Ž /L 𝑁) ∈ ℝ)
2316, 22eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) ∈ ℝ)
24 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)))
2524eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) ∈ ℝ))
2623, 25syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
2726rexlimdva 3155 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
2827imp 407 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2913, 28syldan 591 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
302, 4, 29fmpt2d 7125 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„)
31 ax-resscn 11169 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
32 fss 6734 . . . 4 ((𝑋:π΅βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
3330, 31, 32sylancl 586 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
34 eqid 2732 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
358, 34unitss 20194 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘) βŠ† 𝐡
36 foelrn 7108 . . . . . . . . 9 ((𝐿:℀–onto→𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘))
3711, 36sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘))
3813, 37anim12dan 619 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)))
39 reeanv 3226 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)))
4017adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
41 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
426adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
43 lgsdirnn0 26854 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁) = ((π‘Ž /L 𝑁) Β· (𝑏 /L 𝑁)))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁) = ((π‘Ž /L 𝑁) Β· (𝑏 /L 𝑁)))
457zncrng 21106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
466, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑍 ∈ CRing)
47 crngring 20070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑍 ∈ Ring)
509zrhrhm 21067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
52 zringbas 21029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
53 zringmulr 21033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
54 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
5552, 53, 54rhmmul 20268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏)) = ((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘)))
5651, 40, 41, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏)) = ((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘)))
5756fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏))) = (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))))
58 zmulcl 12613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ β„€)
5914, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26864 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏))) = ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁))
6058, 59sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏))) = ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁))
6157, 60eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))) = ((π‘Ž Β· 𝑏) /L 𝑁))
6216adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘Ž /L 𝑁))
6314, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26864 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘)) = (𝑏 /L 𝑁))
6463adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘)) = (𝑏 /L 𝑁))
6562, 64oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘))) = ((π‘Ž /L 𝑁) Β· (𝑏 /L 𝑁)))
6644, 61, 653eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘))))
67 oveq12 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) = ((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘)))
6867fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))))
69 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΏβ€˜π‘) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘)))
7024, 69oveqan12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘))))
7168, 70eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ ((π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ↔ (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜π‘))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘)))))
7266, 71syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
7372rexlimdvva 3211 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
7439, 73biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
7574imp 407 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = (πΏβ€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
7638, 75syldan 591 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
7776ralrimivva 3200 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
78 ss2ralv 4052 . . . . 5 ((Unitβ€˜π‘) βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦))))
7935, 77, 78mpsyl 68 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)))
80 1z 12594 . . . . . 6 1 ∈ β„€
8114, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 26864 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = (1 /L 𝑁))
8280, 81mpan2 689 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = (1 /L 𝑁))
83 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
849, 83zrh1 21068 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘))
8548, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘))
8685fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜1)) = (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)))
8718adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
88 1lgs 26850 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (1 /L 𝑁) = 1)
8987, 88syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (1 /L 𝑁) = 1)
9082, 86, 893eqtr3d 2780 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
91 lgsne0 26845 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž /L 𝑁) β‰  0 ↔ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
9217, 19, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž /L 𝑁) β‰  0 ↔ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
9392biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž /L 𝑁) β‰  0 β†’ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
9416neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) β‰  0 ↔ (π‘Ž /L 𝑁) β‰  0))
957, 34, 9znunit 21125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
966, 95sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ (π‘Ž gcd 𝑁) = 1))
9793, 94, 963imtr4d 293 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) β‰  0 β†’ (πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
9824neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) β‰  0))
99 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘) ↔ (πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
10098, 99imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ (((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) β‰  0 β†’ (πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (Unitβ€˜π‘))))
10197, 100syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))
102101rexlimdva 3155 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))
103102imp 407 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ π‘₯ = (πΏβ€˜π‘Ž)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
10413, 103syldan 591 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
105104ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
10679, 90, 1053jca 1128 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))
107 simpl 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
10814, 7, 8, 34, 107, 15dchrelbas3 26748 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:π΅βŸΆβ„‚ ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)βˆ€π‘¦ ∈ (Unitβ€˜π‘)(π‘‹β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦)) = ((π‘‹β€˜π‘₯) Β· (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (π‘‹β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))))))
10933, 106, 108mpbir2and 711 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
110109, 30jca 512 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:π΅βŸΆβ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β„©cio 6493  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560   βˆ₯ cdvds 16199   gcd cgcd 16437  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  1rcur 20006  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059  Unitcui 20173   RingHom crh 20252  β„€ringczring 21023  β„€RHomczrh 21055  β„€/nβ„€czn 21058  DChrcdchr 26742   /L clgs 26804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-phi 16701  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-0g 17389  df-imas 17456  df-qus 17457  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-nsg 19006  df-eqg 19007  df-ghm 19092  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-lidl 20793  df-rsp 20794  df-2idl 20863  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-zn 21062  df-dchr 26743  df-lgs 26805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator