MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupgre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupgre 15425
Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
limsupgre.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
limsupgre ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘˜)

Proof of Theorem limsupgre
Dummy variables π‘Ž 𝑖 π‘š 𝑛 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 13120 . . . 4 < Or ℝ*
21supex 9458 . . 3 sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
4 limsupval.1 . . 3 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) β†’ 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
64limsupgval 15420 . . . 4 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) = sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
76adantl 483 . . 3 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) = sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) < +∞)
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
10 uzssz 12843 . . . . . . . . . . 11 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
119, 10eqsstri 4017 . . . . . . . . . 10 𝑍 βŠ† β„€
12 zssre 12565 . . . . . . . . . 10 β„€ βŠ† ℝ
1311, 12sstri 3992 . . . . . . . . 9 𝑍 βŠ† ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
15 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
16 ressxr 11258 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† ℝ*
17 fss 6735 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† ℝ*) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
1815, 16, 17sylancl 587 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
19 pnfxr 11268 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
214limsuplt 15423 . . . . . . . 8 ((𝑍 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < +∞ ↔ βˆƒπ‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) < +∞))
2214, 18, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < +∞ ↔ βˆƒπ‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) < +∞))
238, 22mpbid 231 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)
24 fzfi 13937 . . . . . . . 8 (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) ∈ Fin
2515adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
26 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2726, 9eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
28 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
2925, 27, 28syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
3029ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) β†’ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
31 fimaxre3 12160 . . . . . . . 8 (((𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)
3224, 30, 31sylancr 588 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)
33 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
354limsupgf 15419 . . . . . . . . . 10 𝐺:β„βŸΆβ„*
3635ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
3734, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
38 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3916, 38sselid 3981 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
40 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4140adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4235ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
4439, 43ifcld 4575 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
4519a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
4640ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4713a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
4847sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
4943xrleidd 13131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘›))
5018ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
514limsupgle 15421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑍 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„*) ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (𝑛 ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›))))
5247, 50, 41, 43, 51syl211anc 1377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (𝑛 ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›))))
5349, 52mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (𝑛 ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›)))
5453r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑛 ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›)))
5554imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≀ 𝑖) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›))
5646, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
5739adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
58 xrmax1 13154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
5956, 57, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
6050ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
6144adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
62 xrletr 13137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ* ∧ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›) ∧ (πΊβ€˜π‘›) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
6360, 56, 61, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›) ∧ (πΊβ€˜π‘›) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
6459, 63mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≀ 𝑖) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΊβ€˜π‘›) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
6655, 65mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≀ 𝑖) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
67 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘–))
6867breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ ↔ (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘Ÿ))
69 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≀ 𝑛) β†’ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)
71 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
7271, 9eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7341flcld 13763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘›) ∈ β„€)
7473adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βŒŠβ€˜π‘›) ∈ β„€)
75 elfz5 13493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (βŒŠβ€˜π‘›) ∈ β„€) β†’ (𝑖 ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) ↔ 𝑖 ≀ (βŒŠβ€˜π‘›)))
7672, 74, 75syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) ↔ 𝑖 ≀ (βŒŠβ€˜π‘›)))
7711, 71sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
78 flge 13770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ (𝑖 ≀ 𝑛 ↔ 𝑖 ≀ (βŒŠβ€˜π‘›)))
7946, 77, 78syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 ≀ 𝑛 ↔ 𝑖 ≀ (βŒŠβ€˜π‘›)))
8076, 79bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑖 ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)) ↔ 𝑖 ≀ 𝑛))
8180biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≀ 𝑛) β†’ 𝑖 ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›)))
8268, 70, 81rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≀ 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘Ÿ)
83 xrmax2 13155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ π‘Ÿ ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
8443, 39, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
8584adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ π‘Ÿ ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
