limsupgre - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > limsupgre		Structured version Visualization version GIF version

Theorem limsupgre 14830

Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limsupval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
limsupgre.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
limsupgre	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)

Distinct variable groups: 𝑘,𝐹 𝑘,𝑀 𝑘,𝑍 Allowed substitution hint: 𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsupgre Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 12522	. . . 4 ⊢ < Or ℝ^*
2	1	supex 8911	. . 3 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ V)
4		limsupval.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < )))
6	4	limsupgval 14825	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
7	6	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
8		simpl3 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
9		limsupgre.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
10		uzssz 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ_≥‘𝑀) ⊆ ℤ
11	9, 10	eqsstri 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
12		zssre 11976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 3924	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑍 ⊆ ℝ)
15		simpl2 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
16		ressxr 10674	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ^*
17		fss 6501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ^) → 𝐹:𝑍⟶ℝ^)
18	15, 16, 17	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ^*)
19		pnfxr 10684	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ^*)
21	4	limsuplt 14828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺‘𝑛) < +∞))
22	14, 18, 20, 21	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺‘𝑛) < +∞))
23	8, 22	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺‘𝑛) < +∞)
24		fzfi 13335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin
25	15	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
26		elfzuz 12898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
27	26, 9	eleqtrrdi 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
28		ffvelrn 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	syl2an 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
30	29	ralrimiva 3149	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
31		fimaxre3 11575	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
32	24, 30, 31	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
33		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑎 ∈ ℝ)
35	4	limsupgf 14824	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺:ℝ⟶ℝ^*
36	35	ffvelrni 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑎) ∈ ℝ^*)
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑎) ∈ ℝ^*)
38		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
39	16, 38	sseldi 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
40		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑛 ∈ ℝ)
42	35	ffvelrni 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^*)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^*)
44	39, 43	ifcld 4470	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*)
45	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → +∞ ∈ ℝ^*)
46	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℝ)
47	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑍 ⊆ ℝ)
48	47	sselda 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ ℝ)
49	43	xrleidd 12533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛))
50	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ^*)
51	4	limsupgle 14826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ^) ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^) → ((𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛))))
52	47, 50, 41, 43, 51	syl211anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛))))
53	49, 52	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛)))
54	53	r19.21bi 3173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛)))
55	54	imp 410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑖) → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛))
56	46, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^*)
57	39	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
58		xrmax1 12556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) → (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
59	56, 57, 58	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
60	50	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ^*)
61	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*)
62		xrletr 12539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* ∧ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*) → (((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) ∧ (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
63	60, 56, 61, 62	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) ∧ (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
64	59, 63	mpan2d 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
65	64	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑖) → ((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
66	55, 65	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑖) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
67		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑖))
68	67	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟 ↔ (𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟))
69		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
70	69	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
71		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ 𝑍)
72	71, 9	eleqtrdi 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
73	41	flcld 13163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
74	73	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
75		elfz5 12894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ (⌊‘𝑛) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
76	72, 74, 75	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
77	11, 71	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
78		flge 13170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ 𝑛 ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
79	46, 77, 78	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 ≤ 𝑛 ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
80	76, 79	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ 𝑛))
81	80	biimpar 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → 𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)))
82	68, 70, 81	rspcdva 3573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟)
83		xrmax2 12557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) → 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
84	43, 39, 83	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
85	84	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
86		xrletr 12539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^* ∧ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*) → (((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
87	60, 57, 61, 86	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
88	85, 87	mpan2d 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
89	88	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → ((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
90	82, 89	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
91	46, 48, 66, 90	lecasei 10735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
92	91	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
93	92	ralrimiva 3149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
94	4	limsupgle 14826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ^) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^) → ((𝐺‘𝑎) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))))
95	47, 50, 34, 44, 94	syl211anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺‘𝑎) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))))
96	93, 95	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑎) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
97	38	ltpnfd 12504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 < +∞)
98		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑛) < +∞)
99		breq1 5033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) → (𝑟 < +∞ ↔ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞))
100		breq1 5033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑛) = if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑛) < +∞ ↔ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞))
101	99, 100	ifboth 4463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 < +∞ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞)
102	97, 98, 101	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞)
103	37, 44, 45, 96, 102	xrlelttrd 12541	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑎) < +∞)
104	32, 103	rexlimddv 3250	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → (𝐺‘𝑎) < +∞)
105	23, 104	rexlimddv 3250	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑎) < +∞)
106	7, 105	eqbrtrrd 5054	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) < +∞)
107		imassrn 5907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
108	15	frnd 6494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
109	107, 108	sstrid 3926	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ)
110	109, 16	sstrdi 3927	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ^*)
111		df-ss 3898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ^* ↔ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
112	110, 111	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
113	112, 109	eqsstrd 3953	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) ⊆ ℝ)
114		simpl1 1188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
115		flcl 13160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
116	115	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
117	116	peano2zd 12078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℤ)
118	117, 114	ifcld 4470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
119	114	zred 12075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
120	117	zred 12075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
121		max1 12566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
122	119, 120, 121	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
123		eluz2 12237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀)))
124	114, 118, 122, 123	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
125	124, 9	eleqtrrdi 2901	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
126	15	fdmd 6497	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝑍)
127	125, 126	eleqtrrd 2893	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹)
128	118	zred 12075	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
129		fllep1 13166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
130	129	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
131		max2 12568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
132	119, 120, 131	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
133	33, 120, 128, 130, 132	letrd 10786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
134		elicopnf 12823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
135	134	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
136	128, 133, 135	mpbir2and 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞))
137		inelcm 4372	. . . . . . . 8 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹 ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞)) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
138	127, 136, 137	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
139		imadisj 5915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) = ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) = ∅)
140	139	necon3bii 3039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
141	138, 140	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
142	112, 141	eqnetrd 3054	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) ≠ ∅)
143		supxrre1 12711	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^) ⊆ ℝ ∧ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^) ≠ ∅) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) < +∞))
144	113, 142, 143	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) < +∞))
145	106, 144	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ ℝ)
146	7, 145	eqeltrd 2890	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑎) ∈ ℝ)
147	3, 5, 146	fmpt2d 6864	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 ∀wral 3106 ∃wrex 3107 Vcvv 3441 ∩ cin 3880 ⊆ wss 3881 ∅c0 4243 ifcif 4425 class class class wbr 5030 ↦ cmpt 5110 dom cdm 5519 ran crn 5520 “ cima 5522 ⟶wf 6320 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 Fincfn 8492 supcsup 8888 ℝcr 10525 1c1 10527 + caddc 10529 +∞cpnf 10661 ℝ^*cxr 10663 < clt 10664 ≤ cle 10665 ℤcz 11969 ℤ_≥cuz 12231 [,)cico 12728 ...cfz 12885 ⌊cfl 13155 lim supclsp 14819

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-oadd 8089 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-sup 8890 df-inf 8891 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-nn 11626 df-n0 11886 df-z 11970 df-uz 12232 df-ico 12732 df-fz 12886 df-fl 13157 df-limsup 14820

This theorem is referenced by: mbflimsup 24270

W3C validator