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Theorem limsupgre 15438

Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limsupval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
limsupgre.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
limsupgre	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)

Distinct variable groups: 𝑘,𝐹 𝑘,𝑀 𝑘,𝑍 Allowed substitution hint: 𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsupgre Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13087	. . . 4 ⊢ < Or ℝ^*
2	1	supex 9371	. . 3 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ V)
4		limsupval.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < )))
6	4	limsupgval 15433	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
7	6	adantl 483	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
8		simpl3 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
9		limsupgre.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
10		uzssz 12804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ_≥‘𝑀) ⊆ ℤ
11	9, 10	eqsstri 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
12		zssre 12526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑍 ⊆ ℝ)
15		simpl2 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
16		ressxr 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ^*
17		fss 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ^) → 𝐹:𝑍⟶ℝ^)
18	15, 16, 17	sylancl 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ^*)
19		pnfxr 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ^*)
21	4	limsuplt 15436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺‘𝑛) < +∞))
22	14, 18, 20, 21	syl3anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺‘𝑛) < +∞))
23	8, 22	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺‘𝑛) < +∞)
24		fzfi 13929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin
25	15	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
26		elfzuz 13469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
27	26, 9	eleqtrrdi 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
28		ffvelcdm 7025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	syl2an 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
30	29	ralrimiva 3133	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
31		fimaxre3 12097	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
32	24, 30, 31	sylancr 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
33		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
34	33	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑎 ∈ ℝ)
35	4	limsupgf 15432	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺:ℝ⟶ℝ^*
36	35	ffvelcdmi 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑎) ∈ ℝ^*)
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑎) ∈ ℝ^*)
38		simprl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
39	16, 38	sselid 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
40		simprl 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
41	40	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑛 ∈ ℝ)
42	35	ffvelcdmi 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^*)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^*)
44	39, 43	ifcld 4503	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*)
45	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → +∞ ∈ ℝ^*)
46	40	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℝ)
47	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑍 ⊆ ℝ)
48	47	sselda 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ ℝ)
49	43	xrleidd 13098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛))
50	18	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ^*)
51	4	limsupgle 15434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ^) ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^) → ((𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛))))
52	47, 50, 41, 43, 51	syl211anc 1385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛))))
53	49, 52	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛)))
54	53	r19.21bi 3233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛)))
55	54	imp 408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑖) → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛))
56	46, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^*)
57	39	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
58		xrmax1 13122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) → (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
59	56, 57, 58	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
60	50	ffvelcdmda 7028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ^*)
61	44	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*)
62		xrletr 13104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* ∧ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*) → (((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) ∧ (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
63	60, 56, 61, 62	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) ∧ (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
64	59, 63	mpan2d 701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
65	64	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑖) → ((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
66	55, 65	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑖) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
67		fveq2 6830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑖))
68	67	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟 ↔ (𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟))
69		simprr 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
70	69	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
71		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ 𝑍)
72	71, 9	eleqtrdi 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
73	41	flcld 13752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
74	73	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
75		elfz5 13465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ (⌊‘𝑛) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
76	72, 74, 75	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
77	11, 71	sselid 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
78		flge 13759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ 𝑛 ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
79	46, 77, 78	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 ≤ 𝑛 ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
80	76, 79	bitr4d 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ 𝑛))
81	80	biimpar 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → 𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)))
82	68, 70, 81	rspcdva 3562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟)
83		xrmax2 13123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) → 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
84	43, 39, 83	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
85	84	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
86		xrletr 13104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^* ∧ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*) → (((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
87	60, 57, 61, 86	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
88	85, 87	mpan2d 701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
89	88	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → ((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
90	82, 89	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
91	46, 48, 66, 90	lecasei 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
92	91	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
93	92	ralrimiva 3133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
94	4	limsupgle 15434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ^) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^) → ((𝐺‘𝑎) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))))
95	47, 50, 34, 44, 94	syl211anc 1385	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺‘𝑎) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))))
96	93, 95	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑎) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
97	38	ltpnfd 13067	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 < +∞)
98		simplrr 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑛) < +∞)
99		breq1 5077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) → (𝑟 < +∞ ↔ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞))
100		breq1 5077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑛) = if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑛) < +∞ ↔ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞))
101	99, 100	ifboth 4496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 < +∞ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞)
102	97, 98, 101	syl2anc 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞)
103	37, 44, 45, 96, 102	xrlelttrd 13106	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑎) < +∞)
104	32, 103	rexlimddv 3148	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → (𝐺‘𝑎) < +∞)
105	23, 104	rexlimddv 3148	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑎) < +∞)
106	7, 105	eqbrtrrd 5098	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) < +∞)
107		imassrn 6029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
108	15	frnd 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
109	107, 108	sstrid 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ)
110	109, 16	sstrdi 3928	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ^*)
111		dfss2 3902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ^* ↔ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
112	110, 111	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
113	112, 109	eqsstrd 3950	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) ⊆ ℝ)
114		simpl1 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
115		flcl 13749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
116	115	adantl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
117	116	peano2zd 12631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℤ)
118	117, 114	ifcld 4503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
119	114	zred 12628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
120	117	zred 12628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
121		max1 13132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
122	119, 120, 121	syl2anc 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
123		eluz2 12789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀)))
124	114, 118, 122, 123	syl3anbrc 1351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
125	124, 9	eleqtrrdi 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
126	15	fdmd 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝑍)
127	125, 126	eleqtrrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹)
128	118	zred 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
129		fllep1 13755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
130	129	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
131		max2 13134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
132	119, 120, 131	syl2anc 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
133	33, 120, 128, 130, 132	letrd 11299	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
134		elicopnf 13393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
135	134	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
136	128, 133, 135	mpbir2and 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞))
137		inelcm 4395	. . . . . . . 8 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹 ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞)) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
138	127, 136, 137	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
139		imadisj 6038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) = ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) = ∅)
140	139	necon3bii 2988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
141	138, 140	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
142	112, 141	eqnetrd 3003	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) ≠ ∅)
143		supxrre1 13277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^) ⊆ ℝ ∧ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^) ≠ ∅) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) < +∞))
144	113, 142, 143	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) < +∞))
145	106, 144	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ ℝ)
146	7, 145	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑎) ∈ ℝ)
147	3, 5, 146	fmpt2d 7069	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 397 ∧ w3a 1093 = wceq 1548 ∈ wcel 2121 ≠ wne 2936 ∀wral 3055 ∃wrex 3065 Vcvv 3433 ∩ cin 3883 ⊆ wss 3884 ∅c0 4263 ifcif 4456 class class class wbr 5074 ↦ cmpt 5155 dom cdm 5620 ran crn 5621 “ cima 5623 ⟶wf 6484 ‘cfv 6488 (class class class)co 7359 Fincfn 8887 supcsup 9347 ℝcr 11033 1c1 11035 + caddc 11037 +∞cpnf 11172 ℝ^*cxr 11174 < clt 11175 ≤ cle 11176 ℤcz 12519 ℤ_≥cuz 12783 [,)cico 13295 ...cfz 13456 ⌊cfl 13744 lim supclsp 15427