86 xrletr 13137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
8760, 57, 61, 86syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
8885, 87mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘Ÿ β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
8988adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≀ 𝑛) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ≀ π‘Ÿ β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
9082, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≀ 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
9146, 48, 66, 90lecasei 11320 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
9291a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
9392ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘Ž ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›))))
944limsupgle 15421 . . . . . . . . . 10 (((𝑍 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„*) ∧ π‘Ž ∈ ℝ ∧ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*) β†’ ((πΊβ€˜π‘Ž) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘Ž ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))))
9547, 50, 34, 44, 94syl211anc 1377 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘Ž) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘Ž ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))))
9693, 95mpbird 257 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) ≀ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)))
9738ltpnfd 13101 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ < +∞)
98 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)
99 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) β†’ (π‘Ÿ < +∞ ↔ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) < +∞))
100 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘›) = if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) < +∞ ↔ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) < +∞))
10199, 100ifboth 4568 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ < +∞ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞) β†’ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) < +∞)
10297, 98, 101syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ if((πΊβ€˜π‘›) ≀ π‘Ÿ, π‘Ÿ, (πΊβ€˜π‘›)) < +∞)
10337, 44, 45, 96, 102xrlelttrd 13139 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘›))(πΉβ€˜π‘š) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) < +∞)
10432, 103rexlimddv 3162 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘›) < +∞)) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) < +∞)
10523, 104rexlimddv 3162 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) < +∞)
1067, 105eqbrtrrd 5173 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞)
107 imassrn 6071 . . . . . . . . 9 (𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) βŠ† ran 𝐹
10815frnd 6726 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
109107, 108sstrid 3994 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) βŠ† ℝ)
110109, 16sstrdi 3995 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) βŠ† ℝ*)
111 df-ss 3966 . . . . . . 7 ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) βŠ† ℝ* ↔ ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)))
112110, 111sylib 217 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)))
113112, 109eqsstrd 4021 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ)
114 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
115 flcl 13760 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘Ž) ∈ β„€)
116115adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Ž) ∈ β„€)
117116peano2zd 12669 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ β„€)
118117, 114ifcld 4575 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ β„€)
119114zred 12666 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
120117zred 12666 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ)
121 max1 13164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))
122119, 120, 121syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))
123 eluz2 12828 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↔ (𝑀 ∈ β„€ ∧ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀)))
124114, 118, 122, 123syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
125124, 9eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
12615fdmd 6729 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
127125, 126eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹)
128118zred 12666 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
129 fllep1 13766 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1))
130129adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1))
131 max2 13166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1) ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))
132119, 120, 131syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1) ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))
13333, 120, 128, 130, 132letrd 11371 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))
134 elicopnf 13422 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ (if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ (π‘Ž[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))))
135134adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ (π‘Ž[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀))))
136128, 133, 135mpbir2and 712 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ (π‘Ž[,)+∞))
137 inelcm 4465 . . . . . . . 8 ((if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹 ∧ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘Ž) + 1), 𝑀) ∈ (π‘Ž[,)+∞)) β†’ (dom 𝐹 ∩ (π‘Ž[,)+∞)) β‰  βˆ…)
138127, 136, 137syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (dom 𝐹 ∩ (π‘Ž[,)+∞)) β‰  βˆ…)
139 imadisj 6080 . . . . . . . 8 ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) = βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ (π‘Ž[,)+∞)) = βˆ…)
140139necon3bii 2994 . . . . . . 7 ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) β‰  βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ (π‘Ž[,)+∞)) β‰  βˆ…)
141138, 140sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) β‰  βˆ…)
142112, 141eqnetrd 3009 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
143 supxrre1 13309 . . . . 5 ((((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ ∧ ((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ (sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞))
144113, 142, 143syl2anc 585 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞))
145106, 144mpbird 257 . . 3 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (π‘Ž[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
1467, 145eqeltrd 2834 . 2 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
1473, 5, 146fmpt2d 7123 1 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„ ∧ (lim supβ€˜πΉ) < +∞) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  supcsup 9435  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  [,)cico 13326  ...cfz 13484  βŒŠcfl 13755  lim supclsp 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fl 13757  df-limsup 15415
This theorem is referenced by:  mbflimsup  25183
  Copyright terms: Public domain W3C validator