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Theorem limsupgre 15376
Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
limsupgre.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
limsupgre ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘˜)

Proof of Theorem limsupgre
Dummy variables π‘Ž 𝑖 π‘š 𝑛 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 13071 . . . 4 < Or ℝ*
21supex 9409 . . 3 sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
4 limsupval.1 . . 3 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) β†’ 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
64limsupgval 15371 . . . 4 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) = sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
76adantl 483 . . 3 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) = sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
10 uzssz 12794 . . . . . . . . . . 11 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
119, 10eqsstri 3982 . . . . . . . . . 10 𝑍 βŠ† β„€
12 zssre 12516 . . . . . . . . . 10 β„€ βŠ† ℝ
1311, 12sstri 3957 . . . . . . . . 9 𝑍 βŠ† ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
15 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
16 ressxr 11209 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† ℝ*
17 fss 6691 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† ℝ*) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
1815, 16, 17sylancl 587 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
19 pnfxr 11219 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
214limsuplt 15374 . . . . . . . 8 ((𝑍 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < +∞ ↔ βˆƒπ‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) < +∞))
2214, 18, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < +∞ ↔ βˆƒπ‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) < +∞))
238, 22mpbid 231 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)
24 fzfi 13888 . . . . . . . 8 (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) ∈ Fin
2515adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
26 elfzuz 13448 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2726, 9eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
28 ffvelcdm 7038 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
2925, 27, 28syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
3029ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) β†’ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
31 fimaxre3 12111 . . . . . . . 8 (((𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)
3224, 30, 31sylancr 588 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)
33 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
354limsupgf 15370 . . . . . . . . . 10 𝐺:β„βŸΆβ„*
3635ffvelcdmi 7040 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
3734, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
38 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3916, 38sselid 3946 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
40 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4140adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4235ffvelcdmi 7040 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
4439, 43ifcld 4538 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
4519a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
4640ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4713a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
4847sselda 3948 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
4943xrleidd 13082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘›))
5018ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
514limsupgle 15372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑍 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„*) ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (𝑛 ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›))))
5247, 50, 41, 43, 51syl211anc 1377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (𝑛 ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›))))
5349, 52mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (𝑛 ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›)))
5453r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑛 ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›)))
5554imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≀ 𝑖) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›))
5646, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
5739adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
58 xrmax1 13105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
5956, 57, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
6050ffvelcdmda 7041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
6144adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
62 xrletr 13088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ* ∧ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›) ∧ (πΊβ€˜π‘›) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
6360, 56, 61, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›) ∧ (πΊβ€˜π‘›) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
6459, 63mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≀ 𝑖) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
6655, 65mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≀ 𝑖) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
67 fveq2 6848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘–))
6867breq1d 5121 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ ↔ (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘Ÿ))
69 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≀ 𝑛) β†’ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)
71 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
7271, 9eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7341flcld 13714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘›) ∈ β„€)
7473adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βŒŠβ€˜π‘›) ∈ β„€)
75 elfz5 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (βŒŠβ€˜π‘›) ∈ β„€) β†’ (𝑖 ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) ↔ 𝑖 ≀ (βŒŠβ€˜π‘›)))
7672, 74, 75syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) ↔ 𝑖 ≀ (βŒŠβ€˜π‘›)))
7711, 71sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
78 flge 13721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ (𝑖 ≀ 𝑛 ↔ 𝑖 ≀ (βŒŠβ€˜π‘›)))
7946, 77, 78syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 ≀ 𝑛 ↔ 𝑖 ≀ (βŒŠβ€˜π‘›)))
8076, 79bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) ↔ 𝑖 ≀ 𝑛))
8180biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≀ 𝑛) β†’ 𝑖 ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)))
8268, 70, 81rspcdva 3584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≀ 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘Ÿ)
83 xrmax2 13106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ π‘Ÿ ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
8443, 39, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
8584adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ π‘Ÿ ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