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1975 ax-7 2016 ax-8 2123 ax-9 2131 ax-10 2154 ax-11 2170 ax-12 2191 ax-ext 2713 ax-sep 5220 ax-nul 5230 ax-pow 5296 ax-pr 5364 ax-un 7681 ax-cnex 11090 ax-resscn 11091 ax-1cn 11092 ax-icn 11093 ax-addcl 11094 ax-addrcl 11095 ax-mulcl 11096 ax-mulrcl 11097 ax-mulcom 11098 ax-addass 11099 ax-mulass 11100 ax-distr 11101 ax-i2m1 11102 ax-1ne0 11103 ax-1rid 11104 ax-rnegex 11105 ax-rrecex 11106 ax-cnre 11107 ax-pre-lttri 11108 ax-pre-lttrn 11109 ax-pre-ltadd 11110 ax-pre-mulgt0 11111 ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 398 df-or 855 df-3or 1094 df-3an 1095 df-tru 1551 df-fal 1561 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2075 df-mo 2545 df-eu 2575 df-clab 2720 df-cleq 2733 df-clel 2816 df-nfc 2890 df-ne 2937 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3066 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3394 df-v 3435 df-sbc 3725 df-csb 3833 df-dif 3887 df-un 3889 df-in 3891 df-ss 3901 df-pss 3904 df-nul 4264 df-if 4457 df-pw 4533 df-sn 4558 df-pr 4560 df-op 4564 df-uni 4841 df-iun 4925 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5156 df-tr 5182 df-id 5515 df-eprel 5520 df-po 5528 df-so 5529 df-fr 5573 df-we 5575 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-pred 6255 df-ord 6316 df-on 6317 df-lim 6318 df-suc 6319 df-iota 6444 df-fun 6490 df-fn 6491 df-f 6492 df-f1 6493 df-fo 6494 df-f1o 6495 df-fv 6496 df-riota 7316 df-ov 7362 df-oprab 7363 df-mpo 7364 df-om 7810 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-er 8637 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-sup 9349 df-inf 9350 df-pnf 11177 df-mnf 11178 df-xr 11179 df-ltxr 11180 df-le 11181 df-sub 11375 df-neg 11376 df-nn 12170 df-n0 12433 df-z 12520 df-uz 12784 df-ico 13299 df-fz 13457 df-fl 13746 df-limsup 15428

This theorem is referenced by: mbflimsup 25654

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