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Theorem limsupgre 15434

Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limsupval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
limsupgre.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
limsupgre	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)

Distinct variable groups: 𝑘,𝐹 𝑘,𝑀 𝑘,𝑍 Allowed substitution hint: 𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsupgre Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13083	. . . 4 ⊢ < Or ℝ^*
2	1	supex 9367	. . 3 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ V)
4		limsupval.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < )))
6	4	limsupgval 15429	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
8		simpl3 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
9		limsupgre.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
10		uzssz 12800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ_≥‘𝑀) ⊆ ℤ
11	9, 10	eqsstri 3961	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
12		zssre 12522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 3924	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑍 ⊆ ℝ)
15		simpl2 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
16		ressxr 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ^*
17		fss 6671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ^) → 𝐹:𝑍⟶ℝ^)
18	15, 16, 17	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ^*)
19		pnfxr 11190	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ^*)
21	4	limsuplt 15432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺‘𝑛) < +∞))
22	14, 18, 20, 21	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺‘𝑛) < +∞))
23	8, 22	mpbid 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺‘𝑛) < +∞)
24		fzfi 13925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin
25	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
26		elfzuz 13465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
27	26, 9	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
28		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
30	29	ralrimiva 3131	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
31		fimaxre3 12093	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
32	24, 30, 31	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
33		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
34	33	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑎 ∈ ℝ)
35	4	limsupgf 15428	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺:ℝ⟶ℝ^*
36	35	ffvelcdmi 7024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑎) ∈ ℝ^*)
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑎) ∈ ℝ^*)
38		simprl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
39	16, 38	sselid 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
40		simprl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑛 ∈ ℝ)
42	35	ffvelcdmi 7024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^*)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^*)
44	39, 43	ifcld 4501	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*)
45	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → +∞ ∈ ℝ^*)
46	40	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℝ)
47	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑍 ⊆ ℝ)
48	47	sselda 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ ℝ)
49	43	xrleidd 13094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛))
50	18	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ^*)
51	4	limsupgle 15430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ^) ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^) → ((𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛))))
52	47, 50, 41, 43, 51	syl211anc 1384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛))))
53	49, 52	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛)))
54	53	r19.21bi 3231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛)))
55	54	imp 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑖) → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛))
56	46, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^*)
57	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
58		xrmax1 13118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) → (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
59	56, 57, 58	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
60	50	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ^*)
61	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*)
62		xrletr 13100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* ∧ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*) → (((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) ∧ (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
63	60, 56, 61, 62	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) ∧ (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
64	59, 63	mpan2d 700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑖) → ((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
66	55, 65	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑖) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
67		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑖))
68	67	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟 ↔ (𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟))
69		simprr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
70	69	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
71		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ 𝑍)
72	71, 9	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
73	41	flcld 13748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
75		elfz5 13461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ (⌊‘𝑛) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
76	72, 74, 75	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
77	11, 71	sselid 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
78		flge 13755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ 𝑛 ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
79	46, 77, 78	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 ≤ 𝑛 ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
80	76, 79	bitr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ 𝑛))
81	80	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → 𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)))
82	68, 70, 81	rspcdva 3561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟)
83		xrmax2 13119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) → 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
84	43, 39, 83	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
86		xrletr 13100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^* ∧ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*) → (((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
87	60, 57, 61, 86	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
88	85, 87	mpan2d 700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → ((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
90	82, 89	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
91	46, 48, 66, 90	lecasei 11243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
92	91	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
93	92	ralrimiva 3131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
94	4	limsupgle 15430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ^) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^) → ((𝐺‘𝑎) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))))
95	47, 50, 34, 44, 94	syl211anc 1384	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺‘𝑎) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))))
96	93, 95	mpbird 258	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑎) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
97	38	ltpnfd 13063	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 < +∞)
98		simplrr 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑛) < +∞)
99		breq1 5075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) → (𝑟 < +∞ ↔ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞))
100		breq1 5075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑛) = if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑛) < +∞ ↔ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞))
101	99, 100	ifboth 4494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 < +∞ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞)
102	97, 98, 101	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞)
103	37, 44, 45, 96, 102	xrlelttrd 13102	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑎) < +∞)
104	32, 103	rexlimddv 3146	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → (𝐺‘𝑎) < +∞)
105	23, 104	rexlimddv 3146	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑎) < +∞)
106	7, 105	eqbrtrrd 5096	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) < +∞)
107		imassrn 6023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
108	15	frnd 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
109	107, 108	sstrid 3926	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ)
110	109, 16	sstrdi 3927	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ^*)
111		dfss2 3901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ^* ↔ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
112	110, 111	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
113	112, 109	eqsstrd 3949	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) ⊆ ℝ)
114		simpl1 1198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
115		flcl 13745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
117	116	peano2zd 12627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℤ)
118	117, 114	ifcld 4501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
119	114	zred 12624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
120	117	zred 12624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
121		max1 13128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
122	119, 120, 121	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
123		eluz2 12785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀)))
124	114, 118, 122, 123	syl3anbrc 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
125	124, 9	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
126	15	fdmd 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝑍)
127	125, 126	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹)
128	118	zred 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
129		fllep1 13751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
130	129	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
131		max2 13130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
132	119, 120, 131	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
133	33, 120, 128, 130, 132	letrd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
134		elicopnf 13389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
135	134	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
136	128, 133, 135	mpbir2and 719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞))
137		inelcm 4393	. . . . . . . 8 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹 ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞)) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
138	127, 136, 137	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
139		imadisj 6032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) = ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) = ∅)
140	139	necon3bii 2986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
141	138, 140	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
142	112, 141	eqnetrd 3001	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) ≠ ∅)
143		supxrre1 13273	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^) ⊆ ℝ ∧ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^) ≠ ∅) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) < +∞))
144	113, 142, 143	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) < +∞))
145	106, 144	mpbird 258	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ ℝ)
146	7, 145	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑎) ∈ ℝ)
147	3, 5, 146	fmpt2d 7066	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∧ w3a 1092 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2934 ∀wral 3053 ∃wrex 3063 Vcvv 3431 ∩ cin 3882 ⊆ wss 3883 ∅c0 4261 ifcif 4454 class class class wbr 5072 ↦ cmpt 5153 dom cdm 5618 ran crn 5619 “ cima 5621 ⟶wf 6481 ‘cfv 6485 (class class class)co 7356 Fincfn 8883 supcsup 9343 ℝcr 11028 1c1 11030 + caddc 11032 +∞cpnf 11167 ℝ^*cxr 11169 < clt 11170 ≤ cle 11171 ℤcz 12515 ℤ_≥cuz 12779 [,)cico 13291 ...cfz 13452 ⌊cfl 13740 lim supclsp 15423

