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Theorem limsupgre 15517
Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
limsupgre.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
limsupgre ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsupgre
Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 13183 . . . 4 < Or ℝ*
21supex 9503 . . 3 sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
4 limsupval.1 . . 3 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
64limsupgval 15512 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
76adantl 481 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
10 uzssz 12899 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
119, 10eqsstri 4030 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℤ
12 zssre 12620 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
1311, 12sstri 3993 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑍 ⊆ ℝ)
15 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
16 ressxr 11305 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
17 fss 6752 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
19 pnfxr 11315 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
214limsuplt 15515 . . . . . . . 8 ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺𝑛) < +∞))
2214, 18, 20, 21syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺𝑛) < +∞))
238, 22mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺𝑛) < +∞)
24 fzfi 14013 . . . . . . . 8 (𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin
2515adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
26 elfzuz 13560 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
2726, 9eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚𝑍)
28 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
2925, 27, 28syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
3029ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ∈ ℝ)
31 fimaxre3 12214 . . . . . . . 8 (((𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)
3224, 30, 31sylancr 587 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)
33 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
3433ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑎 ∈ ℝ)
354limsupgf 15511 . . . . . . . . . 10 𝐺:ℝ⟶ℝ*
3635ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺𝑎) ∈ ℝ*)
3734, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑎) ∈ ℝ*)
38 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
3916, 38sselid 3981 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
40 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4235ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ → (𝐺𝑛) ∈ ℝ*)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ*)
4439, 43ifcld 4572 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*)
4519a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → +∞ ∈ ℝ*)
4640ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑛 ∈ ℝ)
4713a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑍 ⊆ ℝ)
4847sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℝ)
4943xrleidd 13194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑛))
5018ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
514limsupgle 15513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ*) ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑛) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑛𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛))))
5247, 50, 41, 43, 51syl211anc 1378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑛) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑛𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛))))
5349, 52mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖𝑍 (𝑛𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛)))
5453r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑛𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛)))
5554imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛𝑖) → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛))
5646, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ*)
5739adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ*)
58 xrmax1 13217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑛) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → (𝐺𝑛) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
5956, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐺𝑛) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
6050ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ*)
6144adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*)
62 xrletr 13200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑛) ∈ ℝ* ∧ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛) ∧ (𝐺𝑛) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
6360, 56, 61, 62syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (((𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛) ∧ (𝐺𝑛) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
6459, 63mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛𝑖) → ((𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
6655, 65mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛𝑖) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
67 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑖 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑖))
6867breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑖 → ((𝐹𝑚) ≤ 𝑟 ↔ (𝐹𝑖) ≤ 𝑟))
69 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)
7069ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)
71 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
7271, 9eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
7341flcld 13838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
75 elfz5 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (⌊‘𝑛) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
7672, 74, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
7711, 71sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
78 flge 13845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖𝑛𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
7946, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖𝑛𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
8076, 79bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖𝑛))
8180biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → 𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)))
8268, 70, 81rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → (𝐹𝑖) ≤ 𝑟)
83 xrmax2 13218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺𝑛) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → 𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
8443, 39, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
86 xrletr 13200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ* ∧ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑖) ≤ 𝑟𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
8760, 57, 61, 86syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (((𝐹𝑖) ≤ 𝑟𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
8885, 87mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝐹𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → ((𝐹𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
9082, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
9146, 48, 66, 90lecasei 11367 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
9291a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑎𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
9392ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖𝑍 (𝑎𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
944limsupgle 15513 . . . . . . . . . 10 (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ*) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑎) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑎𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))))
9547, 50, 34, 44, 94syl211anc 1378 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺𝑎) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑎𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))))
9693, 95mpbird 257 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑎) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
9738ltpnfd 13163 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 < +∞)
98 simplrr 778 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑛) < +∞)
99 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) → (𝑟 < +∞ ↔ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) < +∞))
100 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑛) = if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) → ((𝐺𝑛) < +∞ ↔ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) < +∞))
10199, 100ifboth 4565 . . . . . . . . 9 ((𝑟 < +∞ ∧ (𝐺𝑛) < +∞) → if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) < +∞)
10297, 98, 101syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) < +∞)
10337, 44, 45, 96, 102xrlelttrd 13202 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑎) < +∞)
10432, 103rexlimddv 3161 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → (𝐺𝑎) < +∞)
10523, 104rexlimddv 3161 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺𝑎) < +∞)
1067, 105eqbrtrrd 5167 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞)
107 imassrn 6089 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
10815frnd 6744 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
109107, 108sstrid 3995 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ)
110109, 16sstrdi 3996 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
111 dfss2 3969 . . . . . . 7 ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
112110, 111sylib 218 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
113112, 109eqsstrd 4018 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ)
114 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
115 flcl 13835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
116115adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
117116peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℤ)
118117, 114ifcld 4572 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
119114zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
120117zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
121 max1 13227 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
122119, 120, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
123 eluz2 12884 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀)))
124114, 118, 122, 123syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
125124, 9eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
12615fdmd 6746 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝑍)
127125, 126eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹)
128118zred 12722 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
129 fllep1 13841 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
130129adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
131 max2 13229 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
132119, 120, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
13333, 120, 128, 130, 132letrd 11418 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
134 elicopnf 13485 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
135134adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
136128, 133, 135mpbir2and 713 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞))
137 inelcm 4465 . . . . . . . 8 ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹 ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞)) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
138127, 136, 137syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
139 imadisj 6098 . . . . . . . 8 ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) = ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) = ∅)
140139necon3bii 2993 . . . . . . 7 ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
141138, 140sylibr 234 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
142112, 141eqnetrd 3008 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
143 supxrre1 13372 . . . . 5 ((((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ ∧ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞))
144113, 142, 143syl2anc 584 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞))
145106, 144mpbird 257 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
1467, 145eqeltrd 2841 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺𝑎) ∈ ℝ)
1473, 5, 146fmpt2d 7144 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  supcsup 9480  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  [,)cico 13389  ...cfz 13547  cfl 13830  lim supclsp 15506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fl 13832  df-limsup 15507
This theorem is referenced by:  mbflimsup  25701
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