86 xrletr 13088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
8760, 57, 61, 86syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
8885, 87mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘Ÿ β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
8988adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≀ 𝑛) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘Ÿ β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
9082, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≀ 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
9146, 48, 66, 90lecasei 11271 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
9291a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
9392ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘Ž ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
944limsupgle 15372 . . . . . . . . . 10 (((𝑍 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„*) ∧ π‘Ž ∈ ℝ ∧ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*) β†’ ((πΊβ€˜π‘Ž) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘Ž ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))))
9547, 50, 34, 44, 94syl211anc 1377 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘Ž) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘Ž ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))))
9693, 95mpbird 257 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
9738ltpnfd 13052 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ < +∞)
98 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)
99 breq1 5114 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) β†’ (π‘Ÿ < +∞ ↔ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) < +∞))
100 breq1 5114 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘›) = if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) < +∞ ↔ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) < +∞))
10199, 100ifboth 4531 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ < +∞ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞) β†’ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) < +∞)
10297, 98, 101syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) < +∞)
10337, 44, 45, 96, 102xrlelttrd 13090 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) < +∞)
10432, 103rexlimddv 3155 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) < +∞)
10523, 104rexlimddv 3155 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) < +∞)
1067, 105eqbrtrrd 5135 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞)
107 imassrn 6030 . . . . . . . . 9 (𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) βŠ† ran 𝐹
10815frnd 6682 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
109107, 108sstrid 3959 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) βŠ† ℝ)
110109, 16sstrdi 3960 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) βŠ† ℝ*)
111 df-ss 3931 . . . . . . 7 ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) βŠ† ℝ* ↔ ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)))
112110, 111sylib 217 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)))
113112, 109eqsstrd 3986 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ)
114 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
115 flcl 13711 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘Ž) ∈ β„€)
116115adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Ž) ∈ β„€)
117116peano2zd 12620 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ β„€)
118117, 114ifcld 4538 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ β„€)
119114zred 12617 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
120117zred 12617 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ)
121 max1 13115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))
122119, 120, 121syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))
123 eluz2 12779 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↔ (𝑀 ∈ β„€ ∧ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀)))
124114, 118, 122, 123syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
125124, 9eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
12615fdmd 6685 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
127125, 126eleqtrrd 2836 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹)
128118zred 12617 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
129 fllep1 13717 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1))
130129adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1))
131 max2 13117 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1) ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))
132119, 120, 131syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1) ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))
13333, 120, 128, 130, 132letrd 11322 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))
134 elicopnf 13373 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ (if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ (π‘Ž[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))))
135134adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ (π‘Ž[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))))
136128, 133, 135mpbir2and 712 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ (π‘Ž[,)+∞))
137 inelcm 4430 . . . . . . . 8 ((if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹 ∧ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ (π‘Ž[,)+∞)) β†’ (dom 𝐹 ∩ (π‘Ž[,)+∞)) β‰  βˆ…)
138127, 136, 137syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (dom 𝐹 ∩ (π‘Ž[,)+∞)) β‰  βˆ…)
139 imadisj 6038 . . . . . . . 8 ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) = βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ (π‘Ž[,)+∞)) = βˆ…)
140139necon3bii 2993 . . . . . . 7 ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) β‰  βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ (π‘Ž[,)+∞)) β‰  βˆ…)
141138, 140sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) β‰  βˆ…)
142112, 141eqnetrd 3008 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
143 supxrre1 13260 . . . . 5 ((((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ ∧ ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ (sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞))
144113, 142, 143syl2anc 585 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞))
145106, 144mpbird 257 . . 3 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
1467, 145eqeltrd 2833 . 2 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
1473, 5, 146fmpt2d 7077 1 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4288  ifcif 4492   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5639  ran crn 5640   β€œ cima 5642  βŸΆwf 6498  β€˜cfv 6502  (class class class)co 7363  Fincfn 8891  supcsup 9386  β„cr 11060  1c1 11062   + caddc 11064  +∞cpnf 11196  β„*cxr 11198   < clt 11199   ≀ cle 11200  β„€cz 12509  β„€β‰₯cuz 12773  [,)cico 13277  ...cfz 13435  βŒŠcfl 13706  lim supclsp 15365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-nn 12164  df-n0 12424  df-z 12510  df-uz 12774  df-ico 13281  df-fz 13436  df-fl 13708  df-limsup 15366
This theorem is referenced by:  mbflimsup  25068
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