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2711 ax-sep 5218 ax-nul 5228 ax-pow 5294 ax-pr 5362 ax-un 7678 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2718 df-cleq 2731 df-clel 2814 df-nfc 2888 df-ne 2935 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3064 df-rmo 3344 df-reu 3345 df-rab 3392 df-v 3433 df-sbc 3724 df-csb 3832 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3903 df-nul 4262 df-if 4455 df-pw 4531 df-sn 4556 df-pr 4558 df-op 4562 df-uni 4839 df-iun 4923 df-br 5073 df-opab 5135 df-mpt 5154 df-tr 5180 df-id 5513 df-eprel 5518 df-po 5526 df-so 5527 df-fr 5571 df-we 5573 df-xp 5624 df-rel 5625 df-cnv 5626 df-co 5627 df-dm 5628 df-rn 5629 df-res 5630 df-ima 5631 df-pred 6252 df-ord 6313 df-on 6314 df-lim 6315 df-suc 6316 df-iota 6441 df-fun 6487 df-fn 6488 df-f 6489 df-f1 6490 df-fo 6491 df-f1o 6492 df-fv 6493 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-er 8633 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9345 df-inf 9346 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-nn 12166 df-n0 12429 df-z 12516 df-uz 12780 df-ico 13295 df-fz 13453 df-fl 13742 df-limsup 15424

This theorem is referenced by: mbflimsup 25651

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