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Theorem limsupgre 15421
Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
limsupgre.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
limsupgre ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsupgre
Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 13116 . . . 4 < Or ℝ*
21supex 9453 . . 3 sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
4 limsupval.1 . . 3 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
64limsupgval 15416 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
76adantl 481 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
10 uzssz 12839 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
119, 10eqsstri 4008 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℤ
12 zssre 12561 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
1311, 12sstri 3983 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑍 ⊆ ℝ)
15 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
16 ressxr 11254 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
17 fss 6724 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
1815, 16, 17sylancl 585 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
19 pnfxr 11264 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
214limsuplt 15419 . . . . . . . 8 ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺𝑛) < +∞))
2214, 18, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺𝑛) < +∞))
238, 22mpbid 231 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺𝑛) < +∞)
24 fzfi 13933 . . . . . . . 8 (𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin
2515adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
26 elfzuz 13493 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
2726, 9eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚𝑍)
28 ffvelcdm 7073 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
2925, 27, 28syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
3029ralrimiva 3138 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ∈ ℝ)
31 fimaxre3 12156 . . . . . . . 8 (((𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)
3224, 30, 31sylancr 586 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)
33 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
3433ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑎 ∈ ℝ)
354limsupgf 15415 . . . . . . . . . 10 𝐺:ℝ⟶ℝ*
3635ffvelcdmi 7075 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺𝑎) ∈ ℝ*)
3734, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑎) ∈ ℝ*)
38 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
3916, 38sselid 3972 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
40 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4235ffvelcdmi 7075 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ → (𝐺𝑛) ∈ ℝ*)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ*)
4439, 43ifcld 4566 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*)
4519a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → +∞ ∈ ℝ*)
4640ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑛 ∈ ℝ)
4713a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑍 ⊆ ℝ)
4847sselda 3974 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℝ)
4943xrleidd 13127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑛))
5018ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
514limsupgle 15417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ*) ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑛) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑛𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛))))
5247, 50, 41, 43, 51syl211anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑛) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑛𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛))))
5349, 52mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖𝑍 (𝑛𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛)))
5453r19.21bi 3240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑛𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛)))
5554imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛𝑖) → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛))
5646, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ*)
5739adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ*)
58 xrmax1 13150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑛) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → (𝐺𝑛) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
5956, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐺𝑛) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
6050ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ*)
6144adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*)
62 xrletr 13133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑛) ∈ ℝ* ∧ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛) ∧ (𝐺𝑛) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
6360, 56, 61, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (((𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛) ∧ (𝐺𝑛) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
6459, 63mpan2d 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛𝑖) → ((𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
6655, 65mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛𝑖) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
67 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑖 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑖))
6867breq1d 5148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑖 → ((𝐹𝑚) ≤ 𝑟 ↔ (𝐹𝑖) ≤ 𝑟))
69 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)
7069ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)
71 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
7271, 9eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
7341flcld 13759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
75 elfz5 13489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (⌊‘𝑛) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
7672, 74, 75syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
7711, 71sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
78 flge 13766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖𝑛𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
7946, 77, 78syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖𝑛𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
8076, 79bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖𝑛))
8180biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → 𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)))
8268, 70, 81rspcdva 3605 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → (𝐹𝑖) ≤ 𝑟)
83 xrmax2 13151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺𝑛) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → 𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
8443, 39, 83syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
86 xrletr 13133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ* ∧ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑖) ≤ 𝑟𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
8760, 57, 61, 86syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (((𝐹𝑖) ≤ 𝑟𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
8885, 87mpan2d 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝐹𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → ((𝐹𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
9082, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
9146, 48, 66, 90lecasei 11316 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
9291a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑎𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
9392ralrimiva 3138 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖𝑍 (𝑎𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
944limsupgle 15417 . . . . . . . . . 10 (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ*) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑎) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑎𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))))
9547, 50, 34, 44, 94syl211anc 1373 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺𝑎) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑎𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))))
9693, 95mpbird 257 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑎) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
9738ltpnfd 13097 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 < +∞)
98 simplrr 775 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑛) < +∞)
99 breq1 5141 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) → (𝑟 < +∞ ↔ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) < +∞))
100 breq1 5141 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑛) = if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) → ((𝐺𝑛) < +∞ ↔ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) < +∞))
10199, 100ifboth 4559 . . . . . . . . 9 ((𝑟 < +∞ ∧ (𝐺𝑛) < +∞) → if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) < +∞)
10297, 98, 101syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) < +∞)
10337, 44, 45, 96, 102xrlelttrd 13135 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑎) < +∞)
10432, 103rexlimddv 3153 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → (𝐺𝑎) < +∞)
10523, 104rexlimddv 3153 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺𝑎) < +∞)
1067, 105eqbrtrrd 5162 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞)
107 imassrn 6060 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
10815frnd 6715 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
109107, 108sstrid 3985 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ)
110109, 16sstrdi 3986 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
111 df-ss 3957 . . . . . . 7 ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
112110, 111sylib 217 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
113112, 109eqsstrd 4012 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ)
114 simpl1 1188 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
115 flcl 13756 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
116115adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
117116peano2zd 12665 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℤ)
118117, 114ifcld 4566 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
119114zred 12662 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
120117zred 12662 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
121 max1 13160 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
122119, 120, 121syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
123 eluz2 12824 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀)))
124114, 118, 122, 123syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
125124, 9eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
12615fdmd 6718 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝑍)
127125, 126eleqtrrd 2828 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹)
128118zred 12662 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
129 fllep1 13762 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
130129adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
131 max2 13162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
132119, 120, 131syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
13333, 120, 128, 130, 132letrd 11367 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
134 elicopnf 13418 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
135134adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
136128, 133, 135mpbir2and 710 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞))
137 inelcm 4456 . . . . . . . 8 ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹 ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞)) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
138127, 136, 137syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
139 imadisj 6069 . . . . . . . 8 ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) = ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) = ∅)
140139necon3bii 2985 . . . . . . 7 ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
141138, 140sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
142112, 141eqnetrd 3000 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
143 supxrre1 13305 . . . . 5 ((((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ ∧ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞))
144113, 142, 143syl2anc 583 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞))
145106, 144mpbird 257 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
1467, 145eqeltrd 2825 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺𝑎) ∈ ℝ)
1473, 5, 146fmpt2d 7115 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  wrex 3062  Vcvv 3466  cin 3939  wss 3940  c0 4314  ifcif 4520   class class class wbr 5138  cmpt 5221  dom cdm 5666  ran crn 5667  cima 5669  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  Fincfn 8934  supcsup 9430  cr 11104  1c1 11106   + caddc 11108  +∞cpnf 11241  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  cz 12554  cuz 12818  [,)cico 13322  ...cfz 13480  cfl 13751  lim supclsp 15410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fl 13753  df-limsup 15411
This theorem is referenced by:  mbflimsup  25516
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